PROGETTO INTEGRATO D’AREA “Piana Pistoiese” ISTITUTO COMPRENSIVO DI MONTALE DIREZIONE DIDATTICA I CIRCOLO QUARRATA CLASSI QUARTE DI SCUOLA PRIMARIA Anno scolastico 2007-2008

DOCENTI LIA COLZI e CRISTINA FATTORI

PRESENTAZIONE Il gioco del FORM*ICOLO è nato all’interno delle attività che si sono svolte nell’a.s. 2007-2008, sollecitate dalla corrispondenza scolastica tra due classi di scuola primaria: la classe IV A della scuola di via Torino, di Quarrata, e la classe IV A della scuola “Nerucci di Montale. Già dalla classe terza le due classi si scrivevano sia lettere individuali, ogni bambino di una classe ad un bambino dell’altra, che lettere collettive, dove si lanciavano proposte di lavori e sfide matematiche. Le insegnanti delle classi protagoniste di questo lavoro, partecipano ad un gruppo di ricerca-azione finanziato dal PIA “Piana Pistoiese”, che raccoglie docenti delle istituzioni scolastiche dei comuni di Montale, Agliana, Quarrata e Serravalle P/se. Quest’anno il contenuto su cui il gruppo ha lavorato, è stato la geometria. Il metodo seguito è quello laboratoriale, la matematica, e tanto più la geometria, “in movimento”: partire dall’azione, dall’esplorazione attiva dello spazio e delle figure per giungere alla scoperta delle analogie, differenze, regole… e descriverle con un linguaggio preciso. La corrispondenza scolastica serve come motivazione forte a comunicare le scoperte, a raccogliere e lanciare proposte di lavoro. Tutto è cominciato da un origamo, una stella ottenuta attraverso la piegatura della carta, che è servita a decorare le finestre delle due classi, per Natale. Al momento di togliere le decorazioni, per caso, un bambino ha aperto una stella scoprendo un quadrato suddiviso in tanti triangoli uguali: un reticolo. “Che cosa vedete nel reticolo?” La domanda dell’insegnante ha dato il via a una frenetica ricerca di forme ed è stato l’incipit per il lavoro di geometria di tutto l’anno scolastico. Sono state approfondite le caratteristiche delle figure geometriche piane che venivano scoperte, i concetti di angolo, parallelismo e perpendicolarità, sono state ricercate le figure equiestese e scoperta la misura della loro superficie, quindi l’idea di area e della sua unità di misura. Al momento in cui parlavamo di ricoprimenti, area, unità di misura, si è fatta strada l’idea di costruire un gioco. L’obiettivo del gioco è stato subito individuato: ricoprire una forma data utilizzando il maggior numero di forme DIVERSE tra i triangoli e quadrilateri individuati nel reticolo. La classe ha costruito le forme, ha stabilito le regole generali e ha cominciato a provare il gioco, operando gli aggiustamenti necessari. Il processo non può dirsi concluso perché la struttura geometrica del reticolo può stimolare ancora nuove scoperte e quindi nuove possibilità di gioco.

Per rispondere ai bambini di Quarrata che ci avevano chiesto le istruzioni per una decorazione natalizia, abbiamo loro inviato le istruzioni per costruire le stelle di Natale con la piegatura della carta. Questa attività apparentemente semplice si è rivelata ricca di implicazioni geometriche. Prima di tutto durante la piegatura della carta per costruire il quadrato, i bambini si sono imbattuti nell’idea di congruenza come uguaglianza per sovrapposizione, nel concetto di diagonale e hanno scoperto che le diagonali del quadrato si incontrano in un punto, il centro. Dopo aver costruito le stelle per decorare la classe, abbiamo scritto le istruzioni: ISTRUZIONI PER LA STELLA 1. Dobbiamo costruire un quadrato da un foglio rettangolare, perciò facciamo combaciare il lato corto sul lato lungo, piegare, tagliare o strappare con precisione la parte che avanza.

2. Abbiamo ottenuto un quadrato con una piegatura: la diagonale. Far combaciare i vertici che sono all’estremità della diagonale e piegare. Si ottengono due diagonali che si incontrano in un punto: il centro.

3. Portare i vertici al centro e piegare, quindi capovolgere sotto-sopra il foglio

4. portare di nuovo i 4 vertici al centro per due volte, senza capovolgere

5. Piegare e schiacciare lungo le due diagonali, capovolgere il foglio e aprire i vertici 6. Mettere pollice e indice nelle “taschine” formate dal quadrato centrale, stringere e spingere verso il centro.

