n ãñ<ßO k ëÝpã_õOá<ë:n ãYs n äîäñâäÞ6ãêõ1õ1á<ëãÞ"ðim ëáï_ë'Ok ßîäÝ1ôZâð1ßÊèOÝ1Þßàáâ"ãêäÝâäßñè1ñäÝ1ô õOá<ë:n ã1n äîäâå1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝ7m è1ÝOÞàâäëÝ1ñOo 1 w ð1ß=õDëî å-Ý1ëï_ä ãîÞ"ð1ãëñßZ+t õãÝ1ñäëÝ6ßï_õ1îëå-ñ)ëáâðOëôëÝãêî-õóëî å+ÝOëïyäãîñäÝÇâßáïyñë m á<ãÝr1k ëïq ãêá<äs É
L) L$ :#))OL# . .
ã n1îßñOo¡wÉðOßÊõ1á<ë nã n1äîäâå5k1äñâáä,n1èOâ<äëÝë mâ<ð1ßñßAqêãá<äã n1îßñÌÞëáá<ßàñ<õóëÝrk1ñ â<ëyâ<ð1ßp=ßäôðâäÝOô]mè1Ý1ÞZs âäëÝxäÝpâð1ßëáâð1ëôëÝãîäâåá<ßàî ãêâ<äëÝ7mëá âðOßõDëî å-Ý1ëï_ä ãîñ+owÉð1ßZõóëîå-Ý1ëïyäãîÕÞ"ðãëñ ßZtOõ1ãÝ1ñ<äëÝ Þë-Oß ¢_ÞàäßÝâ<ñ ãáßÇñ<ëî q+ß kUmëáÌè1ñ<äÝ1ô_ã_ñâë-Þ"ðãñâäÞÇéÝ1ä âßÇßîßï_ßÝâ¿ãõ1õ1áëãÞ"3 ð owÉð1ßÜëá<äôäÝ1ãîð1ëïyës ôßàÝ1ßëèOñ õóëîå-Ý1ëï_ä ãêîÞ"ðãëñ ß t+õãêÝ1ñ<äëÝXäñ{õOá<ëõóëñ
ë mâð1/ ß
¿ ñ xß åñ<Þ"ð1ßàïyß o wÉðOßyõóëîå-Ý1ëïyäãî)Þ"ð1ãëñ6ãõ1õ1áëãÞ"ðjð1ã/ ñ nDßàÞëï_ß_ ã p=ßîî sx-ÝOYë pÌÝjãr Ý kPpÌ,ä k1ßàîåãõ1õ1îä+ß kiè1ÝOÞß1á s â"ãêäÝâåæ/èãÝâä éÞ%ã4âäëÝyï_ßàâ<ð1' ë k_äÝZïyãÝ å n1áãêÝ1Þ"ð1ßñ= ë mDÞëï_õ1èOâãêâäëÝãî1ñÞäßÝ1Þàßãr Ý k_ßÝOôäÝ1ßàßáäÝ1r ô o jâäñ Ý1ë pjäï_õDëáâ"ãÝâDâëÌñâ
L) L$ :#))OL# . . ë m=ëáâ<ð1ëôëÝãîNn1ãñ<äñ õDëî å-Ý1ëï_ä ãîñ¡mëá¿âð1ßZÝ1ëÝOîäÝOß%ãá{âáãêÝ1ñLmëáïhã4âäëÝë mHâð1ßZè1ÝOÞßáâ"ãäÝiäÝ1õ1è+â õãá<ãï_ßàâßà+á o\wÉð1äñHãõOõ1á<ëãêÞ"ð_äñ¶k1ßàïyëÝOñâá<ãêâßOk
½
b _+a4b b¾À¿
½ ^ Ë
Æ óÔØÕ
%q Ç =ø Å 1ó_9Ⱥ Æ
%D
aAÅ i {}ëÝ1ñ<ävk1ßáâ<ð1ßmëîîëpÌäÝ1ô¿ñâë-Þ"ðãñâäÞk1ävÉDßáßÝâäãîOßàæ/èãêâäëÝpÌäâ<ðëõóßáã4âëá¶Ê^ãêÝrkZñ<ëè1áÞß â<ßá<ï
ÊBÌ.È Í ÎZÍ?Ï'Ð?ÑÓÒ¶Ô Ë Ì0È Í ÎZÍÏ ÒÍ ÌÒ pÌäâ<ðiè1Ý1ÞßàáâãäÝ äÝ1õOèOâÇõãá<ãïyß âßàá<ñÜãÝrk ãõ1õOá<ëõ1áä ãêâ<ßäÝ1ä âäãîãêÝrk!nóëè1ÝkãáåÞëÝrkOäâäëÝ1ñOo
L) L$ :#))OL# . . wÉð1äñ ñå-ñâ<ßï ëmk1ßàâ<ßá<ï_äÝOäñ× â<äÞ{ßæ/× èãêâ<äëÝOñ Þ%ãÝgnóßñ<ëîvqßOk è1ñ<äÝ1ôñâãÝrkãêá kk1äñ<Þáßàâ<ä,·%ã4âäëÝhï_ßàâðs ë1 k ñ+o¨wÉð1ßÇõóëîå-Ý1ëï_ä ãêîñ@Û:Ù Ì.Ú%ÒÜ ã 7 ñã4âäñmÔåhâ<ð1ßBmëîîëYpÌäÝ1ôÊëáâð1ëôëÝãîäâåyá<ßàî ãêâ<äëÝ × Ø × 5 í1Ù]ð1Ì0Ú%ÒÙ Ì.Ú%ÒLîÔçí1Ù ð Ì.Ú%ÒLî ñð Í òLÍó<Ô « Í Í è+è èOÍ?Þ>Í Ì)¯:Ò × pÌäâ<ðUñð â<ð1ß4ª á<ëÝ1ßàÞx ßàá$1k ßàîâ"ãZãÝk¸íô,Í ôõîF1k ßÝ1ëêâßñÌâðOßÜäÝ1Ý1ßàá{õOá<ë1k è1Þàâ × × í1Ù]ð1Ì.ÚJÒÙ Ì0Ú%Ò î¨Ôör÷ZøIÙ5ð1Ì0ÚJÒÙ Ì.Ú%Ò1ù<Ì.ÚrÒk'Úºè Ì ´ Ò × × pÌð1ßàá<ß<ù<Ì0ÚJ¿ Ò äñ âðOß} p ßàäôðâäÝ1ô5m è1ÝOÞàâäëÝxÞëá<á<ßàñ<õóëÝr1k äÝ1ô÷âë÷â<ð1ßÊõóëîå-Ý1ëïyäãîn ãñ<äñAÛ:Ù Ì0Ú%ÒZÜYã 7 ãÝrk Ë%ú äñ÷âð1ßiñè1õ1õóëáâçë m4Úºoç] ¦ ðOßÝ]âð1ßV= p ßäôð/â<äÝ1ô}m è1ÝOÞàâäëÝTù<Ì0ÚJh Ò äÝ]â<ð1ßxëáâð1ëôëÝãîäØ âå á<ßàî ãêâ<äëÝ!Ì)´:Ò Þëáá<ßñõDëÝr1 k ñ¿â<ëyâ<ð1ß6èOÝ1Þßàáâ"ãêäÝâåU× 1k äñâá<× äv1n èOâ<äëÝçë ) m âð1ßÜè1Ý1ÞàßáâãäÝpõãá<ãïyß âßàá<ñìâ<ð1ß ëáâð1ëôëÝãîõDëîå-Ý1ëï_ä ãîÕßZO t õ1ãÝ1ñ<äëÝPn ãñäñAÛ:Ù Ì0ÚJÒÜYã 7 äÝ}Ì :¿ Ò äñëõOâ<äïyãîÕäÝâ<ð1ßÊñ<ßàÝ1ñ<ßâ<ðãêâ ä â Ø Þ%ãêÝXãÞ"ðOäßOq ß6ßZ+ t õDëÝOßÝâäãî ÞëÝ9q ßá<ôßÝ1Þàß o û & ÇPüàAø Å Çq ÕZ Å Jýóó
Õ þO ó
£ áãêïs1¤+Þ"ð1ï_ä,kOâëáâðOëôëÝãêîä,·ãêâäëݲäñHßï_õ1îëåßOk_â<ë6Þàëï_õ1èOâßÌëáâð1ëôëÝãîOõDëî å-Ý1ëï_ä ãîñ\pÌäâ<ð á<ßàñ<õóßÞ âyâ<ëiâ<ð1ß} p ßàäôðâ<äÝ1ôim è1ÝOÞàâäëÝ}Ì p ð1äÞ"ð|Þëá<á<ßàñ<õóëÝr1k ñZâëxâ<ð1ßçè1Ý1ÞßàáâãäÝâå}1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝvë m âðOßè1Ý1ÞßàáâãäÝxäÝ1õ1èOâ<ñ+oAÉ w ðOäñ á<ßàñ<è1î âñ äÝxãÝiëõOâ<äïyãîÕõDëî å-Ý1ëï_ä ãîÕÞ"ðãëñ41n ãñ<äñ$m ëá ãÝåpâå+õóßZë m äÝOõ1èOâ6è1Ý1ÞßàáâãäÝâå!1 k äñâá<äv1n èOâ<äëÝ3oÉ w ðOßá<ßm ëá<ßêìß+t õóëÝ1ßÝâ<ä ãî¼ÞëÝ9q ßá<ôßÝ1Þàß Þ%ãÝQón ß÷ãêÞ"ð1äßq ß+kQm ëá × ãáL1 n äâ<áãáå÷äÝOõ1èOâ>1k äñâáä,1n è+âäëÝ1ñ+o × w ðOßÊõ1á<ë 1n îßàïtë É m éÝr1k äÝ1ô ãhñßàâ ë m õDëî å-Ý1ëï_ä ãîñ/Û:Ù Ì.Ú%ÒÜ ã 7 ëáâ<ð1ëôëÝ1ãîIÌ p ä âðpá<ßñõDßàÞàâ â<ë ã Ø ôä q ßÝ]} p ßàäôðâäÝ1ôAm è1ÝOÞàâäëÝ5ùÌ.Ú¼ Ò äñ¼Þ%ãêîîßO÷ k ãÝhëáâ<ð1ëôëÝ1ãîJn ãñ<äñ}õ1áë:1n îßï ôävq ßÝdn åiÌ)¯9¼ Ò ãÝrkPÌ)´:Òo w ð1ßD£ áãï
