! " #%$&#!!')(+* " !, -/.10213)$4(65778 94:<;= ,, #!! >?-: .A "@    'B:9DC E 
`babc dMegfh[ifjYOabkl[mWndMTVUpogYO`qfjYOabksrt\vu egks`jUXTxfy[mYklfjYUirtezr{Yksw []TV\|Y/fMT][mTpu dvabW}u~ksabc Y/[]W `jl[]a]r

€D/‚4ƒ„+…V†ˆ‡‰Š‡Š‹ŒŽŽ‘D/-…“’•”–…)—]˜™+š Ž/‚h›œŒž%Ÿ   ¡}¢S£¥¤¦H§}¨/©¥ª¢"«­¬®©¯¦ °²±¤„³D¢S´­µ/¨/±&£¥±¶°·+¸/¹´"º-£¥¦ °œ±¤A»¼¢"«­±&¬½-¹´¢¿¾)¨¶&©¯¨¢"¢"«©¯¨¶ À{£¯º°ª¢"«®Á)¢"¶ZÂ%·OÐĐÐÅÇÆÉÈÊ¡}¢S£¥¤¦"·+³Hµ¢ÌË=¢"¦®µ¢"«­£¯¹¨/Í-¬ ’ ¢Î Ïǹ©¯£ÐOÑÒE¹ÒE¬"Ò!Á=©¥¦¦¢"ª¢"¢S¨+Ó}¦®º/Í/¢S£¥¤¦"ÒE¨-£   ¢Î Ïǹ©¯£ÔÐÕµ–Ò!Ö+© Ñ£Ó}¦®º/Í¢S£¥¤¦"ÒE¨/£ ×pØ^Ùʃ‚4—“šÚÜÛ¿Ý1ÞàߏáâãäÝâåçæ/è–ãÝâ<äé–ޏãêâäëÝAì–í“ëîå-Ý1ëï_äãêî„Þ"ð–ãëñìóò•áâ<ð1ëôëÝ1ãîAõóëîå-Ý1ëï_äãêîñ †÷ö)šàŽ‚&”–øŽ‡úùSûOü–ý þ"ý û–ÿ–ü 

-û"ý þSÿ

Ôû–ÿý ûçü

ý û  û–ÿÔûý û"ý4û!#"$%+ÿ

& ÿ  4û%

'óþ ý (   )ÿ  4û+* ùS ÿ ,ÜÿÔü–ý þ.ý -4þ/ ý 0"$4þSÿ û–ÿ¼1ÿ _ÿ #2 ý –ü 

3- û "ý þ ÿ

Ôû–ÿ ý 4Ôû–1ÿ 5 #-û–ÿH1ÿ

6 ÿ

Ô7 û "54þý¿þý 8 96+  ý #"$%-ÿ ÿ  4û%

:óþ ý (   )ÿ  4û+*<;Aü–< ý =>

ý ?þ 2#Ô< û # 8ê û #"<

3" ü @"hý ÿ ü +(<,

A#"<"54û 8B 9% 8 ý (B+û "ý þS ÿ

Ôû–)ÿ /C+ û–ÿ   )ÿ  4ûD"hý ÿü +(9*FE4#G}ý ý þ HAÿü–I ý # 84 û #"<

J" ü ÌLý K:&  û  4ûXü #/#"h4 ý 80"<Ôÿ ÿ  4û+*BMÔþ  ÿ 8H ÿÔü–> ý # 8ê û #"<

N" ü ZLý KO  û  4ûP6 # ý (74ûQ  # 

# 84û #"<

RS T û " ü ý ýpLý KO4û„ý û–)ÿ 

>4ûý )þ -ý  û "$ ý -4þU ! 80"<Ôÿ ý (Vý  ÿ 1-5 ÿ % û (9 Lþ (Q( , ÿ þ 6+& ÿ  4ûB4û 8:*XWAý 4û%( 8YH“ÿÔü–$ ý 9% 8  )ÿ  4ûU1-N# 8ê û #"<

%" ü Ì1ÿ 6û4û 8Ôû„ ý Zþ Ôÿ ý $ U û 6 $ ý (  [T' ¥ ÿ * ;Aü–ý ýÇÿ GFD 80"<Ôÿ ÿ  4û1-ÇÿÔü– ý # 84 û #"<

\" ü ÊLý KO  û  4ûV þA ý ( ,9 ý (]ÔûˆÿÔ ü ,X –ý Oþ *

^

_O`Sa4bdcDegfihAa4_YcD`

jÝ Þëïyõ1è+â"ãêâ<äëݖãêî)ñޏäßàÝ1ޏßàñÜâ<ð1ߏáßZäñ ãÝiäÝ1ޏáß%ãñäÝ1ôçäÝâ<ߏá<ßàñâÇäÝ ï_ëk1ߏîäÝ1ô_âð1ßZäÝ'l–è1ߏÝOޏßZë m õ1ðå-ñ<äÞ%ãîè1Ý1Þàߏá­â"ãäÝ/â<äßàñ¼â<ë6äÝ1ޏáß%ãñß{â<ð1ß¿áߏîäã 1 n äîä âåÇë A m ÞàëïyõOèOâ"ãêâ<äëÝ1ãî1õ1áß+k1äÞàâäëÝ1ñOoÛ¿õZâäîî1Ý1ëp âðOßÊßOq ߏá äÝOޏá<ߏãñ<äÝ1ôhÞàëï_õ1èOâßàá•õóëY= p ߏá ð–ãñ•è1ñè–ãîîåUDn ßàߏÝV1k ßO1k äޏãêâßOˆ k âëhé1ÝrkV1k ßàâ<ߏáïyäÝ1äñ­âäÞÜñ<ë#s îè+âäëÝ1ñ²ë { m ï_ëá<ßyޏëï_õ1îßj t ޏëï_õ1èOâãêâäëݖãîHõ1áë:1n îßàïyñÊãêâœð1äôð1ߏá²ãޏÞàè1áãêޏäßàñ+o!¿ u ë= p ßOq ßàáì¼âð1ßàñ<ß k ß âߏáïyäÝ1äñ­âäÞ6õ1áß+1k äÞàâ<äëÝ1ñ$1k ë Ý1ëâ ôävq ßÊãÝåˆäÝOñ<äôð/â äÝâë õ1ãáãï_ßàâ<ߏá¿ñ<ߏÝOñ<äâ<äv-q äâ<äßàñ ãÝrx 1 k è1ÝOޏߏá1s â"ãêäÝâäߏñäÝÊâð1ßÉñëîèOâ<äëÝo\É w ð1ßàá<ßm ëá<ßêìOãêâŠâð1ßÉï_ëï_ߏÝââðOßÉޏëï_õ1èOâãêâäëݖãî+ޏëï_ïÊè1Ý1ä âå²ÞãÝZôãäÝ ï_ëá<ß> n å_è1ñ<äÝ1ô6Þàëï_õ1èOâßàá=õóë} p ßàá¼â<ëÜâã x ß¿è1Ý1ÞàߏáâãäÝâ<äߏñ¼äÝâ<ë²ãÞàޏëèOÝ/â¼âð1ãÝyâ<ë4m è1á­âð1ßàá=äÝ1ޏáß%ãñß âðOß6ãêޏޏèOáãÞ åçë mNO k ßàâßàá<ï_äÝ1äñâ<äޕÞàëïyõOèOâ"ãêâ<äëÝOñ+o y è1ï_ߏá<ëè1ñÇïyß âð1ë1k ñ ð–ãq ßDón ߏߏÝ!1k ßOq ߏîëõDßOk â<ëçæ-è1ãÝâävÔm åXâð1ßàñ<ß_è1Ý1ޏßàáâãäÝâäߏñÇäÝxÞàëï_õ1èOâ"ãYs { âäëݖãîõOá<ë:1 n îߏï_ñìóß žo ôro ìóâ<ð1ß

–n ãñ<ßOˆ k ëÝpã_õOá<ë:–n ãYs n äîäñ­âäÞ6ãêõ1õ1á<ëãÞ"ðim ëá•ï_ë'Ok ߏîäÝ1ôZâð1ßÊèOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝâäߏñ•è1ñäÝ1ô õOá<ë:–n ã‡1n äîäâå†1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝ7m è1ÝOÞàâäëÝ1ñOo 1 w ð1ß=õDëî å-Ý1ëï_äãîÞ"ð1ãëñŠßZ+t õ–ãÝ1ñäëÝ6ߏï_õ1îëå-ñ)ëáâðOëôëݖãêî-õóëî å+ÝOëïyäãîñ„äÝÇâߏáïyñ“ë –m á<ãÝr1k ëïˆq ãêá<äs É ‰

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ. 

ã n1îߏñOo¡wÉðOßÊõ1á<ë n–ã n1äîäâå5k1äñ­âáä,n1èOâ<äëݙë mâ<ð1ߏñßAqêãá<äã n1îߏñÌޏëáá<ßàñ<õóëÝrk1ñ â<ëyâ<ð1ßp=ߏäôðâäÝOô]mè1Ý1ÞZs âäëÝxäÝpâð1ߜëá­âð1ëôëݖãîäâå™á<ßàîãêâ<äëÝ7mëá âðOߜõDëî å-Ý1ëï_äãîñ+o™wÉð1ßZõóëîå-Ý1ëïyäãîÕÞ"ð–ãëñ ßZtOõ1ãÝ1ñ<äëÝ Þë-Oß ¢_ÞàäߏÝâ<ñ ãáßÇñ<ëî q+ß kUmëáÌè1ñ<äÝ1ô_ã_ñ­âë-Þ"ð–ãñ­âäÞÇé–Ý1ä âßÇߏîߏï_ߏÝâ¿ãõ1õ1áëãÞ"3 ð o‘wÉð1ßÜëá<äôäÝ1ãî„ð1ëïyë‡s ôßàÝ1ߏëèOñ õóëîå-Ý1ëï_äãêî„Þ"ð–ãëñ ß t+õ–ãêÝ1ñ<äëÝXäñ{õOá<ëõóëñ ñ | ‰« €Jn/åÊè1ñ<äÝ1ôÇñ
ë m“âð1/ ß …¿ ñ xß å™ñ<Þ"ð1ßàïy‡ß o wÉðOßyõóëîå-Ý1ëïyäãî)Þ"ð1ãëñ6ãõ1õ1áëãÞ"ðjð1ã/ ñ nDßàޏëï_ß_† ã p=ߏîî sx-ÝOYë pÌÝjãr Ý kPpÌ,ä k1ßàîåˆãõ1õ1îä+ß kiè1ÝOޏߏ1á s â"ãêäÝâåœæ/è–ãÝâä é–Þ%ã4âäëÝyï_ßàâ<ð1' ë k_äÝZïyãÝ å n1áãêÝ1Þ"ð1ߏñ= ë mDޏëï_õ1èOâãêâäëݖãî1ñޏäߏÝ1Þàߕãr Ý k_ߏÝOôäÝ1ßàߏáäÝ1r ô o jâ“äñÝ1ë pjäï_õDëá­â"ãÝâDâëÌñâ ß k1vä ¢_ޏèOîâ o\wÉð1äLá k1îåìâð1ßÌõóëîå-Ý1ëïyäãî+Þ"ð1ãëñ¼ïyß âð1 ë k äñÇãêÝ äÝâá<èOñ á p ã%åˆñäÝ1Þàß²âðOߜÝ1ëÝ1îäÝ1ߏãá{â<áãÝOLñ mëáïhãêâ<äëÝOñ ð–ã qߜä݈ôßàÝ1ߏá<ãîÝ1ë Ý sñâãr Ý k–ãê á kVk1äñâá,ä n1è+âäëÝ1+ñ o í)ëîå-Ý1ëï_äãîÞ"ð1ãëñÊZß tOõ1ãÝ1ñ<äëÝ1 ñ n1ãñ
Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ.  ë m=ëáâ<ð1ëôëݖãîNn1ãñ<äñ õDëî å-Ý1ëï_äãîñ¡mëá¿âð1ßZÝ1ëÝOîäÝOß%ãá{âáãêÝ1ñLmëáïhã4âäë݈ë mHâð1ßZè1ÝOޏߏá­â"ãäÝiäÝ1õ1è+â õ–ãá<ãï_ßàâßà+á o\wÉð1äñHãõOõ1á<ëãêÞ"ð_äñ¶k1ßàïyëÝOñâá<ãêâßOk
½

b › _+a4b † b™¾À¿
½ ‡^ Ë

Æ ƒóŸÔØՅ“ƒ%q Ç Œ”–Ÿ=ø Å ”1ƒóš_9Ⱥ“ Æ ”–…“š%ŒƒD… aAÅ i {}ëÝ1ñ<ävk1ߏáâ<ð1ßmëîîëpÌäÝ1ô¿ñâë-Þ"ð–ãñ­âäÞk1ävÉDߏáߏÝâäãîOßàæ/è–ãêâäëÝpÌäâ<ðœëõóߏáã4âëá¶Ê^ãêÝrkZñ<ëè1áÞß â<ߏá<ï