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Otteniamo una stella con la quale decoriamo le finestre dell’aula

I BAMBINI DI QUARRATA….. Seguendo le istruzioni, i bambini di Quarrata hanno realizzato le stelle partendo da un foglio di carta A4. Elena si è accorta che poteva realizzare stelle più piccole, così tutti l’hanno imitata riuscendo a ottenere da un foglio ben 5 stelle .

Cronaca di classe IV di Quarrata “Stamani abbiamo imparato a realizzare una decorazione natalizia partendo da un semplice foglio di carta. Partendo da un rettangolo si togie una strisciolina di carta e si ottiene un quadrato e dopo 4 piegature simmetriche si vede apparire davanti ai nostri occhi una specie di stella. Siccome non si butta via niente, con ogni strisciolina avanzata, Elena ha provato a costruire una stella più piccola. Quindi da un foglio di formato A4 si possono fare una stella grande, due piccole e due molto piccole. Questo è un passatempo molto rilassante!”

Con un quadrato abbiamo realizzato la stella. Che cosa succede se…..torniamo indietro? Se dalla stella torniamo al quadrato?

Dalla stella al ...reticolo OSSERVAZIONI 1. La forma di partenza per la stella è il quadrato. Anche se giro il foglio e lo metto per punta, rimane un quadrato. Il quadrato ha 4 lati uguali. 2. Una volta aperto, il quadrato risulta suddiviso dalle piegature in 64 triangoli uguali 3. Ogni triangolo è 1/64 dell’intero 4. Abbiamo ricercato a gruppi tutti i possibili triangoli diversi che si nascondono nel quadrato e li abbiamo rappresentati in un modello di stella con il lato di 16 cm 5. Il triangolo più grande è quello che rappresenta la metà e che è equivalente a 32/64. 6. Mentre cercavamo i triangoli ci siamo accorti che ci sono nascosti anche i quadrati e la nostra caccia è continuata.

Abbiamo indicato ogni triangolo con la frazione che indica la sua estensione rispetto all’intero. TIPOLOGIA TRIANGOLI 32/64 = ½

QUANTITA’ INDIVIDUATE 2

18/64

2

16/64

4

9/64

4

8/64

8

4/64

16

2/64

32

1/64

64

TOTALE

132

QUANTI QUADRATI DIVERSI SI NASCONDONO NEL QUADRATO DELLA STELLA? All’inizio i bambini sono stati impegnati a discutere sul fatto che la losanga fosse o no un quadrato. Hanno misurato le losanghe e hanno constatato che i lati sono tutti uguali, perciò sono quadrati, cambia solo la posizione. A questo punto si sono concentrati sulla scoperta delle forme. Hanno lavorato a coppie, prima sui reticoli delle stelle reali, costruite in classe, poi rappresentando il modello sul quaderno. Alla fine il reticolo è stato disegnato alla lavagna e abbiamo controllato sia la tipologia dei quadrati diversi, sia la quantità di essi all’interno del quadrato stella.

TIPOLOGIA DI QUADRATI 64/64=1

QUANTITA’ INDIVIDUATE 1

36/64=9/16

1

32/64=1/2

1

18/64

1

16/64=1/4

1

8/64=1/8

5

4/64=1/16

16

2/64

24

TOTALE

53

A questo punto ci siamo chiesti:

Ci saranno nascosti anche i rettangoli? Il lavoro è stato più lungo del previsto. All’inizio i bambini hanno lavorato a coppie, rappresentando sul quaderno. Ad un certo punto il modello di reticolo è stato riprodotto alla lavagna e abbiamo proceduto insieme a trovare i rettangoli partendo dal più grande e diminuendo ogni volta di due triangoli. Ci siamo accorti che avevamo trovato rettangoli formati dallo stesso numero di triangolini ma con dimensioni diverse. Per indicarli abbiamo usato dei simboli..

Via via che venivano scoperti nuovi rettangoli, registravamo in tabella i risultati

TIPOLOGIA DI RETTANGOLI 48/64 32/64 24/64 24/64 ◊ 24/64 ⌂ 20/64 16/64 ☼ 16/64 ◗ 12/64 ● 12/64 ▴ 12/64 ■ 10/64 8/64 ✰ 8/64 ♥ 6/64 4/64 TOTALE

QUANTITA’ INDIVIDUATA 1 2 1 1 2 1 2 4 2 5 2 2 8 4 6 12 55

Alla fine osservando il reticolo disegnato alla lavagna ci siamo accorti che potevamo individuare anche parallelogrammi e trapezi, figure conosciute ma non ancora denominate correttamente dalla maggioranza dei bambini. Era quindi necessario esplorarne le caratteristiche.