Ö Ì 9Ò Ô Ì 9 Ò ó<Ô ÍZ'Í+è è èÍ áºÍ Ì)µ:Ò ë ë Ì ÒZÍ ëØ 7 × p äâ<ð 7 Ô ãÝrk Ì × í Ì Ò ëÌ 9Ò î Ì)³:Ò ë>Ô í ë Ì Ò ë:Ì Ò î Í × p ð1ßàá<ß âð1ßçõóëîå-Ý1ëïyäãîñÛ Ì ÒX Ì Ü ãêá<ß õóëîå-Ý1ëï_ä ãêîñÜë m ßZOt ãÞàâD1k ßàôá<ßàß]óo}É w ð1ßçäÝ1Ý1ßáõOá<ë1k è1Þàâ<ñ äÝiÌ)³9¼ Ò ãá<ß ßOêq ãîè1ãêâßOh k Ý/è1ï_ßá<äÞ%ãîîå<m ëá¼âð1ß ãîôëá<ä âð1ïsâ<ëón ß ãõ1õ1îäÞã 1n îßÉâ<ëãá On äâá<ãáå<= p ßäôðâäÝ1ô m è1Ý1Þ âäëÝ1ñ+o²É w ð1ßXÝ/è1ï_ßáäÞ%ãêîÉäÝâßàôáãêâ<äëÝ|ë ¿ m âð1ßäÝ1ÝOßá_õ1á<ë1k è1Þ âñ_äñD1k ëÝ1ßßO_ ¢ ÞäßÝâî å n åbëÝ1îå ½ ½
~
L) L$ :#))OL# . . ð
Þëïyõ1è+âäÝOôyâðOßÊäÝâßàôáãêîñ ëmHïyëÝOëïyäãîñ ìÓòFÔ « Í Í è+è èOÍáºowÉð1ßäÝ1Ý1ßàá õ1áë'k1èOÞàâñ äÝ Ì³9Ò¿ãáß ð Þëïyõ1è+â+ß kVèOñ<äÝOôvãjñ<èOïyïyãêâäëÝ ëm âð1ßäÝâßôáãîñyë m â<ð1ßï_ëÝ1ëï_ä ãêîñ owÉð1äñ÷á<ßàñ<è1î âñ÷äÝVã Þëïyõ1è+â"ãêâ<äëÝãê î p=ëLá xX ë m Ì ÞÒ ìpÌðOßá<ß äñ âð1ß²Ý-èOïnDßàá ë m¨k1äñ<Þáßàâ<ßõDëäÝâñ$mëá{âð1ßäÝ1Ý1ßàá õ1á' ë k1èOÞàâñÊãr Ý k ÌÞÃß Ò äñÜâð1ßyÝ/è1 ï nóßáÊ ë mÉâ<ßáïyñ6 ë m âðOß÷õDëîå-Ý1ëï_ä ãîÞ"ðãëñÊßZt+õãÝ1ñäëÝ3oSwÉð1ß ï_' ë k1ä é+ß kU£ áãê ï s1¤+Þ"ð1ï_,ä kOâ ãîôëá<äâ<ð1ï pÌäâðçëÝOßÜáßëáâð1ëôëÝãî,ä ·ãêâäëÝhñâßõpäñÉäïyõ1îßï_ßÝâOß k3o wÉðO< ß £ áã< ï s¤+Þ"ðOïyvä kOâÉõóëîå-Ý1ëï_ä ãêîÞ"ðãëñ¿äñ¿ãêõ1õ1îäÞ% ã nOîßâëyãÝå âå-õDßÜ ë mÞëÝâäÝ/è1ëè1ñ ãr Ý kUk1ä1ñ s Þáßàâ<ßäÝ1õOèOâ÷õ1á: ë n ã nOäîä âå k1äñâá,ä n1èOâ<äë Ý o¬ëáhãjÞëÝâ<äÝ/è1ëè15 ñ k1äñâá
Á hDc`%&'"bdû("`Ph)"+*cb b _+a4b b¾ eg_ abd_ fga_cD` P jÝçâðOäñ ñßÞàâ<äëÝçä âÌäñk1ßàïyëÝ1ñâ<áãêâ<ß+kçâðãêâ õDëî å-Ý1ëï_ä ãîóÞ"ðãëñXpÌä âðçÝ/è1ïyßàá<äÞ%ãîîå_ÞëÝOñâáè1Þàâ<ß+k õóëîå-Ý1ëï_ä ãêîñ¿ãÞ"ð1äßqßàñ6ßZO t õóëÝ1ßàÝâä ãêîÞëÝ9q ßàá<ôßàÝ1ÞßDm ëáÇãáL1n äâ<áãáåi1k äñâáä,1n è+âäëÝ1ñ+oj ÝiñßÞàâ<äëÝ!¼o âðOßÜïyãññsñõ1á<äÝ1ôâßàñâ{õ1á<ë 1 n îßàï äñÉÞàëÝ1ñä,1k ßàá<ß+kUÌ p äâ<ðpãêÝpè1ÝOÞßáâ"ãäÝçñ<õ1áäÝ1ôs ñâ<ävDÉ Ý1ßññ+o !
 %ü+Æ4R
ý}Æ)&ö) Ç wÉðOß¿ïyãñ<ñ1s ñõ1á<äÝ1ô âßñâ¼õ1á<ë:On îßï ñ<èrnéßÞàâ=âëÜãÝ_è1Ý1ÞàßáâãäÝ_ñ<õOá<äÝOôÜñâäÉÝ1ßàñ<ñHäñHÞàëÝ1ñ<ävk1ßáß+kAì/ñßß ¬äôè1á<ß ão\É w ð1ßÉïhãêñ<ñs ñ<õ1áäÝ1ô õ1á<ë:nOîßïzðãñNnDßàßÝZÞ"ð1ëñßÝ_ãññäï_õ1îß=ïyëk1ßîmëáãÞëï_õ1èOâãêâäëÝãî õ1áë:1 n îßàï äÝqï_ßÞ"ðãÝOäÞ%ãêî=ßàÝ1ôäÝOßßáäÝ1ôXäÝ9q ëî-q äÝ1ôèOÝ1Þßàáâ"ãêäÝvõãá<ãï_ßàâßàá<ñOoVÉ w ð1ß ïyëêâäëÝjë É m â<ð1ß ïyãñ<ñÌäñÉôëYq ßáÝ1ß+k7/ n åhâð1ßBm ëîîëÌ p äÝ1ô²ñ<ßÞàëÝrk's ëá Ok ßá{ëá 1k äÝãáåd1k äÉ ßàá<ßÝâ<ä ãîDßæ/èãêâ<äëÝ !
^
k -5 , ß/. , Ô « Í Î10 « Í Ì « Ò kÎ 5 pÌð1ßàá<ß2 Ô äñ¿âð1ßïyãñ<ñàì3. äñ â<ð1ßñ<õ1áäÝ1ô ñâäÉÝ1ßàñ<ñàì , k1ßàÝ1ëâ<ßñ âð1ßõóëñäâäëÝë mHâ<ð1ßÊïyãñ<ñàì , 4 Ô äñ²âð1ßhäÝ1ä âä ãêî¼õóëñäâäëÝqãêÝrk , 4 Ô « äñ6âð1ß÷äÝ1äâ<ä ãî¶qßîë+ÞàäâåMë mÌâð1ß÷ïyãññ+oPwÉð1ß÷âäïyß 7 äÝâ<ßôá<ãêâäëÝ^äñZõDßàáLmëáïyßOkbèOõbâëPÎ5Ô o²É w ð1ßpè1Ý1ÞßàáâãäÝâå^äÝ^âðOßpñõ1á<äÝ1ôMñâäÉ Ý1ßàñ<ñ2. Ì)Ï Z Ò äñ 5 k1ßàñ<Þáä,nóß+kànå|ã è1Ý1ävmëá<ï k1äñâ<á<ä,On èOâäëÝ}Ì p äâð|ï_ß%ãÝ6587 Ô èõi § ãÝrk q ãêá<ä ãêÝ1Þß'9 7 Ô o²É w ð1ß ñ<ëîèOâ<äëÝdmëá â<ð1á<ßàßBqãêîè1ßàñ{ë) m â<ð1ßÇñ<õ1áäÝ1ôZñâ<ävDÉ Ý1ßññ$. ÔÄÛ Ð'èõ§Ð?~Ü Ü äñÉñð1ëÌ p ÝXäÝU ¬ äôè1áß n3o wÉðOß6õóëîå-Ý1ëïyäãîDÞ"ð1ãëñÌß+t õãÝOñ<äëÝ1ñ¡m ëá âð1ßÇñ<ëîèOâ<äëÝ , Ì0ÎZÍÏ:É Ò ãÝrk â<ð1ßÇè1Ý1ÞßàáâãäÝõãá<ãïyß âßàá . Ì)Ï É Ò ãá<ß × × Ö × , Ì.ÎZÍÏ Ò¨Ô Ö , ðÌ.ÎLÒ $ð1Ì Ì)Ï Ò ÒÍ . Ì)Ï ÒÔ . Ì JÌ)Ï Ò ÒZÍ Ì : Ò ðØ 7 × Ø 7 w ð1ßÜõãá<ãïyß âßàá{Þàë+ß_ É ¢ ÞäßàÝâñ:. ãáß/1k ßàâ<ßá<ï_äÝOß+ k è1ñ<äÝ1ô_â<ð1ßÇ× îäÝ1ß%ãáÉ p ßàßÝ;Ì)Ï Ò ãÝrk × áßîãêâäëÝDn ß â} . Ì)Ï Òo É w ðOßjñ<ß âXëÊ m ëõOâ<äïyãîëáâð1ëôëÝãî õóëî å+ÝOëïyäãîñ7Û Ì ÒZÜ 7 äñÞëï_õ1èOâ<ß+g k èOñ<äÝOô|â<ð1ß Ø £ áãï
§
L) L$ :#))OL# . .
