SOAL MATEMATIKA - SMP OLIMPIADE SAINS NASIONAL TINGKAT NASIONAL
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA TAHUN 2012
A. SOAL HARI PERTAMA 1 1. Diketahui f adalah suatu fungsi sehingga f ( x) 2 f 3 x untuk setiap x 0. Carilah x nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x)
2. Diketahui ABC adalah segitiga lancip dengan titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran yang berpusat di titik O. Titik P terletak pada sisi BC sehingga AP adalah garis tinggi segitiga ABC. Jika ABC + 30 ACB, buktikan bahwa COP + CAB < 90. 3. Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar dari 1 dan berbeda, serta memenuhi sifat bahwa abc membagi habis bc + ac + ab + 2. 4. Misalkan A, B, dan P adalah paku-paku yang ditanam pada papan ABP. Panjang AP = a satuan dan BP = b satuan. Papan ABP diletakkan pada lintasan x1x2 dan y1y2 sehingga A hanya bergerak bebas sepanjang x1x2 lintasan dan hanya bergerak bebas sepanjang lintasan y1y2 seperti pada gambar berikut. Misalkan x adalah jarak titik P terhadap lintasan y1y2 dan y adalah terhadap lintasan x1x2. tunjukkan bahwa persamaan lintasan x2 y2 titik P adalah 2 2 1 . b a
5. Terdapat tiga buah kotak A, B, dan C masingmasing berisi 3 bola berwarna putih dan 2 bola berwarna merah. Selanjutnya dilakukan pengambilan tiga bola dengan aturan sebagai berikut: 1. Tahap ke- 1 Ambil satu bola dari kotak A 2. Tahap ke- 2 Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke- 1 berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B. selanjutnya dari kotak B diambil satu bola, jika yang terambil adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C, sedangkan jika yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A. Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke- 1 berwarna merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C. selanjutnya dari kotak C diambil satu bola. Jika
yang terambil adalah bola berwarna putih maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A, sedangkan jika yang termbil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B. 3. Tahap ke- 3 Ambil masing-masing satu bola dari kotak A, B, dan C. Berapa peluang bahwa semua bola yang terambil pada tahap ke- 3 berwarna merah?
B. SOAL HARI KEDUA 1. Apakah ada bilangan asli n sehingga n2 + 5n + 1 habis dibagi oleh 49? Jelaskan! 2. Diketahui parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–3, 4) dan (3, 16), serta tidak memotong sumbu- x. Carilah semua nilai absis yang mungkin untuk titik puncat parabola tersebut. 3. Diketahui T.ABC adalah limas segitiga beraturan dengan panjnag rusuk 2 cm. Titik-titik P, Q, R, dan S berturut-turut merupakan titik berat segitiga ABC, segitiga TAB, segitiga TBC, dan segitiga TCA. Tentukan volume limas segitiga P.QRS. (catatan: titik berat suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis berat) 4. Pada suatu acara diundang 13 orang tamu istimewa yang terdiri dari 8 orang pria dan 5 orang wanita. Khusus untuk semua tamu istimewa tersebut disediakan 13 tempat duduk pada satu baris khusus. Jika diharapkan tidak ada dua orang wanita yang duduk bersebelahan, tentukan banyak posisi duduk yang mungkin untuk semua tamu istimewa tersebut. 5. Sebuah tabel yang berukuran n baris dan n kolom akan diisi dengan bilangan 1 atau –1 sehingga hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap baris dan hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap kolom adalah –1. Berapa banyak cara berbeda untuk mengisi tabel tersebut?