ÊBÌ.ÈÍ ÎZÍ?Ï'Ð?ÑÓÒ¶Ô Ë Ì0ÈÍ ÎZÍÏ ÒÍ Ì‰Ò pÌäâ<ðiè1Ý1ޏßàáâãäÝ äÝ1õOèOâÇõ–ãá<ãïyß âßàá<ñÜãÝrk ãõ1õOá<ëõ1áäãêâ<ߜäÝ1ä âäãîŠãêÝrk!nóëè1Ýk–ãáåˆÞëÝrkOäâäëÝ1ñOoÝ äñâðOßÉÝ-èOïDn ßàáë óm è1Ý1ÞàߏáâãäÝZõ–ãêáãï_ßàâ<ߏá<ñOo¶É w ð1ßÌáãêÝr1k ëïzßOq ߏÝâ• Ï äñè1ñß+y k ãñ ãáôè1ï_ߏÝâ}â<ëœäÝr1 k äÞ%ãêâ<ß{â<ð1ߕá<ãÝr1k ëï_Ý1ßàñ<ñÉë  m â<ð1ß$êq ãá<äã 1n îߏñ+o¶¬ ëá¼â<ð1ߕÝ/è1ï_ߏá<äÞ%ãîDäï_õ1îßàïyßàÝâ"ãêâ<äëÝ âðOßÜäÝOé–Ý1ä âß ñè1ïyïyãêâ<äëÝ÷äñ âáè1Ý1Þ%ã4âß+X k ãêâÉâðOß5ÌÞàß ‰ ®Ò â<ð™â<ߏá<ï™ìÌ p ä âð ÌÝ]ßPá%ÒZâ Í Ì)¼:Ò Ì)Þ²ß ‰ Ò¨Ô ÝNâ áºâ × × pÌð1ßàá<ߙi á äñ¿âð1ßÊðOäôð1ßàñâ ëá 1k ßàá ë  m âð1ߜõóëî å+ÝOëïyäãîñBÛ:Ù Ì.Ú%ÒÜYã 7 o+¤ è1n ñâ<äâè+âäÝOôhâð1ßÊâ<á<è1ÝOÞ%ãêâ<ß+k õóëîå-Ý1ëï_äãêîDÞ"ð–ãêëñÌß+ t õ–ãÝ1ñäëÝOñÌ)ƒ:} Ò ë “ m âð1ßÇè1Ýr/x Ý1ëÌ p ÝUq ãêá<äã‡1n îßàñÉØ ãÝrç k âð1ßÇè1ÝOޏߏá­â"ãäÝçõ–ãáãêïyß âߏáñ äÝâ<ëZâ<ð1ßÇôë q ßàá<Ý1äÝ1ôZߏæ/è–ãêâ<äëÝ¸Ì ‰ } Ò áߏñè1îâ<ñ{äÝ ã × ×Zåçæ Ö × Ë Ì0ÈÍ ÎZÍÏ Òè ÊÄäJÈÍ ÎZÍÏÐ Ñ Ù Ì~9Ò Ø 7 w ð1ßÇ É £ ãîßàá /x äÝçãõOõ1á<ëãêÞ"ð™äñÉߏï_õ1îëåß+k âëZë:On âãäÝçãÊ×ñ­å-ñâßàï × ë mFÌ)Þàß ‰ = Ò ßàæ/è–ãêâäëÝ1ñOo‘…ÄÇ £ ãîߏá /x äÝ õ1áë#é ßÞ âäëݙë‡mXÌ.~Ò ëÝâëZß%ãÞ"ðpõDëîå-Ý1ëï_äãî%– n ãñäñ™Û:Ù Ì0ÚJÒÜYã 7 å-äߏîv1k ñ Ø ê ã × ×å Ê ä È¶Í ÎZÍÏ'Ð Ö × Ñ Ù ÍÙdë:ì‚Ôçí Ë ÍOÙdëîOÍ ïDÔ « Í ‰ ÍèèèÍÞXÍ Ì § Ò Ø 7 ¼

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ.  wÉð1äñ ñå-ñâ<ߏï ë‡mœk1ßàâ<ߏá<ï_äÝOäñ× â<äÞ{ߏæ/× è–ãêâ<äëÝOñ Þ%ãÝgnóߕñ<ëîvqßOk è1ñ<äÝ1ôœñâãÝrk–ãêá k†k1äñ<ޏáßàâ<ä,·%ã4âäëÝhï_ßàâðs ë1 k ñ+o¨wÉð1ßÇõóëîå-Ý1ëï_äãêîñ@Û:Ù Ì.Ú%ÒÜ ã 7 ñã4âäñ—mÔåhâ<ð1ßBmëîîëYpÌäÝ1ôÊëá­âð1ëôëݖãîäâåyá<ßàîãêâ<äëÝ × Ø × 5 í1Ù]ð1Ì0Ú%ÒÙ Ì.Ú%ÒLî‘Ôçí1Ù ð Ì.Ú%ÒLî ñð Í òLÍ­ó<Ô « Í ‰ Íè+èèOÍ?Þ>Í Ì)¯:Ò × pÌäâ<ðUñð â<ð1ß4ª á<ëÝ1ßàÞx ßàá$1k ßàîâ"ãZãÝk¸í—ô,ÍôõîF1k ߏÝ1ëêâߏñÌâðOßÜäÝ1Ý1ßàá{õOá<ë1k è1Þàâ × × í1Ù]ð1Ì.ÚJÒÙ Ì0Ú%Ò î¨Ôˆör÷ZøIÙ5ð1Ì0ÚJÒÙ Ì.Ú%Ò1ù<Ì.Úrҗk'Úºè Ì ´ Ò × × pÌð1ßàá<ß<ù<Ì0ÚJ¿ Ò äñ âðOß} p ßàäôðâäÝ1ô5m è1ÝOÞàâäëÝxޏëá<á<ßàñ<õóëÝr1k äÝ1ô÷âë÷â<ð1ßÊõóëîå-Ý1ëïyäãn ãñ<äñAÛ:Ù Ì0Ú%ÒZÜYã 7 ãÝrk Ë%ú äñ÷âð1ßiñè1õ1õóëáâçë m4Úºoç] ¦ ðOߏÝ]âð1ßV= p ߏäôð/â<äÝ1ô}m è1ÝOÞàâäëÝTù<Ì0ÚJh Ò äÝ]â<ð1ßxëá­âð1ëôëݖãîäØ âå á<ßàîãêâ<äëÝ!Ì)´:Ò Þëáá<ߏñõDëÝr1 k ñ¿â<ëyâ<ð1ß6èOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝâåU× 1k äñ­âá<× äv1n èOâ<äëÝçë ) m âð1ßÜè1Ý1ÞàߏáâãäÝpõ–ãá<ãïyß âßàá<ñì–â<ð1ß ëá­âð1ëôëݖãî“õDëîå-Ý1ëï_äãîÕßZO t õ1ãÝ1ñ<äëÝP–n ãñäñAÛ:Ù Ì0ÚJÒÜYã 7 äÝ}Ì ƒ:¿ Ò äñ•ëõOâ<äïyãîÕä݈â<ð1ßÊñ<ßàÝ1ñ<ߜâ<ð–ãêâ ä â Ø Þ%ãêÝXãÞ"ðOäßOq ß6ßZ+ t õDëÝOߏÝâäãîޏëÝ9q ߏá<ôߏÝ1Þàß o û &‚ ”ÇPüà‰Aø Å ÇqŒ —ÕŽZƒ‚Ž Å ƒJýóƒó…Õ”–Ÿ Œþ”OŽŒ ƒó… £ áãêïs1¤+Þ"ð1ï_ä,kOâëáâðOëôëݖãêîä,·ãêâäëݲäñHߏï_õ1îëåßOk_â<ë6Þàëï_õ1èOâßÌëá­âð1ëôëݖãîOõDëî å-Ý1ëï_äãîñ\pÌäâ<ð á<ßàñ<õóßÞ âyâ<ëiâ<ð1߆} p ßàäôðâ<äÝ1ôim è1ÝOÞàâäëÝ}Ì p ð1äÞ"ð|ޏëá<á<ßàñ<õóëÝr1k ñZâëxâ<ð1ßçè1Ý1ޏßàáâãäÝâå}1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝvë m âðOߜè1Ý1ޏßàáâãäÝxäÝ1õ1èOâ<ñ+oAÉ w ðOäñ á<ßàñ<è1î âñ äÝxãÝiëõOâ<äïyãîÕõDëî å-Ý1ëï_äãîÕÞ"ð–ãëñ41n ãñ<äñ$m ëá ãÝåpâå+õóßZë m äÝOõ1èOâ6è1Ý1ޏßàáâãäÝâå!1 k äñ­âá<äv1n èOâ<äëÝ3o†É w ðOߏá<ßm ëá<ßêìß+t õóëÝ1ߏÝâ<äãî¼ÞëÝ9q ߏá<ôߏÝ1Þàß Þ%ãÝQón ß÷ãêÞ"ð1äßq ß+kQm ëá × ãáL1 n äâ<áãá­å÷äÝOõ1èOâ>1k äñâáä,1n è+âäëÝ1ñ+o × w ðOßÊõ1á<ë 1n îßàïtë‡ É m é–Ýr1k äÝ1ô ãhñßàâ ë  m õDëî å-Ý1ëï_äãîñ/Û:Ù Ì.Ú%ÒÜ ã 7 ëáâ<ð1ëôëÝ1ãîIÌ p ä âðpá<ߏñõDßàÞàâ â<ë ã Ø ôä q ߏÝ]} p ßàäôðâäÝ1ôAm è1ÝOÞàâäëÝ5ùÌ.Ú¼ Ò äñ¼Þ%ãêîîßO÷ k ãÝhëáâ<ð1ëôëÝ1ãîJ–n ãñ<äñ}õ1áë:1n îߏï ôävq ߏÝdn åiÌ)¯9¼ Ò ãÝrkPÌ)´:Òo w ð1ßD£ áãï
Ö Ì 9Ò Ô Ì 9 Ò  ó<Ô ‰ ÍZƒ'Í+èèèÍ áºÍ Ì)µ:Ò  ë ™ë Ì ÒZÍ ëØ 7 × p äâ<ð 7 Ô ‰ ãÝrk Ì × í Ì Ò ™ë‡Ì 9Ò î Ì)³:Ò  ë>Ô í ™ë Ì Ò ™ë:Ì Ò î Í × p ð1ßàá<ß âð1ßçõóëîå-Ý1ëïyäãîñÛ Ì ÒX Ì Ü ãêá<ß õóëîå-Ý1ëï_äãêîñÜë m ßZOt ãÞàâD1k ßàôá<ßàß]óo}É w ð1ßçäÝ1Ý1ߏáœõOá<ë1k è1Þàâ<ñ äÝiÌ)³9¼ Ò ãá<ß ßOêq ãîè1ãêâßOh k Ý/è1ï_ߏá<äÞ%ãîîå<m ëá¼âð1ß ãîôëá<ä âð1ïsâ<ëón ß ãõ1õ1îäޏã 1n îßÉâ<ëœãá On äâá<ãáå<= p ߏäôðâäÝ1ô m è1Ý1Þ âäëÝ1ñ+o²É w ð1ßXÝ/è1ï_ߏáäÞ%ãêîÉäÝâßàôáãêâ<äëÝ|ë ¿ m âð1ߙäÝ1ÝOߏá_õ1á<ë1k è1Þ âñ_äñD1k ëÝ1ߙßO_ ¢ ޏäߏÝâî å n åbëÝ1îå ½ ‡½