1
x K=1
M position x
0.5
K=2.5 0
K
K=4
−0.5 0
C EDGFX H0JI#)RBK L. MF
0.2
0.4
time t
0.6
0.8
1
CON D3O QPY)R:R TSVU@WYX[Z\^]`_^ZaBb\#dcfehgGeX
iQKYPY 1XYjlknmY=FX H0JI#)RBK )L3IY N RMF6oº m$FXO)3prqYIY ¥BKX)Qs #L 3SZ#:I+¥)R[Rm#tFO)nu'
mè1Ý1Þ âäëÝië m=â<ð1ßZñ<õ1áäÝ1ôçñâävÉDÝ1ßàñ<ñ)?7BÌJ.PÒo
zy { pÌäâ<ð
× × Ö × . í$ðÌ9Ò ÌÒë:ÌÒ îÍ ò ÍïDÔ « Í Í è+è èOÍ)áºÍ Ì ¼:Ò í 5ë Ì9Ò î Ø 7 wÉð1ßÝ/è1ï_ßáäÞãîäÝâßàôáãêâ<äëÝZë m â<ð1ß$kOëèrn1îß ãÝkyâáäõ1îß¿äÝ1Ý1ßàá=õ1áë'kOè1Þàâ<ñ}äÝ ¼6äñ kOëÝ1ß ß¢_ÞäßàÝâîå nåqÞàëïyõOèOâäÝ1ôXâðOß äÝ×âßàôáãîñ²ë { m ï_ëÝ1ëï_ä ãêîñ} ð ì òAÔ « Í Í è+è èOÍ?¼OávëÝ1î å:oPwÉð1ßçäÝOÝ1ßáÊõOá<ëk1è1Þàâ<ñ í 5ë ÌÒLîãÝrk í$ð1ÌÒ Ì Ò Bë Ì 9Ò î ãáßÞëï_õ1èOâ<ß+i k è1ñäÝ1ôçã ñ<èOïyïyãêâäëÝë H m â<ð1ßäÝâßàôáãêîñë H m â<ð1ß ð ï_ëÝ1ëï_ä ãîñ~ o wÉð1äñÌá<ßñè1îâ<ñÌäÝãÞëï_õ1èOâãêâäëÝãî%} p ëáLx ë m gÌ á%Òo ¹æ/èãêâ<äëÝ ÷ ´ äñÇãçñå-ñâßàï ë mÌ á]ß Ò@= p ß%ã /x îåÞëè1õOîß+k®1k ß âßáïyäÝ1äñâäÞ²ßæ/èã4âäëÝ1ñìÕñ<äÝ1Þßâ<ð1ß ñ<èOïyïyãêâäëÝçäÝâð1ßÜñ<ßàÞëÝr k â<ßáï ë m¡Ì ´:Ì Ò áßñè1îâ<ñ¿äÝã_â<á<äv1k ä ãôëÝãîÓ1n îë-Þç x ïhãêâ<á<ä to É w ð1ßÊñå+ñâßàï ë H m ñßÞëÝrk's ëá 1k ßàá ßæ/èãêâ<äëÝ1ñ<Ì ´:Ì Ò Þ%ãÝVón ßAÌ p áäâ<â<ßÝxãêñ ã÷ñå-ñâ<ßïë m éá<ñâLs ëá 1k ßàáßæ/èã4âäëÝ1ñ+oBÉ w ð1äñ ñå-ñâßï äñÉñ<ëî q ßOkUÌ p ä âð âð1ßÇñâ"ãÝr1k ãá kgm ëè1áâð's ëá 1k ßàáÉß+t õ1îäÞä â>Ì ± è1Ý1ôßZs1ª èOâ<âãïyß âð1ëk3o É w ð1ß âäïyß ñâ<ßõ÷äñHÞ"ð1ëñ<ßàÝ÷âë4D n ß:Ψԧô « â<ë²ßÝOñ<è1áß¿âð1ãêâ=â<ð1ßÌâäï_ßÉäÝâ<ßôá<ãêâäëÝZßá<áëá¼äñ¼ñ<ïyãîîßáâ<ðãÝ âðOßÜßàá<áëáÉäÝ âðOßÜñâë-Þ"ðãñâäÞ/1 k äïyßàÝ1ñ<äëÝ3o w ëÜñâèOk åÊâðOß{ÞàëÝ9q ßàá<ôßàÝ1Þß¿ë Dm â<ð1ßÌõDëîå-Ý1ëï_ä ãî-Þ"ðãëñHâ<ð1á<ßàß ßáá<ëáHï_ß%ãñè1á<ßàñ m ëáâð1ßÌßàá<á<ëá äÝ âð1ßyïyßãÝr5
Ì.ÎLSÒ ì)â<ð1ß]êq ãáä ãÝ1Þàß29
5 Ì.ÎL6 Ò ãêÝrj k âðOßyõ1áë:n ã On äîä âåV1k äñâáä,1n è+âäëÝPm èOÝ1Þàâ<äëÝrT
Ì , Í ÎLÒ | ð8ë¡Ô .D
¯
L) L$ :#))OL# . . ãáßÜèOñ<ß+k BY
5G
Ì0ÎLÒ5G
ÔF< y 5
F< Ô Ì0ÎLÒ y
Ì0ÎLÒÔ
Ì.ÎLÒ
Í
E
9
5
Ì0ÎLÒÔ
Ì0ÎLÒ9
5 F< Ô Ì0ÎLÒ y Í 9
5 ÔF Ô Ì.ÎLÒ y
^ Ì.ÎLÒ¨Ôö Õ T
Ì , Í ÎLÒ=T
y ÔF< Ì , Í ÎLÒ k , è
}ßàñ<ä,kOßñâðOßÊßáá<ëáäÝXâðOßÊïyßãÝiãÝr k â<Õ ð1ßAêq ãáä ãÝ1Þàßìóâð1ßßàá<á<ëá äÝpâð1ß
Á % ýó
Õ ÇM()
ø/
DSØ à4 ö & ó
wÉð1ßiîëôÝ1ëá<ïyãî>k1äñâáä,n1è+âäëÝ äñ÷ãÝVäï_õDëáâ"ãêÝ/â ñâãÝrkãêá kk1äñâáä,n1è+âäëÝyëè+âñ<ävk1ß¿â<ð1ß$
¿ñ xêßàå ñÞ"ð1ßï_ßì+ñ<äÝOÞßïyãÝå_õDëñäâ<ävqß{õ1ðå-ñ<äÞ%ãîDõãáãêïyß âßáñ îvä xßâ<ð1ßÇñ<õ1áäÝ1ôZñâ
L) L$ :#))OL# . .
