https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

Phần 1: Lý thuyết + biến đổi lượng giác Bài 1 : Chọn đáp án đúng khi rút gọn các biểu thức sau Ví dụ mẫu: Rút gọn P

sin 4 x  sin 2 x  cos 4 x tan 2 x  1

Nhập

sin4 x  sin 2 x  cos 4 x 1 Calc: x  60  P    cos120  cos 2x tan 2 x  1 2

Ví dụ 2: P  Nhập

cos3 x  cos3x sin 3 x  sin 3 x  cosx sin x

cos3 x  cos3 x sin 3 x  sin 3x  Calc: x  60  P  3; Calc : x  15  P  3... cosx sin x

Vậy P = 3 Ví dụ 3 .Tập xác định của hàm số y 

1 2 sinx  3

   A. D  R\  2 k ; k  z  3 

là

   B. D  R\  2 k ; k  z  6 

  5  2  C. D  R\  2 k ,  2 k ; k  z D. D  R\  2 k ,  2 k ; k  z  6   3  6 3

Nhập Mode 7 f x 

1 2 sin x  3

Start : 0 ; End 180 ; Step 15 ta có bảng f x 

x 0

- 0.577

15

- 0.822

30

- 1.366

………………………

……………………

60

ERR0R

120

ERR0R

Vậy đáp án là D Ví dụ Hàm số y  4 sin x  cos 2x có bao nhiêu cực trị thuộc  0; 2 

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

Có y'  4cosx  2sin 2x Nhập Mode7

f  x   4cos x  2sin2x

f  x   4cos x  2sin2x

và

Start : 0; End : 180 ; Step : 15

Start : 180; End : 360 ; Step : 15

Thấy đổi dấu 2 lần tại x  90  x  270 nên hàm số có 2 cực trị Ví dụ : tìm Max – Min hàm số 1. y  2 cos 2x  4 sin x





 trên đoạn  0;   2

Có y'  2 2 sin 2 x  4cosx Nhập Mode 7 f x  2 2 sin 2 x  4cosx Start : 0 ; End :90 ; Step 15 ta có f  x

x

Vậy nghiệm là x 



Nhập f x 

0

4

15

2.4494

30

1.0146

45

0

60

-0.443

75

-0.378

90

0

  ;x  4 2

2 cos 2x  4 sin x Calc : x = 0

 f 0  2 ;Calc : x  45  f 45  2 2 ;Calc : x  90  f  x  4  2



Chú ý : Có thể nhập Mode 7 f x 

2 cos 2x  4 sin x để tìm Max , Min nhưng

sẽ phải khảo sát table nhiều lần vì kho thể lấy bước nhẩy quá lớn do đó sẽ lâu hơn cách trên Ví dụ giải các phương trình

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Bài 1.

Nguyễn Tiến Chinh

Giải phương trình:

cos 3x  4 cos 2x  3 cos x  4  0

 , x  0;14

Lời giải Bước 1: Nhập vào Casio Mode7 , máy hiện thị nhap f x    f  x  cos3 x  4 cos 2 x  3 cos x  4

Start : x  0 End : x  180 Step : 15

Ta có kết quả Làm tương tự

x  90 

 2

nhap f x    f  x  cos3 x  4 cos 2 x  3 cos x  4

Start : x  180 End : x  360 Step : 15

x  270 

3 2

Ta có kết quả Hết nghiệm , biểu diễn nhanh trên vòng tròn lượng giác ta có

Hai nghiệm đối xứng nhau qua gốc tọa độ Do đó chỉ nhận nghiệm

x

  k ,k  Z 2

 0 ; 14 nên ta làm tiếp   Cho 0  x    k,k  Z  14  0  0.5  k  14  4.46 2  Start : 3  tim.duoc Nhập mode7, f x  0.5  x;cho : End : 3  k  0 ; 1; 2 ; 3  Step : 1  3 5 7  Vậy phương trình có 4 nghiệm x   ; ; ;   2 2 2 2 

Bước 2: Do bài chỉ yêu cầu tìm trên

như sau

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

Giải phương trình: 2 cos x  12 sin x  cos x   sin 2x  sin x 

Bài 2.

nhap f x    f  x  2 cos x  12 sin x  cosx  sin 2 x  sin x

Start : x  0 End : x  180 Step : 15

Ta có kết quả Lần 2

x  60 

 3 ; x  135  3 4

nhap f x    f  x  2 cos x  12 sin x  cosx  sin 2 x  sin x

Start : x  180 End : x  360 Step : 15   x  300   ; x  315   3 4

Ta có kết quả Kết hợp trên đường tròn ta có Các nghiệm là

   x    k 2  3     x    k  4

Chú ý: các điểm đứng một mình k 2 Có 2 điểm đối xứng  k 4 điểm cách đều nhau



k 2

Tổng quát : nếu có n điểm cách đều ta



2 k n

Giải phương trình: cos 3x  cos 2x  cos x  1  0

Bài 3.