~

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ.  ð

ޏëïyõ1è+âäÝOôyâðOßÊäÝâßàôáãêîñ ë‡mHïyëÝOëïyäãîñ ìÓòFÔ « Í ‰ Íè+èèO̓áºo™wÉð1ߜäÝ1Ý1ßàá õ1áë'k1èOÞàâñ äÝ Ì³9Ò¿ãáß ð ޏëïyõ1è+â+ß kVèOñ<äÝOôvãjñ<èOïyïyãêâäëÝ ë‡m âð1߈äÝâߏôáãîñyë m â<ð1߈ï_ëÝ1ëï_äãêîñ oˆwÉð1äñ÷á<ßàñ<è1î âñ÷äÝVã ޏëïyõ1è+â"ãêâ<äëݖãêœ î p=ëLá xX ë m†  Ì‚  ÞÒ ìpÌðOߏá<ß äñ âð1ß²Ý-èOïnDßàá ë m¨k1äñ<ޏáßàâ<ߜõDëäÝâñ$mëá{âð1ߜäÝ1Ý1ßàá õ1á' ë k1èOÞàâñÊãr Ý k ÌÞÃß ‰ Ò äñÜâð1ßyÝ/è1 ï nóߏáÊ ë mÉâ<ߏáïyñ6 ë m âðOß÷õDëîå-Ý1ëï_äãîŠÞ"ð–ãëñÊßZt+õ–ãÝ1ñäëÝ3oSwÉð1ß ï_' ë k1ä é–+ß kU£ áãê ï s1¤+Þ"ð1ï_,ä kOâ ãîôëá<äâ<ð1ï pÌäâðçëÝOßÜáߏëá­âð1ëôëݖãî,ä ·ãêâäëÝhñ­âߏõpäñÉäïyõ1îߏï_ߏÝâOß k3o wÉðO< ß £ áã< ï s—¤+Þ"ðOïyvä kOâÉõóëîå-Ý1ëï_äãêî„Þ"ð–ãëñ¿äñ¿ãêõ1õ1îäÞ% ã nOîߕâëyãÝå âå-õDßÜ ë mŠÞëÝâäÝ/è1ëè1ñ ãr Ý kUk1ä1ñ s ޏáßàâ<߈äÝ1õOèOâ÷õ1á: ë n– ã nOäîä âå k1äñ­âá,ä n1èOâ<äë Ý o‚¬–ëáhãjޏëÝâ<äÝ/è1ëè15 ñ k1äñ­âá
Á hDc`%&'"™bdû("™`Ph)"+*cb † b › _+a4b † b™¾ eg_ ‰ abd_ › fga_cD` ‰ P jÝçâðOäñ ñߏÞàâ<äëÝçä âÌäñk1ßàïyëÝ1ñâ<áãêâ<ß+kçâð–ãêâ õDëî å-Ý1ëï_äãîóÞ"ð–ãëñXpÌä âðçÝ/è1ïyßàá<äÞ%ãîîå_ޏëÝOñâáè1Þàâ<ß+k õóëîå-Ý1ëï_äãêîñ¿ãÞ"ð1äßqßàñ6ßZO t õóëÝ1ßàÝâäãêîޏëÝ9q ßàá<ôßàÝ1ޏßDm ëáÇãáL1n äâ<áãá­åi1k äñâáä,1n è+âäëÝ1ñ+oj ÝiñߏÞàâ<äëÝ!¼o ‰ âðOßÜïyãññ—sñõ1á<äÝ1ôœâßàñâ{õ1á<ë 1 n îßàï äñÉÞàëÝ1ñä,1k ßàá<ß+kUÌ p äâ<ðpãêÝpè1ÝOޏߏá­â"ãäÝçñ<õ1áäÝ1ô‡s ñâ<ävDÉ Ý1ߏññ+o !

 ”–š%šüš+Ɠ‚4ŒR…œý}Æ)‚&ƒö)Ÿ Ç wÉðOß¿ïyãñ<ñ1s ñõ1á<äÝ1ô âߏñ­â¼õ1á<ë:On îߏï ñ<èrnéߏÞàâ=âëÜãÝ_è1Ý1ÞàߏáâãäÝ_ñ<õOá<äÝOôÜñ­âäɄÝ1ßàñ<ñHäñHÞàëÝ1ñ<ävk1ߏáß+kAì/ñßß ¬Šäôè1á<ß ‰ ão\É w ð1ßÉïhãêñ<ñ—s ñ<õ1áäÝ1ô õ1á<ë:nOîߏïzð–ãñNnDßàߏÝZÞ"ð1ëñߏÝ_ãññäï_õ1îß=ïyëk1ߏîmëáŠã•Þëï_õ1èOâãêâäëݖãî õ1áë:1 n îßàï äÝqï_ߏÞ"ð–ãÝOäÞ%ãêî=ßàÝ1ôäÝOߏߏáäÝ1ôXäÝ9q ëî-q äÝ1ôˆèOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝvõ–ãá<ãï_ßàâßàá<ñOoVÉ w ð1ß ïyëêâäëÝjë É m â<ð1ß ïyãñ<ñÌäñÉôëYq ߏáÝ1ß+k7/ n åhâð1ßBm ëîîëÌ p äÝ1ô²ñ<ߏÞàëÝrk's ëá Ok ߏá{ëá 1k äݖãá­åd1k ä„É ßàá<ߏÝâ<äãîDߏæ/è–ãêâ<äëÝ ! ‡

^

k -5 , ß/. , Ô « Í Î10 « Í Ì ‰« Ò kÎ 5 pÌð1ßàá<ß2 Ô ‰ äñ¿âð1ߜïyãñ<ñàì3. äñ â<ð1ߜñ<õ1áäÝ1ô ñ­âäɄÝ1ßàñ<ñàì , k1ßàÝ1ëâ<ߏñ âð1ߜõóëñäâäë݈ë mHâ<ð1ßÊïyãñ<ñàì , 4 Ô ‰ äñ²âð1ßhäÝ1ä âäãêî¼õóëñäâäëÝqãêÝrk , 4 Ô « äñ6âð1ß÷äÝ1äâ<äãî¶qߏîë+ÞàäâåMë mÌâð1ß÷ïyãññ+oPwÉð1ß÷âäïyß 7 äÝâ<ߏôá<ãêâäëÝ^äñZõDßàáLmëáïyßOkbèOõbâëPÎ5Ô ‰ o²É w ð1ßpè1Ý1ޏßàáâãäÝâå^äÝ^âðOßpñõ1á<äÝ1ôMñ­âä„É Ý1ßàñ<ñ2. Ì)Ï Z Ò äñ 5 k1ßàñ<ޏáä,nóß+kànå|ã è1Ý1ävmëá<ï k1äñâ<á<ä,On èOâäëÝ}Ì p äâð|ï_ß%ãÝ6587 Ô ƒèõi § ãÝrk q ãêá<äãêÝ1ޏß'9 7 Ô ‰ o²É w ð1ß ñ<ëîèOâ<äëÝdmëá â<ð1á<ßàßBqãêîè1ßàñ{ë‡) m â<ð1ßÇñ<õ1áäÝ1ôZñâ<ävDÉ Ý1ߏññ$. ÔÄÛ ‰ Ѓ'èõ§Ð?~Ü Ü äñÉñð1ëÌ p ÝXäÝUŠ ¬ äôè1áß ‰ n3o wÉðOß6õóëîå-Ý1ëïyäãîDÞ"ð1ãëñÌß+t õ–ãÝOñ<äëÝ1ñ¡m ëá âð1ßÇñ<ëîèOâ<äëÝ , Ì0ÎZÍÏ:É Ò ãÝrk â<ð1ßÇè1Ý1ޏßàáâãäݙõ–ãá<ãïyß âßàá . Ì)Ï É Ò ãá<ß × ×  Ö × , Ì.ÎZÍÏ Ò¨Ô Ö , ð—Ì.ÎLÒ $ð1Ì Ì)Ï Ò ÒÍ . Ì)Ï Ò‘Ô . Ì JÌ)Ï Ò ÒZÍ Ì ‰:‰ Ò ðØ 7 × Ø 7 w ð1ßÜõ–ãá<ãïyß âßàá{Þàë+ß_ É ¢ ޏäßàÝâñ:. ãáß/1k ßàâ<ߏá<ï_äÝOß+™ k è1ñ<äÝ1ô_â<ð1ßÇ× îäÝ1ß%ãáÉ p ßàߏÝ;Ì)Ï Ò ãÝrk × áߏîãêâäë݆Dn ß â­} . Ì)Ï Òo É w ðOßjñ<ß âXë‡Ê m ëõOâ<äïyãî•ëá­âð1ëôëݖãî õóëî å+ÝOëïyäãîñ7Û Ì ÒZÜ  7 äñ™Þëï_õ1èOâ<ß+g k èOñ<äÝOô|â<ð1ß Ø £ áãï|  ‰ Í ‰ €)oNj â<ñ õ1áë:– n ã 1n äîä âåg1k ߏÝ1ñäâå7m è1Ý1Þàâ<äëÝ@?BAYÌ Ì Ò äñ â<ð1ßÊîäÝ1ß%ãêá¿âá<ãÝ1ñ—m ëá<ïyãêâäëÝXë‡ m âð1ߜõ1áë:–n ã On äîä âå†1k ßàÝ1ñ<ä âå 

§

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ. 

1

x K=1

M position x

0.5

K=2.5 0

K

K=4

−0.5 0

C ˜EDGFX˜ H0JI#Œ)”RŽBKL.• ‹MF

0.2

0.4

time t

0.6

0.8

1

CON D3O QPY•)”RŽ:R Œ[email protected][Z\^]`_^ZaBb\˜Ž#šdcfehgGeX

i”QKYPYŒ ‹1XYjlknmY‹=FX˜ H0JI#Œ)”RŽBK•)‹L•3IYŒ  N  R‹MF6oº”„•m$FX˜O)3prqYIYŒ ”¥ŽBKX•)”Qs Ž#‹L 3Sˆ˜ZŽ#š:I‡+”¥•)”RŽ™[R•m#‹tF˜O)nu'

mè1Ý1Þ âäëÝië m=â<ð1ßZñ<õ1áäÝ1ôçñ­âävÉDÝ1ßàñ<ñ)?7BÌJ.PÒo
zy { pÌäâ<ð

× × Ö × . í$ðÌ9Ò ÌÒ™ë:ÌÒ îÍ ò ÍïDÔ « Í ‰ Íè+èèOÍ)áºÍ Ì ‰ ¼:Ò í 5ë Ì9Ò î Ø 7 wÉð1ߕÝ/è1ï_ߏáäޏãîäÝâßàôáãêâ<äëÝZë mâ<ð1ß$kOëèrn1îß ãÝkyâáäõ1îß¿äÝ1Ý1ßàá=õ1áë'kOè1Þàâ<ñ}äÝ ‰ ¼6äñkOëÝ1ß ß¢_ޏäßàÝâîå nåqÞàëïyõOèOâäÝ1ôXâðOß äÝ×âßàôáãîñ²ë { m ï_ëÝ1ëï_äãêîñ} ð ìòAÔ « Í ‰ Íè+èèOÍ?¼OávëÝ1î å:oPwÉð1ßçäÝOÝ1ߏáÊõOá<ëk1è1Þàâ<ñ í 5ë ́ÒLî•ãÝrk í$ð1ÌÒ Ì Ò Bë Ì 9Ò • î ãáߜޏëï_õ1èOâ<ß+i k è1ñäÝ1ôçã ñ<èOïyïyãêâäë݈ë H m â<ð1ߜäÝâßàôáãêîñ•ë H m â<ð1ß ð ï_ëÝ1ëï_äãîñ~ owÉð1äñÌá<ߏñè1îâ<ñÌäݙãœÞëï_õ1èOâãêâäëݖãî%} p ëáLx ë  m gÌ  á%Òo ¹æ/è–ãêâ<äëÝ ‰ ÷ ´ äñÇãçñ­å-ñâßàï ë m™Ì á]ß ‰ Ò@= p ß%ã /x îåˆÞëè1õOîß+k®1k ß âߏáïyäÝ1äñ­âä޲ߏæ/è–ã4âäëÝ1ñìÕñ<äÝ1ޏߜâ<ð1ß ñ<èOïyïyãêâäëÝçäݙâð1ßÜñ<ßàޏëÝrˆ k â<ߏáï ë m¡Ì ‰ ´:Ì Ò áߏñè1îâ<ñ¿ä݈ã_â<á<äv1k äãôëݖãîÓ1n îë-Þç x ïhãêâ<á<ä toÉ w ð1ßÊñ­å+ñ­âßàï ë H m ñߏޏëÝrk's ëá 1k ßàá ߏæ/è–ãêâ<äëÝ1ñ<Ì ‰ ´:Ì Ò Þ%ãÝVón ßAÌ p áäâ<â<ߏÝxãêñ ã÷ñå-ñâ<ߏïë  m é–á<ñ­âLs ëá 1k ßàá•ßæ/è–ã4âäëÝ1ñ+oBÉ w ð1äñ ñå-ñ­âߏï äñÉñ<ëî q ßOkUÌ p ä âð âð1ßÇñ­â"ãÝr1k ãá kgm ëè1á­âð's ëá 1k ßàáÉß+t õ1îäޏä â>Ì ± è1Ý1ôßZs1ª èOâ<âãœïyß âð1ëk3oÉ w ð1ß âäïyß ñâ<ߏõ÷äñHÞ"ð1ëñ<ßàÝ÷âë4D n ß:€ΨԈ§‘ô ‰« ‚ â<ë²ßÝOñ<è1áß¿âð1ãêâ=â<ð1ßÌâäï_ßÉäÝâ<ߏôá<ãêâäëÝZߏá<áëá¼äñ¼ñ<ïyãîîߏáŠâ<ð–ãÝ âðOßÜßàá<áëáÉäÝ âðOßÜñ­âë-Þ"ð–ãñ­âäÞ/1 k äïyßàÝ1ñ<äëÝ3o w ëÜñâèOk åÊâðOß{ÞàëÝ9q ßàá<ôßàÝ1ޏ߿ë Dm â<ð1ßÌõDëîå-Ý1ëï_äãî-Þ"ð–ãëñHâ<ð1á<ßà߄ƒ ߏáá<ëáHï_ß%ãñè1á<ßàñm ëáâð1ßÌßàá<á<ëá “ äÝ âð1ßyïyߏãÝr5†…Ì.ÎLSÒ ì)â<ð1ß]êq ãáäãÝ1Þàß29 … 5 Ì.ÎL6 Ò ãêÝrj k âðOßyõ1áë:–n ã On äîä âåV1k äñâáä,1n è+âäëÝPm èOÝ1Þàâ<äëÝr‡T…Ì , Í ÎLÒ | ð8ë¡Ô .D