arbitrary PC Askey PC
arbitrary PC: mean arbitrary PC: variance arbitrary PC: distribution Askey PC: mean Askey PC: variance Askey PC: distribution
0
10
2.5 2 L1 error
polynomial chaos expansion coefficient Kp
3
1.5 1
−2
10
−4
10
0.5 0 0
−6
1
2 3 polynomial order p
4
10
5
C ED I L Y[FõZ mZO%^I##R 1R+ GS1
0
1
2 3 polynomial order p
4
5
C>N Dº )OG LKO\[Rm#¨O QP ¥O
iQKYPY =\BjrI N LI L Y[FõZ m#Z+[FI#) )XI¡LIO QL YYFR ¢mZO£R ºF R[K# F RBIBPYºYR) ¤H N P ¥O¥j FX H0IY)RBK ) .3IY N ¥F$
jݬäôè1áß$¼ nyâð1ß¿ßá<áëá}ÞàëÝ9qßàá<ôßàÝ1Þß ë mâð1ßñëîè+âäëÝyäñ=ñð1ëpÌÝdmëáFnóëâðhãá nOäâá<ãáåZõóëî å+ÝOëïyäãî Þ"ðãëñãÝrkS
ñ êx ßàåXõDëî å-Ý1ëï_ä ãîAÞ"ð1ãëñ+o¡
áLn1äâ<áãáåçõDëîå-Ý1ëï_ä ãîÞ"ðãëñ ãÞ"ð1äßqßàñÇãÝXßZtOõóëÝ1ßàÝâä ãêî ÞëÝq ßáôßÝ1Þàß²á<ãêâßêìÌ p ð1äîßB
ñLx ßàåçõóëî å+ÝOëïyäãîóÞ"ðãëñ>k1ë-ßñÌÝ1ëâÌÞàëÝ9qßàá<ôßÜßt+õóëÝ1ßÝâ<ä ãîîå:o wÉðOßá<ßZs mëáßìêâ<ð1ß ãêá 1n ä âáãêáåÇõóëîå-Ý1ëï_ä ãêîÞ"ðãëñ)äñ)ïyëáßâðãÝÊã@ m ãÞàâ<ëáë m « ïyëá<ß=ãÞÞàè1áãêâ<ß}âð1ãÝA¿
ñ x ß å õóëîå-Ý1ëï_ä ãêîDÞ"ðãêëñXm ëá¶áÔ ¼o `VcD`SÁ¨_O`" b ab ` *cb a_cD` c * fU`Vh)"b/a _O` _+`U¿Afga ¿ b  ü
¦
"a)"b
{}ëïyõ1è+âäÝOô÷Ý/è1ïyßàá<äÞ%ãîîåãÝxëõ+âäïyãîÕñ<ß âÇë m¼ëáâ<ð1ëôëÝãîõDëî å-Ý1ëï_ä ãîñ{õOá<ëqßàñÇâ<ëdnóßZãîñë ã qêãîè1ã 1n îß6ãõ1õOá<ëãÞ"ðâ<ë÷ñ<ëîvq ßm ëáõ1áë:1n îßàïyñ{äÝ9q ëîv-q äÝOô÷Ý1ëÝ1îäÝ1ßãáÌâáãêÝ1ñLm ëáïhã4âäëÝpë H m èOÝ1Þßàáâ"ãêäÝ äÝOõ1èOâÌõãá<ãï_ßàâßàá<ñOo É w ð1äñ{ãõ1õOá<ëãÞ"ðäñXOk ßï_ëÝ1ñâ<áãêâ<ß+kgm ëáÌãñ<äÝ1ôîß è1Ý1ÞßàáâãäÝõãá<ãïyß âßàáÉè1ñ<äÝ1ô ãïyãñ<ñ1s ñ<õOá<äÝOôñå-ñâ<ßï ãêÝrkm ëáãÞàëï1 n äÝãêâ<äëÝ6ë m ïÊè1î âäõOîß¼è1Ý1ÞßàáâãäÝõãêáãï_ßàâ<ßá<ñè1ñ<äÝ1ôÇã ð1ßãêâ âá<ãÝ1ñm ßáÌõ1á<ë 1 n îßàï äÝãÊâ= p ës1k äïyßàÝ1ñ<äëÝãîÞ"ðãÝ1Ý1ßàîºl ëp/o ` ó
R
Õ-Oy&
E§#ÇjO&ó
)Êl§{
¨
)ø/
²Æ1&Çj/ íðå-ñ<äÞ%ãîõãá<ãïyß âßàá<ñ{ë Ôm âßàÝpðã q ßÊãÝpäÝ1ð1ßàá<ßàÝ/â¿è1Ý1Þàßáâ"ãäÝ/âåäÝâ<ßá<ï_ñÌë mã_ñâãÝrkãáLkXè1ÝOÞßá1s â"ãêäÝâå5O k äñâ<á<äv1n èOâäëÝ÷ñè1Þ"ðXãêñÉãÊÝ1ëáïhãîÓ1k äñâáä,1n èOâ<äëÝoNj Ýçïhã4âð1ßàïhãêâ<äÞãîïyë1k ßîñ=â<ð1ßñßÜõOð/å-ñäÞ%ãêî õãá<ãï_ßàâßàá<ñ5m áßæ/è1ßàÝ/â<îå ãõ1õóß%ãáhäÝVãjÝOëÝ1îäÝ1ß%ãêá_â<áãÝ1ñm ëá<ïyãêâ<äëÝbß o ôro äÝ9 q ßàá<ñßì{ß+t õDëÝ1ßÝâäãî ì ñ<æ/èãêá<ß²áë+ëêâ%ì1ß âÞ o ©è1ß âëZâð1ßàñ<ß²ÝOëÝ1îäÝ1ß%ãêá âßáïyñÌäÝ1ñ<ßàáâäÝ1ôâð1ßÜõóëîå-Ý1ëï_ä ãêîÞ"ðãëñ¿ßZOt õ1ãÝ1ñ<äëÝ mëá}â<ð1ßÇè1Ý1ÞàßáâãäÝçõãêáãï_ßàâ<ßáÉãÝX k ãõOõ1îå-äÝOôãDÜ £ ãîßáL-x äÝ õ1á<ëYé ßÞàâ<äëÝOk ë+ßàñ{ÝOëâÌá<ßO1k è1Þß â<ë_äÝ1Ý1ßàá õ1áë'1 k èOÞàâñëmJn ãñ<äñõóëîå-Ý1ëï_ä ãêîñ+o¬ ëá)ßOt ãï_õ1îß=ÞëÝOñ<ä,Ok ßáâ<ð1ß ñ<æ/èãêá<ßÉá<ë-ëâë óm ãÝè1Ý1Þàßáâ"ãäÝäÝ1õ1è+â õãá<ãï_ßàâßàáªÌÏ:Òo + ¤ èr1n ñâäâ<èOâäÝ1ô äâ<ñõDëîå-Ý1ëï_ä ãî-Þ"ðãëñ=ßZOt õ1ãÝ1ñ<äëÝSÌ : Ò ãÝy k ãêõ1õ1îå-äÝ1ôÜãÇ £ ãîßá /x äÝ ¦
^
µ
L) L$ :#))OL# . .
1
0.8
2
10
exact arbitrary PC expansion Askey PC expansion
arbitrary PC: mean arbitrary PC: variance arbitrary PC: distribution Askey PC: mean Askey PC: variance Askey PC: distribution
0
10
0.7 −2
0.6
L1 error
probability distribution function FK
0.9
0.5 0.4 0.3
−4
10
p=3−4
0.2
−6
10
p=0
0.1 0 0
10
p=1−2 −8
1
2 3 spring stiffness K
4
10
5
C ED£I L Y[FõZ ¥m#O^I##)¥OR O3«¬ C S®D
0
1
2 3 polynomial order p
4
5
C>N Dº )OG LKO\[Rm#¨O QP ¥O
iQKYPY °¯Bj/ N ¥)Z L±I L+#[FR 3m#Z+1R ¡O)¥YBRBIBPY@õ. ) N P ¥O²[FI#) I¡ML IO QL YYFFõZ #m OjX F JH IY ¥BK ) .3I#) N ¥F
õ1áë#éßÞ âäëÝáßñè1îâ<ñ{äÝ
êµ´
Ö Õ ªð$ðÌ9Òz¶· ÍwBë Ì9Ò ì Í ïDÔ « Í Í è è èè Ì ~9Ò ðØ 7 wÉð1äñ}ßt+õ1áßññ<äëÝÞãÝ1Ý1ëêâ á<ßã k1äîånóßá<ßO1k è1ÞßOk÷âëÊÞàëÝâ"ãäÝ÷äÝOÝ1ßá=õ1á<ëk1è1Þ âñ ë 3 m nãñ<äñ õóëîå-Ý1ëï_ä ãêîñ í$ð1ÌÒZÍë ÌÒLîÉëÝ1îå o
¿Ývãî âßáÝãêâ<ävq ß_ãõOõ1á<ëãêÞ"ð¸} p ëè1î,k!Dn ß_âëXÞàëÝ1ñä,1k ßàáÜâ<ð1ßhñæ-è1ãá<ß÷áë+ëêâ)¸ ÌÏ:Ò4Ô ³ ªÌ)Ï ÒÜãêñÜâ<ð1ß è1Ý1Þàßáâ"ãäÝväÝ1õ1è+âõãá<ãïyß âßàá+oPj ÝvâðãêâÊÞ%ãñß÷âð1ß Ý1ëÝ1îäÝ1ß%ãáÜâßàá<ïúäñ²â<áãÝ1ñm ëá<ï_ß+kqâ<ëiãîäÝ1ß%ãá âßàá<ï m ëá¶Ì p ðOäÞ"ðyâ<ð1ß@Ü £ ãêîßáL/x äÝZõ1á<ëYé ßÞàâ<äëÝ1k ë-ßñ¼á<ßàñ<è1î â¼äÝZäÝ1ÝOßáHõ1á<ë1k è1Þ âñ¼ë mÓn ãñ<äñHõDëî å-Ý1ëï_ä ãîñ+o w ð1ß¡1k äñ<ã kêq ãÝâ"ãêôßÌë m â<ð1äñ¼ãõ1õOá<ëãÞ"ðyäñâð1ãêâHâð1ßÌõ1ðå-ñ<äÞ%ãîóõãá<ãïyß âßàáªÌ)Ï É Ò ë Ôm âßàÝhðãñ¼ãÇÝ1ëáïhãî ëáÜãÝ1ëêâð1ßàá6ñâ"ãÝr1 k ãá k®1k äñâáä,1n èOâ<äëÝo]¿
ñ²ãçá<ßàñ<è1î â6ä âñÇÝ1ëÝOîäÝOß%ãáâ<áãÝ1ñm ëá<ïyãêâ<äëÝ@¸ Ì)Ï Ò1k ë+ßàñ6äÝ ôßàÝ1ßá<ãîÝ1ëêâÞëá<á<ßàñ<õóëÝr k â<ë ãhñâãÝrk ãêá ki1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝ3o@¿ u ëï_ëôßàÝ1ßëèOñãÝrkV¿
ñ êx ßàåõóëî å+ÝOëïyäãî Þ"ðãëñ}ß+ t õãêÝ1ñ<äëÝ1ñ}ÞãÝ÷ãêÞ"ð1äßq ßßZOt õóëÝ1ßàÝâä ãêîóÞàëÝ9q ßàá<ôßàÝ1Þßm ëá¼è1Ý1Þàßáâ"ãäÝhäÝOõ1èOâñ¨Ì p äâ<ð÷ãÇÝ1ëáïhãî ãÝrp k ñ<ßq ßá<ãîëâð1ßàá¿ñâ"ãÝk ãá k71k äñâáä,1n èOâ<äëÝOñ+oFÉ w ðOäñÌäï_õ1îäßñ â<ðãêâÌâð1ßÜõóëîå-Ý1ëï_ä ãêîÞ"ðãëñ ß+t õãêÝ's ñ<äëÝQ= p ëè1î,^ k Ý1ëêâDn ßçã On îß÷âëxë On â"ãäÝvß+t õóëÝ1ßÝâ<ä ãîÉÞàëÝ9q ßáôßÝOÞßgm ëáÊâð1ß èOÝ1Þßàáâ"ãêäÝ^õãá<ãïyß âßàá ¸ Ì)Ï ÒB|O µ ì « )o ± ßÞàßÝâî åìâ<ð1ß õóëîå-Ý1ëï_ä ãêîÞ"ðãëñï_ßàâ<ð1ëÊ Ì k ðãñ ón ßßàÝß-t âßàÝr1k ß+Z k âë á<ß%ãêÞ"ðß+t õDëÝ1ßÝâäãîOÞàëÝ9q ßàás ôßàÝ1ÞßBm ëáÉãêá 1 n ä âáãêáåyè1Ý1ÞßàáâãäÝâådOk äñâ<á<äv1n èOâäëÝ1ñ/|+´ ìµ o j âÌäñÉãÞëïA1n äÝã4âäëÝ÷ë Õ m âð1ß õóëî å+ÝOëïyäãî Þ"ðãëñ ß+ t õãêÝ1ñ<äëÝxãÝrX k ãÝëáâð1× ëôëÝ× ãîä,· ãêâäëÝ ãîôëá<ä âð1ï âëyÝ-èOïyßàá<äÞãîî å Þëïyõ1è+âß6ãÝXëõ+âäïyãî ñ<ß â_ë m$1 n ãñ<äñõDëî å-Ý1ëï_ä ãîñDÛ Ì 9ÒZÜYã 7 ëáâðOëôëÝãêî Ì p äâ<ð^á<ßñõDßàÞàâ_âëxâðOß õ1á<ë:1n ã 1n äîäâå®1k ßàÝ1ñ<ä âå Ø mè1Ý1Þ âäëÝjë = m âð1ßyè1Ý1ÞàßáâãäÝMõãá<ãïyß âßàá+( o =å è1ñäÝ1ôâð1ß_õ1áë:n ã 1n äîä âåV1k ßÝOñ<äâåPm è1ÝOÞàâäëÝ ë m ¸ Ì)Ï Ò ãñ>} p ßàäôðâ<äÝ1ô<m è1Ý1Þ âäëÝpäÝâ<ð1ßÜëáâ<ð1ëôëÝ1ãîä âåháßî ã4âäëݸÌ)´: Ò ìãZñ<ß â ë m õóëîå-Ý1ëï_ä ãêîñ}äñÌÞëï_õ1èOâ<ß+k í³ ªÌÏ:ÒZÍë:ÌÒ î¨Ô
³
L) L$ :#))OL# . .