Hướng dẫn giải

f x  cos3x  cos2 x  cosx  1

Start : x  0 End : x  180 Step : 15

Kết quả

x  0  k 2 ; x  120 

2 ,x  180   3

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

f x  cos3x  cos2 x  cosx  1

Lần 2

Start : x  0 End : x  180 Step : 15

Kết quả

x  240  

2 ; x  360  2  0 , 3

Vậy

Bài 4.

 x  k    x   2   k 2  3

Giải phương trình: sin x  cos x  1  sin 2x  cos 2x  0



Hướng dẫn giải

f x  sin x  cosx  1  sin 2 x  cos 2 x Start : x  0 End : x  180

cho

x  120 

2 3 ,x  135  3 4

Step : 15

Lần 2

f x  sin x  cosx  1  sin 2 x  cos 2 x

Start : x  180 End : x  360

cho

x  240  

 2 ,x  315   3 4

Step : 15

Kết quả

   x    k  4  2   x    k 2 3 

1. P  sin4 x  sin2 x cos2 x

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

Nhập P  sin4 x  sin2 x cos2 x  sin2 x rồi Calc : x  60  P  0 ; Calc : x  45; P  0... vậy đáp án là A

A.sin2 x

B.cos2 x

C.cos2 x

D.sin 2 x

2. P  sin4 x  cos4 x  cos2 x Nhập P  sin4 x  cos4 x  cos2 x - đáp án Ví dụ sin 4 x  cos4 x  cos2 x  sin2 x : Calc : x  60  P  0 ;Calc : x  15  P  0 … vậy đáp án là A

A.sin2 x

B.cos2 x

C.cos2 x

D.sin 2 x

3. P  sin2 xtan x  cos2 x.cot x  2 sin x cos x A.

2 sin 2 x

B.

2 tan x

C.

2 cos2 x

D.

2 cot x

4. P  cos4 x  sin4 x  2 sin2 x A.1

B.2

C.3

D.4

C.1

D.2

C.1

D. 1.5

C. 2

D.2

C.3

D.2

C.cosx

D.

5. P  cos4 x 2 cos2 x  3  sin4 x 2 sin2 x  3 A.1

B. 2

6. P  sin6 x  cos6 x  2 sin 4 x  cos4 x  sin2 x B.  0.5

A.0

7. P  sinx

A.

1 2

1 1  1  cosx 1  cosx

1

B.

2

8. P  sin4 x  4 cos2 x  cos4 x  4 sin2 x A.

3 2

9. P 

2 2

B.

2 sin 2 x  2 cos2 x  1 cosx  sinx  cos3x  sin 3 x

A.sinx

B.

=

2 3 3

1 sin x

1 cosx

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

  10. P  1  sin x  1  sin x 0  x    4  1  cosx  cos2 x  cos3x 2cos2 x  cosx  1

11. P 

A.sin 2 x

A.tan2x

B.cot 2 x

C.cos2 x

D.sin 2 x

B.8 cos x

C.8 sin 2 x

D.8 sin x

C.5

D.6

cos3 x  cos3x sin 3 x  sin 3 x  cosx sin x

A.3

B.4

15. Cho sin x  A. 2

D.2 sin x

sin2 3x cos2 3 x  sin 2 x cos2 x

A.8 cos 2 x

14. P 

C.cos2 x

sin 4 x  sin 2 x  cos 4 x tan 2 x  1

12. P 

13. P 

B.2 cos x



2 1 sin x với 0  x  90 0 vậy P  cot x  2 1  cosx



2 1

B. 2





2 1

C.



2 1

D. 2 1  2



16. Cho cot x  3 vậy cosx  ?; sinx  ? theo thứ tự A.

3 10

;

1 10

B. 

3 10

;

1 10

C.

1 10

;

3 10

D. 

1 10

;

3 10

17. Biết tan x  2 cot x  3 vậy tan x  ?;cot x ? theo thứ tự A. -1 ; -1 hoặc 4; -0.5

B. -1; -1 hoặc 2; 0.5

C. 1; 1 hoặc 4; 0.5

D. 1;1 hoặc 2; 0.5

Câu 18. Biết sin x  cosx  m vậy 1. Sinx cos x ? A.

m 2

m2 2

C.

m2  1 2

D.

