PEMBAHASAN SOAL UN 2013 MATERI INTEGRAL Integral adalah salah satu materi di SMA yang selalu muncul di Ujian Nasional (UN), tidak hanya satu atau dua soal jumlah soal, integral bahkan muncul lebih dari 4 soal. Berikut adalah pembahasan soalsoal integral yang pernah muncul di Ujian Nasional tahun 2013. SOAL UN 2013 Paket I Materi Integral 2
31. Hasil dari
3( x 1)( x 6) dx = …. 0
A. -58
B. -56
C. -28
D. -16
E. -14
Jawab : 2
2
3( x 1)( x 6)dx 3( x 0
0
2
2
6 x x 6)dx 3( x 2 5 x 6)dx 0
3 x3 15 x 2 15(2) 2 3 x 2 15 x 18dx 18 x (2)3 18(2) 0 2 2 3 0 0 8 30 36 58 2
2
Kunci Jawaban : A. -58
sin x dx =…. 2
32. Nilai dari
3
0
A.
1 3
B.
1 2
C. 0
D.
1 3
E.
2 3
Jawab:
2
2
2
2
sin xdx sin x(sin x)dx sin x(1 cos x)dx (sin x sin x cos 3
0
2
0
Untuk
2
0
0
2
x)dx
Kemudian substitusikan
pada persamaan menjadi :
Kembalikan lagi nilai
pada persamaan:
cos3 x 2 cos3 x 2 2 0 (sin x sin x cos x)dx cos x 3 cos x 3 0 0 2
3 cos (cos 0)3 0 1 2 3 1 2 cos cos 0 0 1 3 3 3 2 3 3 3
Kunci Jawaban : E.
33. Hasil dari
A.
2 3
2x
x2 1
dx ....
1 2 x 1 C 3
B.
2 D. 3 x 1 C
1 2 x 1 C 2
2 E. 6 x 1 C
Jawab :
u x 2 1 du 2 xdx
2x x2 1
dx =
2 x du . = u 2x
du dx 2x
du = u
Kita substitusi kembali u x 2 1 2 Kunci Jawaban : C. 2 x 1 C
u
1 2
1 2
1 du = u c = 2u 2 C 1 2
1
2 = 2( x 2 1) 2 C = 2 x 1 C
2 C. 2 x 1 C
34. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus… Y
x 2 x dx 2
A. L =
2
1
x 2 x dx 2
2
B. L =
1
x 2 x dx 2
2
C. L =
1
X
x 2 x dx 2
D. L =
2
1
x 2 x dx 1
2
E. L =
2
Jawab : b
Rumus : L =
y
1
y 2 dx
a
Langkah I cari titik potong antara kedua kurva :
x2 x 2
y1 y2 Pembuat nol :
x2 x 2 0
x 2( x 1) 0
* ( x 1) 0 x 1 * ( x 2) 0 x 2
Maka, titik potong nya adalah -1 dan 2. Langkah II adalah menentukan fungsi mana yang berada diatas dengan cara mencek ditiap interval pada titik potong. -1
2
Misal kita ambil nilai 0 diantara interval -1 dan 2, kemudian cek pada tiap fungsi :
x0
y1 x 2
y2 x 2
y0
y2
Dapat kita lihat y x 2 memiliki nilai yang lebih besar dari y x 2 , maka y x 2 adalah fungsi yang berada diatas.
x 2 x dx 2
Jadi luas integral pada gambar yang diarsir adalah :