1 probability density function
probability distribution function
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.6
M M*=M−1 0.8
1
1.2 1.4 M, M*=M−1
C EDGPYYQR FµIY N N
1.6
1.8
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
2
R ¥¥L¡õ. ) N P ¥O
M * −1 M =M
0.5
1
1.5 M, M*=M−1
CON D3 R[KOY FXZ IY) N N
2
2.5
3
¥ RL@#)¥L
iQKYPY)=aj ¹0BIBP3PY1) ¥+L¡YR) N P)R#GR O3mYtFXO)3R$mYtFX JH IY ¥BK1IY N RMF
pÌð1äÞ"ðpÞãÝãÞ"ðOäßOqß6ßZt+õDëÝOßÝâäãî ÞëÝ9qßá<ôßÝ1ÞàßAmëá âðOß6Ý1ëÝ1îäÝ1ß%ãá=âáãêÝ1ñLmëáïhã4âäëÝ ë mâ<ð1ßÇäÝ1õ1è+â è1Ý1Þàßáâ"ãäÝ/âåà1 k ßñÞá<ävDn ßOk /n 庸FÌÏ:ÒZoçj ÝVâð1äñ5} p ãå õ1á<ë:nOîßï_ñ÷äÝqëîvq-äÝ1ôvÝ1ëÝ1îäÝ1ßãáyâ<áãÝOñLmëáïhã#s âäëÝ1ñÉë m è1ÝOÞßáâ"ãäÝçäÝ1õ1è+âÌõãáãêïyß âßáñÉÞ%ãÝgón ßÇðãÝrk1îß+kãñÉߢyÞàäßàÝ/â<îå÷ãñÌëâð1ßàáÉõ1á<ë n1îßàïyñOo wÉð1ß Þëïyõ1è+â"ãêâ<äëÝãêîÞëñâÊë m â<ð1ßhÝ/è1ï_ßáäÞãî=Þàëï_õ1èOâ"ã4âäëÝMë } m âð1ß]n ãñ<äñ²õóëîå-Ý1ëïyäãîñäñ6ÝOßôîäôäv1n îß Þëïyõãêá<ß+Z k âëÇâðOß¿ÞàëïyõOèOâ"ãêâ<äëÝ1ãî1Þëñâ=ë A m ñëîv-q äÝOôÇâ<ð1ß{è1Ý1ÞßàáâãäÝâå_æ/èãÝâä éÞ%ãêâ<äëÝ_õ1áë:1n îßàï Ì § Ò äâ<ñ<ßàîvm1o¶¹N+ t õóëÝ1ßÝâ<ä ãîÞàëÝ9q ßáôßÝOÞß äñ¨1k ßï_ëÝ1ñâáã4âß+km ëáHã ïyãñ<ñ1s ñ<õOá<äÝOôÇâ<ßñâ}õ1áë:1n îßïsñèrné ßàÞàâ}â<ë ëÝ1ß6è1Ý1ÞàßáâãäÝxõ1ãáãï_ßàâ<ßá¿ãÝr k ä âäñ ãõOõ1îäß+p k â<ë÷ïÊè1î âäõ1îßÇè1Ý1Þàßáâ"ãäÝõãá<ãïyß âßàá<ñ@m ëá¿âðOß²ð1ßãêâ âá<ãÝ1ñm ßáÌõ1á<ë 1 n îßàï äÝãÊâ= p ës1k äïyßàÝ1ñ<äëÝãîÞ"ðãÝ1Ý1ßàîºl ëp/o aAÅ VÇj1%ü+Æ)4
Iý¸Æ)&öÇ jÝpâð1äñ{ñßÞ âäëÝpâðOß²îäÝ1ß%ãêáÉïhãññsñ<õ1áäÝ1ô_âßñâ õOá<ë:n1îßï pÌä âðãêÝXè1Ý1Þàßáâ"ãäÝXïyãñ<ñ{õãá<ãïyß âßàá ñ<ènéßÞ âÜâ<ëçãhÝ1ëÝOîäÝOß%ãá{âáãêÝ1ñLm ëáïhã4âäëÝXäñ ÞëÝ1ñä,k1ßàá<ßOkPpÌä âðxãêÝxè1Ý1ÞßàáâãäÝxïyãñ<ñ} ì ñ<ßà߬äôs è1áß ãoÉ w ð1ßZè1Ý1Þàßáâ"ãäÝ ïyãññ» Ì)Ï Ç Ò ãêõ1õDßãá<ñÇäÝâßáïyñ ë} m ä âñ äÝ9q ßá<ñßyäÝâð1ßZñßÞëÝrk â<ßáï ë m Ì « Ò{ o ò$ m Þàëè1á<ñßìóïÊè1î âäõOîå-äÝ1ôUÌ « ÒXn å¼ } p ëèOî,kSOn á<äÝOô² â<ëyâ<ð1ß6éáñâ¿âßáï ë m â<ð1ß²ßàæ-è1ãêâäëÝ ÞëÝ/âãäÝOäÝ1ôÊâ<ð1ß6ðOäôð1ßàñâÌâßàïyõóëá<ãî1 k ßàá<äq ã4âävq ßÇë ) m â<ð1ßÇßæ/èãêâ<äëÝoj Ýâðã4âÌÞ%ãñß6ßZOt õOîäÞàäâ â<äï_ß äÝ's âßàôáã4âäëÝ5} p ëè1î,÷ k äÝ9q ëîq ßÇãÝ÷äÝ9q ßáñ<äëÝ ë Õ m âð1ß Þëè1õOîß+k ïyãêâ<á<ä_ t áßñè1îâ<äÝ1ôAm áëï âð1ß ãêõ1õ1îäÞ%ãêâ<äëÝ ë H m õóëîå-Ý1ëïyäãîÕÞ"ðãëñOo4É w ðOßá<ßm ëá<ßêìAð1ßàá<ßäâ äñ¿Þ"ð1ëñ<ßàÝ â<ëd1k ß éÝ1ßÊâðOßÊÝ1ëÝ1îäÝ1ßãá¿â<áãÝOñLm ëáïhãêâ<äëÝ ë É m â<ð1ßhëáäôäÝãîäÝ1õ1èOâ²õãáãêïyß âßá Ì)Ï ² Ò ãñ²ãXÝ1ßOp è1ÝOÞßáâ"ãäÝqõãá<ãï_ßàâßàá< ÌÏ:Ò ½ Ô ÌÏ:Ò o j ÝV ¬ äôè1áß_ ~ âð1ß6è1Ý1ävm ëá<ï ãÝrX k îëôÝOëá<ïyãî è1Ý1Þàßáâ"ãäÝ/âåU1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝ1ñ{ë ~ m ÌÏ:Ò ãÝp k âðOßÊÞëáá<ßZs ñ<õóëÝrO k äÝ1ô6è1Ý1ÞßàáâãäÝâå]1k äñâá<äv1n èOâ<äëÝ1ñHë 3 m g#Ì)Ï:H Ò ãáß ñ<ðOëYÌ p Ýoj â}Þ%ãÝ]Dn ß¿ñ<ßàßÝ÷âð1ãêâ}â<ð1ß Ý1ëÝ1îäÝ1ß%ãá âá<ãÝ1ñm ëá<ïyãêâäëÝió n ßàâ= p ßßàݵ Ì)Ï Ò ãÝrr k Ì)Ï ÒBOk ßOm ëáïyñâ<ð1ßZëá<äôäÝãêî)è1ÝOÞßáâ"ãäÝâåP1k äñâá<äv1n èOâ<äëÝ1ñ ñ<äôÝ1ä éÞ%ãÝâ<îå:o ¤ äÝ1Þàß{â<ð1ß¿èOÝ1Þßàáâ"ãêäÝâå_ë 3 m ÌÏ: Ò Þ%ãÝ_Ý1ëâ ón ß@1k ßàñ<Þàá<ä,ón ß+k]n åyñâ"ãÝk ãá k]1k äñâáä,1n èOâ<äëÝOñìâðOß¿ëõs ¦ ½
«
