Nauczyciele i Matematyka plus Technologia Informacyjna

Przeszkody i przeszkody epistemologiczne w uczeniu sič matematyki Krzysztof Mostowski [email protected] Wacãaw Zawadowski [email protected] Uczenie sič matematyki obejmuje zarówno rozwój pojčciowy jednostki, jak i rozwój sprawnoĤci. Pojčcie przeszkody epistemologicznej w historii rozwoju pojčþ zarówno przyrodniczych, jak i matematycznych, odnosi sič do rozwoju pojčciowego jednostki i caãej spoãecznoĤci w pewnym okresie. Daje sič dobrze zauwaİyþ dopiero wtedy, gdy ten okres minĈã i przeszkoda zostaãa przezwycičİona. Patrzymy wtedy na takĈ przeszkodč raczej ze zdziwieniem niİ ze zrozumieniem. Pojčcie to zostaão podchwycone przez wielu autorów i jak sič wydaje zyskuje uznanie równieİ wĤród dydaktyków badajĈcych drogi rozwoju pojčþ u pojedynczych osób. To, İe rozwój osobniczy powtarza w przybliİeniu rozwój gatunku jest pewnĈ, juİ rozpowszechnionĈ ogólnĈ zasadĈ, którĈ opisaã Roman Duda w pierwszym tomie Dydaktyki Matematyki w roku 1982. Moİe to byþ Įródãem inspiracji do badaę dla dydaktyki matematyki. Ale moİe teİ wieĮþ na manowce. Gdy uczymy sič jčzyka ojczystego lub jčzyka obcego, jesteĤmy zainteresowani opanowaniem wspóãczesnego jčzyka, a nie jčzyka naszych przodków. Jčzyk Mikoãaja Reya i Jana Kochanowskiego czy jčzyk Szekspira ma swój urok, ale nie zachwyca nas jako narzčdzie myĤlenia i porozumiewania sič z innymi, tu i teraz. Chcemy sič uczyþ wspóãczesnego jčzyka i jčzyk tych dalekich przodków byãby raczej przeszkodĈ niİ pomocĈ w tym dziele. Nie natrafiamy na İywĈ spoãecznoĤþ, wãadajĈcĈ jčzykiem tych wspomnianych mistrzów. Uczymy sič wãadaþ jčzykiem od tych, wĤród których wyrastamy. To dotyczy równieİ matematyki, gdy patrzymy na matematykč jak na jčzyk posãugujĈcy sič znakami wizualnymi i odpowiednimi do nich pojčciami. BiorĈc udziaã w İyciu spoãecznym, w tym chodzĈc do szkoãy, budujemy wspóãczesny system znaczeę i znaków. Prace Anny Sierpięskiej i Romana Dudy wyraĮnie wskazujĈ na poİytki, które mogĈ wynikaþ z inspiracji zaczerpničtej z teorii przeszkód epistemologicznych (czyli poznawczych) Bachelarda, ale wskazujĈ teİ ograniczenia. Spróbujemy wičc spojrzeþ na okreĤlenie przeszkody E u samego autora. Gaston Bachelard okreĤla przeszkodč E w taki sposób: „Kiedy bada sič psychologiczne uwarunkowania postčpu naukowego, dochodzi sič do przekonania, İe problem poznania naukowego naleİy definiowaþ w terminach przeszkód. I nie chodzi tu o rozwaİanie przeszkód zewnčtrznych, jak zãoİonoĤþ czy ulotnoĤþ zjawisk ani o obwinianie zmysãów czy ludzkiego umysãu: to w samym akcie poznania, w jego wnčtrzu, pojawia sič, jako pewien rodzaj funkcjonalnej koniecznoĤci, powolnoĤþ i zamčt. Tam wãaĤnie znajdujemy przyczyny stagnacji, a nawet regresu i tam odkryjemy przyczyny bezwãadu, które nazwiemy przeszkodami epistemologicznymi. PrzypominajĈc przeszãe bãčdy, odnajduje sič prawdč w prawdziwej skrusze intelektualnej. W istocie poznaje sič wbrew poznaniu, burzĈc poznanie Įle dokonane i przezwycičİajĈc to, co w samym umyĤle stanowi przeszkodč dla ducha.” 51