1  m2 2

B. m2  2

C.

1  2m2  m4 2

D.

1  m4  2m2 2

B.

2. Sin4 x  cos4 x  ? A. m4

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

3. tan2 x  cot 2 x  ? A.

4  2 m2 m2

B.

4  2 m4 m4

C.

2 m4  2 m2  1

m

2

 1

2

D.

2 m4  2m2  1

m

2

 1

2

  19. Biểu thức A  cos  k bằng :  6 

A.

3 ,khi : k  2n 2

B. 

3 ,khi : k  2n  1 2

C. cả A và B đều

đúng 20. Tập xác định của hàm số y 

1 2 sinx  3

là

  A. D  R\  2 k ; k  z  3 

  B. D  R\  2 k ; k  z  6 

  5  C. D  R\  2 k ,  2 k ; k  z  6  6

  2  D. D  R\  2 k ,  2 k ; k  z  3  3

21. y 

1 có tập xác định là 4  5 cos x  2 sin2 x

 5  A. D  R\  2 k ; k  z  6 

   B. D  R\  2 k ; k  z  4 

   C. D  R\  2 k ; k  z  6 

   D. D  R\  2 k ; k  z  3 

22. Tập xác định của hàm số a. y 

1 cot x  3

   A. D  R\  k ; k  z  6 

   B. D  R\  k ; k ; k  z  6 

   C. D  R\  k ;  k ; k  z  3  2

 2   D. D  R\  k ;  k ; k  z  3  2

b. y  tan 2 x  cot 2 x

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

 k  A. D  R\ ; k  z  4 

 k  B . D  R\ ; k  z  2 

C. D  R\ k ; k  z

 k  D. D  R\  k ; k  z  4 

  c. y  cot 2 x   3   k  A. D  R\  ; k  z  6  2

  B. D  R\  k ; k  z  6 

  5 C. D  R\  k ; k  z  6 

D. Kết quả khác

d. y  tan2 x  1   A. D  R\  k ; k  z  2 

B. D  R\ k; k  z

C. D  R

D. Kết quả khác

e. y 

1  cosx sin2 x

  A. D  R\  k 2 ; k  z  2 

B. D  R

C. D  R\ k; k  z

D. D  R\  k 2 ; k  z

23. Chu kỳ của hàm số 1. y  cos2x A. 4

B. 2

C. 

D.

 2

B. 

C.

 2

D.

 4

B. 

C.

2 3

D.

 3

x x 2. y  cot  4tan 2 2

A. 4 3. y  sin 2 x  3cos3x A. 2

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

24. Max – Min 1. y  sin x 1 có GTLN – GTNN theo thứ thự là A. 1;1

B. 1;2

C. 0 ;2

D. 0 ;1

B. 2 ; 0

C. 3 ; -1

D. 2; -3

B. 6 ; 1

C. 4; -2

D. 2; -2

B. 2 ; -3

C. 3; -5

D. 1; -5

C. 3 2  1; 1

D. 3 2  1; 1

B. 3 ; 1

C. 4 ; 0

D.2 ; 1

B. 8; 3

C. 7 ; 5

D. 8; 4

2. y  3 cos 2 x  2 A. 5 ;1   7  3. y  2 sin x  4 ; x   ;   6 6 

A. 5; 2   5  4. y  4 cos 2 x  1; x   ;   12 8 

A. 3; -1 5. y  3 1  sin x  1 A. 2 ; 0

B.

2  1; 0

6. y  2  2 sin x  cos2 x A. 5; -1 7. y  5  2 sin x  sin2 x A. 5 ; 1 8. y  sinx  cos2 x  A.

1 2

1 ;0 2

B.

3 3 ; 2 4

C.

1 1 ; 2 2

D. 2; 

1 2

9. y  2 sin2 x  4 sin xcos x  5 A. 2 5 1 và 1

B. 2 5  1 và

5 C. 2 5  1 và 1 D. 2 5  1 và

5

10. y  a.cos4 x  b.sin4 x; 0  a  b A. b và 0 11. y 

B. a và 0

C. b và

ab ab

D. b và

ab ab

3 sinx 2  cosx

A. 1 và  3

B.

3 và 1

C.

3 và  3

D.

2 và -

2

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

12. y 

A.

1 3

13. y 

Nguyễn Tiến Chinh

   cosx ; x   ;   2 2  2  sinx

và 

1 3

B.

3 và 

1 3

C.

1 3

và 0

D.

3 và

2 11

D.