2
1
x 2 x dx 2
Kunci Jawaban : C. L =
2
1
35. Daerah yang dibatasi oleh y x 2 1 dan y x 3 diputar 360 0 mengelilingi sumbu X. Volume yang terjadi adalah ….
3 5
B. 36 satuan volume
2 5
D. 23 satuan volume
A. 36 satuan volume D. 23 satuan volume
1 5
3 5
C. 32 satuan volume
1 5
Jawab : b
2 2 Rumus : V = y1 y2 dx
a
Langkah I Tentukan titik potong antara dua fungsi :
x2 1 x 3 Pembuat Nol :
x2 x 2 0
( x 2)( x 1) 0
*( x 2) 0 x 2 *( x 1) 0 x 1
Langkah II menentukan fungsi yang berada diatas dengan cara mencek ditiap interval pada titik potong. -1
2
Kita ambil nilai 0 diantara interval -1 dan 2, kemudian cek pada tiap fungsi :
* y1 x 2 1 y 0 1 1 * y2 x 3 y 0 3 3
Dapat
kita
2
lihat
y x3
bahwa
memiliki
nilai
yang
lebih
2 2 V x 3 x 2 1 dx 1 2
V x 2 6 x 9 x 4 2 x 2 1 dx 1 2
V x 2 6 x 9 x 4 2 x 2 1 dx 1 2
V x 2 6 x x 4 8dx 1
2
x 3 6 ( x) 2 x 5 V 8x 2 5 3 1 5 2 3 13 2 (1)5 2 2 V 3 2 8(2) 3 1 8 1 3 5 5 3
8 32 1 1 V 12 16 3 8 5 5 3 3 8 32 1 1 V 28 5 5 3 5 3 40 420 96 5 75 3 V 15 15 284 67 V 15 3 351 6 2 V V 23 V 23 satuan volume 15 15 5
2 5
Kunci Jawaban : D. 23 satuan volume
besar,maka
:
Soal Pembahasan Integral UN 2013 paket II 4
32. Nilai
cos xdx = …. 2
0
A.
8
1 4
B.
8
1 2
C.
8
1 4
D.
4
1 2
E.
4
1 2
Jawab:
4
4
0
0
4 1 1 1 1 cos 2 x dx cos 2 x dx 2 2 2 0
2 cos xdx
Untuk Substitusi
sehingga :
4 1 1 1 x sin 2 x 4 2 cos xdx 1 cos 2 x dx 0 0 2 0 2 2 cos 2 x dx 2 4 0 4
4
sin sin 2 4 sin 2.0 0 4 2 2 2 4 4 8 4
Kunci Jawaban : A.
33. Hasil dari
8
1 4
3x 1
A.
1 3x 2 2 x 4 2
D.
1 3x 2 2 x 4 12
3 2
C 3 2
1 0 8 4
C
3x 2 2 x 4 dx =….
B.
1 3x 2 2 x 4 3
E.
1 3x 2 2 x 4 18
3 2
C 3 2
C
C.
1 3x 2 2 x 4 6
3 2
C
Jawab : Misalkan : u 3x 2 2 x 4 ; du 6 x 2 dx ; du 2(3x 1)dx ;
du dx 2(3x 1)
Kita substitusikan u 3x 2 2 x 4 pada persamaan :
3x 1
3x 2 x 4 dx 2
3 1 du 1 1 1u 2 2 c (3x 1) u ( u )du (u ) du 2 23 2 2 (3x 1) 2
3 2 1 3 u 2 c (u) 2 c . 6 3
Kembalikan lagi nilai u 3x 2 2 x 4 pada persamaan :
Kunci Jawaban : B.
1 3x 2 2 x 4 3
3
2
1 3x 2 2 x 4 3
3
2
c
c
34. Luas daerah yang diarsir seperti pada gambar berikut dapat dinyatakan dengan rumus…. 3
A. L
x
2
3
x 6 dx
B. L
2
x
2
x 6 dx
Y
2
x
2
x 6 dx
2
3
x
x 6 dx
3
D. L
2
E. L
2
2
3
C. L
x
x 6 dx
2
X
Jawab : b
Rumus : L
y
1
y2 dx
a
Langkah I tentukan titik potong antara dua kurva :
x2 x 6
x2 x 6 0
Maka titik potongnya adalah : x 3 dan x 2
x 3 x 2 0
Langkah II menentukan mana fungsi yang berada diatas, ambil nilai diantara interval x 3 dan x 2 ,misal ambil nilai x 0 .