Dziaã Naukowy

To okreĤlenie jest trochč rozmyte i poszukujĈc odpowiednika przeszkody E w rozwoju osobniczym w odniesieniu do matematyki poİĈdane jest konkretniejsze sformuãowanie. To jest moİliwe, bo kaİdy fragment nauk przyrodniczych i równieİ matematyki ma pewnĈ podstawowĈ metaforč, która okreĤla w przybliİeniu kierunek badaę i kierunek poszukiwania dalszego rozwoju. Z drugiej strony interesuje nas, jako nauczycieli przede wszystkim rozwój osobniczy uczniów. Dla naszych rozwaİaę przyjmiemy wičc takie okreĤlenie przeszkody E: PrzeszkodĈ E nazwiemy takĈ metaforč, która w historii matematyki okreĤlaãa charakter i kierunek rozwoju pewnego fragmentu matematyki i która z biegiem czasu staãa sič wyraĮnym hamulcem dalszego rozwoju. Przyjrzyjmy sič jednej z takich przeszkód. PodstawowĈ metaforĈ dla pojčcia liczby w wieku XVII byão odniesienie liczb do dãugoĤci odcinków. Te dãugoĤci z natury rzeczy byãy dodatnie, nie mniejsze od zera, czyli nie mniejsze od „niczego”. Dzisiaj teİ mamy trudnoĤci w szkole z wyjaĤnieniem, czym sĈ liczby ujemne. Czy wobec tego moİemy stwierdziþ, İe w rozwoju osobniczym spotykamy przypadki przeszkód E opisane przez Bachelarda dla przeszkód E w rozwoju historycznym? Spotykamy, chociaİ nie wszystkie, przeszkody E wystčpujĈce w historii matematyki powtarzajĈ sič w rozwoju osobniczym. Rozwój osobniczy nie powtarza dokãadnie rozwoju historycznego. Ale rozwój historyczny moİe byþ inspiracjĈ dla poszukiwania i szukania Ĥrodków zaradczych. W tym krótkim tekĤcie zwrócimy uwagč na przeszkody wystčpujĈce na samym poczĈtku nauki o prawdopodobieęstwie. Ta nazwa w jčzyku polskim jest kalkĈ sãowa „Wahrscheinlichkeit” w jčzyku niemieckim. Obie te nazwy przywodzĈ na myĤl „podobieęstwo do prawdy”. W latach osiemdziesiĈtych zeszãego stulecia, gdy prowadziliĤmy próby wprowadzenia pierwszych elementów prawdopodobieęstwa do podrčczników dla klas 4., 5. i 6. szkoãy podstawowej dziaãanie metaforyczne tego dãugiego sãowa, bardzo nam przeszkadzaão. W dyskusjach z uczniami i nauczycielami ciĈgle wracaã trudny temat „prawdziwej kostki”, „idealnej monety” i dochodzenia do „prawdy” , wyraİonej jakimĤ uãamkiem. OczywiĤcie nie byão trudno uczniów zagadaþ, ale gdy sičgaliĤmy w dyskusjach do ich przekonaę, wychodziãy na jaw róİne przekonania i mniemania. Np. gdy do Ĥcianek kostki przykleiliĤmy 6 fotografii róİnych osób o róİnym autorytecie, przypuszczalne szanse wypadničcia wyników szacowane byãy w dyskusji róİnie. Podobny efekt opisaã Freudenthal. Pytaã uczniów (w wieku 14-15 lat) w pewnej klasie, kto ma wičksze szanse wyrzucenia szóstki w pojedynczym rzucie kostkĈ, czy nauczyciel w tej klasie czy wskazany uczeę. PrzewaİajĈcĈ odpowiedziĈ byão, İe nauczyciel. Równieİ wĤród osób dorosãych, nie matematyków, zastrzeİenia budzião „opisywanie prawdy liczbĈ”. WiĈzanie „prawdy” z czčstoĤciĈ wystčpowania przyjmowane byão jako sztuczne i trzeba byão wielu prawdziwych, tj. naprawdč przeprowadzonych prób z kostkĈ, monetĈ i dwoma kostkami, aby w koęcu przyzwyczaiþ sič do tego, İe chodzi nie o „w jakimĤ sensie prawdč”, ale po prostu o czčstoĤci. U Anglosasów nie ma tak wielkiego problemu. Sãowo „probability” nie odnosi sič do prawdy, ale wyraİa „aprobowalnoĤþ”, prawidãowoĤþ lub prawoĤþ (pamičtamy z historii: Henryk Probus, Henryk Prawy).