‰

¯

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ.  ãáßÜèOñ<ß+k ˆB‰YŠ

5G…Ì0ÎLҍŽ5G… ÔF<  y ‹ 5†… F< Ô Ì0ÎLÒ ‹ y ‹

Ì0ÎLґԌ‹

Ì.ÎLÒ

Í ‹

‹

‹ ‹

ˆEŠ 

9 …5

Ì0ÎLґԑ‹ ‹

‹

‹

Ì0ÎLҍ’9 … 5  F< Ô Ì0ÎLÒ y ‹ Í ‹ 9 … 5 ÔF Ô Ì.ÎLÒ ‹ y ‹

ˆ“^Š Ì.ÎLҨԂö Õ ” ‡T…Ì , Í ÎLÒ=’‡T… y ÔF<  Ì , Í ÎLÒ ” k , è

•}ßàñ<ä,kOߏñ•âðOßÊߏáá<ëá•äÝXâðOßÊïyߏãÝiãÝrˆ k â<Õ ð1ßAêq ãáäãÝ1Þàßìóâð1ߜßàá<á<ëá äÝpâð1ß
Á %ƒ ýó…Õƒ‡‚ ÇM”–Ÿ(–)…“ø/‚Ž”–Œ …DŽSØ —“Œ šàŽ‚4Œ ö–Ž&Œ ƒó… wÉð1ßiîëôÝ1ëá<ïyãî>k1äñâáä,n1è+âäëÝ äñ÷ãÝVäï_õDëáâ"ãêÝ/â ñâãÝrk–ãêá k†k1äñâáä,n1è+âäëÝyëè+âñ<ävk1ß¿â<ð1ß$…¿ñ xêßàå ñÞ"ð1ߏï_ßì+ñ<äÝOޏߕïyãÝå_õDëñäâ<ävqß{õ1ðå-ñ<äÞ%ãîDõ–ãáãêïyß âߏáñ îvä xߕâ<ð1ßÇñ<õ1áäÝ1ôZñâ ß ƒ ã o\jâHÞ%ã Ý nóßÌñ<ߏßàÝ_â<ð–ãêâHëÝOîåÜâð1ßÉé–áñâ­â p=ë6Þàë+ß m s é–ÞàäߏÝâ<ñÉ ë mâð1ߕã á n1ä âá<ãáå_õóëîå-Ý1ëï_äãêî–Þ"ð–ãëñÉZß tOõ1ãÝ1ñ<äëÝçãáß Ý1ë Ý s­·ßàá
Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ. 

arbitrary PC Askey PC

arbitrary PC: mean arbitrary PC: variance arbitrary PC: distribution Askey PC: mean Askey PC: variance Askey PC: distribution

0

10

2.5 2 L1 error

polynomial chaos expansion coefficient Kp

3

1.5 1

−2

10

−4

10

0.5 0 0

−6

1

2 3 polynomial order p

4

10

5

C ˜ED I  ™LŽY[F”õ˜Z šm‡˜ZO%‹œ›^I#˜Ž#”RŽš—‹œžš1”R‹—Ž+• GS1Ÿ

0

1

2 3 polynomial order p

4

5

C>N Dº‹—Œ Œ)OŒGš—Ž–‹LŒKO‹—Žš—‹\[R•m#‹¨O QP• ”¥OŽ

i”QKYPYŒ ‹=\BjrIŒ N ”„• Œ ˜ŒLI  ™LŽY[F”õ˜Z  šm#˜Z+†š—[FI#˜Œ)‹ š•)XI¡‹LI‡O QLŽYYF”R˜ ¢šm‡˜ZO£R Œº˜F R[KŽ#ŒF˜ ‡”RŽBIBPY•ºšY”R•)Œ ”¤H N P • ”¥OŽ¥j FX˜ H0IYŒ)”RŽBK•)‹ .•3IYŒ  N  ¥‹F$

j݆¬Šäôè1áß$¼ nyâð1߿ߏá<áëá}ÞàëÝ9qßàá<ôßàÝ1Þß ë m„âð1ߕñëîè+âäëÝyäñ=ñð1ëpÌÝdmëáFnóëâðhãá nOäâá<ãáåZõóëî å+ÝOëïyäãî Þ"ð–ãëñ•ãÝrkS… ñ êx ßàåXõDëî å-Ý1ëï_äãîAÞ"ð1ãëñ+o¡… áLn1äâ<áãá­åçõDëîå-Ý1ëï_äãî„Þ"ð–ãëñ ãÞ"ð1äßqßàñÇãÝXßZtOõóëÝ1ßàÝâäãêî ޏë݁q ߏáôߏÝ1Þàß²á<ãêâßêìÌ p ð1äîßB… ñLx ßàåçõóëî å+ÝOëïyäãîóÞ"ð–ãëñ>k1ë-ߏñÌÝ1ëâÌÞàëÝ9qßàá<ôßÜßt+õóëÝ1ߏÝâ<äãîîå:owÉðOߏá<ßZs mëáßìêâ<ð1ß ãêá 1n ä âáãêáåÇõóëîå-Ý1ëï_äãêîÞ"ð–ãëñ)äñ)ïyëáßâð–ãÝÊã@ m ãÞàâ<ëá“ë m ‰« — ïyëá<ß=ãޏÞàè1áãêâ<ß}âð1ãÝA¿ … ñ x ß å õóëîå-Ý1ëï_äãêîDÞ"ð–ãêëñXm ëá¶á†Ô ¼o `VcD`SÁ¨_O`" † b ab † ` ‰ *cb†Â † a_cD` ‰ c* fU`Vh)"™b/a † _O` _+`U¿Afga ¿ † b †  ü

¦

"™a)"™b ‰

{}ëïyõ1è+âäÝOô÷Ý/è1ïyßàá<äÞ%ãîîå™ãÝxëõ+âäïyãîÕñ<ß âÇë m¼ëáâ<ð1ëôëݖãî“õDëî å-Ý1ëï_äãîñ{õOá<ëqßàñÇâ<ëdnóßZãîñë ã qêãîè1ã 1n îß6ãõ1õOá<ëãÞ"ðˆâ<ë÷ñ<ëîvq ßm ëá•õ1áë:1n îßàïyñ{äÝ9q ëîv-q äÝOô÷Ý1ëÝ1îäÝ1ߏãáÌâáãêÝ1ñLm ëáïhã4âäëÝpë H m èOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝ äÝOõ1èOâÌõ–ãá<ãï_ßàâßàá<ñOoÉ w ð1äñ{ãõ1õOá<ëãÞ"ð™äñXOk ߏï_ëÝ1ñâ<áãêâ<ß+kgm ëáÌãœñ<äÝ1ôîß è1Ý1ޏßàáâãäݙõ–ãá<ãïyß âßàáÉè1ñ<äÝ1ô ã•ïyãñ<ñ1s ñ<õOá<äÝOô•ñå-ñâ<ߏï ãêÝrkm ëáã•Þàëï1 n äݖãêâ<äëÝ6ë m ïÊè1î âäõOîß¼è1Ý1ޏßàáâãäݜõ–ãêáãï_ßàâ<ߏá<ñŠè1ñ<äÝ1ôÇã ð1ߏãêâ âá<ãÝ1ñ—m ߏáÌõ1á<ë 1 n îßàï äݙãÊâ­= p ë‡s­1k äïyßàÝ1ñ<äëݖãî„Þ"ð–ãÝ1Ý1ßàl ëp/o ` ƒó…“ŸRŒ …Ձ-”O‚yŽ‚&”–…“šE§ƒ‚#Çj”OŽ&Œƒó…)šÊƒl§{”–…¨–“…)ø/‚Ž”–Œ …²Æ“”1‚&”ÇjŽ/‚ íðå-ñ<äÞ%ãî“õ–ãá<ãïyß âßàá<ñ{ë Ôm âßàÝpð–ã q ßÊãÝpäÝ1ð1ßàá<ßàÝ/â¿è1Ý1Þàߏá­â"ãäÝ/âå™äݙâ<ߏá<ï_ñÌë mã_ñâãÝrk–ãáLkXè1ÝOޏߏá1s â"ãêäÝâå5O k äñâ<á<äv1n èOâäëÝ÷ñè1Þ"ðXãêñÉãÊÝ1ëáïhãîÓ1k äñ­âáä,1n èOâ<äëÝoNj Ýçïhã4âð1ßàïhãêâ<äޏãîïyë1k ߏîñ=â<ð1ߏñßÜõOð/å-ñäÞ%ãêî õ–ãá<ãï_ßàâßàá<ñ5m áߏæ/è1ßàÝ/â<îå ãõ1õóß%ãáhäÝVãjÝOëÝ1îäÝ1ß%ãêá_â<áãÝ1ñ—m ëá<ïyãêâ<äëÝbß žo ôro äÝ9 q ßàá<ñßì{ß+t õDëÝ1ߏÝâäãîì ñ<æ/è–ãêá<ß²áë+ëêâ%ì1ß âÞ  o ©•è1ß âëZâð1ßàñ<ß²ÝOëÝ1îäÝ1ß%ãêá âߏáïyñÌäÝ1ñ<ßàáâäÝ1ôœâð1ßÜõóëîå-Ý1ëï_äãêî„Þ"ð–ãëñ¿ßZOt õ1ãÝ1ñ<äëÝ mëá}â<ð1ßÇè1Ý1ÞàߏáâãäÝçõ–ãêáãï_ßàâ<ߏáÉãÝX k ãõOõ1îå-äÝOôœãDÜ £ ãîߏáL-x äÝ õ1á<ëYé ߏÞàâ<äë݆Ok ë+ßàñ{ÝOëâÌá<ßO1k è1Þß â<ë_äÝ1Ý1ßàá õ1áë'1 k èOÞàâñë‡mJ–n ãñ<äñõóëîå-Ý1ëï_äãêîñ+oœ–¬ ëá)ßOt ãï_õ1îß=ޏëÝOñ<ä,Ok ߏáŠâ<ð1ß ñ<æ/è–ãêá<ßÉá<ë-ëâŠë óm ãݜè1Ý1Þàߏá­â"ãäݜäÝ1õ1è+â õ–ãá<ãï_ßàâßàáªÌÏ:Òo+ ¤ èr1n ñ­âäâ<èOâäÝ1ô äâ<ñõDëîå-Ý1ëï_äãî-Þ"ð–ãëñ=ßZOt õ1ãÝ1ñ<äëÝSÌ ƒ: Ò ãÝy k ãêõ1õ1îå-äÝ1ôÜãÇ £ ãîߏá /x äÝ ¦ ‡

^

µ

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ. 