* y1 x 2 y 0 * y2 x 6 y 6 Dapat kita lihat 2 x 3 fungsi x 6 x 2 . Sehingga kita dapat menentukan rumusnya yaitu : 3
L
x 6 x 2
2
3
Kunci jawaban : B. L
x
2
x 6 dx
2
35. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y 4 x 2 dan garis y x 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 adalah …. A. 12 satuan volume B.
D.
72 satuan volume 5
92 satuan volume 5
E.
C. 18 satuan volume
108 satuan volume 5
Jawab : b
2 2 Rumus : V y1 y2 dx
a
Langkah I tentukan titik potong y1 y2 :
x 2 4 x2
x 2 x 1 0
x2 x 2 0
Kita peroleh x 1 dan x 2 Langkah II menentukan kurva yang berada diatas, -2
1
Misal kita ambil x 0 pada interval -2 dan 1:
* y1 x 2 y1 0 2 y1 2 * y2 4 x 2 y2 4 0 y2 4
Dapat kita lihat pada 2 x 1 , fungsi 4 x 2 x 2 . Sehingga kita dapat menentukan volume : 1
x 2 dx
V 4 x2 2 1
2
2
V 16 8 x 2 x 4 x 2 4 x 4 dx 2 1
V 16 8 x 2 x 4 x 2 4 x 4 dx 2
1
V 12 9 x 2 x 4 4 x)dx 2
1
9 x3 x5 4 x 2 V 12 x 3 5 2 2
(1)5 (2)5 V 12 1 3(1)3 2(1)2 12(2) 3(2)3 2(2) 2 5 5 1 32 V 12 3 2 24 24 8 5 5 1 32 1 32 108 V 7 8 7 8 satuan volume 5 5 5 5 5 Kunci Jawaban : E.
108 satuan volume 5
SOAL UN 2013 PAKET III 2
32. Nilai
cos xdx .... 2
0
A.
B.
3 2
C.
2
D.
3 4
E.
4
Jawab :
cos xdx 2
Pengintegralan
lihat pembahasan soal UN paket II no.32.
0 sin 2 0 0 0 0
2 sin 2 x sin 2 x 2 2 0 cos xdx 2 4 2 4 0 Kunci Jawaban : E. 4
2
2
33. Hasil dari
4x 8 x 4x 5 2
2 A. 4 x 4 x 5 c
D.
3 2 x 4x 5 c 2
2
4
4
4
dx =….
2 B. 2 x 4 x 5 c
C.
3 2 x 4x 5 c 2
2 E. 4 x 4 x 5 c
Jawab:
4x 8 x2 4x 5
dx
Kita misalkan u x 2 4 x 8 du (2 x 4)dx
4x 8 x 4x 5 2
2 2x 4 u
du dx 2x 4
dx , substitusi nilai u x 2 4 x 5 dan dx 1
du 2x 4
1 du 2 (u ) 2 . du 2 u 2 du 2 c 4(u )1 2 c 4 x 2 4 x 5 c 1 2x 4 u 2
4
4
Kunci Jawaban : A. 4 x 2 4 x 5 c
34. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dapat dinyatakan dengan rumus=…. Y A.
B.
C.
D. X
E.
Jawab : b
Rumus : L
y
1
y2 dx
a
Langkah I Menentukan titik potong antara dua fungsi:
y1 y2
x2 4x x2
2x2 4 x 0
2x x 2 0 x 0 x 2
Langkah II menentukan fungsi mana yang berada diatas diantara interval x 0 dan x 2 , misal ambil nilai x 1 :
x 1
y x2
y 4x x2
y 12 1
y 4(1) (12 ) 3
Dapat kita lihat pada interval 0 x 2 fungsi 4x x 2 x 2 , sehingga luas daerah grafik tersebut dapat 2
2 2 dinyatakan dengan : 4x x x dx 0
2
2 2 Kunci Jawaban : A. L 4 x x x dx 0
35. Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva y 3x dan y x 2 yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 adalah….