5 1 và 2 2

1 3

cosx  2 sin x  3 ; x   ;  2 cos x  sin x  4

A. 3 và 0

B. 1 và -1

14. y  sin

C. 2 và

2x 4x  cos 1 2 1 x 1  x2

A. 3 và 1

17 và 2 sin2 1  sin 1  2 D. 4 và 8

B. 2 và -1

C.

B. T  R

 k C. T  R\    4 2 

D. Kết quả

B. T  1; 1

C. T   ; 

D. T  R

B. T  2 ; 2

C. T  R\k

D. Kết quả

B. T  2 ; 2

C. T  R

D. T  1; 1

B. T  1; 1

C. T  R

D.

2 sin2 1  sin1 2 15. Tập giá trị a. y  tan2x A. T  1;1 khác b. y  tan3x  cot 3x A. T  2; 2 c. y  cot 2x A. T  R khác d. y  sin x  cosx A. T   2 ; 2    e. y  sin x  cosx A. T   0 ; 1 T   2 ; 2   

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

25. Hàm số y  1  sin2 x A. Là hàm số lẻ

B. Hàm ko tuần hoàn

C. Hàm số chẵn

D. Hàm không chẵn, không lẻ

26. Hàm số nào sau đây chẵn A. y  sin 2 x

B. y  x.cosx

C. y  cot x.cosx

B. y  x 2 .sin x

C. y 

x cosx

D.

B. y  2cos2x

C. y 

x sin x

D.

B. y  cot 3x

C. y 

sin x  1 cosx

D.

D. y 

tan x sinx

27. Hàm số nào sau đây chẵn A. y  sin x

y  x  sin x 28. Hàm số nào sau đây lẻ 1 A. y  sinxcos2x 2

y  1  tanx 29. Hàm số nào sau đây lẻ A. y  tan x

y  sin x  cosx 30. Khẳng định nào sau đây là đúng A. Hàm số y  cosx đồng biến trên  0;

B. Hàm số y  sin x đồng biến trên

 0 ;   

  C. Hàm số y  tan x nghịch biến trên 0 ;   2 

D. Hàm số y  cot x nghịch biến trên

0 ; 31. Khẳng định nào sau đây là đúng    A. Hàm số y  tan x luôn đồng biến  ;   2 2 

D. Hàm số y  tan x là hàm số chẵn

   trên D  R\  k  2 

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

C. Hàm số y  tan x có đồ thị đối xứng qua O D. Hàm số y  tan x luôn nghịch biến      ;   2 2 

32. Max – Min 1. y   2 sinx có giá trị lớn nhất là A.

B. 1

2

C. 3

D. 0

C. 1

D. ko xác định

2. y  3 cos x  1 có giá trị lớn nhất là A. -2 3. y  A.

B. 4 1 có giá trị nhỏ nhất là cosx  1

1 2

B. 1

C.

1

D. Không xác

2

định 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  A. Không xác định

2 1  tan2 x

B. 1

C. 2

D. 1,5

5. Khẳng định nào sau đây là đúng y  sin 2 x  2 A. Có GTLN là 2

B. Có GTLN là 3

C. Có giá trị nhỏ nhất là 1

D. Có giá trị nhỏ nhất là 0

   6. Khẳng định nào sau đây là đúng y  sin x trên  ;   2 2 

A. Không có giá trị lớn nhất

B. Có giá trị nhỏ nhất là -1

C. Giá trị lớn nhất là 1

D. Có giá trị nhỏ nhất là 1

7. Giá trị nhỏ nhất của y  cosx trên ; là A. 

B. 1

C. 0

D. Không có

   8. Giá trị lớn nhất của y  tan x trên  ;  là  2 2 

A.

 2

B. 0

C.

3

D. Không xác định

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123 Thủ thuật lượng giác

Nguyễn Tiến Chinh

33. Nhận dạng tam giác 1. sin A  sin B  sinC  Sin2 A  sin 2 B  sin 2C  0 thì tam giác A. Vuông

B. cân

C. đều

D. vuông cân

2. cosA  cos B  cosC  cos2 A  cos2 B  cos 2C  0 thì tam giác A. Vuông

B. Cân

C. đều

D. vuông cân

3. tan A  tan B  tanC  tan 2 A  tan 2 B  tan 2C  0 thì tam giác A. Vuông

B. Cân

C. Đều

D. Vuông cân

4. cot A  cot B  cot C  cot 2 A  cot 2 B  cot 2C  0 thì tam giác A. Vuông

B. Cân C. Đều D. Vuông cân

15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918

https://sites.google.com/site/thuvientrungtam123