52

Nauczyciele i Matematyka plus Technologia Informacyjna

MieliĤmy dylemat. Czy wprowadzaþ nowe sãowo, czy iĤþ za utartym zwyczajem, chociaİ wiemy, İe bčdĈ trudnoĤci ze zrozumieniem, czy zostawiþ starĈ terminologič. Chodzião nam o rozumienie relacyjne w sensie Skempa, nie to które on nazywaã instrumentalnym (a Krygowska operatywnym). Wtedy z pomocĈ przyszedã Spãawa-Neyman i jego artykuã w WiadomoĤciach Matematycznych „PoczĈtki rachunku prawdopodobieęstwa i statystyki”. Na samym poczĈtku Spãawa-Neyman zaznacza w tym artykule, İe rachunek prawdopodobieęstwa powinien sič wãaĤciwie nazywaþ rachunkiem czčstoĤci, a jego przedmiotem jest badanie rozmaitych mechanizmów losowych. Bardzo przydatna dydaktycznie byãa teİ definicja mechanizmu losowego podana przez Jerzego Spãawč-Neymana. Mechanizm nazywa sič losowym, jeİeli (1) jego dziaãanie moİe daþ jeden z moİliwych wyników A, B, … C, i przewidzenie, który z nich sič pojawi jest teoretycznie lub praktycznie niemoİliwe oraz (2) czčstoĤci tych wyników przy powtarzanych operacjach tego mechanizmu wydajĈ sič przewidywalne. Rzuty monetĈ, kostkĈ czy wyciĈganie kul urny sĈ znanymi przykãadami prostych mechanizmów losowych. Nie podobaã sič recenzentom naszych podrčczników ten zwrot Spãawy-Neymana „wydajĈ sič przewidywalne”. Ale uparliĤmy sič. I tak w pierwszych naszych podrčcznikach w latach osiemdziesiĈtych mówiliĤmy o czčstoĤciach doĤwiadczalnych wzičtych z przeprowadzonych prób i o czčstoĤciach teoretycznych, wzičtych z pewnego modelu doĤwiadczenia losowego. Nazwč „prawdopodobieęstwo” rezerwowaliĤmy dla pewnej funkcji okreĤlonej na podzbiorach zbioru wyników i speãniajĈcej znane warunki. Podawanie odpowiedniej abstrakcyjnej definicji w szkole podstawowej nie byãoby celowe. OdkãadaliĤmy uİywanie tej nazwy na póĮniej, dla starszych klas. Dla sumy oczek z rzutu dwoma kostkami modelem teoretycznym byãa tabelka i bardzo waİne byão porównanie czčstoĤci teoretycznych obliczonych z tego modelu z doĤwiadczalnymi, nie tylko dla sum, ale równieİ dla innych operacji, np. dla róİnic, ostatniej cyfry iloczynów liczby oczek, maksimum, minimum, dla gry „Przeprawa przez rzekč” etc. To byão proste i ãatwe w próbach. Ale wymagaão odpowiedniego przygotowania nauczycieli i przygotowania ich do nowej terminologii w poczĈtkach rachunku prawdopodobieęstwa i statystyki, czyli czegoĤ, co dzisiaj za Adamem Pãockim chčtnie nazywamy krótko stochastykĈ. Na dalszych etapach szkolnej nauki nie byão sensu walczyþ z przyzwyczajeniami. Trzeba byão sič pogodziþ z nazwĈ „prawdopodobieęstwo”. Po wyjaĤnieniach na poczĈtku nauki o stochastyce nie byão z tym wičkszych kãopotów. Te kãopoty moİna powiedzieþ naleİaãy i naleİĈ dziĤ do czegoĤ, co za Freudenthalem moİemy nazwaþ fenomenologiĈ dydaktycznĈ struktur matematycznych, FDSM. Ta fenomenologia obejmuje to, co widzimy u uczĈcych sič danego fragmentu matematyki. Te przeszkody byãy spowodowane nieodpowiedniĈ metaforĈ w samym poczĈtku nauki o stochastyce. Ciekawe, İe podobne trudnoĤci „filozoficzne”, co w Polsce moİna byão zauwaİyþ w Niemczech u uczniów i studentów kierunku nauczycielskiego. Nie ma podobnych kãopotów ani w Ameryce, ani w Kanadzie, ani 53