1

0.8

2

10

exact arbitrary PC expansion Askey PC expansion

arbitrary PC: mean arbitrary PC: variance arbitrary PC: distribution Askey PC: mean Askey PC: variance Askey PC: distribution

0

10

0.7 −2

0.6

L1 error

probability distribution function FK

0.9

0.5 0.4 0.3

−4

10

p=3−4

0.2

−6

10

p=0

0.1 0 0

10

p=1−2 −8

1

2 3 spring stiffness K

4

10

5

C ˜ED£I  ™LŽY[F”õ˜Z ¥šm#˜O‹œ›^I#˜Ž#)”¥OŽ„R OŒ3«­¬ C S®D

0

1

2 3 polynomial order p

4

5

C>N Dº‹—Œ Œ)OŒGš—Ž–‹LŒKO‹—Žš—‹\[R•m#‹¨O QP• ”¥OŽ

i”QKYPYŒ ‹°¯Bj/œŒ N ”¥•)Œ˜ZŒL±I  ™L+Ž#[F”R˜ 3šm#˜Z+1R Œ¡˜š—O)”¥ŽY‹B”RŽBIBPY•@š”õ.• Œ)” N P• ”¥OŽ²š—[FI#˜Œ)‹ š• I¡‹MLI‡O QLŽYYFF”õ˜Z  š#m ˜Oj­X F ˜ JH IYŒ ”¥ŽBK•)‹ .•3I#Œ) N  ¥‹F™

õ1áë#éßÞ âäëݙáߏñè1îâ<ñ{äÝ

êµ´



Ö Õ ªœð$ð—Ì9Òz¶„· ÍwBë Ì9Ò ì Í ïDÔ « Í ‰ Íèèèè Ì ‰ ~9Ò ðØ 7 wÉð1äñ}ßt+õ1áߏññ<äëݙޏãÝ1Ý1ëêâ á<ߏã k1äîånóߕá<ßO1k è1ޏßOk÷âëÊÞàëÝâ"ãäÝ÷äÝOÝ1ߏá=õ1á<ëk1è1Þ âñ ë 3 m n–ãñ<äñ õóëîå-Ý1ëï_äãêîñ í$ð1́ÒZÍ™ë ́ÒLîÉëÝ1îå o …¿Ývãî âߏáݖãêâ<ävq ß_ãõOõ1á<ëãêÞ"ð¸} p ëè1î,k!Dn ß_âëXÞàëÝ1ñä,1k ßàáÜâ<ð1ßhñæ-è1ãá<ß÷áë+ëêâ)¸ÌÏ:Ò4Ô ³ ªÌ)Ï ÒÜãêñÜâ<ð1ß è1Ý1Þàߏá­â"ãäÝväÝ1õ1è+âœõ–ãá<ãïyß âßàá+oPj Ývâð–ãêâÊÞ%ãñß÷âð1ß Ý1ëÝ1îäÝ1ß%ãáÜâßàá<ïúäñ²â<áãÝ1ñ—m ëá<ï_ß+kqâ<ëiãˆîäÝ1ß%ãá âßàá<ï m ëá¶Ì p ðOäÞ"ðyâ<ð1ß@Ü £ ãêîߏáL/x äÝZõ1á<ëYé ߏÞàâ<äëÝ1k ë-ߏñ¼á<ßàñ<è1î â¼äÝZäÝ1ÝOߏáHõ1á<ë1k è1Þ âñ¼ë mӖn ãñ<äñHõDëî å-Ý1ëï_äãîñ+o w ð1ß¡1k äñ<ã kêq ãÝâ"ãêôßÌë „m â<ð1äñ¼ãõ1õOá<ëãÞ"ðyäñâð1ãêâHâð1ßÌõ1ðå-ñ<äÞ%ãîóõ–ãá<ãïyß âßàáªÌ)Ï  É Ò ë Ôm âßàÝhð–ãñ¼ãÇÝ1ëáïhãî ëáÜãÝ1ëêâð1ßàá6ñ­â"ãÝr1 k ãá k®1k äñ­âáä,1n èOâ<äëÝo]¿ … ñ²ãçá<ßàñ<è1î â6ä âñÇÝ1ëÝOîäÝOß%ãá•â<áãÝ1ñ—m ëá<ïyãêâ<äëÝ@¸Ì)Ï Ò™1k ë+ßàñ6äÝ ôßàÝ1ߏá<ãîŠÝ1ëêâ•Þëá<á<ßàñ<õóëÝrˆ k â<ë ãhñâãÝr–k ãêá ki1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝ[email protected]¿ u ëï_ëôßàÝ1ߏëèOñ•ãÝrkV¿ … ñ êx ßàåˆõóëî å+ÝOëïyäãî Þ"ð–ãëñ}ß+ t õ–ãêÝ1ñ<äëÝ1ñ}ޏãÝ÷ãêÞ"ð1äßq ߕßZOt õóëÝ1ßàÝâäãêîóÞàëÝ9q ßàá<ôßàÝ1ޏߙm ëá¼è1Ý1Þàߏá­â"ãäÝhäÝOõ1èOâñ¨Ì p äâ<ð÷ãÇÝ1ëáïhãî ãÝrp k ñ<ßq ߏá<ãî“ëâð1ßàá¿ñ­â"ãÝ–k ãá k71k äñ­âáä,1n èOâ<äëÝOñ+oFÉ w ðOäñÌäï_õ1îäߏñ â<ð–ãêâÌâð1ßÜõóëîå-Ý1ëï_äãêî„Þ"ð–ãëñ ß+t õ–ãêÝ's ñ<äëÝQ= p ëè1î,^ k Ý1ëêâDn ßçã On îß÷âëxë On â"ãäÝvß+t õóëÝ1ߏÝâ<äãîÉÞàëÝ9q ߏáôߏÝOޏßgm ëáÊâð1ß èOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝ^õ–ãá<ãïyß âßàá ¸Ì)Ï ÒB|„O µ ì ‰« €)o ± ߏÞàߏÝâî åìâ<ð1ß õóëîå-Ý1ëï_äãêîÞ"ð–ãëñï_ßàâ<ð1ëÊ Ì k ð–ãñón ߏßàݜß-t âßàÝr1k ß+Z k âë á<ß%ãêÞ"ðœß+t õDëÝ1ߏÝâäãîOÞàëÝ9q ßàá—s ôßàÝ1ޏßBm ëáÉãêá 1 n ä âáãêáåyè1Ý1ޏßàáâãäÝâådOk äñâ<á<äv1n èOâäëÝ1ñ/|„+´ 쵇€ oj âÌäñÉãœÞëïA1n äݖã4âäëÝ÷ë Õ m âð1ß õóëî å+ÝOëïyäãî Þ"ð–ãëñ ß+ t õ–ãêÝ1ñ<äëÝxãÝrX k ã݈ëá­âð1× ëôëÝ–× ãîä,· ãêâäëÝ ãîôëá<ä âð1ï âëyÝ-èOïyßàá<äޏãîî å ޏëïyõ1è+âß6ãÝXëõ+âäïyãî ñ<ß â_ë m$1 n ãñ<äñœõDëî å-Ý1ëï_äãîñDÛ Ì 9ÒZÜYã 7 ëáâðOëôëݖãêîÌ p äâ<ð^á<ߏñõDßàÞàâ_âëxâðOß õ1á<ë:1n ã 1n äîäâå®1k ßàÝ1ñ<ä âå Ø mè1Ý1Þ âäëÝjë = m âð1ßyè1Ý1ÞàߏáâãäÝMõ–ãá<ãïyß âßàá+( o •=å è1ñäÝ1ô™âð1ß_õ1áë:–n ã 1n äîä âåV1k ߏÝOñ<äâåPm è1ÝOÞàâäëÝ ë  m ¸Ì)Ï Ò ãñ>} p ßàäôðâ<äÝ1ô<m è1Ý1Þ âäëÝpäݙâ<ð1ßÜëáâ<ð1ëôëÝ1ãîä âåháߏîã4âäëݸÌ)´: Ò ìãZñ<ß â ë‡ m õóëîå-Ý1ëï_äãêîñ}äñÌޏëï_õ1èOâ<ß+k í³ ªÌÏ:ÒZÍ™ë:ÌÒ î¨Ô

³

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ. 

1 probability density function

probability distribution function

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.6

M M*=M−1 0.8

1

1.2 1.4 M, M*=M−1

C ˜EDGPYŽY”QR ŒFµIYŒ  N ˜ N

1.6

1.8

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

2

”R ¥”¥•L¡š”õ.• Œ)” N P• ”¥OŽ

M * −1 M =M

0.5

1

1.5 M, M*=M−1

CON D3 R[KOŽYŒFX˜Z ˜IYŒ) N ˜ N

2

2.5

3

”¥ R”„•[email protected]š‹—Ž#)”¥•L

i”QKYPYŒ)‹=aj ¹0ŽBIBP•3PYŽš1‹—Œ)• ˜”¥Ž+•L¡šY”R•)Œ ” N P•)”RŽ#GR OŒ3•mY‹tFX˜O)3”RŽ$•mY‹tFX˜ JH  IYŒ ”¥ŽBK1IYŒ  N  R‹MF™

pÌð1äÞ"ðpޏã݈ãÞ"ðOäßOqß6ßZt+õDëÝOߏÝâäãîޏëÝ9qߏá<ôߏÝ1ÞàßAmëá âðOß6Ý1ëÝ1îäÝ1ß%ãá=âáãêÝ1ñLmëáïhã4âäëÝ ë mŠâ<ð1ßÇäÝ1õ1è+â è1Ý1Þàߏá­â"ãäÝ/âåà1 k ߏñޏá<ävDn ßOk /n 庸FÌÏ:ÒZoçj ÝVâð1äñ5} p ãå õ1á<ë:nOîߏï_ñ÷ä݁qëîvq-äÝ1ôvÝ1ëÝ1îäÝ1ߏãáyâ<áãÝOñLmëáïhã#s âäëÝ1ñÉë “ m è1ÝOޏߏá­â"ãäÝçäÝ1õ1è+âÌõ–ãáãêïyß âߏáñÉÞ%ãÝgón ßÇð–ãÝrk1îß+k™ãñÉߢyÞàäßàÝ/â<îå÷ãñÌëâð1ßàáÉõ1á<ë n1îßàïyñOowÉð1ß Þëïyõ1è+â"ãêâ<äëݖãêîޏëñ­âÊë m â<ð1ßhÝ/è1ï_ߏáäޏãî=Þàëï_õ1èOâ"ã4âäëÝMë } m âð1ß]–n ãñ<äñ²õóëîå-Ý1ëïyäãîñ•äñ6ÝOߏôîäôäv1n îß Þëïyõ–ãêá<ß+Z k âëÇâðOß¿ÞàëïyõOèOâ"ãêâ<äëÝ1ãî1ޏëñâ=ë A m ñëîv-q äÝOôÇâ<ð1ß{è1Ý1ޏßàáâãäÝâå_æ/è–ãÝâä é–Þ%ãêâ<äëÝ_õ1áë:1n îßàï Ì § Ò äâ<ñ<ßàîvm1o¶¹N+ t õóëÝ1ߏÝâ<äãî–ÞàëÝ9q ߏáôߏÝOÞß äñ¨1k ߏï_ëÝ1ñ­âáã4âß+km ëáHã ïyãñ<ñ1s ñ<õOá<äÝOôÇâ<ߏñ­â}õ1áë:1n îߏïsñèrné ßàÞàâ}â<ë ëÝ1ß6è1Ý1ÞàߏáâãäÝxõ1ãáãï_ßàâ<ߏá¿ãÝrˆ k ä â•äñ ãõOõ1îäß+p k â<ë÷ïÊè1î âäõ1îßÇè1Ý1Þàߏá­â"ãä݈õ–ãá<ãïyß âßàá<ñ@m ëá¿âðOß²ð1ߏãêâ âá<ãÝ1ñ—m ߏáÌõ1á<ë 1 n îßàï äݙãÊâ­= p ë‡s­1k äïyßàÝ1ñ<äëݖãî„Þ"ð–ãÝ1Ý1ßàl ëp/o aAÅ VÇj”1š%šüš+Æ)‚4Œ …Iý¸Æ)‚&ƒöŠŸÇ jÝpâð1äñ{ñßÞ âäëÝpâðOß²îäÝ1ß%ãêáÉïhãññ—sñ<õ1áäÝ1ô_âߏñ­â õOá<ë:n1îߏï pÌä âðˆãêÝXè1Ý1Þàߏá­â"ãäÝXïyãñ<ñ{õ–ãá<ãïyß âßàá ñ<ènéßÞ âÜâ<ëçãhÝ1ëÝOîäÝOß%ãá{âáãêÝ1ñLm ëáïhã4âäëÝXäñ ޏëÝ1ñä,k1ßàá<ßOkPpÌä âðxãêÝxè1Ý1ޏßàáâãäÝxïyãñ<ñ} ìñ<ßà߬Šäô‡s è1áß ‰ ãoÉ w ð1ßZè1Ý1Þàߏá­â"ãäÝ ïyãññ» Ì)Ï Ç Ò ãêõ1õDߏãá<ñÇä݈âߏáïyñ ë‡} m ä âñ äÝ9q ߏá<ñßyä݈âð1ßZñߏޏëÝrk â<ߏáï ë m Ì ‰« Ò{ o ò$ m Þàëè1á<ñßìóïÊè1î âäõOîå-äÝ1ôUÌ ‰« ÒXn å¼ } p ëèOî,kSOn á<äÝOô² â<ëyâ<ð1ß6é–áñâ¿âߏáï ë  m â<ð1ß²ßàæ-è1ãêâäëÝ ÞëÝ/âãäÝOäÝ1ôÊâ<ð1ß6ðOäôð1ßàñâÌâßàïyõóëá<ãî1 k ßàá<äq ã4âävq ßÇë ) m â<ð1ßÇߏæ/è–ãêâ<äëÝo‘j ݙâð–ã4âÌÞ%ãñß6ßZOt õOîäÞàäâ â<äï_ß äÝ's âßàôáã4âäëÝ5} p ëè1î,÷ k äÝ9q ëîq ßÇãÝ÷äÝ9q ߏáñ<äëÝ ë Õ m âð1ß Þëè1õOîß+k ïyãêâ<á<ä_ t áߏñè1îâ<äÝ1ôAm áëï âð1ß ãêõ1õ1îäÞ%ãêâ<äëÝ ë H m õóëîå-Ý1ëïyäãîÕÞ"ð–ãëñOo4É w ðOߏá<ßm ëá<ßêìAð1ßàá<ߜäâ äñ¿Þ"ð1ëñ<ßàÝ â<ëd1k ß é–Ý1ßÊâðOßÊÝ1ëÝ1îäÝ1ߏãá¿â<áãÝOñLm ëáïhãêâ<äëÝ ë É m â<ð1ßhëáäôäݖãîäÝ1õ1èOâ²õ–ãáãêïyß âߏá Ì)Ï ² Ò ãñ²ãXÝ1ßOp è1ÝOޏߏá­â"ãäÝqõ–ãá<ãï_ßàâßàá< ÌÏ:Ò ’ ½ Ô  ÌÏ:Ò o j ÝVŠ ¬ äôè1áß_ ~ âð1ß6è1Ý1ävm ëá<ï ãÝrX k îëôÝOëá<ïyãîè1Ý1Þàߏá­â"ãäÝ/âåU1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝ1ñ{ë ~ m  ÌÏ:Ò ãÝp k âðOßÊޏëáá<ßZs ñ<õóëÝrO k äÝ1ô6è1Ý1ޏßàáâãäÝâå]1k äñ­âá<äv1n èOâ<äëÝ1ñHë 3 m g’#Ì)Ï:H Ò ãáß ñ<ðOëYÌ p Ýo‘j â}Þ%ãÝ]Dn ß¿ñ<ßàߏÝ÷âð1ãêâ}â<ð1ß Ý1ëÝ1îäÝ1ß%ãá âá<ãÝ1ñ—m ëá<ïyãêâäëÝió n ßàâ­= p ߏßàݵ Ì)Ï Ò ãÝrr k  ’ Ì)Ï ÒBOk ßOm ëáïyñ•â<ð1ßZëá<äôäݖãêî)è1ÝOޏߏá­â"ãäÝâåP1k äñ­âá<äv1n èOâ<äëÝ1ñ ñ<äôÝ1ä é–Þ%ãÝâ<îå:o ¤ äÝ1Þàß{â<ð1ß¿èOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝâå_ë 3 m  ’ ÌÏ: Ò Þ%ãÝ_Ý1ëâón ß@1k ßàñ<Þàá<ä,ón ß+k]n åyñ­â"ãÝ–k ãá k]1k äñ­âáä,1n èOâ<äëÝOñìâðOß¿ëõs ¦ ‡½

