Université de Tunis Institut Préparatoire aux Etudes d'Ingénieurs de Tunis Année Universitaire 2011-2012

Sciences et Techniques de l'Ingénieur Durée 2heures - Documents Non Autorisés

Les calculatrices non programmables sont autorisées NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté de la rédaction (mettre l’essentiel de la démarche de résolution). Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Robot de Palettisation de Bidons A

Présentation du système

Le Kuka KR 180-2 PA est un robot à 6 axes destiné au opérations de palettisation. Sa rapidité, sa souplesse et ses capacités à soulever des charges importantes font de lui un des systèmes les plus rentables dans le domaine de la palettisation. Le robot que nous allons étudier (Fig. 1) est exploité dans une chaîne automatique de palettisation de bidon.

Figure 1 – Le Kuka KR 180-2 PA

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B

ASSERVISSEMENT EN POSITION DE L’AXE A1

B.1

Objectif

On s’intéresse à l’asservissement en position de l’axe A1. On souhaite s’assurer que la chaîne fonctionnelle d’asservissement permet de respecter les performances souhaitées en terme de précision, rapidité et stabilité tout en restant peu sensible aux variations de l’inertie du robot suivant la charge transportée.

B.2

Données

L’axe A1 est mu par un servomoteur qui présente l’avantage de posséder une très faible inertie. Le comportement électromécanique de ce type de moteur est donné par les équations suivantes :

𝑢(𝑡) 𝑒(𝑡) d𝜔𝑚 (𝑡) 𝐽𝑒 d𝑡 𝑐𝑚 (𝑡)

= 𝑅𝑖(𝑡) + 𝑒(𝑡) = 𝑘𝑒 𝜔𝑚 (𝑡)

(1) (2)

= 𝑐𝑚 (𝑡)

(3)

= 𝑘𝑡 𝑖(𝑡)

(4)

8

α3

3

7

O7

O3

6

O9

z4

Avec 𝑢(𝑡) la tension appliquée aux bornes du moteur, 𝑖(𝑡) le courant d’induit, 𝑒(𝑡) la force contre électromotrice, 𝜔𝑚 (𝑡) la vitesse de rotation du moteur, 𝑐𝑚 (𝑡) le couple délivré par le moteur et 𝐽𝑒 l’inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur.

x2 O8

5 x4

4 O10

O4

3

x3

z1

2 Bidon

Cartons

x1 0: 1: 2: 3: 4: 5:

Embase fixe Bâti de rotation Epaule Bras Poignée Préhenseur

z2

α2

O6

O2

1 x1

z1

0 O1

Configuration d’étude

Le réducteur retenu pour cette motorisation est un réducteur Harmonic-Drive. Les caractéristiques de l’ensemble moteur-réducteur sont les suivantes : – – – – –

𝑘𝑒 = 0, 2𝑉 /(𝑟𝑎𝑑/𝑠) : constante de force électromotrice ; 𝑘𝑡 = 0, 2𝑁 𝑚/𝐴 : constante de couple ; 𝑅 = 2Ω : résistance de l’induit ; 𝐽𝑚 = 4.10−3 𝑘𝑔.𝑚2 : inertie de l’ensemble axe moteur et réducteur sur l’arbre moteur ; 𝑁 = 200 : rapport de transmission.

L’inertie 𝐽1 du robot autour de l’axe (𝑂1 , ⃗𝑧1 ) dépend de la configuration du robot et de la masse transportée. Elle est telle que : – 𝐽1 mini = 50𝑘𝑔.𝑚2 lorsque le déplacement a lieu à vide ; – 𝐽1 maxi = 200𝑘𝑔.𝑚2 lorsque la masse transportée est de 50𝑑𝑎𝑁 . L’inertie équivalente 𝐽𝑒 ramenée sur l’arbre moteur est alors égale à : – 𝐽𝑒 mini = 5, 25.10−3 𝑘𝑔.𝑚2 lorsque 𝐽1 = 𝐽1 mini, – 𝐽𝑒 maxi = 9.10−3 𝑘𝑔.𝑚2 lorsque 𝐽1 = 𝐽1 maxi. La chaîne fonctionnelle de l’asservissement de l’axe A1 est représentée Figure 2. La boucle interne réalise une correction de vitesse à partir de la tension 𝑢𝑔 (𝑡) fournie par une génératrice tachymétrique de gain 𝐾𝑔 montée en prise directe sur le moteur. 𝐺 est le gain réglable de l’amplificateur de puissance.

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La boucle externe réalise la correction de position à partir de la tension 𝑢𝑟 (𝑡) fournie par le capteur de position de gain 𝐾𝑟 monté en prise directe sur l’arbre de sortie du réducteur. La fonction de transfert du correcteur est notée 𝐶(𝑝). 𝑈𝑒 (𝑝)

+ −

𝜀𝑝 (𝑝)

𝐶(𝑝)

𝑈𝑣 (𝑝)

+ −

𝜀𝑣 (𝑝)

𝑈 (𝑝) 𝐺

Moteur

Ω𝑚 (𝑝)

𝛼(𝑝) Réducteur

𝑈𝑔 (𝑝) 𝑈𝑟 (𝑝)

𝐾𝑔 𝐾𝑟 Figure 2 – Asservissement en vitesse et position de l’axe A1

B.3

Fonction de transfert du moteur

Déterminer les transformées de Laplace des équations 1 à 4 du moteur en considérant nulles les conditions initiales. B.3.2: Compléter le schéma bloc du document réponse par les transmittances manquantes. Ω(𝑝) B.3.3: En déduire la fonction de transfert 𝑀 (𝑝) = du moteur que l’on exprimera sous la 𝑈 (𝑝) forme canonique d’un système du premier ordre de gain 𝐾𝑚 et de constante de temps 𝜏𝑚 . Donner les expressions littérales de 𝐾𝑚 et 𝜏𝑚 et préciser leurs unités. B.3.4: Calculer, suivant l’inertie 𝐽𝑒 mini ou maxi du robot, les caractéristiques suivantes du moteur. B.3.1:

1. constante de temps 𝜏𝑚 (mini et maxi) ; 2. temps de réponse à 5 % (mini et maxi) ; 3. bande passante à -3 dB (mini et maxi) ; Conclure quant à l’influence de l’inertie du robot sur les performances du moteur.

B.4

Étude de la boucle de vitesse

La tension 𝑢𝑔 (𝑡) en sortie de la génératrice tachymétrique varie de 0 à 12𝑉 quand la vitesse de rotation du moteur varie de 0 à 3500𝑡𝑟.𝑚𝑖𝑛−1 . B.4.1: En déduire la valeur du gain 𝐾𝑔 de la génératrice tachymétrique (attention aux unités). Ω𝑚 (𝑝) B.4.2: Déterminer, en fonction notamment de 𝐾𝑚 et 𝜏𝑚 , la fonction de transfert 𝐻(𝑝) = que 𝑈𝑣 (𝑝) ′ l’on exprimera sous la forme canonique d’un système du premier ordre de gain 𝐾𝑚 et de constante ′ ′ ′ de temps 𝜏𝑚 . Donner les expressions littérales de 𝐾𝑚 et 𝜏𝑚 et préciser leurs unités. 1 B.4.3: Montrer que, si 𝐺 est très grand, on peut admettre que 𝐻(𝑝) ≈ 𝐾𝑔

B.5

Étude de la boucle de position

La boucle de position est représentée Figure 3 ci-dessous. On admet que : Ω𝑚 (𝑝) 30 – 𝐻(𝑝) = = ; 𝑈𝑣 (𝑝) 1 + 5.10−3 𝑝 – 𝐾𝑟 = 4𝑉 /𝑟𝑑 : gain du capteur de position ; – 𝐾𝑎 : gain de l’adaptateur du signal de consigne 𝛼𝑒 (𝑡) ; – le signal de consigne 𝛼𝑒 (𝑡) est exprimé en degré ; 3/4

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– le correcteur 𝐶(𝑝) est à action proportionnelle de gain réglable 𝐾𝑐 . 𝛼𝑒 (𝑝)

𝐾𝑎

𝑈𝑒 (𝑝)

+ −

𝜀𝑝 (𝑝)

𝐶(𝑝)

𝑈𝑣 (𝑝)

𝐻(𝑝)

Ω𝑚 (𝑝)

Réducteur

𝛼𝑟 (𝑝)

180 𝜋

𝛼(𝑝)

𝑈𝑟 (𝑝) 𝐾𝑟 Figure 3 – Boucle de position 𝛼𝑟 (𝑝) du réducteur. Ω𝑚 (𝑝) ′ ′ , la fonction de transfert en boucle ouverte et 𝜏𝑚 B.5.2: Déterminer, en fonction notamment de 𝐾𝑚 𝑇 (𝑝) que l’on exprimera sous forme canonique. En déduire l’expression du gain de boucle, noté 𝐾𝐵𝑂 . B.5.3: Déterminer la pulsation 𝜔1 permettant d’avoir un argument Arg(𝑇 (𝑗𝜔1 )) = −135˚. B.5.4: On souhaite avoir une condition sur le gain de la FTBO : ∣𝑇 (𝑗𝜔1 )∣ = 1. B.5.1:

Déterminer la fonction de transfert 𝑅(𝑝) =

1. Déterminer la valeur de 𝐾𝐵𝑂 permettant de satisfaire cette condition. 2. En déduire la valeur du gain 𝐾𝑐 du correcteur. Pour Améliorer d’avantage la rapidité du système au niveau de l’axe A1 nous nous proposons de modifier la valeur du gain 𝐾𝑐 . 𝛼(𝑝) . Mettre cette FTBF B.5.5: Déterminer la Fonction de Transfert en Boule Fermée : 𝐹 (𝑝) = 𝛼𝑒 (𝑝) sous sa forme canonique et en déduire la pulsation propre non amortie 𝜔0 , le coefficient d’amortissement 𝜉 et le gain statique 𝐾𝐵𝐹 . B.5.6: calculer 𝐾𝑐 permettant d’avoir le système le plus rapide que possible. En déduire le dépassement et le temps de pic. Moteur M1 M2 M3 M4

Axe Entraîne N maxi (𝑡𝑟.𝑚𝑖𝑛−1 ) A1 1 3500 A2 2 3500 A3 3 3500 A4 5 3500

Puissance (𝑘𝑊 ) Réducteur 4,5 200 3,5 200 2,5 200 1,5 100

Frein (𝑁 𝑚) 5 5 5 5

Table 1 – Caractéristiques des moteurs

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