L) L$ :#))OL# . . âäïhãêîñ<ß âñë mOëáâ<ð1ëôëÝãînãñäñõDëî å-Ý1ëï_ä ãîñAðã qß}â<ë@nóß}Þàëï_õ1èOâßOk²Ý/è1ï_ßáäÞ%ãêîîå âë{á<ß%ãêÞ"ðÊßt+õóës Ý1ßàÝ/â<ä ãî/Þàë9 Ý qßáôßÝOÞ ß o¨wë : ë n+â"ãäÝ6Zß tOõóëÝ1ßàÝâä ãêî+Þàë9 Ý qßáôßÝOÞß âðO ß p=ßäôð/â<äÝ1> ô mè1Ý1Þ âäëÝAùÌÒAäÝÌ ´ Ò ðãñâ¡ ë nDß=ßæ/èãî/âë{âð1ß¼õ1á: ë n ã n1äîä âB å k1ßÝOñ<äâ/ å mè1ÝOÞàâäëÝ®?BYA Ì Ò ë m¾Oì pÌð1ßàá<ß~J Ì)Ï ÒÕäñ âð1ß=îäÝOß%ãá âá<ãÝ11ñ s mëáïhãêâ<äëÝp ë mHâð1ßèOÝ1Þßàáâ"ãêäÝiäÝ1õOèOâ õãá<ãï_ßàâßàá° ÌÏ:Ò¿âëçã÷ñâ"ãÝ kã á kPk1ëïhãäÝ |¿ Í ì | « ÍwT À Ò ë á ÌM$ À ÍT À ÒZowÉð1ßÜñ<ßàâ<ñ ë mëáâ<ð1ëôëÝãî õóëîå-Ý1ëï_ä ãêîñÉãáß6Þàëï_õ1èOâOß kXè1ñäÝ15 ô £ áã< ï s¤+Þ"ðOïyvä kOâÉë1á s âðOëôëÝãêî,ä ·ãêâäë3 Ý owÉðOßÊõDëîå-Ý1ëï_ä ãî Zß t+õãÝ1ñäëÝ1@ ñ mëá{â<ð1ßÊõóëñ<ä âäëÝpë mâð1ß²ïhãññ , Ì0ÎZÍÏ:Ò{ãr Ý kXâ<ð1ß è1Ý1Þàßáâ"ãäÝpõãêáãï_ßàâ<ßá ÌÏ:Ò ãáß , Ì.ÎZÍÏ ÒÔ Ö , ð1Ì.ÎLÒ$ðÌÌ)Ï:ÒLÒÍ ðØ 7 pÌäâ<ð âð1ßÇõãá<ãï_ßàâßàáÉÞë-ßO_ ¢ ÞäßÝâñ × í gYÌ9× ÒÍ Ô í Ì Ò
× × Ö × Ì)Ï ÒÔ ÌJÌÏ:Ò ÒZÍ Ø 7
5
× î
ÌÒ î è
Ì § Ò
Ì ¯:Ò
¤+äÝ1Þß}â<ð1ß Ý/è1ïnóßáë mè1Ý1ÞàßáâãäÝõ1ãáãï_ßàâ<ßáñ¶Ý÷äñ)ëÝ1ßêìâð1ß Ý/è1ïAnDßàáë mßt+õãêÝ1ñ<äëÝÊâßàá<ï_ñ>Ì)Þgß Ò ßæ/èãêîñUÌ áß ÒoQy¿ëâ<äÞßyâðãêââ<ð1ßçëõOâ<äïyãî=õóëî å+ÝOëïyäãî¼Þ"ðãëñZßt+õãêÝ1ñ<äëÝ}mëáÊâð1ß èOÝ1Þßàáâ"ãêäÝ õãá<ãï_ßàâßàá äÝ Ì § Ò²äñßtOãÞ â_äÝvâð1ß éáñâZâp=ë â<ßá<ï_ñk1è1ß âëxâ<ð1ßçîäÝOß%ãá²â<áãÝOñLmëáïhãêâ<äëÝ nóßàâ p=ßßݼ Ì)Ï Ò ãrÝ k(J ÌÏ:Òo¤-rè n1ñâ<äâ<èOâäëÝ ë mâð1ßÇõóëîå-Ý1ëï_ä ãêîD× Þ"ðãêëñÌ ñ Ì §:Ò}äÝ/â
zy { pÌäâ<ð × × Ö × í$ð1Ì Ò Ì9 Òë Ì ÒLîOÍ 4 ðõ ë Ô Ì µ:Ò í ë5 Ì ÒLî Ø 7 pÌð1äÞ"ð²äñã{ñå-ñâ<ßïl ë mÌ8áß Ò3k1ß âßàá<ï_äÝ1äñâäÞßæ/èãêâ<äëÝO+ñ oIwÉð1ß}áßñ<èOîâäÝ1ô{ñå-ñâ<ßïl ë m1ßàæ/èãêâäëÝ1F ñ Ì ´ Ò ä¨ ñ p=ß% ã x/îå_Þàëè1õ1î+ß kAì-ñ<äÝ1Þß{âð1ß{ñ<è1ï_ïyãêâäëÝZäÝyâ<ð1ß{ñ<ßÞàër Ý k÷â<ßá<ï ë m Ì ´ ÒHáßñ<èOîâñ=äÝyãÜâ<á<,ä kOä ãôëÝãî ïyãêâáä tÓowÉð1ß ñ<èOïy× ïyãêâäëÝÜîë-ëõ1ñYë q߶ á ò\Ô ïy#ã tJÛï= Í « ÜÍ è è èZÍï_ä% Ý Ûïß Í áÜ/#ì nóßÞãè1ñß âð1ß¼âá<äõ1îß õ1á' ë k1èOÞàg â í ðÌ9 Ò Ì9 Òë:Ì ÒLîÜäñÜßæ/èãêî¼âk1ßávä qOß kimá<ëï â<ð1ß²è1ÝOvä mëáÿ ï k1äñâá
L) L$ :#))OL# . .
exact PC (p=4)
mean variance distribution Legendre
0
10
0.8 −2
10 0.6
L1 error
probability distribution function
1
0.4
−4
10
−6
0.2
10
0 −0.9
−8
−0.8
−0.7
−0.6
−0.5 −0.4 position x
−0.3
10
−0.2
C YDGP#1LZROL>YR) N P)RRÄu iQKYPY ~_^jÓ O QPY)RRrm#tFO)JH0JIY RBKIY) N RMF õ. ) N P ¥O
0
1
2 3 polynomial order p
4
5
C>N D3 )OG LKO
P N .º >Z}PY) ¥dFX noº m/PYYQR F6PY1) ¥+L
k1äñâáä,n1è+âäëÝ!mè1Ý1Þ âäëÝAìâ<ð1ß÷ï_ß%ãÝvãêÝrkjâðOß5qêãá<äãÝ1Þßyë m , Ì ÍÏ:Ò6äñ²ñð1ëpÌÝ^ãñAmè1Ý1Þ âäëÝqë mÉâ<ð1ß õóëîå-Ý1ëï_ä ãêî¼ëá 1 k ßàá+Å o ÃÕßàôßÝ1k á<ß õóëîå-Ý1ëïyäãîHÞ"ðãëñäñÊÞ"ð1ëñßÝ|ñ<äÝOÞß÷âðOßàåvãêá<ß ëõOâ<äïyãî mëá²â<ð1ß è1Ý1äm ëá<ï 1 k äñâ<á<ä,On èOâäëÝ3Ü o òÝ1îåâðOßÊÝ/è1ïyßàá<äÞ%ãîîåÞëï_õ1èOâ<ß+x k ñßàâÇë ¼ m õóëîå-Ý1ëï_ä ãêîñ{ãÞ"ð1äßOqßàñ ßt+õóës Ý1ßàÝ/â<ä ãîÞëÝ9 q ßàá<ôßàÝ1ÞßDm ëáâðOß_ÝOëÝ's ñâ"ãÝk ãá kP1k äñâ<á<ä,On èOâäëÝxë 1 m Ì)Ï Òoj Ý! ¬ äôè1á<ß<÷ ¯ â<ð1ßZá<ßñè1îâ<ñ mëá± Ì)Ï:Ò4n ãñ<ßO^ k ëÝqâð1ßhîëôÝOëá<ïyãî¨1k äñâáä,1n èOâ<äëÝ®m ëáÊïyãñ<ñ< Ì)Ï ² Ò ãá<ßhôävq ßÝ3o®j Ý ¬ äôè1á<ß5¯ ã âðOß²ãõOõ1á<ë + t äïyãêâäëÝçë m â<ð1ß41k äñâá<äv1n èOâ<äëÝm è1Ý1Þ âäëÝpëm , äñ{ôävq ßàÝãÝp k âðOß6ßàá<á<ëá¿ÞàëÝ9q ßáôßÝOÞßÊäñ ñ<ðOëYÌ p Ýâ<ë5ón ß²ßZOt õóëÝ1ßàÝâä ãêî)äÝS ¬ äôè1áßA¯ no¡É w ðOßÊá<ßàñ<è1î âñ¿ãá<ß6Þëï_õãáß+p k â<ëd{ u ßá<ï_äâ<ß6õóëî å+ÝOëïyäãî Þ"ðãëñ/Ì p ðOäÞ"ðjäñ ëõOâ<äïyãîIm ëáâð1ßZÝ1ëáïhãêî¶1k äñâáä,1n èOâ<äëÝoj âÇÞ%ãÝ®ón ß_ñßßàÝMâð1ãêâÇäñ ÞàëÝ9q ßáôßÝOÞßñ ñ<äôÝ1ä éÞ%ãÝâ<îåyñ<îë= p ßá â<ðãÝ âð1ß Ý/è1ï_ßáäÞãîî åZÞëï_õ1èOâ<ß+ç k ñ<ß â¿ë) m ëáâðOëôëÝãêîõóëîå-Ý1ëï_ä ãêîñ+oIÉ w ð1ßàñ<ß á<ßàñ<è1î âñ@1 k ßï_ëÝ1ñâáã4âß6â<ðãêâ{âð1ß²ãõ1õ1áëãÞ"ðë m Þëï_õ1èOâ<äÝ1ô_âð1ß6ëõOâ<äïyãî ñ<ß âë m ëáâðOëôëÝãêîõóëî ås Ý1ëï_ä ãêîñ@m ëáâð1ßZÝ1ëÝOîäÝOß%ãá â<áãÝOñLm ëáïhãêâ<äëÝXë = m â<ð1ßè1Ý1Þàßáâ"ãäÝMäÝ1õ1èOâÇäñÇãÝißO_ ¢ ÞäßÝâ6ãõ1õ1áëãÞ"ð ë m\1 k ß%ãêîäÝOôÌ p äâð â<ð1äñÉâå-õDßÇë ) m Ý1ëÝOîäÝOß%ãáäâäßñOo ¦ !