‰«

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ.  âäïhãêîñ<ß âñë mOëáâ<ð1ëôëݖãîn–ãñäñ“õDëî å-Ý1ëï_äãîñAð–ãqß}â<ë@nóß}Þàëï_õ1èOâßOk²Ý/è1ï_ߏáäÞ%ãêîîå âë{á<ß%ãêÞ"ðÊßt+õóë‡s Ý1ßàÝ/â<äãî/Þàë9 Ý qߏáôߏÝOޏ ß o¨w“ë : ë n+â"ãäÝ6Zß tOõóëÝ1ßàÝâäãêî+Þàë9 Ý qߏáôߏÝOÞß âðO ß p=ߏäôð/â<äÝ1> ô mè1Ý1Þ âäëÝAù́ÒAäÝ†Ì ´ Ò ð–ãñ“â¡ ë nDß=ߏæ/è–ãî/âë{âð1ß¼õ1á: ë n– ã n1äîä âB å k1ߏÝOñ<äâ/ å mè1ÝOÞàâäëÝ®?BYA ́  Ò ë m¾O‡ì pÌð1ßàá<ß~J  Ì)Ï ÒÕäñâð1ß=îäÝOß%ãáâá<ãÝ11ñ s mëáïhãêâ<äëÝp ë mHâð1ߜèOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝiäÝ1õOèOâ õ–ãá<ãï_ßàâßàá° ’ ÌÏ:Ò¿âëçã÷ñ­â"ãÝ k–ã á kPk1ëïhãäÝ |¿ ‰ Í ‰ € ì | « ÍwT À Ò ë á ÌM$‚ À ÍT À ÒZowÉð1ßÜñ<ßàâ<ñ ë mŠëáâ<ð1ëôëݖãîõóëîå-Ý1ëï_äãêîñÉãáß6Þàëï_õ1èOâOß kXè1ñäÝ15 ô £ áã< ï s—¤+Þ"ðOïyvä kOâÉë1á s âðOëôëݖãêî,ä ·ãêâäë3 Ý owÉðOßÊõDëîå-Ý1ëï_äãîZß t+õ–ãÝ1ñäëÝ[email protected] ñ mëá{â<ð1ßÊõóëñ<ä âäëÝp‡ë mâð1ß²ïhãññ , Ì0ÎZÍÏ:Ò{ãr Ý kXâ<ð1ß è1Ý1Þàߏá­â"ãäÝpõ–ãêáãï_ßàâ<ߏá„ ’ ÌÏ:Ò ãáß  , Ì.ÎZÍÏ Ò‘Ô Ö , ð1Ì.ÎLÒ$ð—ÌÌ)Ï:ÒLÒÍ  ðØ 7 pÌäâ<ð âð1ßÇõ–ãá<ãï_ßàâßàáÉޏë-ßO_ ¢ ޏäߏÝâñ × íg’YÌ9× ÒÍ  ’ Ô í Ì Ò

× × Ö × ’ Ì)Ï Ò‘Ô  ’ ÌJÌÏ:Ò ÒZÍ Ø 7

5

× î

ÌÒ î è

Ì ‰ § Ò

Ì ‰ ¯:Ò

¤+äÝ1ޏß}â<ð1ß Ý/è1ïnóߏáŠë mè1Ý1Þàߏáâãäݜõ1ãáãï_ßàâ<ߏáñ¶Ý÷äñ)ëÝ1ßêìâð1ß Ý/è1ïAnDßàáë mßt+õ–ãêÝ1ñ<äëÝÊâßàá<ï_ñ>Ì)Þgß ‰ Ò ßæ/è–ãêîñUÌ á†ß ‰ ÒoQy¿ëâ<äޏßyâð–ãêâœâ<ð1ßçëõOâ<äïyãî=õóëî å+ÝOëïyäãî¼Þ"ð–ãëñZßt+õ–ãêÝ1ñ<äëÝ}mëáÊâð1ß èOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝ õ–ãá<ãï_ßàâßàá ’ äÝ Ì ‰ § Ò²äñœßtOãÞ â_äÝvâð1ß é–áñâZâ­p=ë â<ߏá<ï_ñk1è1ß âëxâ<ð1ßçîäÝOß%ãá²â<áãÝOñLmëáïhãêâ<äëÝ nóßà­â p=ߏߏݼ ’ Ì)Ï Ò ãrÝ k(J ÌÏ:Òo‘¤-rè n1ñâ<äâ<èOâäëÝ ë m“âð1ßÇõóëîå-Ý1ëï_äãêîD× Þ"ð–ãêëñÌ ñ Ì ‰ §:Ò}äÝ/â
zy { pÌäâ<ð × × ‰ Ö ×  ’ í$ð1́ Ò Ì9 Ò™ë ́ ÒLîOÍ 4 ðõ’ ë Ô Ì ‰ µ:Ò í ë5 ́ ÒLî Ø 7 pÌð1äÞ"ð²äñ“ã{ñå-ñâ<ߏïl ë mœÌ8áœß ‰ Ò3k1ß âßàá<ï_äÝ1äñâäÞߏæ/è–ãêâ<äëÝO+ñ oIwÉð1ß}áߏñ<èOîâäÝ1ô{ñå-ñâ<ߏïl ë m1ßàæ/è–ãêâäëÝ1F ñ Ì ‰ ´ Ò ä¨ ñ p=ß% ã x/îå_Þàëè1õ1î+ß kAì-ñ<äÝ1ޏß{âð1ß{ñ<è1ï_ïyãêâäëÝZäÝyâ<ð1ß{ñ<ߏÞàër Ý k÷â<ߏá<ï ë mÌ ‰ ´ ÒHáߏñ<èOîâñ=äÝyãÜâ<á<,ä kOäãôëݖãî ïyãêâáä tÓoœwÉð1ß ñ<èOïy× ïyãêâäëÝÜîë-ëõ1ñ“Yë qߏ¶ á ò\Ô ïy#ã tJۇï= ‰ Í « ܁ÍèèèZÍï_ä% Ý Û‡ïœß ‰ Í áÜ/#ì nóߏޏãè1ñß âð1ß¼âá<äõ1îß õ1á' ë k1èOÞàg â í™ð­Ì9  Ò Ì9  Ò™ë:́  ÒLîÜäñÜߏæ/è–ãêî¼âk1ߏávä qOß kimá<ëï â<ð1ß²è1ÝOvä mëáÿ ï k1äñ­âá
Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ. 

exact PC (p=4)

mean variance distribution Legendre

0

10

0.8 −2

10 0.6

L1 error

probability distribution function

1

0.4

−4

10

−6

0.2

10

0 −0.9

−8

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5 −0.4 position x

−0.3

10

−0.2

C ˜YDGP#Žš1‹LŒ•˜Z”RŽO•L>šY”R•)Œ ” N P•)”RŽ™RÄu i”QKYPYŒ ‹~_^jӒO QPY•)”RŽ™Rr•m#‹tF˜O)JH0JIYŒ ”RŽBKIYŒ) N  R‹MF š”õ.• Œ)” N P • ”¥OŽ

0

1

2 3 polynomial order p

4

5

C>N D3‹—Œ Œ)OŒGš—Ž–‹LŒKO‹—Žš—‹

P N Ÿ.‹š­•º• >˜ZŽ}PYŽš—‹—Œ)• ˜”¥ŽdFX˜ noº”„•m/˜PYŽY”QR ŒF6PYŽš1‹—Œ)• ˜”¥Ž+•L

k1äñâáä,n1è+âäëÝ!mè1Ý1Þ âäëÝAìŠâ<ð1ß÷ï_ß%ãÝvãêÝrkjâðOß5qêãá<äãÝ1ޏßyë m , Ì ƒÍÏ:Ò6äñ²ñð1ëpÌÝ^ãñAmè1Ý1Þ âäëÝqë mÉâ<ð1ß õóëîå-Ý1ëï_äãêî¼ëá 1 k ßàá+Å o ÃÕßàôߏÝ1k á<ß õóëîå-Ý1ëïyäãîHÞ"ð–ãëñœäñÊÞ"ð1ëñߏÝ|ñ<äÝOޏß÷âðOßàåvãêá<ß ëõOâ<äïyãîmëá²â<ð1ß è1Ý1äm ëá<ï 1 k äñâ<á<ä,On èOâäëÝ3Ü o ò•Ý1îå™âðOßÊÝ/è1ïyßàá<äÞ%ãîîå™Þëï_õ1èOâ<ß+x k ñßàâÇë ¼ m õóëîå-Ý1ëï_äãêîñ{ãÞ"ð1äßOqßàñ ßt+õóë‡s Ý1ßàÝ/â<äãîŠÞëÝ9 q ßàá<ôßàÝ1ޏßDm ëá•âðOß_ÝOëÝ's ñ­â"ãÝ–k ãá kP1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝxë 1 m  ’ Ì)Ï Òoj Ý!Š ¬ äôè1á<ß<÷ ¯ â<ð1ßZá<ߏñè1îâ<ñ mëá± ’ Ì)Ï:Ò4–n ãñ<ßO^ k ëÝqâð1ßhîëôÝOëá<ïyãî¨1k äñ­âáä,1n èOâ<äëÝ®m ëáÊïyãñ<ñ< Ì)Ï ² Ò ãá<ßhôävq ߏÝ3o®j Ý Š ¬ äôè1á<ß5¯ ã âðOß²ãõOõ1á<ë+ t äïyãêâäëÝçë Š m â<ð1ß41k äñ­âá<äv1n èOâ<äë݆m è1Ý1Þ âäëÝpë‡m , äñ{ôävq ßà݈ãÝp k âðOß6ßàá<á<ëá¿ÞàëÝ9q ߏáôߏÝOޏßÊäñ ñ<ðOëYÌ p ݈â<ë5ón ß²ßZOt õóëÝ1ßàÝâäãêî)äÝSŠ ¬ äôè1áßA¯ no¡É w ðOßÊá<ßàñ<è1î âñ¿ãá<ß6ޏëï_õ–ãáß+p k â<ëd{ u ߏá<ï_äâ<ß6õóëî å+ÝOëïyäãî Þ"ð–ãëñ/Ì p ðOäÞ"ðjäñ ëõOâ<äïyãîIm ëá•âð1ßZÝ1ëáïhãêî¶1k äñ­âáä,1n èOâ<äëÝoj âÇÞ%ãÝ®ón ß_ñߏßàÝMâð1ãêâÇäñ ÞàëÝ9q ߏáôߏÝOޏߏñ ñ<äôÝ1ä é–Þ%ãÝâ<îåyñ<îë= p ߏá â<ð–ãÝ âð1ß Ý/è1ï_ߏáäޏãîî åZޏëï_õ1èOâ<ß+ç k ñ<ß â¿ë‡) m ëáâðOëôëݖãêî„õóëîå-Ý1ëï_äãêîñ+oIÉ w ð1ßàñ<ß á<ßàñ<è1î âñ@1 k ߏï_ëÝ1ñ­âáã4âß6â<ð–ãêâ{âð1ß²ãõ1õ1áëãÞ"ðˆë‡ m ޏëï_õ1èOâ<äÝ1ô_âð1ß6ëõOâ<äïyãîñ<ß â•ë  m ëáâðOëôëݖãêî“õóëî ås Ý1ëï_äãêîñ@m ëá•âð1ßZÝ1ëÝOîäÝOß%ãá â<áãÝOñLm ëáïhãêâ<äëÝXë = m â<ð1ߜè1Ý1Þàߏá­â"ãäÝMäÝ1õ1èOâÇäñÇãÝißO_ ¢ ޏäߏÝâ6ãõ1õ1áëãÞ"ð ë m\1 k ß%ãêîäÝOôÌ p äâð â<ð1äñÉâå-õDßÇë ) m Ý1ëÝOîäÝOß%ãáäâäߏñOo ¦ ‡!