Dziaã Naukowy

w Anglii, ani we Francji. Moİemy wičc powiedzieþ, İe byãa to przeszkoda jčzykowa. W jčzyku angielskim sãowo „Probability” niesie innĈ metaforč niİ sãowo „prawdopodobieęstwo” w jčzyku polskim, a w jčzyku niemieckim sãowo „Wahrscheinlichkeit”. Nie uİywamy sãowa „aprobowalnoĤþ”, ta forma rzeczownikowa sič nie przyjčãa. Ale przyjčãa sič forma przymiotnikowa: rozwaİamy o modele probabilistyczne i probabilistykč. Nie mówimy o modelach „prawdopodobnych” lub „prawdopodobnoĤciowych”. To sãowo byãoby juİ za dãugie, niepraktycznie dãugie. Moİe to drobiazgi, ale diabeã siedzi w szczegóãach. W komunikacji spoãecznej, a taka wystčpuje w powszechnej edukacji, sãowa same niosĈ swoje znaczenia i uãatwiajĈ albo utrudniajĈ komunikacjč. Paradoks strzelca moİe wyjaĤniþ tč sprawč ludziom, którzy juİ trochč poznali rachunek prawdopodobieęstwa. Pytamy, jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba strzaãów do pierwszego trafienia do tarczy. Dla dobrego strzelca nazwijmy go D i takiego, co dopiero poczĈtkuje, nazwijmy go İóãtodziobem į. Na ogóã ludzie mówiĈ, İe dobry strzelec odda mniej strzaãów do pierwszego trafienia i zgodnie z tym ta najbardziej prawdopodobna liczba strzaãów bčdzie dla niego mniejsza od tej dla įóãtodzioba. BãĈd. Dla obu najbardziej jest prawdopodobne, İe trafiĈ za pierwszym razem. Potwierdza to rachunek: p + (1–p)p + (1–p)2p + (1–p)3p + … za pierwszym razem p za drugim razem (1–p)p za trzecim razem (1–p)2p itd. w koęcu jest prawie pewne, İe obaj trafiĈ, jeİeli bčdĈ tak strzelaþ do koęca Ĥwiata, ale pierwszy skãadnik tej nieskoęczonej sumy jest dla obu najwičkszy. Jest oczywiĤcie równy p. I dla dobrego, i dla İóãtodzioba najbardziej jest prawdopodobny traf za pierwszym razem. Zwrot „najbardziej prawdopodobna liczba strzaãów” jest mylĈcy przez swoje skojarzenia z „prawdĈ”. Tu nie chodzi o prawdč, tylko o „czčstoĤci teoretyczne” obliczone z przyjčtego modelu. ģrednia liczba strzaãów dobrego strzelca bčdzie mniejsza niİ dla İóãtodziobapataãacha. Jest równa 1/p. Jaka jest wičc róİnica mičdzy wartoĤciĈ ĤredniĈ, a wartoĤciĈ najbardziej prawdopodobnĈ? Co jest bliİsze prawdy? Co jest „prawdĈ”? Sãowo moİe byþ przeszkodĈ. To sĈ prawdziwe kãopoty kognitywne i naleİĈ do tej freudenthalowskiej FDSM (fenomenologii dydaktycznej struktur matematycznych). WĤród przeszkód kognitywnych Roman Duda wymienia przeszkody notacyjne. Najprostszym przykãadem takiej przeszkody byãy liczebniki rzymskie. SĈ trudne w rachunkach i z naszego punktu widzenia dajĈ ograniczone pojčcie o liczbach. Liczebniki arabskie sĈ lepsze i prawie zupeãnie wyparãy te rzymskie. Jest Ĥlad tej zmiany w jčzyku angielskim i francuskim. Liczby we wspóãczesnej angielszczyĮnie to sĈ „numbers”, po francusku „nombres”. SkĈd to sič wzičão? Z hiszpaęskiego zetkničcia ze Ĥwiatem arabskim. Po hiszpaęsku nazwa, znaczy „nombre”. Nazwy arabskie znaczy „nombres arábica”. Nazwy arabskie liczb, przeniknčãy do Francji i Anglii przez Hiszpanič. MajĈ swoje losy sãowa i pojčcia z nimi zwiĈzane. W Ĥlad za DudĈ chciaãbym zwróciþ uwagč na inny rodzaj przeszkody kognitywnej, opisany przez Monikč CzajkowskĈ (NiM 52, 2004). Moİemy ten rodzaj przeszkody nazwaþ przeszkodĈ obrazkowĈ. Za bardzo konkretny obrazek doãĈczony do 54