½e
Å -+_%41
)E§ -
jÝiâðOäñ ñ<ßàÞàâ<äëÝ ã Ý1ëÝ1îäÝ1ßãá â<áãÝ1ñ mëá<ïyãêâ<äëÝäÝ9qëîq+äÝ1ô ïÊè1î âäõ1îß6è1Ý1ÞßàáâãäÝiõãá<ãï_ßàâßàá<ñ äñ ÞëÝ1ñ<ävk1ßáß+khäÝ_â<ð1ß{ÞëÝâßZt-â}ë mð1ß%ã4â=â<áãÝ1ñmßáHäÝyã âp}ësk1äï_ßÝOñ<äëÝãî1Þ"ðãêÝ1Ý1ßîJlëpÇì-ñ<ßß@¬äôè1á<ß@´'o ò mÔâßàÝXïÊè1î âäõ1îß è1ÝOÞßáâ"ãäÝõãá<ãï_ßàâßàá<ñ{Þ%ãS $ Ý nDßÜÞëïAn1äÝ1ßOkXäÝ/â<ë÷ã_ñ<äÝOôîßÇñ<äïyäî ãáäâåyõãá<ãïyß âßàá ä9 Ý qëvî q-äÝOô Ý1ëÝ1îäÝ1ßãá)â<áãÝ1ñ mëá<ïyãêâ<äëÝ1Oñ oN¬ëá)âð1ßÌð1ßãêââá<ãÝ1Lñ mßàáäÝÊâ<ð1ß â p}#ë sk1äïyßàÝ1ñ<äëÝãî+Þ"ðãÝ1Ý1ßàî lë p ãÝMè1Ý1ÞàßáâãäÝ ð1ßãêâ²ÞàërÝ k1èOÞàâä q-äâåÅ Æ Ì)Ï Ò N ì k+å+Ý1ãïyä Þ q-äñ<Þàëñ<ä âåǨ 5 Ì)Ï ÒÜãêr Ý kMõOá<ßññ<è1áß÷ôá< ã k1äßàÝâ '
ÌÏ:ÒÞ%ã! Ý nDß_Þë ï n1äÝO+ß k äÝâëpãÝ è1Ý1ÞßàáâãäÝMíßÈ Þîßàâ6Ý/è1 ï nóß á Þ)
ÌÏ:Ò/Ô Ñ\Ì)Ï Ò~Á¢ Æ Ì)Ï Òo]wÉð1ßhè1 Ý s ' ÞßàáâãäÝâd å kOäñâ<á
Ì)Ï:Ò¼äñÉäÝ÷â<ðãêâÉÞãñ<ßÜãÝ1ëÝOîäÝOß%ãá=Þë ï nOäÝãêâ<äëÝh ë mÕâð1ß è1ÝOÞßáâ"ãäÝâå k1äñâá,ä n1è+âäëÝ1ñÌ ë m~ Æ Ì)Ï Ò ìl¨ 5 Ì)Ï Ò{ãêr Ý k '
ÌÏ:ÒZo¡wëháßàâãäÝpß t+õDëÝ1ßÝâäãîÕÞë9 Ý qßá<ôßÝ1ÞàßìAâðOß6ëáâð1ëôëÝãî ' õóëîå-Ý1ëï_ä ãê3 î nãñäñ ð1ãñ â5 ë nDß6ÞëÝ1ñâáè1Þàâ<+ß kxÝ/è1ï_ßá<äÞ%ãîî å o¡wÉðOßÊëèOâ<õ1èOâñ ë mHäÝâßàá<ßàñâ ãêá<ß6â<ð1ßÊè1 Ý s
L) L$ :#))OL# . .
exact PC (p=4)
mean variance distribution Hermite
0
10
1.5
−2
10 L1 error
probability density function
2
1
0.5
−4
10
−6
10
0 −1
−8
−0.8
−0.6
−0.4 −0.2 position x
0
0.2
10
0.4
0
C YDGP#1LZROL>YR) N P)RRÄu
1
2 3 polynomial order p
4
5
C>N D3 )OG LKO
iQKYPY 3ÉBj P)RR m#3FX H0JI#)RBKIY) N RMF!P N . ¨ZPY) ZRFX oº mX¶ ¥YKYOFXZ PY1) ¥+L õ. ) N P ¥O
ÞßàáâãäÝâå äÝ âð1ß_âßï_õóßáã4âè1áß_éßàî,kvãêÝrkjâðOßhè1Ý1Þàßáâ"ãäÝ/âå®nãêá<ñmëáÜâ<ð1ßyâ<ßï_õDßàáãêâ<è1á<ßyëÝMâ<ð1ß è1õ1õóßX á p}ãîî)o wÉðO/ ß l1Yë p äÝyâð1ßâp=ëskOäï_ßÝ1ñäëÝãêîÞ"ðãÝOÝ1ßî äñÉãñ<ñè1ï_ß+k âë
Ñ\ÌJÊÒ¶ÔË
k á 5 ÌÌ Ê 5 ÒÍ 5 k ,
Ê Â
|¿dÌ3ÍÌ)Í
Ì ³:Ò
pÌð1ßàá<ß'̸k1ßàÝ1ëâ<ßñ²â<ð1ßyðOßäôð/â²ë m â<ð1ßyÞ"ð1ãÝ1Ý1ßàîX¢Ì}Ô « è « ï ãêÝrkjâðOßhõ1áßñ<ñè1á<ßhôáã kOäßÝâ ''
äñ äÝ1 k ßõóßÝrOk ßÝâ ë m , ãÝr2 k ÊÓo\É w ð1ß>q ßîë+ÞàäâåZÞàëïyõóëÝ1ßàÝâ=äÝ_â<ð1ßÊsk1äáßÞàâ<äëÝZäñ=ãêñ<ñ<èOïyßOkyâë4nóß@·àßá<ëo ,
ðOß%ãêâ<äÝ1ô_ßîßï_ßÝâäñ¿õ1áßñßÝâÇãêâ{âð1ß6îë= s p ßá>p ãîîIm ëá$ JÌ + ß P ÒXÌ p ðOäÞ"ðïyãäÝâãäÝ1ñ Í Í ãÞëÝ1ñâãÝâD} p ãîî=âßàïyõóßá<ãêâèOá<߲ΠP ì¶Ì p äâð6 Ï Ô P Ô Xo¸É w ð1ß ëêâð1ßàáp ãîîñãêá<ß ã Ok ä ã n ã4âäÞ Ð ãÝrv k äÝl ëp ãÝrv k ëèOâ l ëp Dn ëè1Ýrk ãáåjÞàëÝr1k ä âä ëÝ1ñ6ãá<ß÷õOá<ßñÞáä,ón ß+| k ãêâ , Ô « ãÝrk , Ñ Ô Éì¶Ì p äâ<ð Ô « è ïUo!j âZäñãññ<è1ï_ß+v k âð1ãêââð1ß÷â<ßï_õDßàáãêâ<è1á<ßOk ë+ßàñÝ1ëâäÝl è1ßàÝ1Þß âðOßdl ëp éßàî,k3o!É w ð1ß ßæ/èã4âäëÝë) m â<ð1ßÇð1ß%ãêâÌâ<áãÝ1ñm ßáÌäñ â<ð1ßÝôäq ßÝUn å Î
5 Î
5 Î
Ñ\ÌÊrÒÒ , µÆ@ÓtÒ , ßÔÒ Ô « Í 5 Ê 58Õ
Ì « Ò
Ò Ò Ò pÌð1ßàá<ßDÑNÌÊrÒ{äñ ôäqßÝPnå Ì ³9ÒowÉðOßyõãêáãï_ßàâ<ßá<ñ»ÆÌÏ:Ò ì35¨ÌÏ:ÒSì ''
Ì)Ï Ò äÝiÞëïnOäÝãêâ<äëÝ7pÌäâðxâ<ð1ß nóëè1Ýrkãêáå|ÞëÝk1äâ<äëݵΠP ÌÏ:ÒZãá<ßpãññ<è1ï_+ß k â<¸ ë nóßXè1ÝOÞßáâ"ãäÝ ãÝk äÝrkOßõóßÝrk1ßàÝâ o jÝàwãn1îß âðOßäá èOÝ1Þßàáâ"ãêäÝâäßñÇãáßôävqß3 Ý o
¼
L) L$ :#))OL# . .
L Poisseuille flow
adiabatic wall 2h
L1
L he heating element The
C YD£m#Z#Y Ö#wog ¥OBKfmYLZ)RBKL ¥MH FFL+
CON D3) F¥#R)×N)F1I PY Ø õ
i'K[P#)~ÙjJILZº)Z#JR 3R oH0FFL#)¥O#Z Úrõ PY¥ R Rm#YYL ¢Ö#wo7 ¥OBKXfm#L ¥KFL ¥F+L
k N RfXYj ÚZF1 JR>m#m#L)ZR LGI#) N ¥FQ¥¨oH0F#)¥O#Z ¢m#YY Ö#wotjr) F¥#R)×N? QP# ZPY1) ¥+L¡YR) N P)R
õ ãáãï_ßàâ<ßá 1 ÞëÝk1è1Þàâ<äëÝ q-äñÞëñäâå õ1áßñ<ñè1á<ßÜôá< ã k1äßàÝâ ð1ßãêâäÝ1ôÊâßàïyõóßá<ãêâè1áß
ñå+ïAnDëî Æ 5 ' '
Î P
êq ãîè1ß 'èR§ ³9§ô « 5 èR´ µ:³ ~Bô « s1'o « ¼9´ ¼o §
~
è1Ý1äâ Ü Û x/ô9ª x/ô¥Ûêï_ñ x/ô¥Ûêï 5 ñ 5
ª
k1äñâá<ävn1èOâ<äëÝ
îëôÝ1ëáïhãî è1Ý1ä mëá<ï õDëîå-Ý1ëï_ä ãî è1Ý1ä mëá<ï
Þëq¾ÛêäÝ/â<ßáqãêî
« èõ:§ « èõ:§ |¿$¼'èõ§'EÐ èR§# « è« §
L) L$ :#))OL# . .