½e

Å -”+Ž_Ž%‚4”1…)šE§-‚

jÝiâðOäñ ñ<ßàÞàâ<äëÝ ã Ý1ëÝ1îäÝ1ߏãá â<áãÝ1—ñ mëá<ïyãêâ<äë݈äÝ9qëîq+äÝ1ô ïÊè1î âäõ1îß6è1Ý1ޏßàáâãäÝiõ–ãá<ãï_ßàâßàá<ñ äñ ޏëÝ1ñ<ävk1ߏáß+khäÝ_â<ð1ß{ޏëÝâßZt-â}ë m„ð1ß%ã4â=â<áãÝ1ñ—mߏáHäÝyã â­p}ë‡sk1äï_ߏÝOñ<äëݖãî1Þ"ð–ãêÝ1Ý1ߏîJl–ëpÇì-ñ<ߏß@¬Šäôè1á<ß@´'o ò mÔâßàÝXïÊè1î âäõ1îß è1ÝOޏߏá­â"ãä݈õ–ãá<ãï_ßàâßàá<ñ{Þ%ãS $ Ý nDßÜޏëïAn1äÝ1ßOkXäÝ/â<ë÷ã_ñ<äÝOôîßÇñ<äïyäîãáäâåyõ–ãá<ãïyß âßàá ä9 Ý qëvî q-äÝOô Ý1ëÝ1îäÝ1ߏãá)â<áãÝ1—ñ mëá<ïyãêâ<äëÝ1Oñ oN¬–ëá)âð1ßÌð1ߏãêââá<ãÝ1Lñ mßàáäÝÊâ<ð1ß ­â p}#ë s­k1äïyßàÝ1ñ<äëݖãî+Þ"ð–ãÝ1Ý1ßàî l–ë p ãÝMè1Ý1ÞàߏáâãäÝ ð1ߏãêâ²ÞàërÝ k1èOÞàâä q-äâåŜ Æ Ì)Ï Ò N ì k+å+Ý1ãïyä Þ q-äñ<Þàëñ<ä âåǨ 5 Ì)Ï ÒÜãêr Ý kMõOá<ߏññ<è1áß÷ôá< ã k1äßàÝâ ' … ÌÏ:ҕÞ%ã! Ý nDß_ޏë ï n1äÝO+ß k äÝâëpãÝ è1Ý1ޏßàáâãäÝMíßÈ Þîßàâ6Ý/è1 ï nóߏ á Þ)

ÌÏ:Ò/Ô Ñ\Ì)Ï Òƒ~Á¢œ Æ Ì)Ï Òo]wÉð1ßhè1 Ý s ' ޏßàáâãäÝâd å kOäñâ<á
Ì)Ï:Ò¼äñÉäÝ÷â<ð–ãêâÉޏãñ<ßÜãœÝ1ëÝOîäÝOß%ãá=ޏë ï nOäݖãêâ<äëÝh ë mÕâð1ß è1ÝOޏߏá­â"ãäÝâå k1äñâá,ä n1è+âäëÝ1ñÌ ë m~œ Æ Ì)Ï Ò ìl¨ 5 Ì)Ï Ò{ãêr Ý k ' … ÌÏ:ÒZo¡w“ëháßàâãäÝpß t+õDëÝ1ߏÝâäãîÕޏë9 Ý qߏá<ôߏÝ1ÞàßìAâðOß6ëá­âð1ëôëݖãî ' õóëîå-Ý1ëï_äãê3 î n–ãñäñ ð1ãñ â5 ë nDß6ޏëÝ1ñ­âáè1Þàâ<+ß kxÝ/è1ï_ߏá<äÞ%ãîî å o¡wÉðOßÊëèOâ<õ1èOâñ ë mHäÝâßàá<ßàñâ ãêá<ß6â<ð1ßÊè1 Ý s ‰ƒ

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ. 

exact PC (p=4)

mean variance distribution Hermite

0

10

1.5

−2

10 L1 error

probability density function

2

1

0.5

−4

10

−6

10

0 −1

−8

−0.8

−0.6

−0.4 −0.2 position x

0

0.2

10

0.4

0

C ˜YDGP#Žš1‹LŒ•˜Z”RŽO•L>šY”R•)Œ ” N P•)”RŽ™RÄu

1

2 3 polynomial order p

4

5

C>N D3‹—Œ Œ)OŒGš—Ž–‹LŒKO‹—Žš—‹

i”QKYPYŒ ‹3ÉBj’ ™P•)”RŽR •m#‹3FX˜ H0JI#Œ)”RŽBKIYŒ) N  R‹MF!P N Ÿ.‹š­•• ¨˜ZŽPYŽš—‹—Œ)• ˜Z”RŽFX˜  oº”„•mX˜¶ ¥YKŽYOŒFX˜Z PYŽš1‹—Œ)• ˜”¥Ž+•L š”õ.• Œ)” N P • ”¥OŽ

ޏßàáâãäÝâå äÝ âð1ß_âߏï_õóߏáã4âè1áß_é–ßàî,kvãêÝrkjâðOßhè1Ý1Þàߏá­â"ãäÝ/âå®n–ãêá<ñmëáÜâ<ð1ßyâ<ߏï_õDßàáãêâ<è1á<ßyëÝMâ<ð1ß è1õ1õóߏX á p}ãîî)o wÉðO/ ß l1Yë p äÝyâð1ߕâ­p=ë‡s­kOäï_ߏÝ1ñäëݖãêî„Þ"ð–ãÝOÝ1ߏîäñÉãñ<ñè1ï_ß+k âë
Ñ\ÌJÊÒ¶ÔË

‰ k á 5 ÌÌ ’Ê 5 ÒÍ ƒ5 k ,

Ê Â

|¿dÌ3ÍÌ€)Í

Ì ‰ ³:Ò

pÌð1ßàá<ß'̸k1ßàÝ1ëâ<ߏñ²â<ð1ßyðOߏäôð/â²ë m â<ð1ßyÞ"ð1ãÝ1Ý1ßàîXƒ¢Ì}Ô « è «‰ ï ãêÝrkjâðOßhõ1áߏñ<ñè1á<ßhôáã kOäߏÝâ '' … äñ äÝ1 k ߏõóߏÝrOk ߏÝâ ë m , ãÝr2 k ÊÓo\É w ð1ß>q ߏîë+ÞàäâåZÞàëïyõóëÝ1ßàÝâ=äÝ_â<ð1߄ʁsk1äáߏÞàâ<äëÝZäñ=ãêñ<ñ<èOïyßOkyâë4nóß@·àߏá<ëo , … ðOß%ãêâ<äÝ1ô_ߏîߏï_ߏÝâ•äñ¿õ1áߏñߏÝâÇãêâ{âð1ß6îë= s p ߏá>p ãîîIm ëá$ƒ JÌ ƒ + ß ƒ P ÒXÌ p ðOäÞ"ðˆïyãäÝâãäÝ1ñ „Í Í ãˆÞëÝ1ñâãÝâD} p ãîî=âßàïyõóߏá<ãêâèOá<߲ΠP ì¶Ì p äâð6ƒ Ï Ô ƒ P Ô ƒXo¸É w ð1ß ëêâð1ßàáp ãîîñœãêá<ß ã Ok ä㠖n ã4âäÞ Ð ãÝrv k äÝ–l ëp ãÝrv k ëèO⠖l ëp Dn ëè1Ýr–k ãá­åjÞàëÝr1k ä âä ëÝ1ñ6ãá<ß÷õOá<ߏñޏáä,ón ß+| k ãêâ , Ô « ãÝrk , Ñ Ô ƒÉì¶Ì p äâ<ð ƒ Ô « è ‰ ïUo!j âZäñœãññ<è1ï_ß+v k âð1ãêâœâð1ß÷â<ߏï_õDßàáãêâ<è1á<߆Ok ë+ßàñœÝ1ëâœäÝ–l è1ßàÝ1Þß âðOßd–l ëp é–ßàî,k3o!É w ð1ß ßæ/è–ã4âäëݙë‡) m â<ð1ßÇð1ß%ãêâÌâ<áãÝ1ñ—m ߏáÌäñ â<ð1ߏݙôäq ߏÝUn å Î

5 Î

5 Î

Ñ\ÌÊrÒÒ , µÆ@ÓtÒ , ßÔÒ Ô « Í 5 Ê 58Õ

Ì ƒ « Ò

Ò Ò Ò pÌð1ßàá<ßDÑNÌÊrÒ{äñ ôäqߏÝPnå Ì ‰ ³9ÒowÉðOßyõ–ãêáãï_ßàâ<ߏá<ñ»ÆœÌÏ:Ò ì35¨ÌÏ:ÒSì '' … Ì)Ï Ò äÝiޏëïnOäݖãêâ<äëÝ7pÌäâðxâ<ð1ß nóëè1Ýrk–ãêáå|ޏëÝk1äâ<äëݵΠP ÌÏ:ÒZãá<ßpãññ<è1ï_+ß k â<¸ ë nóßXè1ÝOޏߏá­â"ãäÝ ãÝk äÝrkOߏõóߏÝrk1ßàÝâo jÝàwŠã‡n1îß ‰ âðOߏäá èOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝâäߏñÇãáߜôävqߏ3 Ý o
‰¼

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ. 

L Poisseuille flow

adiabatic wall 2h

L1

L he heating element The

C ˜YD£šm#˜ZŽ#ŽY‹— ˜Ö#wog˜ ¥OŽBK‘˜fmY‹L˜Z•)”RŽBK‘‹L ¥‹MH FF‹LŽ+•

CON D3š‹—•)‹—ŒF”¥Ž#”R•)”ךN•)‹F1I ‹—Œ˜•PYŒ ‹؇‹— õš

i'”™K[P#Œ)‹~ÙjJ›I‹L˜Z•º•)Œ˜ZŽ#JR ‹—Œ3”RŽ™˜•oH0š”™FF‹LŽ#)”¥OŽ#˜Z  Úr”õ ‹PY”¥ R R‹šm#˜ŽYŽY‹L ¢Ö#wo7˜ ¥OŽBKX˜fm#‹L˜• ”¥ŽKF‹L ¥‹F‹—Ž+•L

k˜ N  R‹fXYj Ú˜ZŒ˜F‹1• ‹—ŒJ”RŽ>•m#‹m#‹L˜••)Œ˜ZŽ‡R ‹LŒGI#Œ) N  ¥‹FQ”¥Ž™˜¨•oH0š”™F‹—Ž#)”¥OŽ#˜Z ¢šm#˜ŽYŽY‹— ˜Ö#wotjrš‹—•)‹—ŒF”¥Ž#”R•)”ךN–?˜ QP#‹ ˜ZŽ‡š„PYŽš1‹—Œ)• ˜”¥Ž+•L¡šY”R•)Œ ” N P•)”RŽ

õ ãáãï_ßàâ<ߏá 1 ޏëÝk1è1Þàâ<äëÝ q-äñޏëñäâå õ1áߏñ<ñè1á<ßÜôá< ã k1äßàÝâ ð1ߏãêâäÝ1ôÊâßàïyõóߏá<ãêâè1áß

ñ­å+ïAnDëî Æ 5 ' ' … Î P

êq ãîè1ß ƒ'èR§ ³9§™ô ‰« 5 ‰ èR´ µ:³ ~Bô ‰« ‚ s1ƒ'o « ¼9´ ¼o ‰ §

‰~

è1Ý1äâ Ü ‡Û x/ô9ª x/ô¥Ûêï_ñ x/ô¥Ûêï 5 ñ 5

ª

k1äñ­âá<ävn1èOâ<äëÝ

îëôÝ1ëáïhãî è1Ý1ä mëá<ï õDëîå-Ý1ëï_äãî è1Ý1ä mëá<ï

ޏëq¾ÛêäÝ/â<ߏá—qãêî

« èõƒ:§ « èõƒ:§ |¿$¼'èõ§'EÐ èR§#€ « è« §

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ. 