Nauczyciele i Matematyka plus Technologia Informacyjna

reprezentacji sãownej zadania wprowadziã uczniów w bãĈd. To byão zaobserwowane przy badaniu prac XV edycji Mičdzynarodowego Konkursu Matematycznego Matematyka bez Granic. Monika Czajkowska szczegóãowo zbadaãa rozwiĈzania nastčpujĈcego zadania: „Spotkaão sič szeĤþ osób. Niektóre z nich podaãy sobie rčce. OczywiĤcie nikt nie wita sič sam ze sobĈ i nie wita sič z tĈ samĈ osobĈ dwa razy. Udowodnij, İe co najmniej dwie osoby podawaãy rčkč takĈ samĈ liczbč razy”. Do zadania doãĈczony byã rysunek. Na rysunku jedna osoba staãa osobno, dwie osoby wyraĮnie podawaãy sobie rčce, a trzy staãy razem i zaglĈdaãy do pisma, które miaãa w rčku jedna z nich. Ten obrazek byã Įródãem wielu pomyãek. Dziaãaã bardziej sugestywnie niİ przekaz sãowny zadania. Reprezentacja ikoniczna dziaãaãa mocniej niİ reprezentacja sãowna. Zachčcamy do przeczytania pracy oryginalnej Moniki Czajkowskiej. Analiza tej pracy jest dobrym zadaniem praktycznym z dydaktyki matematyki. Praca powinna wchodziþ do kanonu lektur z tej dziedziny. Dla kontrastu podamy inny przykãad uİycia obrazka i sãowa, który pochodzi ze Szkoãy Polskiej w Czeskim Cieszynie. Tu obrazki sĈ maksymalnie uproszczone i celowo abstrakcyjne. WãĈczone w tekst. DziaãajĈ podobnie jak popularne „emotikony” w komunikacji elektronicznej.