I bambini sentivano la necessità di dare un nome specifico alle figure, ad esempio ai due trapezi. Per questo, contemporaneamente al lavoro di scoperta delle figure nel reticolo, è stata portata avanti la riflessione sulle caratteristiche delle figure, lavorando alla loro costruzione con strisce di carta unite da fermacampioni. Sono stati in questo modo esplorati i vari tipi di triangolo e quadrilatero, in riferimento ai lati, agli angoli, al concetto di parallelismo, alla possibilità di deformare la figura. Nel reticolo sono state individuate le rette parallele, perpendicolari e i vari tipi di angolo.

Ho colorato dello stesso colore le rette parallele tra loro

OSSERVAZIONI 1. I triangoli individuati nel reticolo hanno tutti un angolo retto e due angoli uguali che misurano 45°. 2. In un quadrato formato da 4 triangoli, le diagonali sono perpendicolari e formano 4 angoli retti, cioè un angolo giro. 3. Il reticolo è formato da rette parallele, in tutto sono 24. 4. Le rette sono anche perpendicolari tra loro. 5. L’angolo che misura 45° è 1/8 dell’angolo giro. 6. Quattro angoli di 45° formano un angolo piatto.

Il lavoro di scoperta delle figure ha dato questi risultati: PARALLELOGRAMMI

TIPOLOGIA PARALLELOGRAMMI 4/64 8/64 ν 8/64 12/64 ℵ 12/64 ♥ 16/64 TOTALE

QUANTITA’ 12 4 4 2 4 2 28

TRAPEZI ISOSCELI

TIPOLOGIA TRAPEZIO ISOSCELE 6/64 8/64 10/64 12/64 14/64 16/64 24/64 30/64 TOTALE

QUANTITA’

TRAPEZI RETTANGOLI

8 5 4 4 2 2 2 2 29

TIPOLOGIA TRAPEZI RETTANGOLI 3/64 5/64 6/64 7/64 8/64 9/64 10/64 11/64 12/64 13/64 14/64 15/64 16/64
16/64 20/64 21/64 24/64 30/64 TOTALE

QUANTITA’ 18 10 10 6 4 4 5 2 4 2 4 2 4 2 1 1 2 1 82

Presi dal gioco della scoperta, terminato il lavoro sui trapezi, i bambini sono passati a scoprire i poligoni con 5, 6…ecc lati, con un lavoro individuale, nei ritagli di tempo. Per queste figure non è stato svolto un lavoro sistematico come quello relativo ai quadrilateri perché le tipologie erano veramente tante, già per i pentagoni irregolari trovati, che in seguito sono state classificati come concavi e convessi. I bambini hanno naturalmente proposto di scrivere alla classe di Quarrata per sfidarla a trovare tutte le forme nascoste nel reticolo, cosa che abbiamo fatto nella risposta alla lettera dei corrispondenti che nel frattempo ci era giunta.

LETTERA DELLA CLASSE IV A DI MONTALE Montale 21 febbraio 2008 Cari amici di Quarrata, Siamo felicissimi di aver ricevuto la vostra bustona, proprio nel momento in cui stavamo scrivendo la lettera collettiva!!! ………………………………………………………………………………………………………… Vi ricordate la stella che abbiamo usato come decorazione di Natale? Aprendola abbiamo visto un quadrato diviso, dalle piegature, in triangoli uguali. Ci siamo posti una domanda: QUANTI TRIANGOLI DIVERSI CI SONO NASCOSTI? Mentre cercavamo i triangoli qualcuno ha scoperto che c’erano anche quadrati, rettangoli, parallelogrammi e trapezi. E’ allora cominciata la caccia alle forme! Vi lanciamo questa sfida:: TROVATE TUTTI I TRIANGOLI, QUADRATI, RETTANGOLI, PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI…….DIVERSI che si possono individuare nel reticolo. TROVATE QUANTI TRIANGOLI, QUADRATI, RETTANGOLI, PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI….DI OGNI TIPO, SONO CONTENUTI NEL RETICOLO!!! Inviateci i risultati della ricerca nella prossima lettera. Cari amici, ci dobbiamo salutare ma presto ci scriveremo di nuovo! Un bacio e un abbraccio a tutti!!!

DAL RETICOLO AL GIOCO DELLE FORME

*nome suggerito da David per il gioco delle forme In attesa della risposta degli amici di Quarrata, la classe IV di Montale ha continuato a lavorare sulle forme del reticolo per scoprire quelle equiestese, individuate e colorate con lo stesso colore. Da questo lavoro è scaturita la riflessione sul significato della frazione per indicare la forma: il numeratore indicava il numero dei triangoli di cui era composta la figura , quindi la “misura” della superficie. Da qui, alla scoperta del triangolo come unità di misura dell’area, il passo è stato breve. I diversi triangoli, rettangoli, quadrati, parallelogrammi, trapezi isosceli e trapezi rettangoli, sono stati disegnati sul cartoncino e ritagliati. Con essi potevamo ricoprire altre forme da stabilire. Parlando di area e di ricoprimenti si è fatta strada l’idea che potevamo ricoprire le figure che continuavamo a scoprire: pentagoni, esagoni, ottagoni, decagoni irregolari… in modi diversi. Pian piano ha preso corpo il progetto di costruire un gioco. I bambini si sono sbizzarriti nell’individuare le regole, predisponendo vari schemi di gioco e li hanno provati per vedere se funzionavano. Hanno stabilito i punteggi. Interessante è stato il fatto che hanno stabilito il valore di una penalizzazione con la frazione ¼. Al momento di conteggiare il punteggio hanno calcolato addizioni e sottrazioni con la frazione, senza nessun imbarazzo. DOCUMENTAZIONE DEL LAVORO Dopo il lavoro di scoperta dei quadrilateri, alcuni bambini hanno proposto di individuare figure con 5-6-7-8….lati. I bambini hanno lavorato individualmente, le figure scoperte venivano disegnate alla lavagna. Ci siamo subito accorti che ad es. i pentagoni diversi erano tantissimi perché potevamo disegnarne di concavi e convessi, potevamo individuare molti pentagoni con forme che si assomigliavano e cercarne di più grandi e di più piccoli. Stesse osservazioni per gli esagoni, ottagoni ecc.

La ricerca di TUTTE le forme possibili sul modello di quella che avevamo intrapreso con i triangoli e quadrilateri ci è sembrata troppo complicata e l’abbiamo abbandonata. Alcuni bambini si sono concentrati sulla ricerca del poligono più piccolo e di quello più grande. POLIGONI CON 5-6-7-8-9-10-11….LATI

PENTAGONI

ESAGONI

ESAGONI

POLIGONI CON SETTE LATI

POLIGONI CON NOVE LATI

OTTAGONI

DECAGONO

POLIGONI CON UNDICI LATI

FORME EQUIESTESE

I bambini hanno proceduto in modo autonomo, anche nei ritagli di tempo, e hanno individuato e disegnato le figure equiestese con area: 2/64, 4/64, 6/64, 8/64, 9/64, 10/64, 12/64, 14/64, 16/64, 20/64, 24/64, 30/64, 32/64.

LE REGOLE DEL GIOCO

Scopo del gioco è ricoprire una forma data utilizzando il maggior numero di figure DIVERSE tra triangoli e quadrilateri individuati nel reticolo. La discussione per organizzare il gioco ha impegnato i bambini per molto tempo. Le regole si sono concretizzate piano piano, abbiamo dovuto provare varie versioni prima di scegliere le regole che ci sono sembrate più adeguate. Proponiamo di seguito le varie versioni trovate. PRIMA VERSIONE 1. Si gioca a gruppi, ogni gruppo sceglie al suo interno il postino, cioè chi deve andare a prendere le forme 2. Il gruppo che urla o bisticcia viene escluso dal gioco 3. Si stabilisce il tempo massimo entro cui concludere il gioco 4. Si stabilisce la forma da ricoprire tirando a sorte un dado su cui, su ogni faccia, è stata disegnata una figura geometrica 5. Si deve ricoprire la figura utilizzando il maggior numero di forme DIVERSE, senza sovrapposizioni. PUNTEGGIO 3 punti se si ricopre interamente la figura 1 punto per ogni forma DIVERSA utilizzata ¼ di punto di penalizzazione per ogni forma presa e non utilizzata TABELLA PER REGISTRARE I PUNTEGGI GRUPPI 1° GRUPPO 2° GRUPPO 3° GRUPPO 4° GRUPPO 5° GRUPPO 6° GRUPPO

Ricoprimento della figura numero punti

Forme DIVERSE numero punti

Forme non utilizzate numero punti

PUNTEGGIO TOTALE

VARIANTI DEL GIOCO 1. Si deve ricoprire la figura usando SOLO due figure geometriche Per trovare le combinazioni i bambini hanno lavorato a coppie.

2. Si devono ricoprire poligoni irregolari, concavi o convessi, con 5…10 lati. Il numero dei lati viene scelto tirando un dado su cui sono scritti i numeri da 5 a 10. I poligoni irregolari sono quelli trovati dai ragazzi nel reticolo.