σ
T
380
18 16
360 temperature Tw
y position
14 12
0.01
10
0
8
−0.01
6
0
2 0.02
0.04 0.06 x position
0.08
340 320 mean
300
4 p=2
PC (p=2) MC (N=100)
280 0
0.02
0.1
C ED3.Z##Z@L RZ)R:Ø# õ
0.04 0.06 flow direction x
0.08
0.1
C>N DGPBIBI 3o3Z R :)F1I PY
iQKYPY ~ÝBj8Þ1) ¥+L$¥/mY)MFI PY)~Ø# õ/^P#¨)¡mY11YF N D Z#:åæ COà D ß C>à DqBá C>à Dqnââzãä C>à º
RYLMs ¶RÄR [P#PY1) ¥}IZF1
' ÌÏ:Ò}ãáß ÞëïAn1äÝ1ßOk äÝhâ<ð1ßÇíßÈ ÞàîßàâÌÝ/è1ïAnDßàá>Þ) ÌÏ:ÒoNwÉð1ßÇá<ßñè1îâ<äÝ1ô6âp}ëZè1Ý1Þàßáâ"ãäÝ õãáãêïyß âßáñ '
Þ» Ì)Ï:ÒãêÝrk Î P Ì)Ï Òãá<ßÌá<ßàõ1á<ßàñ<ßàÝ/â<ß+kdnå_ã âp}ë#sk1äïyßàÝ1ñ<äëÝãî+õDëî å-Ý1ëï_ä ãî-Þ"ðãëñ¼ßt+õãêÝ1ñ<äëÝ3o¨¤+èn's ñâ<äâ<èOâäÝ1ô²âðOßÜõóëî å+ÝOëïyäãîÞ"ðãëñÌßZtOõ1ãÝ1ñ<äëÝçäÝâëUÌ) « Ò}ãêÝr× kç× õDßàáLmëáïyäÝ1ôã£Çãîßàá x/äÝ õ1áë#éßÞ âäëÝ ëÝâëâ<ð1ß â p}ë sk1äï_ßÝOñ<äëÝãîAõóëîå-Ý1ëïyäãîDÞ"ð1ãë> ñ nãñäñBÛ:Ù ÜYã 7 áßñè1îâ<ñ{äÝ ! wv ëwx z y Y{
Ö
ð Ø Õ Fwv ë 7
zy { pÌäâ<ð
Ø
5 ÎÓë 5 ÎÓë ÓÎ ð Þ)4 +ðõëÄÒ , Ó Ò , ßÔÒ Ô « Í 5 Ê 5dÕ Ò
Ò
ï]Ô « Í Í è+è èOÍ?Þ>Í
Ì Ò
Ò
× × Ö × Þ 1í Ù]ð1Ì9ÒÙ ÌÒ?Ù]ë9Ì9Ò îOè » Ì : Ò Þ»4 +ð8ë¡Ô í1Ù 5ë ÌÒ î × Ø 7 × wÉð1ßÇëõOâ<äïyãîóñ<ßàâ{ë mÕâp=ëskOäï_ßÝ1ñäëÝãêîn ãñäñÉëáâð1ëôëÝãîDõDëîå-Ý1ëï_ä ãîñ¡Û:Ù ÌÒÜYã 7 äñÉë:nOâãäÝ1ßOk nåqâðOßçâ<ßÝ1ñëá_õ1á<ëk1è1Þ âZë m â<ð1ßçÝ-èOïyßàá<äÞãîî å Þëï_õ1èOâ<ß+| k õDëî å-Ý1ëï_ä ãîñm ëáÞ» Ì)Ï Ø ÒÊãÝrkÎ P ÌÏ:ÒZo wÉð1ßÊâp=ëskOäï_ßÝ1ñäëÝãêî)õóëîå-Ý1ëïyäãî Þ"ðãëñ ßZ+t õãÝ1ñäëÝxäñ¿âáè1Ý1ÞãêâßOM k ã4âáVÔç+ ìÌ p ð1äÞ"ðxá<ßñè1îâ<ñÇã õóëîå-Ý1ëï_ä ãêî+Þ"ðãêëñ¼ãõ1õ1áë+ t äïhãêâ<äëݲäÝÊâðOßÌé1á<ñâHñä² t âßáïyñ¡ Ì íÔ4§ Òo ¹ æJo%Ì Ò äñ¶1k äñ<Þàá<ßàâ<ä,à· ß+_ k è1ñ<äÝ1ô ãñ<ßàÞëÝrksëáLk1ßáÌéÝ1ä âß q ëîè1ï_ß ïyß âð1ëkÌ p äâ<ðpãñõãêâäãîAñâßõñ<äv· ß» , Ô « 5 o É w ð1äñ{áßñè1îâ<ñ>m ëá âðOßBk1ßàâ<ßá<ï_äÝOäñâ<äÞÌâßàïyõóßá<ãêâè1áßéßîvA k ìOñßß4 ¬ äôè1á<ß´A n ì1äÝ ã1k äñ<Þáßàâ<ä,%· ã4âäëÝ÷ßáá<ëá ëm « äÝ÷â<ð1ß 5 s Ý1ëá<ïUoNj Ýg ¬ äôè1á<ß$µ ã6â<ð1ßñâãÝrk ãêá k1k ß+q äãêâäëÝhë m âð1ß â<ßï_õDßàáãêâ<è1á<ß¿éßîv÷ k á<ßàñ<è1î âäÝOôAm á<ëï â<ð1ß è1Ý1Þàßáâ"ãäÝ/â<äßàñ6äݸ» Þ Ì)Ï Ü Ò ãÝÅ k Î P Ì)Ï:Ò Þ%ãêݸón ßyñßßÝoUj ÝQ ¬ äôèOá<ßDµ i n âð1ßyïyßãÝjãêÝrj k è1ÝOÞßáâ"ãäÝâå n ãáñn ãñß+k ëÝyâð1ßñâ"ãÝk ãá k51k ßO-q ä ã4âäëÝhë m â<ð1ß âßàïyõóßá<ãêâèOá<ß ëÝhâð1ß è1õ1õóßá } p ãîîãáß ñð1ëÌ p Ýgm ëá âðOßÜõóëî å+ÝOëïyäãîóÞ"ðãëñ{ãõ1õOá<ëãÞ"ðgÌ p äâ<ðDá5Ô ãÝkip z ëÝ/â<ß{ ãá<îë_ñäïÊèOî ãêâ<äëÝDÌ p äâð Ô « « o
§
L) L$ :#))OL# . . ç
hcD`VhAÁ f _YcD`
jâÌäñ äï_õóëáâãÝâ}âëâ ã xß õ1ðå-ñ<äÞ%ãî èOÝ1Þßàáâ"ãêäÝâäßñÉäÝâ<ëZãÞÞàëè1ÝâÌâëë:nOâãäÝ áßîä ã n1îß¿Þàëï_õ1èOâ"ãYs âäëÝãîõ1áß+k1äÞàâäëÝ1ñOo4wÉðOßD£ÜãîßáLx-äÝõóëîå-Ý1ëï_ä ãêî Þ"ðãëñ ï_ßàâ<ð1ë'kxð1ãñõ1áëYqßÝiâënóßãññè1äâã n1îß ãõ1õOá<ëãÞ"! ð mëá6æ/èãêÝ/â
L) L$ :#))OL# . . |°µ Ü o¥
oõ¤%o¡¦]ä â<âßqßàßÝAìuo}äéî ì/zpëk1ßàîäÝOô ãáLn1äâ<áãáå]è1Ý1ÞàßáâãäÝâ<äßñpè1ñ<äÝ1ôT£ áãêïs1¤+Þ"ð1ï_ä,kOâ õDëîå-Ý1ëï_ä ãîÞ"ðãêëñì
@j
$
¡s1 «:« ¯Ys1µ:³:+ ¯ ì'~:~êâð
$j
@
ßáëñ<õ1ãÞߤ+ÞàäßÝOÞßñ@zpßàßàâ<äÝ1ô_ãÝrkU¹Nts Ü ð1ä,O n äâ%ì{ ± ßàÝ1ë1ì{ y ßOêq ã k ã+ì ãÝ3oJ³#s + ì «:« ¯o |°³ Ü o¥
oõ¤%o¦]äâ<â<ßOqßßÝì/uo}äéî ì>
ÝmßO¢_ÞäßÝâpïyëÝOëïyäãî{Þ"ðãëñãõ1õOá<ëãÞ"ð mëá è1ÝOÞßáâ"ãäÝâå æ/èãÝâä éÞ%ãêâ<äëÝXäÝÝ1ëÝ1îäÝ1ß%ãá¿Þëï_õ1èOâãêâäëÝãîÕï_ë'O k ßîñàì
@j
$
¡s1 «:« ¯Ys1µ:³:+¯ ìµêâ<ði
$j
@
y¿ëÝs ©ßàâ<ßá<ï_äÝOäñâ<äÞ@
õ1õ1áëãÞ"ð1ßàñ} { ëÝm ßáßÝ1Þàßì%¿ y ßÌ p õDëáâ%ìJ±>"j ì%X z ã%å:o s1~ ìJ « « ¯o | « )©o© äèAì£
´