A.
62 satuan volume 5
B.
63 satuan volume 3
D.
98 satuan volume 3
E.
262 satuan volume 5
C.
162 satuan volume 5
b
Jawab :
2 2 Rumus : V y1 y2 dx
a
Langkah I menentukan titik potong antara dua kurva:
x 2 3x x 2 3x 0 x( x 3) 0, maka titik potongnya x 0 dan x 3 Langkah II: menentukan fungsi yang berada diatas diantara interval x 0 dan x 3 , misal ambil nilai x 1 , maka :
Dapat kita lihat pada interval 0 x 3 fungsi 3x x 2 , maka kita dapat menentukan volume benda putar tersebut : 3
2 2 V 3x x 2 dx 0
V 9 x x dx 2
4
0
35 05 3 3 V 3 3 3 0 5 3 162 V satuan volume 5 Kunci Jawaban : C.
3
3
162 satuan volume 5
243 V 81 5
9 x3 x5 V 5 0 3 405 243 V 5
SOAL UN 2013 PAKET IV 3
32.Nilai dari
sin 5x sin x dx .... 0
A.
3 5
B.
1 5
C. 0
D.
1 5
E.
3 5
Jawab :
3
1 1 1 0 sin 5x sin x dx 5 cos 5x cos x 5 cos 5 3 cos 3 5 cos 5 0 cos 0 0 3
1 1 1 1 1 1 1 1 5 2 10 6 3 5 . 2 2 5 .1 1 10 2 5 1 10 10 5 Kunci Jawaban : E.
33. Hasil dari
A.
3 5
( x 1) x2 2 x
dx ....
1 2 x 2x c 2
B.
2 D. 2 x x 2 x c
x2 2x c
2 C. 2 x 2 x c
2 E. 4 x x 2 x c
Jawab :
( x 1) x 2x 2
misalkan u x 2 2 x du (2 x 2)dx
dx
Substitusikan u x 2 2 x dan dx
( x 1) x2 2 x
dx
du dx 2( x 1)
du ke persamaan : 2 x 1
12 1 du 1 1 1 u . du (u )1 2 du c u 2 c u c 2 2 1 2 u 2 ( x 1) 2 u
( x 1)
Kembalikan nilai u x 2 2 x ke persamaan, sehingga :
u c x2 2x c Kunci Jawaban : B.
x2 2x c
34. Luas daerah yang diarsir seperti tampak pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus….
A.
B.
C.
D. E.
Jawab: b
Rumus : L
y
1
y2 dx
a
Langkah I menentukan titik potong antara dua kurva,
y1 y2 x 1 x 2 2 x 3 x 2 x 2 0 Kemudian faktorkan : x 2 ( x 1) 0
x 2 0 atau x 1 0 x 2 atau x 1 Dapat kita temukan titik potong antara kedua kurva : -1 dan 2. Langkah II menentukan fungsi mana yang mana berada diatas diantara interval -1 dan 2.
-1
2
Misal kita ambil nilai x 0 :
Dari kedua persamaan tersebut dapat kita tentukan pada interval 1 x 2 , kurva x 2 2 x 3 x 1 sehingga rumus integral dari daerah yang diarsir adalah : b
L y1 y2 dx a
2
L x 2 2 x 3 x 1 dx 1
1
Kunci Jawaban : A. L
x 1 x
2
2
2 x 3 dx
35. Daerah yang dibatasi kurva y x 2 dan garis x y 2 0 diputar mengelilingi sumbu X. Volume benda putar yang terjadi adalah….
2 3
B. 15 satuan volume
2 3
E. 10 satuan volume
A. 15 satuan volume D. 14 satuan volume
2 5
2 5
C. 14 satuan volume
3 5
Jawab : b
2 2 Rumus : V y1 y2 dx a
Langkah I menentukan titik potong antara kedua kurva :
x 2 2 x x 2 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2 dan x 1 Langkah II menentukan kurva yang berada diatas diantara interval -2 dan 1 : -2 Misal ambil nilai x 0 :
1
Dapat kita lihat pada interval 2 x 1 kurva 2 x x 2 , sehingga volume benda putar tersebut adalah : 1
2 2 V 2 x x 2 dx 2 1
V 4 4 x x 2 x 4 dx 2 1
V 4 4 x x 2 x 4 dx 2
1
x3 x5 V 4 x 2 x2 3 5 2 5 13 15 (2)3 2 2 2 V 4(1) 2(1 ) 4(2) 2(2) 3 5 3 5
1 1 8 32 1 1 8 32 V 4 2 8 8 2 16 3 5 3 5 3 5 3 5 8 32 33 33 1 1 105 33 V 2 16 18 3 21 3 5 5 5 3 5 5
2 72 V 14 satuan volume 5 5
2 5
Kunci Jawaban : C. 14 satuan volume
SOAL UN 2013 MATERI INTEGRAL PAKET V
32. Nilai dari
sin 2 x dx .... 0
A.
1 4
B.
1 2
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan :
,misalkan
Maka
1 1 1 0 (sin 2 x)dx 2 cos 2 x 2 cos 2 2 cos 2(0) 0 1 1 1 1 .1 .1 0 2 2 2 2
Kunci Jawaban : C. 0
33. Hasil dari
A.
2 x 3 dx 2 x2 6 x 5
1 2 x2 6 x 5 c 2
2 D. 2 2 x 6 x 5 c E.
....
B.
2x2 6x 5 c
1 2x 6x 5 2
C.
c
Pembahasan : Misalkan u 2 x 2 6 x 5 du (4 x 6)dx dx
du 2(2 x 3)
2 2 x2 6 x 5 c 3
Substitusikan u 2 x 2 6 x 5 dan dx
2 x 3 2 x2 6 x 5
dx
(2 x 3) u
du ke persamaan : 2(2 x 3)
1 1 du 1 1 u 2 2 . (u ) du c u c 2 1 2 (2 x 3) 2 2
Kembalikan nilai u 2 x 2 6 x 5 dari hasil integral tersebut :
u c 2x2 6x 5 c Kunci Jawaban : B.
2x2 6x 5 c
34. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus…. Y
A.
B.
C.
D. X E.
Pembahasan: b
Rumus : L
y
1
y2 dx
a
Menentukan titik potong antara kedua kurva y1 y2 :
x 2 4 x 3 x 3 x 2 5 x 0 x( x 5) 0 , maka kedua kurva tersebut berpotongan di x 0 dan x 5 . Sehingga rumus luas integral tersebut adalah :
5
5
5
5
0
0
0
L x 3 x 2 4 x 3 dx x 3 x 2 4 x 3dx x 2 5 x dx x 2 5 x dx 0
3
Kunci Jawaban : D. L x 2 5 x dx 1
35. Volume daerah yang dibatasi kurva y 2 x 2 dan y 4 x bila diputar mengelilingi sumbu X sejauh
3600 adalah …. A.
256 satuan volume 18
B.
320 satuan volume 18
D.
265 satuan volume 15
E.
320 satuan volume 15
C.
256 satuan volume 15
Pembahasan : b
2 2 Rumus : V y1 y2 dx
a
Langkah I adalah menentukan titik potong antara kedua kurva :
y1 y2 2 x 2 4 x 2 x 2 4 x 0 2 x x 2 0 Jadi titik potongnya adalah x 0 dan x 2 Langkah II menentukan kurva mana yang berada diatas diantara interval 0 dan 2, misal ambil nilai x 1 : Dari perhitungan tersebut dapat kita lihat bahwa pada interval , kurva
.
Jadi, rumus volume benda putar tersebut adalah : 2
2 2 16 x3 4 x5 2 2 2 4 V 4x 2x dx 16 x 4 x dx 5 0 3 0 0 2
16(2)3 4(2)5 128 128 640 384 256 V 0 5 5 3 15 15 3 Kunci Jawaban : C.
256 satuan volume 15