W tym krótkim sãowno-obrazkowym opowiadaniu obrazek nie jest przeszkodĈ. Dobrze wspóãdziaãa ze sãowem. Zachodzi dobra synergia reprezentacji ikonicznej i sãownej. Gdy w poszukiwaniu modelu dla doĤwiadczenia losowego zwracamy uwagč tylko na wyniki i dajemy kaİdemu wynikowi doĤwiadczenia losowego równe szanse, to najczčĤciej robimy bãĈd. W takĈ puãapkč kognitywnĈ wpadã d’Alembert, a przed nim wielu innych. Twierdziã, İe gdy rzucamy dwoma monetami i patrzymy na wyniki obserwujĈc orãy, to moİemy uwaİaþ, İe sĈ trzy wyniki: dwa orãy, jeden orzeã, nie ma orãa. „Probabilité”, aprobowalnoĤþ dla „co najmniej jednego orãa” wynosi wičc 2/3, a dla zdarzenia przeciwnego 1/3. Dzisiaj, biorĈc pod uwagč mechanizm losowy powstawania wyników uwaİamy, İe równe szanse majĈ cztery wyniki: Orzeã Orzeã, Orzeã Reszka, Reszka Orzeã, Reszka 55

Dziaã Naukowy

Reszka i tylko doĤwiadczenie moİe wskazaþ, co aprobowaþ, który model jest sãuszny, tzn. który daje lepszĈ zgodnoĤþ czčstoĤci teoretycznych z czčstoĤciami doĤwiadczalnymi. Przekonanie, ze kaİdy mechanizm losowy, który ma skoęczony zbiór wyników daje sič dobrze opisaþ modelem równych szans dãugo stanowião przeszkodč w rozwoju stochastyki. WyobraĮmy sobie taki mechanizm losowy: piãka pada na podãogč wyãoİonĈ kwadratowymi pãytkami. Kaİda pãytka ma taki sam wzór: jest biaãa z czarnym koãem wpisanym w ten kwadrat o boku 1 dm. Piãka moİe w koęcu sič zatrzymaþ na czarnym albo na biaãym polu. SĈ dwa wyniki. Jaki mechanizm losowy dobrze to opisze? Gdy nie bierzemy pod uwagč praw fizyki, to moİe Ǒ/4 , İe na czarnym, 1 – Ǒ/4, İe na biaãym? Ale czy moİemy nie braþ pod uwagč praw fizyki? Trzeba wykonaþ doĤwiadczenie i porównaþ czčstoĤci doĤwiadczalne z czčstoĤciami teoretycznymi, wzičtymi z modelu doĤwiadczenia. Nic tego nie zastĈpi. Gdy nie moİna wykonaþ doĤwiadczenia, moİna wykonaþ odpowiedniĈ symulacjč, np. w Excelu. Widaþ teİ, İe w takim prostym przypadku nazwa „przestrzeę probabilistyczna” w znaczeniu „zbioru wyników i ich szans” jest daleko na wyrost. Na kaİdym etapie nauczania trzeba „odpowiednie daþ rzeczy sãowo”. Literatura 1. Bachelard G., „La formation de l’esprit scentifique”, J. Vrin, Paris1989. 2. Czajkowska M., Refleksja nad rozwiĈzaniem zadania przeznaczonego dla uczniów zainteresowanych matematykĈ, NiM 52, zima 2004 s. 23-27. 3. Duda R., „Zasada paralelizmu w dydaktyce” Dydaktyka Matematyki tom 1 1982 – Przeszkody epistemologiczne w matematyce, Zagadnienia filozoficzne w nauce t. XVII,1995, http://www.obi.opoka.org.pl/zfn/017/zfn01703Duda.pdf 4. Freudenthal H., Didactical Fenomenology of Mathematical Structures, D.Reidel, Dordrecht, 1983. 5. Pãocki A., Stochastyka jako nauka in statu nascendi, Konspekt nr 3, 2005 (23) wersja online. 6. Sierpięska A., Understanding in Mathematics, Falmer Press 1994. 7. Spãawa-Neyman J., Narodziny statystyki matematycznej, WiadomoĤci Matematyczne t. XXII, rok 1979 s. 91-106. 8. mathsiedlce.edu.pl Wacãaw Zawadowski jest emerytowanym profesorem w Uniwersytecie Przyrodniczo-Humanistycznym w Siedlcach Krzysztof Mostowski pracuje w Uniwersytecie Przyrodniczo-Humanistycznym w Siedlcach

56