σ

T

380

18 16

360 temperature Tw

y position

14 12

0.01

10

0

8

−0.01

6

0

2 0.02

0.04 0.06 x position

0.08

340 320 mean

300

4 p=2

PC (p=2) MC (N=100)

280 0

0.02

0.1

C ˜ED3.•˜ZŽ#š#˜ZŒš@š‹L–”R˜Z•)”RŽ:Ø#‹— õš

0.04 0.06 flow direction x

0.08

0.1

C>N DGPBIBI ‹—Œ3o3˜Z R :•)‹F1I ‹—Œ˜•PYŒ ‹

i”QKYPYŒ ‹~ÝBj8ޜŽš1‹—Œ)• ˜”¥Ž+•L$”¥Ž/•mY‹‘•)‹MFI ‹—Œ˜•PYŒ)‹~Ø#‹— õš/š^P#‹¨•)¡•mY‹1š1YF N D ˜ZŽ#š:å‚æ COà ­D  ß C>à DœqBá C>à Dœqnââzãä C>à º

”RŽY‹Lš™‹Ms ‹š­•¶RÄR [P#ŒPYŽš1‹—Œ)• ˜”¥Ž}I‡˜ZŒ˜F‹1• ‹—Œ

'  ÌÏ:Ò}ãáß ÞëïAn1äÝ1ßOk äÝhâ<ð1ßÇíßÈ ÞàîßàâÌÝ/è1ïAnDßàá>Þ) ÌÏ:ÒoNwÉð1ßÇá<ߏñè1îâ<äÝ1ô6â­p}ëZè1Ý1Þàߏá­â"ãäÝ õ–ãáãêïyß âߏáñ ' … Þ» Ì)Ï:ÒãêÝrkÎ P Ì)Ï Òãá<ßÌá<ßàõ1á<ßàñ<ßàÝ/â<ß+kdnå_ã â­p}ë#s­k1äïyßàÝ1ñ<äëݖãî+õDëî å-Ý1ëï_äãî-Þ"ð–ãëñ¼ßt+õ–ãêÝ1ñ<äëÝ3o¨¤+èn's ñâ<äâ<èOâäÝ1ô²âðOßÜõóëî å+ÝOëïyäãîÞ"ð–ãëñÌßZtOõ1ãÝ1ñ<äëÝçäÝâëUÌ)ƒ « Ò}ãêÝr× kç× õDßàáLmëáïyäÝ1ôœã£Çãîßàá x/äÝ õ1áë#éßÞ âäëÝ ëÝâëœâ<ð1ß ­â p}‡ë sk1äï_ߏÝOñ<äëݖãîAõóëîå-Ý1ëïyäãîDÞ"ð1ãë> ñ n–ãñäñBÛ:Ù ÜYã 7 áߏñè1îâ<ñ{äÝ ! wv ëwx z y Y{

Ö

ð Ø Õ Fwv ë 7

zy { pÌäâ<ð

Ø

5 ÎÓë 5 ÎÓë ÓÎ ð Þ)4 +ðõëÄÒ ,  Ó Ò , ßÔÒ Ô « Í 5 Ê 5dÕ Ò

Ò

ï]Ô « Í ‰ Íè+èèOÍ?Þ>Í

Ì ƒ ‰ Ò

Ò

× × Ö × Þ 1í Ù]ð1Ì9Ò٠́Ò?Ù]ë9Ì9Ò îOè » Ì ƒ:ƒ Ò Þ»4 +ð8ë¡Ô í1Ù 5ë ÌÒ î × Ø 7 × wÉð1ßÇëõOâ<äïyãîóñ<ßàâ{ë mÕâ­p=ë‡s­kOäï_ߏÝ1ñäëݖãêî–n ãñäñÉëá­âð1ëôëݖãîDõDëîå-Ý1ëï_äãîñ¡Û:٠́ÒÜYã 7 äñÉë:nOâãäÝ1ßOk nåqâðOßçâ<ߏÝ1ñëá_õ1á<ëk1è1Þ âZë m â<ð1ßçÝ-èOïyßàá<äޏãîî å ޏëï_õ1èOâ<ß+| k õDëî å-Ý1ëï_äãîñm ëáÞ» Ì)Ï Ø ÒÊãÝrk’Î P ÌÏ:ÒZo wÉð1ßÊâ­p=ë‡s­kOäï_ߏÝ1ñäëݖãêî)õóëîå-Ý1ëïyäãîÞ"ð–ãëñ ßZ+t õ–ãÝ1ñäëÝxäñ¿âáè1Ý1ޏãêâßOM k ã4âáVÔç+ƒ ìÌ p ð1äÞ"ðxá<ߏñè1îâ<ñÇã õóëîå-Ý1ëï_äãêî+Þ"ð–ãêëñ¼ãõ1õ1áë+ t äïhãêâ<äëݲäÝÊâðOßÌé1á<ñâHñä² t âߏáïyñ¡ Ì í‘Ô4§ Òo ¹ æJo%Ì ƒ ‰ Š Ò äñ¶1k äñ<Þàá<ßàâ<ä,à· ß+_ k è1ñ<äÝ1ô ãœñ<ßàޏëÝrksëáLk1ߏáÌé–Ý1ä âߙ q ëîè1ï_ß ïyß âð1ëk†Ì p äâ<ðpãœñõ–ãêâäãîAñ­âߏõ™ñ<äv· ß»€ , Ô ‰« 5 oÉ w ð1äñ{áߏñè1îâ<ñ>m ëá âðOßBk1ßàâ<ߏá<ï_äÝOäñâ<äÞÌâßàïyõóߏá<ãêâè1áߕé–ߏîvA k ìOñߏß4Š ¬ äôè1á<ߙ´‡A n ì1äÝ ã1k äñ<ޏáßàâ<ä,%· ã4âäëÝ÷ߏáá<ëá ë‡m ‰« ‚ äÝ÷â<ð1ß ƒ 5 s Ý1ëá<ïUoNj ÝgŠ ¬ äôè1á<ß$µ ã6â<ð1ߕñâãÝr–k ãêá k†1k ß+q äãêâäëÝhë‡ m âð1ß â<ߏï_õDßàáãêâ<è1á<ß¿é–ߏîv÷ k á<ßàñ<è1î âäÝOôAm á<ëï â<ð1ß è1Ý1Þàߏá­â"ãäÝ/â<äßàñ6äݸ» Þ Ì)Ï Ü Ò ãÝÅ k Î P Ì)Ï:Ò Þ%ãêݸón ßyñߏߏÝoUj ÝQŠ ¬ äôèOá<ßDµ i n âð1ßyïyߏãÝjãêÝrj k è1ÝOޏߏá­â"ãäÝâå n ãáñ–n ãñß+k ëÝyâð1ߕñ­â"ãÝ–k ãá k51k ßO-q äã4âäëÝhë  – m â<ð1ß âßàïyõóߏá<ãêâèOá<ß ëÝhâð1ß è1õ1õóߏá} p ãîî„ãáß ñð1ëÌ p Ýgm ëá âðOßÜõóëî å+ÝOëïyäãîóÞ"ð–ãëñ{ãõ1õOá<ëãÞ"ðgÌ p äâ<ðDá5Ԉœ ƒ ãÝkip z ëÝ/â<ß{ ãá<îë_ñäïÊèOîãêâ<äëÝDÌ p äâð Ô ‰« « o ‰

‰§

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ.  ç

hcD`VhAÁf ‰ _YcD` ‰

jâÌäñ äï_õóëáâãÝâ}âëœâ ã xß õ1ðå-ñ<äÞ%ãîèOÝ1ޏßàáâ"ãêäÝâäߏñÉäÝâ<ëZãޏÞàëè1ÝâÌâëœë:nOâãäÝ áߏîäã n1îß¿Þàëï_õ1èOâ"ãYs âäëݖãî“õ1áß+k1äÞàâäëÝ1ñOo4wÉðOßD£ÜãîߏáLx-ä݈õóëîå-Ý1ëï_äãêîÞ"ð–ãëñ ï_ßàâ<ð1ë'kxð1ãñ•õ1áëYqߏÝiâë†nóߜãñ•ñè1äâã n1îß ãõ1õOá<ëãÞ"! ð mëá6æ/è–ãêÝ/â… ßàá<ëñõ–ãޏßA¤+ÞàäߏÝOޏߏñ$zpßàßàâäÝ1ôyãÝrkU¹NtOðOä,n1ä â%ì±ÌߏÝ1ëOì y ßq ã‡k–ãOìJƒ « « ¼o ¿ |„´#€/©oI¦qã݄쑣o¥¹Xo¶ªÇãá<ÝOäã k–ã‡x-äñìt•=ßàåëÝrk ¦]äߏÝ1ßàá—s… ñ xêßàåjßt+õ–ãÝ1ñäëÝOñ+»†u¿ãÝrk1îäÝ1ôXãá n1ä âá<ãáå í©BŠ ¬ ñì Ü o%-¤ ޏä o} { ëïyõOèOâo ìíèr1n îäñ<ð1ßOç k ëÝ1îäÝ1ß »©•ßàޏßàïnDßàᡃ «:« §o ‰¯

Š‹LŒ)‹LŽ$‘ ’:#“†”„•)•)‹—–O‹—‹LŽ™˜Ž#š™›œ‹ .• ‹—Œœž” Ÿ.  |°µ‡€ Ü o¥…oõ¤%o¡¦]ä â<âßqßàߏÝAìuo„•}äéîì/zpëk1ßàîäÝOô ãáLn1äâ<áãá­å]è1Ý1ÞàߏáâãäÝâ<äߏñpè1ñ<äÝ1ôT£ áãêïs1¤+Þ"ð1ï_ä,kOâ õDëîå-Ý1ëï_äãîÞ"ð–ãêëñì…@j­…$…¡s1ƒ «:« ¯Ys1µ:³:+ ¯ ì'~:~êâð†…$j­…@… … ߏáëñ<õ1ãޏߤ+ÞàäߏÝOޏߏñ@zpßàßàâ<äÝ1ô_ãÝrkU¹Nts Ü ð1ä,O n äâ%ì{ ± ßàÝ1ë1ì{ y ßOêq 㠖k ã+ì ãÝ3oJ³#s ‰ +ƒ ìƒ «:« ¯o |°³‡€ Ü o¥…oõ¤%o¦]äâ<â<ßOqߏߏ݄ì/uo•}äéîì>… ÝmßO¢_ޏäߏÝâpïyëÝOëïyäãî{Þ"ð–ãëñ™ãõ1õOá<ëãÞ"ð mëá è1ÝOޏߏá­â"ãäÝâå æ/è–ãÝâä é–Þ%ãêâ<äëÝXä݈Ý1ëÝ1îäÝ1ß%ãá¿Þëï_õ1èOâãêâäëݖãîÕï_ë'O k ߏîñàì…@j­…$…¡s1ƒ «:« ¯Ys1µ:³:+¯ ìµêâ<ði…$j­…@… y¿ëÝs ©•ßàâ<ߏá<ï_äÝOäñâ<äÞ@… õ1õ1áëãÞ"ð1ßàñ™} { ëÝm ߏáߏÝ1Þàßì%¿ y ßÌ p õDëá­â%ìJ±>"j ì%X z ã%å:o ‰ s1~ ìJƒ « « ¯o | ‰« €)©o© äèAì£
‰´

European Conference on Computational Fluid ...

G aussian d istri b ute d uncertain input parameters . I t employs H ermite polynomials in the conte x t o f a G aler k in stochastic finite element approach . A n e x ...

753KB Sizes 0 Downloads 174 Views

Recommend Documents

Efficient Uncertainty Quantification in Computational Fluid-Structure ...
Sep 21, 2007 - Abstract. Uncertainty quantification in complex flow and fluid-structure interaction simulations requires efficient uncertainty quantification meth-.

ENME 4728 Computational Fluid Dynamics
Jun 5, 2010 - use. The best way to solve this problem is by using numerical methods through a computer program. This particular problem is solved using ANSYS software. In order to obtain an accurate solution ... The data points collected from the ANS

CONFERENCE Late Romanasque Sculpture in European Cathedrals ...
CONFERENCE Late Romanasque Sculpture in European Cathedrals-1.pdf. CONFERENCE Late Romanasque Sculpture in European Cathedrals-1.pdf. Open.

Summer School in Computational Fluid Dynamics 2017.pdf ...
Summer School in Computational Fluid Dynamics 2017.pdf. Summer School in Computational Fluid Dynamics 2017.pdf. Open. Extract. Open with. Sign In.Missing: