KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN REPUBLIK INDONESIA 2015
MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN
Buku ini disusun berdasarkan Kurikulum 2013 dengan menyesuaikan kompetensi dan materi berdasarkan standar internasional seperti PISA (Program for International Student Assessment) dan TIMSS (The International Mathematics and Science Survey). Buku ini berbeda dengan buku matematika umumnya karena dalam buku ini tidak semua informasi pengetahuan disajikan secara langsung, melainkan mengajak siswa aktif menggali pengetahuan dan mengkontruksi suatu konsep serta menumbuhkan kemampuan bernalar melalui kegiatan yang disajikan. Pembelajaran matematika dalam buku ini mengaitkan matematika dengan masalah dalam kehidupan nyata, bidang ilmu lain, dan antar materi matematika. Sehingga, siswa tidak hanya menguasai kompetensi dasar yang ditetapkan tetapi juga memahami manfaat matematika dalam kehidupan nyata dan mampu menerapkannya. Buku ini mengajak untuk berpikir secara ilmiah, dengan cara: mengamati, menanya, mengumpulkan informasi/mencoba, menalar/ mengasosiasi/ menganalisa, dan mengkomunikasikan. Kegiatan dalam buku ini perlu dilakukan secara berkelompok untuk membiasakan siswa bekerjasama dalam tim. Buku ini juga menyajikan beberapa model permasalahan, antara lain: soal prosedural, soal penalaran yang menuntut siswa berfikir kreatif, serta soal terbuka yang memungkinkan beberapa jawaban benar. Selain itu, juga memuat tugas projek untuk melatih siswa bekerjasama menghasilkan suatu model, metode, strategi, atau produk untuk dipresentasikan. Adapun materi yang dipelajari selama kelas IX semester 2 mencakup 5 Bab, yaitu: (1) Statistika; (2) Peluang; (3) Bidang Kartesius; (4) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel; (5) Fungsi Kuadrat.
ISBN : 978-602-282-095-6 (jilid lengkap) (jilid 3b)
Matematika % Kelas IX SMP/MTs %Semester 2
MATEMATIKA A MATEMATIK
MATEMATIKA
SMP/MTs
KELAS
IX
SEMESTER 2
Hak Cipta © 2015 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang.
Disklaimer: Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini. .DWDORJ'DODP7HUELWDQ .'7 Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 0DWHPDWLND.HPHQWHULDQ3HQGLGLNDQGDQ.HEXGD\DDQ Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2015. vi, 146 hlm : ilus. ; 25 cm.
8QWXN60307V.HODV,;6HPHVWHU ,6%1 MLOLGOHQJNDS ,6%1 MLOLGE
0DWHPDWLND6WXGLGDQ3HQJDMDUDQ II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
,-XGXO
510
.RQWULEXWRU1DVNDK
6XEFKDQ :LQDUQL /XNPDQ +DQD¿ 0 6\LID XO 0X¿G .LVWRVLO )DKLP :DZDQ +D¿G 6\DLIXGLQ GDQ 6DUL Cahyaningtias
3HQHODDK Penyelia Penerbitan
$JXQJ/XNLWR$OL0DKPXGL.XVQDGLGDQ7XUPXGL : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.
Cetakan ke-1, 2015 'LVXVXQGHQJDQKXUXI7LPHV1HZ5RPDQSW ii
Buku Guru Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Kata Pengantar 0DWHPDWLND DGDODK EDKDVD XQLYHUVDO GDQ NDUHQDQ\D NHPDPSXDQ PDWHPDWLND VLVZD VXDWX QHJDUD VDQJDW PXGDK GLEDQGLQJNDQ GHQJDQ QHJDUD ODLQ 6HODLQ LWX PDWHPDWLND MXJD GLSDNDL VHEDJDLDODWXNXUXQWXNPHQHQWXNDQNHPDMXDQSHQGLGLNDQGLVXDWXQHJDUD.LWDPHQJHQDO3,6$ Program for International Student Assessment GDQ 7,066 The International Mathematics and Science Survey \DQJ VHFDUD EHUNDOD PHQJXNXU GDQ PHPEDQGLQJNDQ DQWDUD ODLQ NHPDMXDQ pendidikan matematika dibeberapa negara. 6WDQGDU LQWHUQDVLRQDO VHPDFDP LQL PHPEHULNDQ DUDKDQ GDODP PHUXPXVNDQ SHPEHODMDUDQ 0DWHPDWLND GL 60307V +DVLO SHPEDQGLQJDQ DQWDUD \DQJ NLWD DMDUNDQ VHODPD LQL GHQJDQ \DQJ GLQLODL VHFDUD LQWHUQDVLRQDO PHQXQMXNNDQ DGDQ\D SHUEHGDDQ EDLN WHUNDLW PDWHUL PDXSXQ NRPSHWHQVL3HUEHGDDDQLQLPHQMDGLGDVDUGDODPPHUXPXVNDQSHPEHODMDUDQ0DWHPDWLNDGDODP .XULNXOXP Buku Matematika Kelas IX SMP/MTs.XULNXOXPLQLGLWXOLVEHUGDVDUNDQSDGDPDWHUL GDQNRPSHWHQVL\DQJGLVHVXDLNDQGHQJDQVWDQGDULQWHUQDVRQDOWHUVHEXW7HUNDLWPDWHULPLVDOQ\D VHEDJDL WDPEDKDQ VHMDN NHODV 9,, WHODK GLDMDUNDQ DQWDUD ODLQ WHQWDQJ GDWD GDQ SHOXDQJ SROD GDQ EDULVDQ ELODQJDQ DOMDEDU GDQ EDQJXQ VHUWD WUDQVIRUPDVL JHRPHWUL .HVHLPEDQJDQ DQWDUD PDWHPDWLNDDQJNDGDQPDWHPDWLNDSRODGDQEDQJXQVHODOXGLMDJD.RPSHWHQVLSHQJHWDKXDQEXNDQ hanya sampai memahami secara konseptual tetapi sampai ke penerapan melalui pengetahuan SURVHGXUDOGDODPSHPHFDKDQPDVDODKPDWHPDWLND.RPSHWHQVLNHWHUDPSLODQEHU¿NLUMXJDGLDVDK untuk dapat memecahkan masalah yang membutuhkan pemikiran order tinggi seperti menalar SHPHFDKDQPDVDODKPHODOXLSHUPRGHODQSHPEXNWLDQGDQSHUNLUDDQSHQGHNDWDQ Walaupun demikian, pembahasan materi selalu didahului dengan pengetahuan konkret \DQJGLMXPSDLVLVZDGDODPNHKLGXSDQVHKDULKDUL3HUPDVDODKDQNRQNUHWWHUVHEXWGLSHUJXQDNDQ VHEDJDL MHPEDWDQ XQWXN PHQXMX NH GXQLD PDWHPDWLND DEVWUDN PHODOXL SHPDQIDDWDQ VLPERO simbol matematika yang sesuai melalui pemodelan. Sesampainya pada ranah abstrak, metodemetode matematika diperkenalkan untuk menyelesaikan model permasalahan yang diperoleh dan mengembalikan hasilnya pada ranah konkret. %XNX LQL PHQMDEDUNDQ XVDKD PLQLPDO \DQJ KDUXV GLODNXNDQ VLVZD XQWXN PHQFDSDL kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum VLVZDGLDMDNEHUDQLXQWXNPHQFDULVXPEHUEHODMDUODLQ\DQJWHUVHGLDGDQWHUEHQWDQJOXDVGL sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap siswa dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam. Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka terhadap masukan dan akan terus diperbaiki dan disempurnakan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca untuk memberikan kritik, saran dan masukan guna perbaikan dan penyempurnaan edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami XFDSNDQWHULPDNDVLK0XGDKPXGDKDQNLWDGDSDWPHPEHULNDQ\DQJWHUEDLNEDJLNHPDMXDQGXQLD SHQGLGLNDQGDODPUDQJNDPHPSHUVLDSNDQJHQHUDVLVHUDWXVWDKXQ,QGRQHVLD0HUGHND Jakarta, Januari 2015 0HQWHUL3HQGLGLNDQGDQ.HEXGD\DDQ
iii
1... 2... 3...
DAFTAR ISI
Kata Pengantar .....................................................................................................
iii
'DIWDU,VL ..............................................................................................................
iv
Bab VII
Peluang..............................................................................................
1
0HQJHQDO7RNRK ................................................................................
$
5XDQJ6DPSHO ...........................................................................
4
/DWLKDQ5XDQJ6DPSHO........................................................
9
%
3HOXDQJ7HRUHWLNGDQ(PSLULN ..................................................
11
/DWLKDQ3HOXDQJ(PSLULNGDQ3HOXDQJ7HRUHWLN .................
17
8ML.RPSHWHQVL ...............................................................................
20
Bab VIII Bidang Kartesius .............................................................................
0HQJHQDO7RNRK ................................................................................
25
A.
Pengantar Bidang Kartesius......................................................
26
0DWHUL(VHQVL ............................................................................ Latihan 8.1 Pengantar Bidang Kartesius ..................................
B.
Jarak .......................................................................................... 0DWHUL(VHQVL ............................................................................
41
Latihan 8.2 Jarak.......................................................................
44
Proyek 8 .............................................................................................
45
8ML.RPSHWHQVL ...............................................................................
46
Bab IX
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ........................................
51
0HQJHQDO7RNRK ................................................................................
$
0HPRGHONDQ0DVDODKGDODP3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO
54
0DWHUL(VHQVL ............................................................................
58
/DWLKDQ 0HPRGHONDQ0DVDODKGDODP3/'9DWDX63/'9
%
0HQ\HOHVDLNDQ0RGHO63/'9GDULVXDWX3HUPDVDODKDQ .........
65
0DWHUL(VHQVL ............................................................................
72
iv
Buku Guru Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Copyright:
/DWLKDQ 0HQ\HOHVDLNDQ0DVDODK\DQJ%HUNDLWDQGHQJDQ
63/'9 ..................................................................
80
Proyek 9 .............................................................................................
82
8ML.RPSHWHQVL ...............................................................................
Bab X
Fungsi Kuadrat ................................................................................
87
0HQJHQDO7RNRK ................................................................................
89
$
*UD¿N)XQJVL.XDGUDW ..............................................................
90
0DWHUL(VHQVL ............................................................................
96
/DWLKDQ*UD¿N)XQJVL.XDGUDW .........................................
99
B.
Sumbu Simetri dan Nilai Optimum .......................................... 100
0DWHUL(VHQVL ............................................................................ 104
/DWLKDQ0HQHQWXNDQ6XPEX6LPHWULGDQ7LWLN2SWLPXP .. 108
&
0HQHQWXNDQ)XQJVL.XDGUDW .................................................... 109
0DWHUL(VHQVL ............................................................................ 114
/DWLKDQ0HQHQWXNDQ)XQJVL.XDGUDW ............................... 120
D.
Aplikasi Fungsi Kuadrat ........................................................... 121
0DWHUL(VHQVL ............................................................................ 127 Latihan 10.4 Aplikasi Fungsi Kuadrat ......................................
Proyek 10 ...........................................................................................
8ML.RPSHWHQVL .............................................................................
Contoh Penilaian Sikap ..................................................................................... Rubrik Penilaian Sikap ..................................................................................... Contoh Penilaian Diri ........................................................................................ Contoh Penilaian Partisipasi Siswa .................................................................. LembarPartisipasi.............................................................................................. 140 Contoh Pengolahan Laporan Pencapaian Kompetensi Matematika ............ 141 Daftar Pustaka ................................................................................................... 144 Glosarium ........................................................................................................... 145
MATEMATIKA
v
Bab VII Peluang
Kata Kunci x x x x x
Ruang Sampel Titik Sampel Kejadian Peluang Empiri Peluang Teoretik
K ompetensi D asar 1.1
Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan ketertarikan pada matematika sertamemiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 3.9 Menentukan peluang suatu kejadian sederhana secara empirik dan teoretik. 3.13 Memahami konsep ruang sampel suatu percobaan. 4.7 Menerapkan prinsip-prinsip peluang untuk menyelesaikan masalah nyata.
Sumber: Dokumen Kemdikbud
Pernahkah kamu membatalkan bepergian karena merperkirakan akan terjadi hujan dan ternyata tidak terjadi hujan. Pernahkah kamu mengupas mangga yang terlihat dari kulitnya manis, ternyata rasanya asam. Pernahkah kamu menonton adu tendangan penalti pada pertandingan sepak bola. Ada berapa kemungkinan kejadian dalam tendangan penalti? Dalam kehidupan sehari-hari kita dihadapkan dalam beberapa kemungkinan kejadian, dimana kita harus memilih. Bab ini membahas tentang peluang dari suatu kejadian.
Pengalaman Belajar 1. 2. 3.
Menentukan ruang sampel dan titik sampel dari suatu kejadian. Memahami peluang empirik dan peluang teoretik dari suatu kejadian. Menerapkan prinsip-prinsip peluang untuk menyelesaikan masalah.
MATEMATIKA
1
Peta Konsep Peluang
Ruang Sampel, Titik Sampel, Kejadian
2
Peluang Empirik dan Peluang Teoretik
Pafnuty Lvovich Chebyshev ODKLU 0HL 1821, merupakan salah satu anak dari sembilan saudara. Karena cacat yang dimilikinya ia tidak bisa bermain dengan teman-temannya, dan PHPIRNXVNDQGLULQ\DSDGDSHODMDUDQ
Sumber: www.edulens.org
3DIQXW\/YRYLFK Chebyshev
6HWHODK PHQHULPD JHODU SURIHVVRU GDUL 0RVFRZ8QLYHUVLW\LDEHUSLQGDKNH6W3HWHUVEXUJ dimana ia mendirikan sekolah matematika yang SDOLQJEHUSHQJDUXKGL5XVLD&KHE\VKHYGLNHQDO untuk karyanya di bidang probabilitas, statistika, mekanika, dan nomor teori. Dia mengembangkan dasar pertidaksamaan dari teori probabilitas, yang disebut Pertidaksamaan Chebyshev. Dengan kontribusinya yang sangat besar dalam matematika ia dianggap sebagai bapak pendiri PDWHPDWLNDGL5XVLD
%HOLDX DGDODK VHRUDQJ SULD \DQJ VHSHQXKQ\D VHWLD GHQJDQ SHNHUMDDQQ\D &KHE\VKHY PHQLQJJDO GXQLD SDGD XVLD WDKXQ ,D WHWDS GLNHQDQJ KLQJJD VHNDUDQJ GHQJDQ WHRUL \DQJ GLNHPXNDNDQ 8QWXN PHQJKRUPDWL MDVDQ\D GL kota St. Petersburg dibangun institut penelitian matematika yang dinamakan Chebyshev. Sumber: https://math-magical.wikispaces.com/Pafnuty+Chebyshev http://en.wikipedia.org/wiki/Pafnuty_Chebyshev
Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil beberapa hikmah, antara lain: 1. .HWHUEDWDVDQ¿VLNWLGDNGDSDWPHQJKDODQJLVHVHRUDQJXQWXNPHQXQWXWLOPX dan menggapai mimpi. 2. 6HRUDQJ\DQJEHODMDUPDWHPDWLNDGHQJDQVXQJJXKVXQJJXKGDSDWPHQJXDVDL ilmu di bidang lain. Chebyshev dikenang sampai sekarang berkat kontribusinya di ilmu matematika.
3
A. Ruang Sampel Pertanyaan Penting Apa yang dimaksud dengan ruang sampel dan bagaimana mendapatkannya? .HUMDNDQ EHEHUDSD NHJLDWDQ EHULNXW DJDU NDPX GDSDW PHQJHWDKXL GDQ PHPDKDPL MDZDEDQSHUWDQ\DDQGLDWDV Kegiatan 7.1
Mengelompokkan Bulan dalam Kalender Masehi
.HUMDNDQNHJLDWDQLQLGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPX6LDSNDQNDOHQGHU0DVHKL D %HUDSDEDQ\DNEXODQGDODPVDWXWDKXQ"7XOLVNDQVHPXDQ\DVHFDUDEHUXUXWDQ
E .HORPSRNNDQEXODQEXODQWHUVHEXWEHUGDVDUNDQKXUXISHUWDPDQ\D
Banyaknya kelompok adalah ... F .HORPSRNNDQEXODQEXODQWHUVHEXWEHUGDVDUNDQKXUXIWHUDNKLUQ\D
Banyaknya kelompok adalah ...
4
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
d. Kelompokkan bulan-bulan tersebut berdasarkan banyaknya hari.
Banyaknya kelompok adalah ... e. Kelompokkan bulan-bulan tersebut berdasarkan hari pertamanya.
Banyaknya kelompok adalah ... I .HORPSRNNDQEXODQEXODQWHUVHEXWEHUGDVDUNDQKDULWHUDNKLUQ\D
Banyaknya kelompok adalah ... Ayo Kita Amati $PDWLWLDSWLDSNHORPSRN.HPXGLDQMDZDESHUWDQ\DDQGLEDZDKLQL 1. 2. 4. 5. 6. 7.
%HUDSDEDQ\DNEXODQ\DQJKXUXISHUWDPDQ\DDGDODK-" %HUDSDEDQ\DNEXODQ\DQJKXUXIWHUDNKLUQ\DDGDODK," %HUDSDEDQ\DNEXODQ\DQJKXUXISHUWDPDQ\DDGDODK%" %HUDSDEDQ\DNEXODQ\DQJWHUGLULGDULKDUL" Berapa banyak bulan yang terdiri dari 29 hari? Berapa banyak bulan yang hari pertamanya adalah Sabtu? Berapa banyak bulan yang hari terakhirnya adalah Selasa?
MATEMATIKA
5
Ayo Kita Simpulkan Pada kegiatan ini himpunan yang beranggotakan nama-nama bulan adalah ruang sampel, sedangkan nama-nama bulan tersebut merupakan titik sampel. Himpunan EDJLDQ \DQJ WHODK GLNHORPSRNNDQ EHUGDVDUNDQ NRQGLVL DWDX VLIDW WHUWHQWX VHSHUWL ³%XODQ\DQJKXUXISHUWDPDQ\DDGDODK-´³%XODQ\DQJWHUGLULGDULKDUL´³%XODQ \DQJ KDUL SHUWDPDQ\D DGDODK 6HQLQ´ PHUXSDNDQ VXDWX kejadian. Banyaknya titik sampel pada ruang sampel S dinotasikan dengan n S VHGDQJNDQ EDQ\DNQ\D WLWLN VDPSHONHMDGLDQA dinyatakan dengan n A Ayo Kita Mencoba %HULNDQFRQWRKODLQGDQWHQWXNDQUXDQJVDPSHOWLWLNVDPSHOGDQNHMDGLDQ Kegiatan 7.2
Menentukan Ruang Sampel Suatu Eksperimen
.HUMDNDQGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPX
1. Ambil sebuah uang koin dan kertas karton. Buat kartu dari kertas karton berukuran 5 cm u 5 cm, lalu gambar sisi depan dengan hewan dan belakang dengan buah. 2. Lempar uang koin dan kartu sebanyak 20 kali, catat hasilnya. Apa bedanya apabila uang koin dan kartu GLOHPSDUVHEDQ\DNNDOL"
Gambar 7.1 Sumber: Dokumen Kemdikbud
4. Diskusikan hasilnya dan simpulkan Ayo Kita Menalar
Gunakan kalimatmu sendiri Setelah mengamati dan mendiskusikan bersama temanmu. Kamu dapat menentukan titik sampel dengan memberikan titik pada diagram larik di samping. Jelaskan dan simpulkan hasilnya.
6
Kelas IX SMP/MTs
Kartu B H G
A
Koin
Semester 2
Keterangan: -
G = muncul gambar pada uang koin.
-
A = muncul angka pada uang koin.
-
H = muncul gambar hewan pada kartu.
-
B = muncul gambar buah pada kartu.
Ayo Kita Mencoba .HUMDNDQGHQJDQWHPDQPX 1. Ambil sebuah koin dan dadu. Lemparkan koin dan dadu bersama 20 kali, catat hasilnya, lalu gambar dalam diagram larik. Koin
A G
1
2
4
5
6
Dadu
2. Diskusikan hasilnya dengan temanmu dan paparkan di depan kelas. 1\DWDNDQUXDQJVDPSHOQ\DGDODPEHQWXNWDEHO 1 A
2
4
5
6
A
G 4. Nyatakan ruang sampelnya dalam bentuk diagram pohon. 1 A
A
2
...
...
4
...
5
...
6
... MATEMATIKA
7
G
1
...
2
...
...
4
...
5
...
6
...
Ayo Kita Simpulkan
1. Uang koin di samping memiliki dua sisi; yakni, VLVLJDPEDU * GDQVLVLDQJND $ VHGDQJNDQ kartu bergambar memiliki dua gambar; yakni, KHZDQ + GDQEXDK % -LNDXDQJNRLQGDQ kartu tersebut dilempar secara bersamaan maka banyaknya titik sampel adalah 4 = 2 u 2. 'DGXPHPLOLNLHQDPVLVL \DNQLDQJND-LNDXDQJNRLQGDQGDGX dilempar secara bersamaan maka banyaknya titik sampel adalah 12 = 6 u 2. 0LVDONDQ WHUGDSDW GXD REMHN SHUFREDDQ 2EMHN SHUWDPD PHPLOLNL n1 NHPXQJNLQDQVHGDQJNDQREMHNNHGXDPHPLOLNLn2 kemungkinan. Jika dilakukan SHUFREDDQGHQJDQGXDREMHNWHUVHEXWVHFDUDEHUVDPDDQPDNDEDQ\DNQ\DWLWLN sampel adalah n1 u n2.
Contoh 7.1
Menentukan Ruang Sampel
Jika kamu melempar dua koin bersama, ruang sampel yang diperoleh adalah S ={GG, GA, AG, AA} dimana G berarti muncul gambar dan A EHUDUWLPXQFXODQJND(OHPHQGA di dalam ruang sampel berarti muncul gambar pada koin pertama dan muncul angka pada koin kedua. Bila munculnya gambar dilambangkan dengan 1 dan angka dengan 0 maka UXDQJVDPSHOLQLGDSDWMXJDGLWXOLVGDODPEHQWXNSDVDQJDQWHUXUXWEHULNXW S ^ `
8
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Memilih Pakaian
Contoh 7.2
Dwi akan menghadiri pesta ulang tahun temannya. Dwi ingin datang dengan pakaian \DQJ PHQDZDQ 'ZL PHPLOLNL NROHNVL JDXQ GDQ VHSDWX 5XDQJ VDPSHO XQWXN percobaan memilih pakaian adalah 6 ^ G1, S1 G1, S2 G1, S G1, S4 G1, S5 G2, S1 G2, S2 G2, S G2, S4 G2, S5 G, S1 G, S2 G, S G, S4 G, S5 G4, S1 G4, S2 G4, S G4, S4 G4, S5 `
Banyaknya ruang sampel adalah 4 u 5 = 20. Ayo Kita Tinjau Ulang
0LVDONDQWHUGDSDWVXDWXSHUFREDDQGHQJDQUXDQJVDPSHOSGDQNHMDGLDQA. a. Apakah mungkin n A -HODVNDQDQDOLVLVPX b. Apakah mungkin n A -HODVNDQDQDOLVLVPX c. Apakah mungkin n A !n S -HODVNDQDQDOLVLVPX Latihan 7.1
Ruang Sampel
Carilah ruang sampel percobaan berikut. 1. Pembuatan maskot sekolah dengan 2. Acara resepsi pernikahan dengan pilihan adat dan waktu. pilihan hewan dan model yang digunakan. 5HVHSVL3HUQLNDKDQ 0DVNRW6HNRODK Adat Sunda, Jawa, Bali Beruang, Garuda, Hewan Singa 30 30 Waktu 3030 0RGHO Nyata, Kartun
MATEMATIKA
9
0HPEXDW PLQXPDQ GHQJDQ SLOLKDQ 4. 3HPLOLKDQ ÀDVKGLVN SLOLKDQ PHPRUL ukuran gelas dan rasa. dan warna. 0HPEXDW0LQXPDQ Ukuran
Kecil, Sedang, Besar
5DVD
Susu, Jus Jambu, Jus 0HORQ(V7HK.RSL
Flashdisk 0HPRUL
2 Gb, 4 Gb, 8 Gb, 16 Gb
Warna
0HUDK6LOYHU+LWDP %LUX+LMDX
5. 0HPEXDW FDWHULQJ GHQJDQ SLOLKDQ 6. 0HPEXDW NRVWXP EDGXW GHQJDQ SLOLKDQ PRWLI SDNDLDQ ZLJ GDQ makanan, lauk dan minuman. talenta. Catering Kostum Badut Nasi Kuning, Nasi 2 Gb, 4 Gb, 8 Gb, 16 0DNDQDQ 3XWLK0LH*RUHQJ 0RWLI Gb 0LH5HEXV Lauk
0LQXPDQ
7HPSH7DKX Ikan Bakar, Ayam Goreng, Ayam Bakar 7HK.RSL-XV Jambu, Soda Gembira
Pakaian Wig 7DOHQWD
Polkadot, LorekLorek, Kotak-Kotak Satu Warna, WarnaWarni Balon Hewan, 6HSHGD6DWX5RGD 0DJLF
0LVDONDQ NDPX PHOHPSDU m GDGX VHFDUD EHUVDPDDQ 0LVDONDQ S merupakan ruang sampelnya. Berapakah nilai n S " 0LVDONDQNDPXPHOHPSDUp dadu dan qXDQJNRLQVHFDUDEHUVDPDDQ0LVDONDQS merupakan ruang sampelnya. Berapakah nilai n S " 9. Berpikir Kritis. Apakah mungkin n S "-HODVNDQDQDOLVLV 10. Perbandingan Kalender. Siapkan kalender tahun 2014 dan 2015.
D $PDWL NDOHQGHU 7HQWXNDQ EDQ\DNQ\D EXODQ \DQJ KDUL SHUWDPDQ\D adalah Selasa.
E $PDWL NDOHQGHU 7HQWXNDQ EDQ\DNQ\D EXODQ \DQJ KDUL SHUWDPDQ\D adalah Selasa.
10
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
B. Peluang Teoretik dan Empirik Pertanyaan Penting Apa yang dimaksud dengan peluang dan bagaimana menentukan peluang secara teoretik dan empirik? .HUMDNDQ NHJLDWDQ EHULNXW DJDU NDPX GDSDW PHQJHWDKXL GDQ PHPDKDPL MDZDEDQ pertanyaan di atas. Kegiatan 7.3
Melempar Dadu
.HUMDNDQGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPX a. Lemparkan dadu sebanyak 60 kali dan mintalah temanmu untuk mencatat mata dadu yang muncul. b. Lengkapi tabel berikut:
n A n S
0DWD'DGX
Kemunculan n A
Banyak Percobaan n S
Angka 1
n A1
60
n A1
Angka 2
n A2
60
n A1
$QJND
n A
60
n A1
Angka 4
n A4
60
n A1
n S n S n S n S
MATEMATIKA
11
Angka 5
n A5
60
n A1
Angka 6
n A6
60
n A1
Total
60
F 0DWDGDGX\DQJSDOLQJVHULQJPXQFXODGDODK
G 0DWDGDGX\DQJSDOLQJMDUDQJPXQFXODGDODK
n S n S
1
e. Bandingkan dengan hasil yang diperoleh kelompok lain. Apakah hasilnya sama?
I -LNDNDPXPHODNXNDQSHUFREDDQPHOHPSDUGDGXVHEDQ\DNDSDNDKKDVLO pada kolom terakhir tetap sama? Jelaskan analisamu. Nilai perbandingan pada kolom terakhir disebut dengan peluang empirik. Ayo Kita Simpulkan D %HUGDVDUNDQ.HJLDWDQGHQJDQPHQJJXQDNDQNDOLPDWPXVHQGLULWHQWXNDQ pengertian peluang empirik. b. Apakah peluang empirik dari suatu percobaan selalu tetap? Jelaskan analisamu.
Kegiatan 7.4
Permainan Suit Jari
0DVLK LQJDWNDK NDPX GHQJDQ SHUPDLQDQ VXLW MDUL" 3HUPDLQDQ VXLW PHQJJJXDNDQ WLJDMHQLVMDUL\DNQLMDULWHOXQMXNMDULNHOLQJNLQJGDQLEXMDUL-DULWHOXQMXNPHZDNLOL PDQXVLD MDUL NHOLQJNLQJ PHZDNLOL VHPXW GDQ LEX MDUL PHZDNLOL JDMDK 0DQXVLD PHQDQJPHODZDQVHPXWWDSLNDODKPHODZDQJDMDK6HPXWPHQDQJPHODZDQJDMDK
D %HUPDLQODKVXLWMDULGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPXVHEDQ\DNNDOLGDQFDWDW hasilnya.
E %HUDSDEDQ\DNNHPXQJNLQDQKDVLO\DQJWHUMDGL" Perhatikan tabel di bawah ini. Isilah kotak yang kosong dengan keterangan: ³3HPDLQ$0HQDQJ´³3HPDLQ%PHQDQJ´DWDX³6HUL´
12
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
c. Berapa banyak kemungkinan pemain A bisa memenangkan permainan suit MDUL" d. Berapa banyak kemungkinan pemain B bisa memenangkan permainan suit MDUL"
H %HUDSD EDQ\DN NHPXQJNLQDQ WHUMDGL VHUL NHGXD SHPDLQ WLGDN DGD \DQJ PHQDQJ "
I 'LDQWDUD SHPDLQ $ GDQ SHPDLQ % VLDSDNDK \DQJ OHELK EHUSHOXDQJ XQWXN PHPHQDQJNDQSHUPDLQDQVXLWMDUL"
6HODQMXWQ\DGLPLVDONDQ -
n S EDQ\DNQ\DNHPXQJNLQDQKDVLO\DQJWHUMDGL
-
n A EDQ\DNQ\DNHPXQJNLQDQSHPDLQ$PHQDQJ
-
n B EDQ\DNQ\DNHPXQJNLQDQSHPDLQ%PHQDQJ
a. Dari hasil b sampai dengan d, diperoleh n S n A n B
E 6HODQMXWQ\DGLSHUROHK
n A n B , n S n S Nilai perbandingan di atas disebut dengan peluang teoretik.
MATEMATIKA
13
c. Apakah
n A n B sama dengan ? n S n S
G $SD\DQJGDSDWNDPXVLPSXONDQGDULMDZDEDQIGHQJDQMDZDEDQL" Ayo Kita Simpulkan a. Berdasarkan Kegiatan 7.4 ini dapat disimpulkan bahwa secara teoretik peluang pemain A menang adalah ... peluang pemain B menang. E 6HWHODKPHODNXNDQVXLWVHEDQ\DNNDOLVLDSDNDK\DQJPHQMDGLSHPHQDQJ" c. Dimisalkan -
n S DGDODKEDQ\DNQ\DWLWLNVDPSHOGDULUXDQJVDPSHOVXDWXSHUFREDDQ
-
n A DGDODKEDQ\DNQ\DWLWLNVDPSHONHMDGLDQA.
-
P A DGDODKSHOXDQJVHFDUDWHRUHWLNNHMDGLDQAWHUMDGL
0DNDGLSHUROHK
P A d
... ...
Berdasarkan butir a dan b, tentukan perbedaan peluang empirik dengan peluang teoretik?
Contoh 7.3
Melempar Dadu
Jika kamu melemparkan dua dadu secara bersamaan, berapakah peluang: a. Diperoleh dua mata dadu yang sama. E 'LSHUROHKGXDPDWDGDGX\DQJMXPODKQ\DDGDODK F 'LSHUROHKGXDPDWDGDGX\DQJMXPODKQ\DPHUXSDNDQELODQJDQSULPD Alternatif Penyelesaian: 0HQHQWXNDQUXDQJVDPSHO S ^
14
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
`
3DVDQJDQEHUXUXWDQ PHQ\DWDNDQGDGXSHUWDPDPXQFXODQJNDGDQGDGX kedua muncul angka 1. Banyaknya titik sampel dari ruang sampel adalah n S 6 u
0HQHQWXNDQWLWLNVDPSHONHMDGLDQ%HUGDVDUNDQVRDOWHUGDSDWWLJDNHMDGLDQ
A1 .HMDGLDQPXQFXOGXDPDWDGDGX\DQJVDPD
A2 .HMDGLDQPXQFXOGXDPDWDGDGX\DQJMXPODKQ\DDGDODK
A .HMDGLDQ PXQFXO GXD PDWD GDGX \DQJ MXPODKQ\D PHUXSDNDQ bilangan prima. Berdasarkan butir satu, diperoleh A1 ^ `n A1 A2 ^ `n A2 A ^
`n A
0HQHQWXNDQSHOXDQJ -
-
-
P A1
n A1
P A2 P A
Contoh 7.4
n S
6
1
n S
2
n S
15
5 2
n A2 n A
Mengambil Satu Bola
7HUGDSDWVXDWXNRWDN\DQJEHULVLNDQERODEHUZDUQDPHUDKERODEHUZDUQDKLMDX bola berwarna biru. Jika kamu mengambil satu bola tentukan a. Peluang terambil bola berwarna merah. E 3HOXDQJWHUDPELOERODEHUZDUQDKLMDX c. Peluang terambil bukan bola merah.
MATEMATIKA
15
Alternatif Penyelesaian: Dari soal diperoleh n S D 7HUGDSDWERODEHUZDUQDPHUDKPDND P M SHOXDQJWHUDPELOERODEHUZDUQDPHUDK
15 5 E 7HUGDSDWERODEHUZDUQDKLMDXPDND =
P H SHOXDQJWHUDPELOERODEHUZDUQDKLMDX
5 1 F 7HUGDSDWEROD\DQJWLGDNEHUZDUQDPHUDKPDND =
P M’ SHOXDQJWHUDPELOEXNDQERODEHUZDUQDPHUDK =
12 15
4 5
Tahukah Kamu? 0LVDONDQWHUGDSDWGXDNHMDGLDQ\DNQLA1 dan A2-LNDNHMDGLDQA1 tidak mempengaruhi NHMDGLDQA2GDQMXJDVHEDOLNQ\DPDNDNHMDGLDQ$1 dan A2GLVHEXWGHQJDQNHMDGLDQ yang saling bebas-LNDNHMDGLDQA1 dan A2VDOLQJPHPSHQJDUXKLPDNDNHMDGLDQA1 dan A2 disebut dengan kejadian yang tidak saling bebas. &RQWRKGXDNHMDGLDQVDOLQJEHEDV 0LVDONDQNDPXPHOHPSDUNDQGDGXVHEDQ\DNGXD NDOL NHMDGLDQ GLSHUROHK DQJND SDGD SHOHPSDUDQ SHUWDPD GDQ NHMDGLDQ GLSHUROHK DQJNDSDGDSHOHPSDUDQNHGXD &RQWRKGXDNHMDGLDQWLGDNVDOLQJEHEDV 0LVDONDQWHUGDSDWNDQWRQJ\DQJEHULVLNDQ NHOHUHQJPHUDKNHOHUHQJELUXGDQNHOHUHQJKLMDX.DPXPHQJDPELOVDWXNHOHUHQJ VHEDQ\DN GXD NDOL WDQSD SHQJHPEDOLDQ GDUL NDQWRQJ WHUVHEXW .HMDGLDQ GLSHUROHK NHOHUHQJPHUDKSDGDSHQJHPEDOLDQSHUWDPDGDQNHMDGLDQGLSHUROHKNHOHUHQJKLMDX pada pelemparan kedua. -LNDNHMDGLDQ A1 dan A2PHUXSDNDQNHMDGLDQVDOLQJEHEDV3HOXDQJNHMDGLDQA1 dan A2WHUMDGLDGDODK P A1 dan A2 P A1 u P A2 6HFDUDXPXPMLNDNHMDGLDQA1, A2, …, AnPHUXSDNDQNHMDGLDQVDOLQJEHEDV3HOXDQJ NHMDGLDQA1, A2, …, AnWHUMDGLDGDODK P A1 dan A2 dan … dan An P A1 îP A2 î«îP An
16
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
0LVDONDQ NDPX PHOHPSDUNDQ GDGX VHEDQ\DN GXD NDOL SHOXDQJ NHMDGLDQ GLSHUROHK DQJNDSDGDSHOHPSDUDQSHUWDPDGDQNHMDGLDQGLSHUROHKDQJNDSDGDSHOHPSDUDQ 1 1 1 . kedua adalah u Ayo Kita Tinjau Ulang Perhatikan kembali Contoh 7.4. D 0LVDONDQSDGDNRWDNWHUVHEXWGLWDPEDKNDQERODEHUZDUQDELUXVHEDQ\DNEXDK 7HQWXNDQSHOXDQJWHUDPELOERODEHUZDUQDELUX"$SDNDKSHOXDQJQ\DOHELKEHVDU" E 0LVDONDQSDGDNRWDNWHUVHEXWGLWDPEDKNDQERODEHUZDUQDELUXVHEDQ\DNEXDK 7HQWXNDQSHOXDQJWHUDPELOERODEHUZDUQDELUX"$SDNDKSHOXDQJQ\DOHELKEHVDU" F 0LVDONDQ SDGD NRWDN WHUVHEXW GLWDPEDKNDQ EROD EHUZDUQD PHUDK VHEDQ\DN EXDK7HQWXNDQSHOXDQJWHUDPELOERODEHUZDUQDELUX"$SDNDKSHOXDQJQ\DOHELK besar? G 'DULEXWLUVDPSDLWHQWXNDQNHVLPSXODQ\DQJGDSDWNDPXDPELO Latihan 7.2
Peluang Empirik dan Peluang Teoretik
/HPSDUNDQGDGXVHEDQ\DNNDOLGDQFDWDWKDVLOQ\D7HQWXNDQSHOXDQJHPSLULN PXQFXOQ\DPDVLQJPDVLQJPDWDGDGX -DZDEDQELVDEHUEHGDGHQJDQWHPDQPX 2. Lemparkan dadu sebanyak 4 kali dan catat hasilnya.
D 7HQWXNDQSHOXDQJHPSLULNPXQFXOQ\DPDVLQJPDVLQJPDWDGDGX -DZDEDQ ELVDEHUEHGDGHQJDQWHPDQPX b. Berdasarkan butir a, apakah terdapat peluang yang bernilai 0. c. Dari butir a dan b, apa yang dapat disimpulkan ketika kamu melempar dadu kurang dari 6 kali?
%XGLPHOHPSDUGXDGDGXVHFDUDEHUVDPDDQ7HQWXNDQ a. Peluang muncul angka yang berbeda.
E 3HOXDQJPXQFXODQJNDJDQMLOSDGDNHGXDGDGX c. Peluang muncul angka genap pada kedua dadu.
G 3HOXDQJMXPODKDQJNDSDGDNHGXDGDGXOHELKGDUL
%XGLPHQJHUMDNDQXMLDQ\DQJWHUGLULGDULVRDOSLOLKDQJDQGDPDVLQJPDVLQJ VRDOWHUGLULGDULSLOLKDQMDZDEDQGDQKDQ\DWHUGDSDWVDWXMDZDEDQ\DQJEHQDU
MATEMATIKA
17
7HUGDSDWEXDKVRDO\DQJWLGDNELVDGLNHUMDNDQGDQ%XGLDNDQPHPLOLKMDZDEDQ secara acak.
D 7HQWXNDQSHOXDQJ%XGLPHQMDZDEVRDOWHUVHEXWGHQJDQEHQDU
E 7HQWXNDQSHOXDQJKDQ\DVRDOWHUVHEXW\DQJGLMDZDE%XGLGHQJDQEHQDU
7HUGDSDWNDQWRQJ\DQJEHULVLHQDPNHOHUHQJ WLJDEHUZDUQDPHUDKGXDEHUZDUQD KLMDXGDQVDWXEHUZDUQDELUX'LDPELOVHEXDKNHOHUHQJGDULNDQWRQJ
D 7HQWXNDQSHOXDQJWHUDPELONHOHUHQJPHUDK
E 7HQWXNDQSHOXDQJWHUDPELONHOHUHQJPHUDKGDQELUX
F 7HQWXNDQSHOXDQJWHUDPELONHOHUHQJEXNDQELUX
6. Perhatikan kembali soal nomor 5.
D -LND GLWDPEDKNDQ NHOHUHQJ ELUX GDQ KLMDX PDVLQJPDVLQJ VHEDQ\DN OLPD 7HQWXNDQ EDQ\DNQ\D NHOHUHQJ ZDUQD PHUDK \DQJ SHUOX GLWDPEDKNDQ DJDU peluang terambil kelereng merah tidak berubah.
E -LNDGLWDPEDKNDQNHOHUHQJPHUDKGDQKLMDXPDVLQJPDVLQJVHEDQ\DNOLPD 7HQWXNDQ EDQ\DNQ\D NHOHUHQJ ZDUQD ELUX \DQJ SHUOX GLWDPEDKNDQ DJDU peluang terambil kelereng biru tidak berubah. c. Jika ditambahkan kelereng merah dan biru masing-masing sebanyak lima. 7HQWXNDQ EDQ\DNQ\D NHOHUHQJ ZDUQD KLMDX \DQJ SHUOX GLWDPEDKNDQ DJDU SHOXDQJWHUDPELONHOHUHQJKLMDXWLGDNEHUXEDK
7. Analisis Kesalahan 7HUGDSDW NDQWRQJ \DQJ EHULVL VHPELODQ NHOHUHQJ GXD NHOHUHQJ EHUZDUQD PHUDK WLJD NHOHUHQJ EHUZDUQD KLMDX GDQ HPSDW NHOHUHQJ berwarna biru. Akan diambil dua kelereng dari kantong tersebut. Budi menentukan peluang diperoleh kelereng berwarna merah pada pengambilan pertama dan NHOHUHQJKLMDXSDGDSHQJDPELODQKLMDX-DZDEDQ%XGLDGDODK P A1 dan A2 P A1 u3 A2
u 9 9
81
27
dengan: - P A1 SHOXDQJGLSHUROHKNHOHUHQJPHUDK - P A2 SHOXDQJGLSHUROHKNHOHUHQJKLMDX
7HQWXNDQNHVDODKDQ\DQJGLODNXNDQ%XGL
7HUGDSDW NDQWRQJ \DQJ EHULVL EROD WLJD EHUZDUQD PHUDK HPSDW EHUZDUQD KLMDXGDQOLPDEHUZDUQDELUX0LVDONDQNDPXPHODNXNDQPHQJDPELOVDWXEROD SHQJDPELODQGHQJDQSHQJHPEDOLDQVHEDQ\DNGXDNDOL7HQWXNDQSHOXDQJ
18
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
D 7HUDPELOERODPHUDKSDGDSHQJDPELODQSHUWDPDGDQNHGXD
E 7HUDPELO EROD PHUDK SDGD SHQJDPELODQ SHUWDPD GDQ EROD KLMDX SDGD pengambilan kedua.
F 7HUDPELOERODKLMDXSDGDSHQJDPELODQSHUWDPDGDQNHGXD
G 7HUDPELOERODPHUDKSDGDSHQJDPELODQSHUWDPDGDQEXNDQERODELUXSDGD pengambilan kedua.
$QDGDQ%XGLEHUPDLQVXLWVHEDQ\DNGXDNDOL7HQWXNDQSHOXDQJ a. Ana menang dua kali. b. Budi menang dua kali. c. Ana menang pada suit pertama dan tidak kalah pada suit kedua. 7HUGDSDWGXDPDFDPGDGX'DGXSHUWDPDEHUZDUQDPHUDKGDQ\DQJODLQEHUZDUQD ELUX'XDGDGXWHUVHEXWDNDQGLOHPSDUNDQVHFDUDEHUVDPDDQ7HQWXNDQSHOXDQJ a. Angka yang muncul pada dadu merah lebih besar dari angka yang muncul pada dadu biru. b. Angka yang muncul pada dadu merah merupakan dua kali lipat angka yang muncul pada dadu biru.
F $QJND\DQJPXQFXOSDGDGDGXPHUDKPHUXSDNDQIDNWRUSHPEDJLGDULDQJND yang muncul pada dadu biru.
MATEMATIKA
19
Uji Kompetensi 7
Peluang
7HUGDSDWNRGH\DQJWHUGLULGDULHPSDWNDUDNWHU7LJDNDUDNWHUSHUWDPDPHUXSDNDQ DQJND GDQ NDUDNWHU WHUDNKLU PHUXSDNDQ KXUXI NDSLWDO 7HQWXNDQ EDQ\DNQ\D password yang dapat dipilih. 2. Pak Donny tinggal di kota A dan akan bepergian ke kota B. Pak Donny tidak ODQJVXQJPHQXMXNRWDB NDUHQDKDUXVPHQMHPSXWWHPDQQ\DGLNRWDC7HUGDSDW SLOLKDQMDOXUGDULNRWDA PHQXMXNRWDC GDQWHUGDSDWSLOLKDQMDOXUGDULNRWDC PHQXMXNRWDB7HQWXNDQEDQ\DNQ\DSLOLKDQMDOXUGDULNRWDA PHQXMXNRWDB. 3DVVZRUG:LQDOXSDGXDKXUXIWHUDNKLUVXDWXSDVVZRUG3DVVZRUGWHUVHEXWELVD PHQJJXQDNDQKXUXINDSLWDOPDXSXQKXUXINHFLO
D 7HQWXNDQEHUDSDEDQ\DNNHPXQJNLQDQGXDKXUXIWHUVHEXW
E 7HQWXNDQSHOXDQJ:LQDPHPDVXNNDQSDVVZRUG\DQJEHQDUSDGDSHUFREDDQ pertama.
Soal nomor 4, 5 dan 6 berdasarkan cerita berikut. Ibu Ina memiliki tiga anak kembar yakni Ana, Ani dan Ane. Pada suatu hari Ibu ,QD PHPEHOLNDQ VDWX EXDK VHSHGD 0HUHND EHUWLJD VDQJDW LQJLQ PHQFRED VHSHGD tersebut. Karena tidak ingin Ana, Ani dan Ane bertengkar Ibu Ina menentukan urutan pemakaian sepeda dengan undian. Ibu Ani sudah meyiapkan tiga kertas lipat. Pada NHUWDV WHUVHEXW EHUWXOLVNDQ DQJND PXODL GDUL VDPSDL 0HUHND GLPLQWD PHPLOLK NHUWDVOLSDWVHFDUDEHUVDPDDQ0HUHNDDNDQPHQGDSDWNDQXUXWDQVHVXDLDQJND\DQJ PHUHNDSHUROHK -LNDPHQGDWNDQDQJNDPDNDPHQGDSDWJLOLUDQSHUWDPD 7HQWXNDQ VHPXD NHPXQJNLQDQ XUXWDQ SHQJJXQDDQ VHSHGD 1\DWDNDQ GDODP pasangan berurutan. 7HQWXNDQSHOXDQJ$QDPHQGDSDWNDQJLOLUDQSHUWDPD 7HQWXNDQSHOXDQJ$QLPHQGDSDWNDQJLOLUDQVHWHODK$QH 7. Berpikir kritis.DPXDNDQPHQJKDGDSLXMLDQSLOLKDQJDQGD7LDSVRDOPHPLOLNL pilihan A, B, C, dan D0LVDONDPXPHQJDODPLNHVXOLWDQSDGDVDWXVRDOSLOLKDQ ganda, tetapi kamu bisa mengeliminasi pilihan A dan D karena kamu sudah tahu bahwa keduanya pasti salah.
D 7HQWXNDQSHOXDQJNDPXPHQMDZDEEHQDU b. Apakah mengeliminasi pilihan A dan D mempengaruhi peluang kamu PHQMDZDEGHQJDQEHQDU"
%XGLPHQJHUMDNDQVXDWXXMLDQ\DQJWHUGLULGDULVRDOSLOLKDQJDQGD7LDSVRDO terdiri atas pilihan A, B, C dan D.HWLNDZDNWXSHQJHUMDDQKDELVWHUVLVDVRDO
20
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
\DQJ EHOXP GLNHUMDNDQ %XGL PHPXWXVNDQ XQWXN PHQMDZDE VRDO WHUVHEXW GHQJDQPHQHEDN7HQWXNDQSHOXDQJMDZDEDQ%XGLVHPXDQ\DEHQDU 9. Diketahui satu set kartu bridge yang berisi 52 kartu. Dari kartu-kartu tersebut, DNDQGLDPELOVDWXEXDKNDUWXVHFDUDDFDN7HQWXNDQSHOXDQJWHUDPELOQ\D a. Kartu As b. Kartu berwarna merah c. Kartu bergambar hati d. Kartu bernomor 5
H .DUWXEHUJDPEDUUDMD
6XDWXORPEDPHOXNLVGL603&HULDGLLNXWLROHKVLVZDNHODV9,,VDPSDLGHQJDQ NHODV,;%HULNXWDGDODKEDQ\DNVLVZD\DQJPHQJLNXWLORPEDWHUVHEXWEHUGDVDUNDQ tingkatan kelas
VLVZDNHODV9,,
VLVZDNHODV9,,,
VLVZDNHODV,;
-LND SDGD ORPED WHUVHEXW DNDQ GLSLOLK VDWX SHVHUWD \DQJ PHQMDGL MXDUD XWDPD EHUDSDSHOXDQJVLVZDNHODV9,,,DNDQPHQMDGLMXDUDXWDPD"
11. Dua puluh lima tiket diberi nomor dari 1 sampai dengan 25. Setiap tiket diambil VHFDUDDFDN-LND5HVWXDNDQPHQJDPELOVDWXWLNHWVHFDUDDFDNWHQWXNDQSHOXDQJ 5HVWXXQWXNPHQGDSDWNDQWLNHWGHQJDQQRPRUNHOLSDWDQ 6HEXDKXDQJNRLQGLOHPSDUNDQVHEDQ\DNNDOL%HUDSDNDKSHOXDQJVLVLDQJND muncul tepat 2 kali? 6HEXDK GDGX GLOHPSDUNDQ VHEDQ\DN WLJD NDOL 7HQWXNDQ SHOXDQJ DQJNDDQJND yang muncul adalah barisan naik.
.HWHUDQJDQ 7LJDELODQJDQa, b, cDGDODKEDULVDQQDLNMLNDa b c.
6HEXDK GDGX GLOHPSDUNDQ VHEDQ\DN WLJD NDOL 7HQWXNDQ SHOXDQJ DQJNDDQJND yang muncul adalah barisan turun.
.HWHUDQJDQ 7LJDELODQJDQa, b, cDGDODKEDULVDQWXUXQMLNDa!b!c.
15. Berpikir kritis$SD\DQJGDSDWNDPXVLPSXONDQGDULMDZDEDQVRDOQRPRU dan 14? Kenapa peluangnya sama? Untuk soal nomor 15 sampai 19 perhatikan kalimat berikut.
7HUGDSDW WLJD GDGX \DQJ EHUZDUQD PHUDK KLMDX GDQ ELUX 7LJD GDGX WHUVHEXW dilemparkan secara bersamaan.
7HQWXNDQSHOXDQJDQJND\DQJPXQFXOSDGDGDGXPHUDKGLWDPEDKGHQJDQDQJND \DQJPXQFXOSDGDGDGXKLMDXVDPDGHQJDQDQJND\DQJPXQFXOSDGDGDGXELUX MATEMATIKA
21
7HQWXNDQSHOXDQJDQJND\DQJPXQFXOSDGDGDGXPHUDKGLNXUDQJLGHQJDQDQJND \DQJPXQFXOSDGDGDGXKLMDXVDPDGHQJDQDQJND\DQJPXQFXOSDGDGDGXELUX 7HQWXNDQ SHOXDQJ DQJND \DQJ PXQFXO SDGD GDGX PHUDK GLNDOL GHQJDQ DQJND \DQJPXQFXOSDGDGDGXKLMDXVDPDGHQJDQDQJND\DQJPXQFXOSDGDGDGXELUX 7HQWXNDQSHOXDQJDQJND\DQJPXQFXOSDGDGDGXPHUDKGLWDPEDKGHQJDQDQJND \DQJ PXQFXO SDGD GDGX KLMDX VDPD GHQJDQ GXD NDOL OLSDW DQJND \DQJ PXQFXO pada dadu biru. 7HQWXNDQSHOXDQJGDULNHMDGLDQEHULNXW
D 0XQFXOGXDPDWDGDGX\DQJVDPDNHWLNDPHOHPSDUNDQGXDGDGXEHUVDPDDQ
E 0XQFXOWLJDPDWDGDGX\DQJVDPDNHWLNDPHOHPSDUNDQWLJDGDGXEHUVDPDDQ
F 0XQFXOm mata dadu yang sama ketika melemparkan m dadu bersamaan.
22
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Bab VIII Bidang Kartesius
Kata Kunci x x x x
Titik Asal Sumbu-X Sumbu-Y Jarak
K ompetensi D asar 1.1
Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan keterkaitan pada matematika serta memiliki rasa pada daya dan kegunaan matematika yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 3.5 Menentukan orientasi dan lokasi benda dalam koordinat kartesius serta menentukan posisi relatif terhadap acuan tertentu.
Sumber: Dokumen Kemdikbud
Jika kamu melihat radar, kamu akan berpikir untuk apa radar tersebut. Radar (yang dalam bahasa Inggris merupakan singkatan dari Radio Detection and Ranging, yang berarti deteksi dan penjarakan radio) adalah suatu sistem gelombang elektromagnetik yang berguna untuk mendeteksi, mengukur jarak dan membuat map benda-benda seperti pesawat terbang dan berbagai kendaraan bermotor). Visualisasi yang ditampakkan oleh radar untuk menyampaikan informasi di atas adalah berupa koordinat. Yang menjadi permasalahannya adalah bagaimana cara menghitung jarak dengan informasi yang telah diperoleh dari radar tersebut. Untuk itu dalam bab ini akan dibahas mengenai cara menghitung jarak antara dua titik pada bidang kartesius.
Pengalaman Belajar 1. 2.
Menggunakan bidang kartesius untuk menentukan posisi titik. Menggunakan bidang kartesius untuk menentukan jarak antar dua titik.
MATEMATIKA
23
Peta Konsep Bidang Kartesius
Pengantar Bidang Kartesius
24
Jarak Dua Titik
Sumber: www.edulens.org
Descartes GLNHQDO VHEDJDL 5HQDWXV &DUWHVLXV dalam literatur berbahasa Latin, merupakan VHRUDQJ ¿OVXI GDQ PDWHPDWLNDZDQ 3HUDQFLV ,D mempersembahkan sumbangan yang paling penting yaitu penemuannya tentang geometri analitis, yang akhirnya telah terkenal sebagai pencipta “Sistem koordinat Kartesius´ \DQJ memengaruhi perkembangan kalkulus moderndan PHQ\HGLDNDQ MDODQ EXDW 1HZWRQ PHQHPXNDQ Kalkulus. Ia memberikan kontribusi yang besar GDODPNHPDMXDQGLELGDQJPDWHPDWLNDVHKLQJJD GLD GLSDQJJLO VHEDJDL ³%DSDN 0DWHPDWLND 0RGHUQ´
Descartes, adalah salah satu pemikir paling SHQWLQJ GDQ EHUSHQJDUXK GDODP VHMDUDK EDUDW PRGHUQ 0HWRGHQ\D LDODK GHQJDQ PHUDJXNDQ semua pengetahuan yang ada, yang kemudian mengantarkannya pada kesimpulan bahwa pengetahuan yang ia kategorikan ke dalam tiga bagian dapat diragukan, \DLWX \DQJ EHUDVDO GDUL SHQJDODPDQ LQGHUDZL GDSDW GLUDJXNDQ IDNWD XPXP WHQWDQJGXQLDVHPLVDODSLLWXSDQDVGDQEHQGD\DQJEHUDWDNDQMDWXKMXJDGDSDW GLUDJXNDQ GDQ SULQVLSSULQVLS ORJLND GDQ PDWHPDWLND MXJD LD UDJXNDQ 'DUL keraguan tersebut, Descrates hendak mencari pengetahuan apa yang tidak dapat diragukan yang akhirnya mengantarkan pada premisnya Cogito Ergo Sum yang artinya “aku berpikir maka aku ada´ Descartes
Sumber: www.edulens.org
Hikmah yang bisa diambil .H\DNLQDQ\DQJVHPSXUQDGDQPXWODNWHUKDGDSNHEHUDGDDQDGDQ\D7XKDQ GDQVHPXDRE\HNGLGXQLDLQLDGDODKFLSWDDQ7XKDQ 7LGDNPXGDKSXDVWHUKDGDSVHVXDWX\DQJVXGDKGLGDSDWNDQVHKLQJJDWHUXV EHU¿NLUPHODNXNDQLQRYDVLXQWXNPHQHPXNDQVHVXDWX\DQJEDUX 0DQXVLDGLFLSWDNDQROHK7XKDQGHQJDQEHQWXN\DQJVHPSXUQDROHKNDUHQD LWXPDQXVLDKDUXVPHQJJXQDNDQDNDOGDQSLNLUDQQ\DXQWXNPHPDQIDDWNDQ lingkungan dengan sebaik-baiknya. 6DOLQJPHPEDQWXGDQNHUMDVDPDVHVDPDPDQXVLDDJDUWHUMDGLLQWHUDNVL\DQJ SRVLWLIGDODPPHODNXNDQDNWL¿WDVGDQEHODMDU
25
A. Pengantar Bidang Kartesius Pertanyaan Penting Bagaimana bisa kamu menggambarkan lokasi suatu tempat pada bidang kartesius? Kegiatan 8.1
Bentuk Bidang Kartesius
.HUMDNDQGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPX a. Siapkan dua lembar kertas berpetak b. Berilah label pada kertas berpetak pertama dan kedua masing-masing dengan KXUXIx dan y c. Di tengah-tengah kertas berpetak dengan label x, buatlah garis bilangan horizontal VHSHUWL \DQJ GLWXQMXNNDQ SDGD JDPEDU GL EDZDK LQL 'L WHQJDKWHQJDK NHUWDV berpetak dengan label y, buatlah garis bilangan vertikal.
-7 -6 -5 -4 -2 -1 0 1 2 4 5 6 7 d. Potong garis bilangan vertikal dan tempel pada bilangan garis horizontal sehingga nol saling berimpitan dan garis horisontal dan vertikal saling tegak lurus. Ayo Kita Amati D %HUDSD EDQ\DN GDHUDK \DQJ WHUEHQWXN" %HUL WDQGD VG EDQ\DNQ\D GDHUDK GHQJDQ XUXWDQQ\D GDUL NDQDQ DWDV NHPXGLDQ EHUJHUDN EHUODZDQDQ DUDK MDUXP MDP 'DHUDKGDHUDK LQL VHODQMXWQ\D GLVHEXW VHEDJDL NXDGUDQ \DLWX NXDGUDQ NXDGUDQGVW b. Gambarkan titik perpotongan antara garis vertikal dan horisontal. F -HODVNDQOHWDNWLWLNSDGDEDJLDQ E WHUKDGDSJDULVKRULVRQWDO G -HODVNDQOHWDNWLWLNSDGDEDJLDQ E WHUKDGDSJDULVYHUWLNDO (7LWLNSDGDEDJLDQ E GLVHEXWVHEDJDLtitik asal dan dapat ditulis sebagai pasangan bilangan (letak terhadap garis horisontal, letak titik pada garis vertikal)).
26
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Ayo Kita Simpulkan Berdasarkan kegiatan di atas: 1. Bagaimana membentuk bidang kartesius? 2. Berapa banyak kuadran pada bidang kartesius? Gambarkan. 7XOLVNDQSRVLVLWLWLNDVDOVHEDJDLSDVDQJDQELODQJDQ
Kegiatan 8.2
Mendeskripsikan Titik Pada Bidang Kartesius
.HUMDNDQGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPXJXQDNDQOHPEDUDQNHUMDPXSDGD.HJLDWDQ Ayo Kita Mencoba Kegiatan 8.2.a. Tempatkan titik pada posisi akhir dari langkah-langkah berikut ini /DQJNDK0XODLODKGDULWLWLNDVDO Langkah 2. Bergeraklah 2 satuan ke kanan /DQJNDK%HUJHUDNODKVDWXDQNHDWDV Dalam bentuk pasangan bilangan, posisi akhir dari Langkah 1 sampai dengan langkah DGDODK Kegiatan 8.2.b. Tempatkan titik pada posisi akhir dari langkah-langkah berikut ini /DQJNDK0XODLODKGDULWLWLNDVDO Langkah 2. Bergeraklah 2 satuan ke kanan /DQJNDK%HUJHUDNODKVDWXDQNHEDZDK Dalam bentuk pasangan bilangan, posisi akhir dari Langkah 1 sampai dengan langkah DGDODK Kegiatan 8.2.c. Tempatkan titik pada posisi akhir dari langkah-langkah berikut ini /DQJNDK0XODLODKGDULWLWLNDVDO Langkah 2. Bergeraklah 2 satuan ke kiri /DQJNDK%HUJHUDNODKVDWXDQNHDWDV Dalam bentuk pasangan bilangan, posisi akhir dari Langkah 1 sampai dengan langkah DGDODK MATEMATIKA
27
Kegiatan 8.2.d. Tempatkan titik pada posisi akhir dari langkah-langkah berikut ini /DQJNDK0XODLODKGDULWLWLNDVDO Langkah 2. Bergeraklah 2 satuan ke kiri /DQJNDK%HUJHUDNODKVDWXDQNHEDZDK Dalam bentuk pasangan bilangan, posisi akhir dari Langkah 1 sampai dengan langkah DGDODK Ayo Kita Simpulkan Berdasarkan kegiatan di atas: 1. Bagaimana menggambarkan titik pada bidang kartesius apabila diketahui SRVLVLWLWLNEHUXSDSDVDQJDQELODQJDQ"7XOLVNDQODQJNDKODQJNDKQ\D 2. %DJDLPDQDPHQHQWXNDQSRVLVLWLWLNSDGDELGDQJNDUWHVLXV"7XOLVNDQODQJNDK langkahnya. 8QWXN VHODQMXWQ\D bilangan pertama pada pasangan bilangan untuk posisi titik di bidang kartesius dinamakan sebagai absis dan bilangan keduanya dinamakan sebagai ordinat 8QWXN VHODQMXWQ\D garis horizontal pada bidang kartesius dinamakan sebagai sumbu-X dan garis vertikalnya dinamakan sebagai sumbu-Y. Kegiatan 8.3
Sifat titik pada bidang kartesius terhadap kuadrannya
.HUMDNDQGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPX*XQDNDQOHPEDUDQNHUMDPXSDGD.HJLDWDQ Ayo Kita Menalar 7HPSDWNDQ WLWLNWLWLN SDGD ELGDQJ NRRUGLQDW EHULNXW GDQ SDGDELGDQJNDUWHVLXV7HUOHWDNSDGDNXDGUDQEHUDSDNDKWLWLNWLWLNWHUVHEXW" %DJDLPDQD WDQGD SRVLWLI DWDX QHJDWLI DEVLV GDQ RUGLQDW WLWLNWLWLN WHUVHEXW" -LND kamu meletakkan titik lain yang terletak pada kuadran yang sama dengan titik-titik tersebut, apakah tandanya akan sama dengan titik tersebut? Jelaskan dan simpulkan PHQJHQDLVLIDWGDULDEVLVGDQRUGLQDWSDGDNXDGUDQWHUVHEXW Ayo Kita Simpulkan %HUGDVDUNDQNHJLDWDQGLDWDVMHODVNDQVLIDWVLIDWWLWLN\DQJEHUDGDSDGDNXDGUDQ NXDGUDQNXDGUDQGDQNXDGUDQ
28
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Menggambar Titik Pada Bidang Kartesius
Kegiatan 8.4
.HUMDNDQGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPXJDPEDUGDQKXEXQJNDQWLWLNXQWXNPHPEXDW bangun. Deskripsikan dan warnai gambar ketika kamu mendapatkannya. 1
3
4
5
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
6
2 7
Sumber: Dokumen Kemendikbud
Gambar 8.1 Deskripsi titik koordinat
Ayo Kita Berbagi 1. Bagaimana kamu menggambarkan lokasi suatu titik pada bidang kartesius? 2. .HUMDNDQVHFDUDPDQGLUL*DPEDUODK³WLWLNNHWLWLN´GHQJDQPHQJJXQDNDQSDOLQJ sedikit 20 titik untuk menggambarkan benda yang kamu sukai.
MATEMATIKA
29
Ayo Kita Menanya %XDWODKSHUWDQ\DDQ\DQJPHPXDWNDWD³NDUWHVLXV´GDQ³NXDGUDQ´ Materi Esensi
Pengantar Bidang Koordinat
/DQJNDKPHQJJDPEDUNDQSDVDQJDQELODQJDQ a, b NHELGDQJNRRUGLQDW /DQJNDK 0XODLODKGDULWLWLNDVDO Langkah 2. Jika a > 0 maka gerakkan |a_ VDWXDQ NHNDQDQ GDQ MLND a PDND gerakkan |a| satuan kekiri /DQJNDK -LNDb ! 0 maka gerakkan |b_VDWXDQNHDWDVGDQMLNDb PDNDJHUDNNDQ |b| satuan kekiri /DQJNDK 7LWLNDNKLUGDUL/DQJNDKVDPSDLGHQJDQ/DQJNDKPHUXSDNDQSRVLVL titik koordinat Ide Kunci: Bidang koordinat dibentuk oleh irisan dari garis bilangan horizontal dan vertical. Bilangan garis ini berimpitan pada di titik yang disebut titik asal dan membagi bidang kartesius kedalam empat bagian yang disebut dengan kuadran. Y 5
Kuadran II
4
Kuadran I Koordinat -x
Q
(2, 3)
2
(-2, 1) -5
-4
P
-2
Koordinat -y
1
X -1
0 -1 -2
1
2
4
5
-4
Kuadran III
-5
Kuadran IV Titik asal (0, 0)
Gambar 8.3 Pembagian koordinat dari bidang koordinat
30
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Pasangan bilangan digunakan untuk menyatakan letak dari titik dalam bidang NDUWHVLXV0LVDOQ\D VHSHUWL\DQJWHUOLKDWSDGDJDPEDUGLDWDV
Contoh 8.1
,GHQWL¿NDVL3DVDQJDQ%LODQJDQ
Pasangan bilangan yang mana yang berhubungan dengan titik C? $ % & ' Y 6 D
F
5 4 2 1 0
-8 -7 -6 -5 -4 -2 -1 0 1 -1
u 2
4
5
6
7
8
9 10
X
-2 -4 (
-5 -6
C
Gambar 8.2 Gambar titik koordinat
Alternatif Penyelesaian: Diketahui : Gambar titik koordinat 8.2 Ditanya
: Posisi titik C
Jawab
:
7LWLNC adalah 4 satuan ke kanan dari titik asal dan 5 satuan kebawah. Jadi koordinat-x adalah 4 dan koordinat-y DGDODK -DGL SDVDQJDQ ELODQJDQ EHUKXEXQJDQ dengan titik C'HQJDQGHPLNLDQMDZDEDQ\DQJEHQDUDGDODK&
MATEMATIKA
31
Contoh 8.2
Menggambarkan Pasangan Bilangan
*DPEDUNDQ WLWLN D GDQ E 4 1 SDGD ELGDQJ NDUWHVLXV 'HVNULSVLNDQ 2 letak dari setiap titik. Alternatif Penyelesaian: 'LNHWDKXL WLWLN D GDQ E 4 1 2 Ditanya : Deskripsikan letak setiap titik Jawab
:
D /DQJNDK0XODLGHQJDQWLWLNDVDO Langkah 2. Gerakkan 1 satuan ke kiri
/DQJNDK*HUDNNDQVDWXDQNHDWDV
b. Lalu gambar titiknya. Jadi titik berada pada kuadran II.
/DQJNDK0XODLGHQJDQWLWLNDVDO Langkah 2. Gerakkan 0 satuan ke kanan
/DQJNDK*HUDNNDQ 4
1 satuan kebawah 2
Lalu gambar titiknya. Jadi titiknya pada sumbu-Y. Contoh 8.3
Aplikasi Kehidupan Nyata
Ayo Kita Gali Informasi 7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQSHUXEDKDQNHGDODPDQVXDWXVXQJDLWLDSMDPPXODL GDULWHQJDKPDODPKLQJJDMDPSDJL Jam, x Kedalaman dikurangi 100 cm, y
0
1
2
4
5
6
7
8
0 cm
60 cm
70 cm
50 cm
40 cm
cm
20 cm
40 cm
60 cm
D *DPEDUODKGDWDGLDWDVGDODPVXDWXJUD¿N E %XDWWLJDSHQJDPDWDQGDULJUD¿NWHUVHEXW
32
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Alternatif Penyelesaian: 'LNHW
7DEHOGLDWDV
Ditanya
:
D *DPEDUODKGDWDGLDWDVGDODPVXDWXJUD¿N
E %XDWWLJDSHQJDPDWDQDWDVJUD¿NWHUVHEXW
Jawab
:
D 7XOLVGDWDGLDWDVPHQMDGLSDVDQJDQELODQJDQ\DLWX GDQ *DPEDUGDQEHULODEHOXQWXN setiap pasangan bilangan. Kemudian hubungkan pasangan bilangan dengan garis.
Kedalaman sungai - 100(cm)
80 70 60 50 40 20 10 0 0
1
2
4
5
6
7
8
9
10
-DP6HWHODK7HQJDK0DODP Gambar 8.3 Gambar titik koordinat untuk data
b. Berikut tiga kemungkinan pengamatan:
x .HGDODPDQVXQJDLEHUNXUDQJGDULMDPPDODPKLQJJDMDPSDJL
x .HGDODPDQVXQJDLEHUWDPEDKGDULMDPVDPSDLGHQJDQMDPSDJL GDQMDPVDPSDLGHQJDQMDPSDJL
x 3HUWDPEDKDQ NHGDODPDQ VXQJDL WHUEHVDU WHUMDGL SDGD KLQJJD pagi.
MATEMATIKA
33
Ayo Kita Tinjau Ulang %HUGDVDUNDQFRQWRKGLGDSDWNDQNRRUGLQDWWLWLN&PLVDONDQMDZDEDQPXDGDODK DE *DPEDUNDQWLWLNWLWLN DE DE GDQ DE 'HVNULSVLNDQOHWDNWLWLNWLWLN tersebut! Buatlah garis yang menghubungkan titik-titik tersebut! Di koordinat manakah garis-garis tersebut memotong sumbu-X dan sumbu-Y? 7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQSHUXEDKDQVXKXWLDSMDPPXODLGDULWHQJDKKDUL KLQJJDMDPPDODP Jam setelah tengah malam, x Temperatur, y
0
1
2
4
5
6
40F
60F
50F
10F
0 0F
00F
-60F
D *DPEDUODKGDWDGLDWDVSDGDVXDWXJUD¿N
E %XDWWLJDSHQJDPDWDQDWDVJUD¿NWHUVHEXW Latihan 8.1
Pengantar Bidang Kartesius
7LJD GDUL (PSDW WLWLN \DQJ GLQ\DWDNDQ GDODP NRRUGLQDW EHULNXW PHPLOLNL VLIDW \DQJVDPD7HQWXNDQWLWLN\DQJPHPLOLNLVLIDW\DQJEHUEHGDGHQJDQ\DQJODLQQ\D dan berikan alasanmu!
L GDQ
LL GDQ
LLL GDQ
LY GDQ
2. Gambarkan dan hubungkan titik-titik di bawah ini untuk membentuk suatu bangun. 1
2 3 4
6 7 8
9
5 10
7XOLVNRRUGLQDW\DQJEHUKXEXQJDQWHUKDGDSWLWLNGLEDZDKLQL i.
34
titik A
vi.
titik B
ii. titik C
vii. titik D
iii. titik E
viii. titik F
iv. titik G
ix.
titik H
v. titik I
x.
titik J
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Y (
6 5 A
B
4
F
I
2 1 0
-7 -6 -5 -4 -2 -1 0 1 -1 C -2
2
X 4 5
7
J
H
6
8 9 10 G
D
-4 -5
4. Gambarkan segi banyak dengan titik sudut yang diberikan. i.
A B C
1 ii. D 1 E F 2 1 1 iii. G H J K 2 2 iv. L M N P v. Q R S T U
1 1 vi. V W X Y Z 2 2 5. Deskripsikan kesalahan dari solusi berikut
L 0HQJJDPEDUNDQ SDGDELGDQJNDUWHVLXVPXODLGDUL GDQEHUJHUDN 7 satuan kekanan dan 6 satuan keatas.
LL 0HQJJDPEDUNDQ SDGDELGDQJNDUWHVLXVPXODLGDUL GDQEHUJHUDN 7 satuan kekanan dan 5 satuan kebawah.
*DPEDUNDQWLWLNGDQWHQWXNDQMDUDNDQWDUDGXDWLWLN
L
LY
LL
Y
LLL
YL
MATEMATIKA
35
7HQWXNDQEHQWXNVHJLHPSDWABCD dengan titik koordinatnya i.
A B C GDQD
ii. A B C GDQD 'DODPPHQHQWXNDQDUDKVHULQJMXJDGLJXQDNDQ DUDKMDUXPMDP \DLWXVHEDJDLDFXDQQ\DDGDODK DUDKGLKDGDSDQREMHN\DQJGLGH¿QLVLNDQVHEDJDL DUDK MDP 'HQJDQ GHPLNLDQ VHEHODK NDQDQ REMHN VHEDJDL DUDK MDP GDQ VHEHODK REMHN DUDKMDP 0LVDONDQDGDRUDQJ,,,,,,\DQJ menghadap ke arah utara. Kemudian posisi dari ,,DGDODKPGDUL,GHQJDQDUDKMDPGDQ posisi dari III adalah 8 m dari II dengan arah MDP*DPEDUNDQSRVLVLGDUL,,,,,,SDGD ELGDQJ NDUWHVLXV .HPXGLDQ EHULODK SHWXQMXN NHSDGDRUDQJWHUVHEXWVXSD\DELVDEHUNXPSXO SDGD RUDQJ NHWLJD MLND RUDQJ WHUVHEXW KDQ\D bisa bergerak ke depan, ke belakang, ke kiri dan ke kanan.
Sumber: Dokumen Kemdikbud
9. Seorang anak pada pagi hari dari rumah pergi ke sekolahnya dengan bersepeda. Untuk mencapai sekolahnya dia harus bergerak ke arah tenggara VHMDXKNPNHPXGLDQNHDUDKWLPXUVHMDXKNP Pada saat pulang sekolah anak tersebut pergi ke toko buku. Untuk kesana anak tersebut harus PHQXMX NH DUDK EDUDW GD\D VHMDXK NP GDQ NH DUDK EDUDW VHMDXK NP *DPEDUODK OHWDN GDUL rumah, sekolah dan toko buku pada bidang kartesius. Kemudian bagaimana caranya anak Sumber: Dokumen Kemdikbud tersebut supaya tiba lagi dirumah? 7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQMDXKQ\DODULGDODPNLORPHWHUSDGDPLQJJX untuk program latihan marathon.
36
Minggu
1
2
4
5
6
7
8
9
Total kilometer
20
40
70
90
120
150
180
210
240
Minggu
10
11
12
14
15
16
17
18
Total kilometer
270
470
500
540
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
D 7XOLVNDQWDEHOXQWXNMDUDNODULVHODPDVHWLDSPLQJJXODWLKDQ
E 7DPSLONDQGDWDGDULEDJLDQ D GDODPJUD¿N
F %XDWODKWLJDSHQJDPDWDQJUD¿N
G -HODVNDQSROD\DQJGLWXQMXNNDQGDODPJUD¿N
B. Jarak Pertanyaan Penting %DJDLPDQDFDUDPHQHQWXNDQMDUDNDQWDUDGXDWLWLNSDGDELGDQJNDUWHVLXV"
Ingat Kembali !!! Teorema Phytagoras C 0LVDONDQVHJLWLJDVLNXVLNXABC seperti yang tampak pada Gambar 8.4 dengan sisi miringnya adalah AC maka berlaku persamaan berikut AC2 = AB2 BC2 B
A
dengan AC, AB, BC berturut-turut menyatakan SDQMDQJJDULVGDUL AC , AB dan BC .
Gambar 8.4 Segitiga siku-siku
Kegiatan 8.5
Jarak Antara Dua Titik Pada Bidang Kartesius
1. Siapkan 2 lembar kertas berpetak. 2. Buatlah sumbu-X dan sumbu-Y pada 2 lembar kertas tersebut seperti terlihat pada Gambar 8.5. 7XOLVNDQGXDWLWLNVHPEDUDQJSDGDNHUWDVSHUWDPDGHQJDQV\DUDWGXDWLWLNWHUVHEXW tidak mempunyai absis maupun ordinat yang sama, misalkan terlihat pada Gambar 8.5. 4. Gambarkan dua titik sedemikian hingga dua titik tersebut dan titik A dan B PHUXSDNDQWLWLNVXGXWSHUVHJLSDQMDQJ OLKDW*DPEDU
MATEMATIKA
37
3RWRQJODK NHUWDV EHUSHWDN WHUVHEXW GHQJDQ PHQJLNXWL JDPEDU SHUVHJLSDQMDQJ yang telah terbentuk. 3RWRQJODKSHUVHJLSDQMDQJWHUVHEXWPHQMDGLGXDEDJLDQGHQJDQPHQJLNXWLJDULV yang menghubungkan titik A dan B. Sehingga didapatkan dua segitiga yang sama SHUVLV\DLWXVHJLWLJDVLNXVLNX'HQJDQPHQJJXQDNDQ7HRUHPD3K\WDJRUDVNDPX GDSDWPHQJKLWXQJSDQMDQJJDULV\DQJPHQJKXEXQJNDQDQWDUDWLWLNA dan B MDUDN titik A dan B GHQJDQVDWXDQNRWDN Y 8 7
B
6 5 4 2
A
1 0
0
1
2
4
5
6
7
8
9
X
11 12
10
Gambar 8.5 Contoh gambar di kertas pertama
7. Ambillah salah satu segitiga dan tempatkan titik A pada titik pusat koordinat kertas kedua dengan salah satu sisi yang tidak menghubungkan titik A dan B berimpit ke salah satu sumbu. Untuk contohnya dapat dilihat pada Gambar 8.6. Y 8 7 6 5
B
4 2 1 0
A 0
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11 12
X
Gambar 8.6 Contoh gambar di kertas kotak kedua
38
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Ayo Kita Amati Berdasarkan kegiatan di atas 1. Perhatikan koordinat titik-titik sudut segitiga tersebut. 2. Geserlah segitiga pada langkah 7 dan perhatikan koordinat titik-titik sudut segitiga. Ayo Kita Menalar Apa yang dapat kamu analisis dari pergeseran segitiga siku-siku yang kamu lakukan SDGDNHJLDWDQGLDWDV" +XEXQJNDQDQDOLVLVPXGHQJDQWHUMDGLQ\DSHUXEDKDQNRRUGLQDW SDGDWLDSWLWLNVXGXWVHJLWLJDVLNXVLNXWHUVHEXW Ayo Kita Simpulkan %HUGDVDUNDQNHJLDWDQGLDWDVVLPSXONDQUXPXVXQWXNPHQHQWXNDQMDUDNDQWDUDGXD titik pada bidang kartesius.
Kegiatan 8.6
Menentukan Jarak Pada Sebuah Peta
Ayo Kita Amati .HUMDNDQ GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNXPX VHWLDS NRWDN SDGD SHWD *DPEDU merepresentasikan satu kilometer. Y
X
Gambar 8.7 Peta Kota
MATEMATIKA
39
Ayo Kita Gali Informasi D 3HUSXVWDNDDQXPXPWHUOHWDNSDGDNRRUGLQDW $OXQDOXQWHUOHWDNSDGD Gambar dan berikan tanda pada titik-titik tersebut. E %HUDSDMDUDNDQWDUDSHUSXVWDNDDQXPXPGDQ$OXQDOXQ" c. Stadion terletak 4 kilometer dari perpustakaan umum, tentukan beberapa koordinat yang mungkin untuk perpustakaan. Gambarkan koordinat tersebut. Kegiatan 8.7
Menggambar Persegipanjang
Ayo Kita Mencoba .HUMDNDQGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPX 1. Gambar dan labelkan setiap kelompok titik pada bidang kartesius berikut. 2. Hubungkan setiap titik untuk membentuk segiempat. $QDOLVLVSDQMDQJVLVLVLVLQ\DGDQMHQLVVHJLHPSDW\DQJWHUEHQWXN Kelompok titik pertama : A B C D Kelompok titik kedua : E F G H Y 10 9 8 7 6 5 4 2 1 0
0 1 2
4 5 6 7 8
9 10 11 12 14 X
Gambar 8.8 Bidang kartesius untuk menggambar persegi
40
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
1. %DJDLPDQDNDPXPHQHQWXNDQMDUDNDQWDUDGXDWLWLNSDGDVHEXDKELGDQJNDUWHVLXV" 2. $SDNDKPHWRGH\DQJNDPXJXQDNDQXQWXNPHQHQWXNDQMDUDNSDGD.HJLDWDQ" *XQDNDQLQWHUQHWDWDXUHIHUHQVL\DQJODLQXQWXNPHQJHWDKXLEDJDLPDQDSURIHVL SURIHVLGLEDZDKLQLGDSDWPHQHQWXNDQMDUDNGXDWHPSDW a. Arkeolog b. Kapten Kapal c. Pilot Silahkan Bertanya %XDWODKSHUWDQ\DDQ\DQJWLPEXOGLEHQDNNDPXWHQWDQJMDUDNSDGDELGDQJNDUWHVLXV Materi Esensi
Jarak
8QWXN PHQHQWXNDQ MDUDN DQWDUD GXD WLWLN SDGD ELGDQJ NRRUGLQDW GDSDW GLODNXNDQ dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut Langkah 1: tentukan koordinat dari kedua titik tersebut, misalkan koordinat dari dua WLWLNWHUVHEXWDGDODK x1, y1 GDQ x2, y2 Langkah 2:+LWXQJMDUDNGDULGXDWLWLNWHUVHEXWGHQJDQPHQJJXQDNDQUXPXVEHULNXW ini MDUDN Contoh 8.4
x1 x2
2
y1 y2
2
Jarak Dua Titik
0LVDONDQNRRUGLQDWWLWLNA DGDODK GDQNRRUGLQDWWLWLNB DGDODK +LWXQJ MDUDNDQWDUDWLWLNA dan B! Alternatif Penyelesaian: Diketahui : koordinat titik A DGDODK GDQNRRUGLQDWWLWLNBDGDODK 'LWDQ\D
KLWXQJMDUDNDQWDUDWLWLNA dan B
Jawab
:
Langkah 1:0HQHQWXNDQNRRUGLQDW \DLWXGLGDSDW x1, y1 GDQ x2, y2
MATEMATIKA
41
Langkah 2:0HQJJXQDNDQUXPXV\DLWX
2
AB
2
2 2 10
-DGLMDUDNDQWDUDWLWLNA dan B adalah 10 satuan.
Menentukan Keliling
Contoh 8.5
7LWLNWLWLNVXGXWSHUVHJLSDQMDQJDGDODKA B C GDQD *DPEDUNDQ SHUVHJLSDQMDQJSDGDELGDQJNDUWHVLXVGDQWHQWXNDQNHOLOLQJQ\D Alternatif Penyelesaian: 'LNHWDKXL 7LWLNVXGXWSHUVHJLSDQMDQJDGDODKA B C GDQD 'LWDQ\D
Jawab
:
*DPEDUNDQ SHUVHJLSDQMDQJ SDGD ELGDQJ NDUWHVLXV GDQ WHQWXNDQ kelilingnya.
*DPEDUSHUVHJLSDQMDQJSDGDELGDQJNDUWHVLXVGDSDWGLOLKDWSDGDJDPEDU Y 6 5
A
D
B
C
4 2 1 1
0
1
2
4
5
6
7
8
9
10
X
Gambar 8.93HUVHJLSDQMDQJSDGDELGDQJNDUWHVLXV
3DQMDQJSHUVHJLSDQMDQJDGDODKMDUDNDQWDUDA GDQD \DLWXEHGDDEVLV 3DQMDQJ í VDWXDQ /HEDUSHUVHJLSDQMDQJDGDODKMDUDNDQWDUDA GDQB \DLWXEHGDNRRUGLQDWy. /HEDU í VDWXDQ -DGLNHOLOLQJSHUVHJLSDQMDQJDGDODK VDWXDQ
42
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Contoh 8.6
Aplikasi Kehidupan Nyata
Ayo Kita Gali Informasi Diketahui sebuah kebun binatang berbentung trapesium. Jika kebun binatang ini digambarkan pada bidang kartesius, maka koordinat titik-titik sudutnya adalah A B C GDQD .RRUGLQDWLQLGLXNXUGDODPVDWXDQGHNDPHWHU Hitunglah luas kebun binatang tersebut! Alternatif Penyelesaian: Diketahui : sebuah kebun binatang berbentung trapesium. Jika kebun binatang ini digambarkan pada bidang kartesius maka koordinat dari titik-titik sudutnya adalah A B C GDQD Ditanya
: Hitunglah luas kebun binatang
Jawab
:
Gambar dan hubungkan titik-titik sudut pada bidang kartesius untuk membentuk sebuah trapesium. Dengan menggunakan koordinat dapat GLWHQWXNDQSDQMDQJDODVGDQWLQJJL b1 í b2 í h í Gunakan rumus untuk luas trapesium. 1 1 A = h b1 b2 2 2
6 5 4 2
A
D b1
h B
C b2
1 0 0 1 2 4 5 6 7 8 9 10
Jadi luas kebun binatang adalah 15 dekameter persegi. Ayo Kita Tinjau Ulang 1. 3DGD &RQWRK EDJDLPDQD MDUDN DQWDUD WLWLN A dan B MLND NRRUGLQDW WLWLN A DGDODK GDQNRRUGLQDWWLWLNBDGDODK " 2. 3DGD&RQWRKEDJDLPDQDOXDVVHJLHPSDWMLNDWLWLNCWHUOHWDNSDGDNRRUGLQDW " $SD\DQJWHUMDGLSDGDOXDVNHEXQELQDWDQJSDGD&RQWRKMLNDWLWLN%GLJDQWL PHQMDGL "
MATEMATIKA
43
Latihan 8.2
Jarak
%DJDLPDQD NDPX PHQHQWXNDQ NHOLOLQJ SHUVHJLSDQMDQJ SDGD ELGDQJ NDUWHVLXV" Jelaskan. 2. Gambarkan dan beri label untuk setiap pasang titik pada bidang kartesius. 7HQWXNDQSDQMDQJJDULV\DQJPHQJKXEXQJNDQNHGXDWLWLN i.
C D
ii. K L iii. Q R *DPEDUNDQGDQKLWXQJNHOLOLQJVHJLEDQ\DNGHQJDQWLWLNVXGXW\DQJGLEHULNDQ i.
A B C VHJLEDQ\DN$%&
1 ii. D E F VHJLEDQ\DN'() 2 1 1 iii. G H J K VHJLEDQ\DN*+-. 2 2 iv. L M N P VHJLEDQ\DN/013 v. Q R S T U VHJLEDQ\DN45678
1 1 vi. V W X Y Z VHJLEDQ\DN9:;<= 2 2 7HQWXNDQNHOLOLQJVHJLHPSDWCDEF dengan titik sudut yang diberikan i.
C D E F
ii. C D E F iii. C D E F iv. C D E F 7HQWXNDQOXDVVHJLEDQ\DNGHQJDQWLWLNVXGXW\DQJGLEHULNDQSDGDVRDOQRPRU 6. Gantilah salah satu bilangan dari empat koordinat berikut ini sedemikian hingga PHPEHQWXNSRODNHPXGLDQMHODVNDQSROD\DQJWHUEHQWXN
L
LL
LLL
LY
Y
44
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
7. Diketahui titik A GDQ B W -LND MDUDN DQWDUD WLWLN A dan B adalah 10, tentukan nilai t! 8. Gambarkan segi banyak pada bidang kartesius dengan kondisi yang diberikan.
L 3HUVHJLGHQJDQNHOLOLQJVDWXDQSDQMDQJ
LL 3HUVHJLSDQMDQJGHQJDQOXDVVDWXDQOXDV
LLL 3HUVHJLSDQMDQJGHQJDQNHOLOLQJVDWXDQSDQMDQJ iv. Segitiga dengan luas 18 satuan luas.
9. Perhatikan gambar 8.10 2 1 0 -4 -2 -1
-1
0 1
2
4
-2 Gambar 8.107LWLNWLWNSDGDELGDQJNDUWHVLXV
'DSDWGLOLKDWSDGD*DPEDUWHUGDSDWWLWLN7HQWXNDQWLWLNNHHPSDWVHKLQJJDGDSDW GLEXDWVXDWXSHUVHJLSDQMDQJ\DQJWLWLNWLWLNVXGXWQ\DPHUXSDNDQNHHPSDWWLWLNWHUVHEXW
7HQWXNDQOXDVVHJLHPSDW\DQJWLWLNVXGXWQ\DGLEHULNDQVHEDJDLEHULNXW a. D E F G VHJLHPSDW \DQJ WHUEHQWXN DGDODK segiempat DEFG b. P Q R S VHJLHPSDW \DQJ WHUEHQWXN DGDODK segiempat PQRS c. W X Y Z VHJLHPSDW \DQJ WHUEHQWXN DGDODK segiempat WXYZ Proyek 8
Carilah peta kecamatan atau desa anda yang di dalamnya terdapat peta persawahan atau daerah yang berbentuk seperti persawahan. Kemudian gambarlah daerah WHUVHEXWSDGDELGDQJNDUWHVLXV6HODQMXWQ\DKLWXQJODKOXDVGDHUDKWHUVHEXW
MATEMATIKA
45
Uji Kompetensi 8
Bidang Kartesius
1. Gambarkan segi banyak dengan titik sudut yang diberikan pada bidang kartesius. i.
A B C
ii. D E F G 7LJD GDUL (PSDW WLWLN \DQJ GLQ\DWDNDQ GDODP NRRUGLQDW EHULNXW PHPLOLNL VLIDW \DQJVDPD7HQWXNDQWLWLN\DQJPHPLOLNLVLIDW\DQJEHUEHGDGHQJDQ\DQJODLQQ\D dan berikan alasanmu!
D GDQ
E GDQ
F GDQ
G GDQ
*DPEDUNDQVHJLEDQ\DNGHQJDQWLWLNVXGXW\DQJGLEHULNDQ a. A B C 1 b. D E F 2 1 1 c. G H J K 2 2 d. L M N P e. Q R S T U 4. Gambarkan dan beri label untuk setiap pasang titik pada bidang kartesius. 7HQWXNDQSDQMDQJJDULV\DQJPHQJKXEXQJNDQNHGXDWLWLN a. C D b. K L c. Q R 7HQWXNDQNHOLOLQJGDQOXDVGDULVHJLEDQ\DNGHQJDQWLWLNVXGXW\DQJGLEHULNDQ a. Q R S T b. W X Y Z 6. Gantilah salah satu bilangan dari empat koordinat berikut ini sedemikian hingga PHPEHQWXNSRODNHPXGLDQMHODVNDQSROD\DQJWHUEHQWXN
46
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
D
E
F
G
H
7. Sebuah kapal yang berisi seorang Nahkoda dan dua anak buahnya. Nahkoda kapal tersebut bernama Ardi dan dua anak buahnya tersebut EHUQDPD 5LFR GDQ 5LFN\ 5LFN\ EHUWXJDV PHQMDODQNDQ NDSDO NH XWDUDVHODWDQ VHGDQJNDQ 5LFN\ PHQMDODQNDQ NDSDO NH EDUDWWLPXU 3DGD VXDWXSHUMDODQDQ$UGLPHPEHULSHULQWDKNHSDGD 5LFRGDQ5LFN\EHUWXUXWWXUXWVHEDJDLEHULNXW
Sumber: Dokumen Kemdikbud
L 5LFRNLORPHWHUNHXWDUD
LL 5LFN\NLORPHWHUNHEDUDW
LLL 5LFRNLORPHWHUNHVHODWDQ
LY 5LFN\NLORPHWHUNHWLPXU
Y 5LFRNLORPHWHUNHXWDUD
YL 5LFN\NLORPHWHUNHEDUDW
YLL5LFR NLORPHWHUNHVHODWDQ
7XOLVNDQ SHULQWDK \DQJ VHKDUXVQ\D GLEHULNDQ NHSDGD 5LFR GDQ 5LFN\ VXSD\D SRVLVL DNKLUQ\D VDPD WHWDSL 5LFNR GDQ 5LFN\ KDQ\D PHODNXNDQ WXJDVQ\D VDWX NDOL %HUDSDNDK MDUDN DQWDUD WHPSDW DVDO GDQ WHPSDW WXMXDQ GDODP SHUMDODQDQ tersebut?
0LVDONDQ ABCD menyatakan segiempat yang terbentuk oleh garis lurus yang menghubungkan titik A ke B, B ke C, C ke D dan D ke A. Perhatikan permasalahan berikut: a. Diketahui koordinat titik A, B, C dan D EHUWXUXWWXUXW VHEDJDL EHULNXW GDQ 6HOLGLNLODKODK DSDNDK ABCD merupakan SHUVHJLSDQMDQJ"-HODVNDQMDZDEDQNDPX
MATEMATIKA
47
b. Diketahui koordinat titik A, B, C dan D EHUWXUXWWXUXW VHEDJDL EHULNXW GDQ 6HOLGLNLODKODK DSDNDK ABCD merupakan SHUVHJLSDQMDQJ"-HODVNDQMDZDEDQNDPX c. Diketahui koordinat titik A, B, C dan D EHUWXUXWWXUXWVHEDJDLEHULNXW D1, a2 E1, b2 F1, c2 GDQ G1, d2 7XOLVNDQODQJNDKODQJNDK\DQJKDUXVGLODNXNDQ XQWXNPHQJLGHQWL¿NDVLEDKZD ABCDPHUXSDNDQSHUVHJLSDQMDQJ 0LVDONDQ ABCD menyatakan segiempat yang terbentuk oleh garis lurus yang menghubungkan titik A ke B, B ke C, C ke D dan D ke A. Perhatikan permasalahan berikut: a. Diketahui koordinat titik A, B, C dan D EHUWXUXWWXUXWVHEDJDLEHULNXW GDQ 6HOLGLNLODKDSDNDKABCD merupakan belah ketupat? -HODVNDQMDZDEDQNDPX b. Diketahui koordinat titik A, B, C dan DEHUWXUXWWXUXWVHEDJDLEHULNXW GDQ 6HOLGLNLODKDSDNDKABCD merupakan belah ketupat? -HODVNDQMDZDEDQNDPX c, Diketahui koordinat titik A, B, C dan DEHUWXUXWWXUXWVHEDJDLEHULNXW D1, a2 E1, b2 F1, c2 GDQ G1, d2 7XOLVNDQODQJNDKODQJNDK\DQJKDUXVGLODNXNDQ XQWXNPHQJLGHQWL¿NDVLEDKZDABCD merupakan belah ketupat. 0LVDONDQ ABCD menyatakan segiempat yang terbentuk oleh garis lurus yang menghubungkan titik A ke B, B ke C, C ke D dan D ke A. Perhatikan permasalahan berikut: a. Diketahui koordinat titik A, B, C dan D EHUWXUXWWXUXWVHEDJDLEHULNXW GDQ 6HOLGLNLODKDSDNDKABCD merupakan layang-layang? -HODVNDQMDZDEDQNDPX b. Diketahui koordinat titik A, B, C dan D EHUWXUXWWXUXW VHEDJDL EHULNXW GDQ 6HOLGLNLODKDSDNDKABCD merupakan layangOD\DQJ"-HODVNDQMDZDEDQNDPX c. Diketahui koordinat titik A, B, C dan D EHUWXUXWWXUXWVHEDJDLEHULNXW D1, a2 E1, b2 F1, c2 GDQ G1, d2 7XOLVNDQODQJNDKODQJNDK\DQJKDUXVGLODNXNDQ XQWXNPHQJLGHQWL¿NDVLEDKZD$%&'PHUXSDNDQOD\DQJOD\DQJ 11. Dua titik sudut segitiga ABC adalah A GDQB 7XOLVNDQNHPXQJNLQDQ koordinat titik sudut ketiga sehingga luas segitiga ABC adalah 24 satuan luas.
48
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
12. Poligon ABCDEF merepresentasikan rute angkot. Setiap kotak merepresentasikan 9 km2 7HQWXNDQ MDUDN WHUSHQGHN GDODP NLORPHWHU GDUL VWDVLXQ B ke stasiun D menggunakan rute angkot. Jelaskan alasanmu. 7 A
6
B
5 4 (
F
2
D
1 0 0
1
2
4
C 5
6
7
8
3DGDSHPHWDDQWRSRJUD¿NRWDWLWLNEDWDVNRWDDGDODKA B C D GDQE .RRUGLQDWGLXNXUGDODPNLORPHWHU%HUDSDOXDVNRWDLWX" 7LWLNEDWDVKDODPDQEHODNDQJUXPDKDGDODKW X Y dan Z NRRUGLQDW GLXNXU GDODP PHWHU *DULV XZ membagi halaman EHODNDQJ PHQMDGL GXD GDHUDK \DLWX GDHUDK UXPSXW GDQ NHEXQ /XDV GDHUDK rumput lebih besar daripada daerah kebun. Berapa perbandingan antara daerah rumput dan kebun? 7LWLNVXGXWSHUVHJLDGDODK D D GDQ 7LWLNVXGXWMDMDUDQJHQMDQJ DGDODK E E GDQ 1LODL _a| lebih besar daripada nilai |b|. Seegiempat yang mana yang memiliki luas yang lebih besar? Jelaskan alasanmu. 6HEXWNDQVHPXDWLWLNSDGDELGDQJNDUWHVLXV\DQJEHUMDUDNVDWXDQGDUL GDQ 'LNHWDKXLVXDWXEDULVDQNRRUGLQDW 7HQWXNDQ RUGLQDWVXNXNHGDULEDULVDQWHUVHEXWMLNDDEVLVQ\DDGDODK 6HNRODKPXEHUDGDSDGDNRRUGLQDW \DLWXWLJDEORNNHWLPXUGDQHPSDWEORN NHVHODWDQGDULSXVDWNRWD8QWXNSHUJLGDULUXPDKPXNHVHNRODKNDPXEHUMDODQ EORNNHEDUDWGDQEORNNHXWDUD
MATEMATIKA
49
D 7HQWXNDQNRRUGLQDWVHNRODKPX
E 'DSDWNDK NDPX PHQHQWXNDQ UXWH SHUMDODQDQ XQWXN SHUJL GDUL UXPDK NH VHNRODK\DQJPHOHZDWLSXVDWNRWDGHQJDQMDUDNWHPSXK\DQJVDPDGHQJDQ MDUDNWHPSXKNHWLNDNDPXSHUJLGDULUXPDKNHVHNRODKWDQSDPHOHZDWLSXVDW kota? Jika kamu bisa tentukan rutenya.
F .DPXVHNDUDQJEHUDGDGLSXVDWNRWDGDQNDPXPHQJDPELOMDOXUWHUSHQGHN untuk pulang. Berapa perbandingan blok yang kamu tempuh ketika kamu berangkat pulang dari pusat kota dan berangkat pulang dari sekolah?
19. Adi ingin pergi ke kota A \DQJWHUOHWDNSDGDNRRUGLQDW GDQGDULNRWDA dia pergi ke kota B\DQJWHUOHWDNSDGDNRRUGLQDW -LNDVHNDUDQJ$GLEHUDGDSDGD NRRUGLQDW GDQGLDSHUJLNHNRWD$GHQJDQNHFHSDWDQVDWXDQSHUMDPVHGDQJNDQ NHNRWD%GHQJDQNHFHSDWDQVDWXDQSHUMDP7HQWXNDQEHUDSDODPDZDNWX\DQJ dibutuhkan Adi untuk sampai ke kota B GDULSRVLVLQ\DVHNDUDQJ"7HQWXNDQEHUDSD lama waktu yang dibutuhkan Adi untuk kembali ke tempat posisinya sekarang dari kota B MLNDNHFHSDWDQNHQGDUDDQQ\DDGDODKVDWXDQSHUMDP 7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQNHXQWXQJDQSHUXVDKDDQGDULKLQJJD 7
Tahun sejak 2000, x Keuntungan (juta rupiah), y
0.7
D 7DPSLONDQGDWDGDODPJUD¿N
E %XDWWLJDSHQJDPDWDQDWDVJUD¿N
8
9
-0.1 -1.1
10
11
12
0.9
1.1
-0.5
c. Berapa total keuntungan dari 2006 hingga 2012?
50
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Bab IX
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Kata Kunci x x x x x
Model Persamaan linear dua variabel 0HWRGHJUD¿N Subsitusi Eliminasi
K ompetensi D asar 1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agaman yang dianutnya. 2.1 Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik dan kreatif, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah sehari-hari, yang merupakan pencerminan sikap positif dalam bermatematika. 3.14 Memilih strategi dan aturan-aturan yang sesuai untuk memecahkan masalah. 4.1 Menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitan dengan persamaan linear dan sistem persamaan linear. 4.8 Membuat dan menyelesaikan model matematika dari berbagai permasalahan nyata.
Pengalaman Belajar
Sumber: Dokumen Kemdikbud Ocha membelikan Ezra 3 kg mangga dan 4 kg apel dengan harga Rp98.000,00. Ia membeli lagi untuk keluarganya 2 kg mangga dan 2 kg apel yang sama di warung buah yang sama dan membayar lagi Rp52.000,00. Di jalan kemudian bertemu Al temannya dan ditanya “Berapa harga per kg mangga dan apel itu, Cha?” tetapi Ocha membelinya tanpa menanyakan harganya per kg terlebih dahulu. Kira-kira bagaimana menjawab pertanyaan Al tersebut tanpa kembali ke warung buah tadi dan tanya ke pedagangnya? Nah, masalah semacam contoh di atas dapat diselesaikan dengan memodelkan masalah dalam sistem persamaan linear dua variabel. Masih banyak lagi permasalahan yang bisa diselesaikan dengan memodelkan masalah dalam sistem persamaan linear dua variabel dan menyelesaikannya. Konsep ini akan kita pelajari kembali di Bab 9 ini.
1. 2.
Memodelkan suatu masalah nyata dalam persamaan linear dua variabel. Menyelesaikan masalah yang dapat dimodelkan dalam sistem persamaan linear dua variabel GHQJDQJUD¿N 0HQJLQWUHSUHWDVLNDQ JUD¿N GDUL VLVWHP SHUVDPDDQ OLQHDU GXD YDULDEHO XQWXN PHQJHWDKXL sistem tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. 4. Menyelesaikan masalah yang dapat dimodelkan dalam sistem persamaan linear dua variabel dengan subsitusi. 5. Menyelesaikan masalah yang dapat dimodelkan dalam sistem persamaan linear dua variabel dengan eliminasi.
MATEMATIKA
51
Peta Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Membuat Model Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Mencari Penyelesaian SPLDV
0HWRGH*UD¿N
52
Metode Substitusi
,QWUHSUHWDVL*UD¿N 'XD*UD¿N%HUSRWRQJDQ 'XD*UD¿N%HUKLPSLW 'XD*UD¿N6HMDMDU
Metode Eliminasi
Diophantus dan Persamaan Linear Dua Variabel
Sumber: www.edulens.org
Persamaan linear dua variabel berkaitan erat dengan persamaan diophantine. Persamaan ini SHUWDPD NDOL GLSHODMDUL ROHK VHVHRUDQJ \DQJ bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Selain Al-Khawarizmi, 'LRSKDQWXVMXJDGLNHQDOGHQJDQMXOXNDQ³EDSDN $OMDEDU´ PHUXSDNDQ VHRUDQJ PDWHPDWLNDZDQ
Semasa hidup Diophantus terkenal karena NDU\DQ\D \DQJ EHUMXGXO Arithmetica. Aritmatika adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan \DQJ EHULVL WHQWDQJ SHQJHPEDQJDQ DOMDEDU \DQJ dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai Diophantine Equation 3HUVDPDDQ'LRSKDQWLQH Diophantus
Persamaan Diophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak KDUXVEHUEHQWXNSHUVDPDDQOLQHDUELVDVDMDNXDGUDWNXELNDWDXODLQQ\DVHODPD mempunyai solusi bilangan bulat. Bentuk paling sederhananya diberikan oleh ax + by = c a, bNRH¿VLHQGDQc konstanta bulat yang diberikan. Penyelesaian persamaan 'LRSKDQWLQH DGDODK VHPXD SDVDQJDQ ELODQJDQ EXODW x, y \DQJ PHPHQXKL persamaan ini. Jika d adalah FPB dari a dan b, maka agar persamaan di atas mempunyai solusi maka d harus dapat membagi c7HUNDGDQJGDODPPHQHQWXNDQ pasangan bilangan bulat yang memenuhi persamaan, kita harus mencoba-coba dan pandai menentukan pola dari penyelesaiannya. Sumber: www.edulens.org
Hikmah yang bisa diambil 1. 0HQ\HOHVDLNDQ PDVDODK WLGDNODK VHPXGDK PHQ\HOHVDLNDQ SHUNDOLDQ dengan mencongak. Kita harus menentukan strategi yang tepat untuk menyelesaikannya. 2. 7HUNDGDQJ NLWD GLKDGDSNDQ GHQJDQ PDVDODK \DQJ SHQ\HOHVDLDQQ\D WLGDN WXQJJDO 2OHK NDUHQD LWX JDOL LQIRUPDVL OHELK GDODP XQWXN PHQGDSDWNDQ penyelesaian lainnya.
53
A. Memodelkan Masalah dalam Persamaan Linear Dua Variabel Pertanyaan Penting Bagaimana kamu dapat memodelkan suatu masalah ke dalam Persamaan Linear Dua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mempunyai penyelesaian tunggal, tak terhingga atau tidak punya penyelesaian. Untuk itu, coba lakukan kegiatan-kegiatan berikut ini bersama temanmu. Kegiatan 9.1
Membuat model PLDV atau SPLDV: Tinggi Lilin
Coba pikirkan masalah di bawah ini! 'L VXDWX GDHUDK MDULQJDQ OLVWULN PDWL KLQJJD beberapa hari karena bencana alam, sehingga untuk penerangan mayoritas warga menggunakan lilin. 0LVDONDQ DGD GXD MHQLV OLOLQ \DLWX OLOLQ SHUWDPD tingginya 25 cm meleleh rata-rata setinggi 1,5 cm SHU MDP GDQ OLOLQ NHGXD WLQJJLQ\D FP PHOHOHK UDWDUDWD VHWLQJJL FP SHU MDP -LND GLQ\DODNDQ VHWLDSOLOLQDNDQKDELVVHWHODKPHQ\DODEHUDSDMDP" Jika dinyalakan bersama-sama, kapan kedua lilin tersebut sama tinggi? Berapa tingginya?
Sumber: Dokumen Kemdikbud
Buatlah persamaan linear dua variabel untuk menyatakan masalah ini! Alternatif Penyelesaian: 0LVDONDQ lama waktu lilin menyala adalah x MDP tinggi lilin pertama setelah menyala selama xMDPDGDODKy1 cm. tinggi lilin kedua setelah menyala selama xMDPDGDODKy2 cm.
54
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Persamaan linear untuk menyatakan tinggi lilin pertama setelah menyala selama x MDP y1 = 25 – ... 7DKXNDKNDPXPHQJDSDGHPLNLDQ"'LVNXVLNDQEHUVDPDWHPDQPX Persamaan linear untuk menyatakan tinggi lilin kedua setelah menyala selama xMDP y2 ± 7DKXNDKNDPXPHQJDSDGHPLNLDQ"'LVNXVLNDQEHUVDPDWHPDQPX Penyelesaian masalah ini akan dibahas pada Subbab berikutnya. Ayo Kita Mencoba 6HEHOXP PHPSHODMDUL 6XE %DE % FRED NDPX SLNLUNDQ DOWHUQDWLI SHQ\HOHVDLDQ masalah di atas dengan caramu sendiri. Kegiatan 9.2
Membuat model PLDV atau SPLDV: Bisnis Rumah Kost
Coba pikirkan masalah di bawah ini! Bu Parti membuka bisnis rumah kost. Biaya untuk mendirikan 5 kamar kos yang EX3DUWLNHOXDUNDQVHEHVDU5S%LD\DSHPED\DUDQOLVWULNGDQDLU3'$0 SHU EXODQ XQWXN SHQJKXQL NRVW WLDS NDPDU EHULVL RUDQJ GLSHUNLUDNDQ VHEHVDU 5S%X3DUWLPHQHQWXNDQWDULINRVWWLDSNDPDUVHEHVDU5SSHU EXODQ 6HDQGDLQ\D NDPDU NRVW VHODOX ODNX WLGDN DGD NDPDU NRVRQJ EHUDSD ODPD ZDNWX\DQJGLSHUOXNDQEX3DUWLXQWXNEDOLNPRGDO break even point "%XDWODKVLVWHP persamaan linear dua variabel untuk masalah ini! Alternatif Penyelesaian: 0LVDONDQ lama waktu yang diperlukan adalah x bulan, biaya yang dikeluarkan oleh Bu Parti selama x bulan adalah B, dan pendapatan yang diterima Bu Parti selama x bulan adalah P. Persamaan linear untuk menyatakan biaya yang dikeluarkan selama x bulan: B 7DKXNDKNDPXPHQJDSDGHPLNLDQ"'LVNXVLNDQEHUVDPDWHPDQPX Persamaan linear untuk menyatakan pendapatan yang diterima selama x bulan: P = ... 0HQJDSDGHPLNLDQ"'LVNXVLNDQEHUVDPDWHPDQPX Penyelesaian masalah ini akan dibahas pada Subbab berikutnya. MATEMATIKA
55
Ayo Kita Mencoba 6HEHOXP PHPSHODMDUL 6XE %DE % FRED NDPX SLNLUNDQ DOWHUQDWLI SHQ\HOHVDLDQ masalah di atas dengan caramu sendiri. Kegiatan 9.3
Membuat model PLDV atau SPLDV: Harga Mangga dan Apel
Coba pikirkan masalah di bawah ini! 2FKDPHPEHOLNDQ(]UDNJPDQJJDGDQNJDSHOGHQJDQKDUJD5S Ia membeli lagi untuk keluarganya 2 kg mangga dan 2 kg apel yang sama di warung EXDK\DQJVDPDGDQPHPED\DUODJL5S'LMDODQNHPXGLDQLDEHUWHPX$O WHPDQQ\DGDQGLWDQ\D³%HUDSDKDUJDSHUNJPDQJJDGDQDSHOLWX&KD"´WHWDSL2FKD tidak tahu karena ia membeli tanpa menanyakan harganya per kg terlebih dahulu. .LUDNLUD EDJDLPDQD PHQMDZDE SHUWDQ\DDQ $O WHUVHEXW WDQSD NHPEDOL NH ZDUXQJ EXDKWDGLGDQWDQ\DNHSHGDJDQJQ\D"%DJDLPDQDPRGHO63/'9XQWXNPDVDODKLQL" Untuk menyelesaikan masalah di atas pertama perlu dibuat modelnya dalam VXDWX VLVWHP SHUVDPDDQ OLQHDU GXD YDULDEHO 63/'9 3HUPDVDODKDQ GL DWDV GDSDW diilustrasikan dalam tabel di bawah ini: Mangga
Apel
Harga
5S
NJ
4kg
5S 2kg
2kg
5S
5S 1kg
56
Kelas IX SMP/MTs
5S"
1kg
Semester 2
Alternatif Penyelesaian: Harga 1 kg mangga belum diketahui, maka dapat kita misalkan: harga 1 kg mangga = x rupiah. +DUJDNJDSHOMXJDEHOXPGLNHWDKXLPDNDGDSDWNLWDPLVDONDQ harga 1 kg apel = y rupiah. KDUJDNJPDQJJDKDUJDNJDSHO 5S ĺxy = 98.000 KDUJDNJPDQJJDKDUJDNJDSHO 5Sĺxy = 52.000 7DKXNDKNDPXPHQJDSDGHPLNLDQ"'LVNXVLNDQEHUVDPDWHPDQPX Penyelesaian masalah ini akan dibahas pada Subbab berikutnya. Ayo Kita Mencoba 6HEHOXP PHPSHODMDUL 6XE %DE % FRED NDPX SLNLUNDQ DOWHUQDWLI SHQ\HOHVDLDQ masalah di atas dengan caramu sendiri. Kegiatan 9.4
Membuat model PLDV atau SPLDV: Tinggi Badan Si Kembar
Coba pikirkan masalah di bawah ini!
Sumber: Dokumen Kemdikbud
x cm
MATEMATIKA
57
tinggi balok adalah y cm y cm /LKDW JDPEDU VHEHODK NLUL
h ± L
/LKDW JDPEDU VHEHODK NLUL
h ± LL
Penyelesaian masalah ini akan dibahas pada Sub Bab 9.B. Ayo Kita Mencoba 6HEHOXP PHPSHODMDUL 6XE %DE % FRED NDPX SLNLUNDQ DOWHUQDWLI SHQ\HOHVDLDQ masalah di atas dengan caramu sendiri. Materi Esensi
Memodelkan Masalah dalam PLDV atau SPLDV
3HUVDPDDQ/LQHDUGXD9DULDDEHO 3/'9 DGDODKSHUVDPDDQ\DQJWHUGLULGDULGXD EHVDUDQ\DQJEHOXPGLNHWDKXL YDULDEHO GDQGHUDMDWWHUWLQJJLVXNXVXNXQ\DDGDODK VDWX OLQHDU .XPSXODQGDULGDXDWDXOHELK3HUVDPDDQ/LQHDUGXD9DULDEHO 3/'9 GLVHEXW6LVWHP3HUVDPDDQ/LQHDUGXD9DULDEHO 63/'9 6XDWX PDVDODK WHUWHQWX GDSDW GLVHOHVDLNDQ GHQJDQ 63/'9 GHQJDQ WHUOHELK GXOX PHPRGHONDQPDVDODKWHUVHEXWGDODP63/'9 /DQJNDKODQJNDKPHPRGHONDQVXDWXPDVDODKPHQMDGL3/'9DWDX63/'9 Langkah 1: %DFD GDQ SDKDPL PDVDODKQ\D GHQJDQ EDLN ,GHQWL¿NDVL GXD EHVDUDQ \DQJ EHOXP diketahui dan harus dicari. Langkah 2: Nyatakan dua besaran tersebut dengan variabel x dan y EROHKMXJDPHQJJXQDNDQ KXUXIVHODLQx dan y Langkah 3: Nyatakan besaran lainnya pada permasalahan yang diberikan dalam bentuk x dan y.
58
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Contoh: Perhatikan masalah di bawah ini 2FKD PHPEHOLNDQ (]UD NJ PDQJJD GDQ NJ DSHO GHQJDQ KDUJD 5S ,D membeli lagi untuk keluarganya 2 kg mangga dan 2 kg apel yang sama di warung buah \DQJVDPDGDQPHPED\DUODJL5S%HUDSDKDUJDPDQJJDGDQDSHOLWXSHUNJ" Langkah1:
%DFDGDQSDKDPLPDVDODKQ\DGHQJDQEDLN,GHQWL¿NDVLGXDEHVDUDQ\DQJEHOXP diketahui dan harus dicari. Besaran yang belum diketahui dan harus dicari adalah:
x
x
Harga mangga per kg Harga mangga per kg
Langkah 2:
1\DWDNDQGXDEHVDUDQWHUVHEXWGHQJDQYDULDEHO[GDQ\ EROHKMXJDPHQJJXQDNDQ KXUXIVHODLQx dan y
0LVDONDQ
x
x
Harga mangga per kg = x Harga mangga per kg = y
Langkah 3:
1\DWDNDQEHVDUDQODLQQ\D SHUPDVDODKDQ\DQJGLEHULNDQ GDODPEHQWXNx dan y.
“Ocha membelikan Ezra 3 kg mangga dan 4 kg apel dengan harga Rp98.000,00´ Kalimat pertama dari masalah di atas dapat dinyatakan dengan model matematika GDODPKDOLQLSHUVDPDDQOLQHDUGXDYDULDEHO VHEDJDLEHULNXW
x y L
“Ia membeli lagi untuk keluarganya 2 kg mangga dan 2 kg apel yang sama di warung buah yang sama dan membayar lagi Rp52.000,00´ Kalimat pertama dari masalah di atas dapat dinyatakan dengan model matematika GDODPKDOLQLSHUVDPDDQOLQHDUGXDYDULDEHO VHEDJDLEHULNXW 2x y LL 63/'9XQWXNPDVDODKGLDWDVDGDODKVHEDJDLEHULNXW
xy = 98.000 2x y = 52.000
}
63/'9
3HUPDVDODKDQ GL DWDV GDSDW GLVHOHVDLNDQ GHQJDQ PHQFDUL SHUQ\HOHVDLDQ 63/'9 tersebut. MATEMATIKA
59
Tebak Angka (1)
Contoh 9.1
'XDDQJNDMXPODKQ\D 6HOLVLKNHGXDDQJNDLWXDGDODK %HUDSDNDKDQJND angka tersebut? 1\DWDNDQNRQGLVLWHUVHEXWGDODP6LVWHP3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO 63/'9 terlebih dulu! Alternatif Penyelesaian: Langkah 1:
%DFDGDQSDKDPLPDVDODKQ\DGHQJDQEDLN,GHQWL¿NDVLGXDEHVDUDQ\DQJEHOXP diketahui dan harus dicari. Besaran yang belum diketahui dan harus dicari adalah: x x
Angka pertama dan Angka kedua
Langkah 2: Nyatakan dua besaran tersebut dengan variabel x dan y EROHKMXJDPHQJJXQDNDQ KXUXIVHODLQx dan y
0LVDONDQ
x $QJNDSHUWDPD \DQJOHELKEHVDU DGDODKx x Angka kedua adalah y
Langkah 3:
1\DWDNDQEHVDUDQODLQQ\D SHUPDVDODKDQ\DQJGLEHULNDQ GDODPEHQWXNx dan y.
'XDEXDKELODQJDQMXPODKQ\D ĺ 6HOLVLKQ\DDGDODK ĺ
xy = 197 x – y = 109
-DGLPDVDODKGLDWDVGDSDWGLQ\DWDNDQGHQJDQ6LVWHP3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO 63/'9 \DQJWHUGLULGDULSHUVDPDDQ L GDQ LL x y = 197 x – y = 109
}
63/'9
/HELKODQMXWSHQ\HOHVDLDQPDVDODKLQLDNDQGLEDKDVSDGD6XE%DE % Ayo Kita Mencoba 6HEHOXP PHPSHODMDUL 6XE %DE % FRED NDPX SLNLUNDQ DOWHUQDWLI SHQ\HOHVDLDQ masalah di atas dengan caramu sendiri. 60
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Tebak Angka (2)
Contoh 9.2
-XPODKGXDDQJND GLJLW GDULVXDWXELODQJDQSXOXKDQDGDODK %LODQJDQLWXGLNDOLNDQ VDPD GHQJDQ GXD NDOL ELODQJDQ LWX MLND ELODQJDQ GXD DQJND GLJLW LWX GLWXNDU urutannya. Berapakah bilangan tersebut? Nyatakan masalah tersebut dalam Sistem 3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO 63/'9 Alternatif Penyelesaian: Langkah 1: Besaran yang belum diketahui dan harus dicari adalah: suatu angka puluhan x
x
angka pertama angka kedua
Langkah 2: 0LVDONDQ GLJLWSHUWDPD DQJNDSXOXKDQ DGDODKy GLJLWNHGXD DQJNDVDWXDQ DGDODKx Langkah 3: Bilangan puluhan itu adalah y
x
ELODQJDQLWXDGDODKĺ
y x
“jumlah dua digit bilangan itu adalah 9´ĺ y x L y
x
-LNDGLWXNDUXUXWDQQ\DPHQMDGLĺ
x
y
“Angka itu dikali 9´GDSDWGLWXOLVGHQJDQĺ yx “Dua kali angka itu jika bilangan dua digit itu ditukar urutannya´ GDSDWGLWXOLVGHQJDQĺ xy sehingga, “Angka itu dikalikan 9 sama dengan dua kali bilangan itu jika bilangan dua digit itu ditukar urutannya´GDSDWGLWXOLVGHQJDQĺ y x x y 90y x = 20x y 90y íy x íx = 0 88y íx LL MATEMATIKA
61
-DGLPDVDODKGLDWDVGDSDWGLQ\DWDNDQGHQJDQ6LVWHP3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO 63/'9 \DQJWHUGLULGDULSHUVDPDDQ L GDQ LL yx = 9 88y – 11x = 0
}
63/'9
/HELKODQMXWSHQ\HOHVDLDQPDVDODKLQLDNDQGLEDKDVSDGD6XE%DE % Ayo Kita Mencoba 6HEHOXP PHPSHODMDUL 6XE %DE % FRED NDPX SLNLUNDQ DOWHUQDWLI SHQ\HOHVDLDQ masalah di atas dengan caramu sendiri. Contoh 9.3
Usia Ayah dan Anaknya
6HSXOXKWDKXQ\DQJODOXXVLDD\DK,NDDGDODKHPSDWNDOLXVLD,ND(QDPWDKXQ\DQJ akan datang usia ayah Ika adalah dua kali usia Ika. Berapa usia Ika dan ayahnya sekarang? Nyatakan permasalahan tersebut dalam Sistem Persamaan Linear Dua 9DULDEHO 63/'9 WHUOHELKGXOX Alternatif Penyelesaian: Langkah 1: Besaran yang belum diketahui dan harus dicari adalah: x
x
usia ayah Ika sekarang usia Ika sekarang
Langkah 2: 0LVDONDQ Usia ayah Ika sekarang adalah x Usia Ika sekarang adalah y Langkah 3: usia ayah Ika sepuluh tahun lalu adalah xí usia Ika sepuluh tahun lalu adalah y í “Sepuluh tahun yang lalu usia ayah Ika adalah empat kali usia Ika´GDSDWGLQ\DWDNDQ dengan: xí yí xí y í
62
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
xíy ± xíy ± L usia ayah Ika enam tahun yang akan datang adalah x usia Ika enam tahun yang akan datang adalah y “Enam tahun yang akan datang usia ayah Ika adalah dua kali usia Ika´ GDSDW dinyatakan dengan: x y x y xíy í xíy LL -DGLPDVDODKGLDWDVGDSDWGLQ\DWDNDQGHQJDQ6LVWHP3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO 63/'9 \DQJWHUGLULGDULSHUVDPDDQ L GDQ LL x – 4y ± x – 2y = 6
}
63/'9
/HELKODQMXWSHQ\HOHVDLDQPDVDODKLQLDNDQGLEDKDVSDGD6XE%DE % Ayo Kita Mencoba 6HEHOXP PHPSHODMDUL 6XE %DE % FRED NDPX SLNLUNDQ DOWHUQDWLI SHQ\HOHVDLDQ masalah di atas dengan caramu sendiri. Latihan 9.1
Memodelkan Masalah dalam PLDV atau SPLDV
Nyatakan permasalahan berikut ini dalam Persamaan Linear Dua Variabel atau Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. 1. Jumlah dua bilangan cacah adalah 1100, sedangkan selisih kedua bilangan itu adalah 722. Berapakah bilangan itu masing-masing? 2. Harga 4 ekor ayam dan 5 ekor bebek adalah 5SVHGDQJNDQKDUJDHNRUEHEHNGDQ HNRU D\DP DGDODK 5S %HUDSD KDUJD seekor bebek?
Sumber: Dokumen Kemdikbud
MATEMATIKA
63
3DXO PHQWUDNWLU WHPDQQ\D XQWXN PLQXP NRSL GDQ makan kue di suatu tempat karena. Ia membeli 5 cangkir kopi dan 4 porsi kue dengan harga 5S'LNHVHPSDWDQ\DQJODLQLDPHPEHOL lagi 2 cangkir kopi dan 2 porsi kue yang sama GHQJDQKDUJD5S %HUDSDKDUJDVHFDQJNLU Sumber: Dokumen Kemdikbud kopi? 4. Memberi Sumbangan )DKLQGDQ+D¿G]LQJLQPHQ\XPEDQJNRUEDQEDQMLU dengan uang tabungannya. Jumlah uang Fahim GDQXDQJ+D¿G]\DQJPDXGLVXPEDQJNDQDGDODK 5S -LND XDQJ )DKLP 5S OHELK VHGLNLW GDUL XDQJ +D¿G] %HUDSDNDK XDQJ Fahim? Sumber: Dokumen Kemdikbud 5. Luas Persegipanjang /XDV VXDWX SHUVHJLSDQMDQJ DNDQ EHUNXUDQJ VHEHVDU FP2 MLND SDQMDQJQ\D GLNXUDQJLFPGDQOHEDUQ\DGLWDPEDKFP-LNDSDQMDQJQ\DGLWDPEDKFP dan lebarnya dikurangi 5 cm, luasnya bertambah sebesar 50 cm2. Berapa ukuran SHUVHJLSDQMDQJLWXPXODPXOD" 6. Bunga
5DQLGDQ6DULPHPEHOLEXQJDXQWXNKDGLDK DGLNDGLN NHODVQ\D \DQJ GLZLVXGD 5DQL membeli 4 tangkai mawar dan 6 tangkai tulip GHQJDQKDUJD5S6DULPHPEHOL tangkai mawar dan 2 tangkai tulip yang sama GL WRNR EXQJD \DQJ VDPD 5S Berapa harga setangkai tulip?
Sumber: Dokumen Kemdikbud
7. Perbandiangan Usia Perbandingan usia Neni dan Wati empat tahun lalu adalah 5 : 7. Perbandingan usia Neni dan Watia delapan tahun yang akan datang adalah 4 : 5. Berapa usia mereka masing-masing saat ini? 8. Berpikir Kritis 6XDWX SHNHUMDDQ GDSDW PHQ\HOHVDLNDQ ROHK RUDQJ ODNLODNL GDQ RUDQJ SHUHPSXDQGDODPZDNWXKDUL6HGDQJNDQMLNDGLNHUMDNDQROHKRUDQJODNL ODNLGDQRUDQJSHUHPSXDQSHNHUMDDQLWXVHOHVDLGDODPZDNWXKDUL%HUDSD ZDNWX\DQJGLSHUOXNDQXQWXNPHQ\HOHVDLNDQSHNHUMDDQLWXMLNDGLNHUMDNDQROHK
D VHRUDQJODNLODNLVDMD"
E 6HRUDQJSHUHPSXDQVDMD"
64
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
9. Berpikir Kritis ,QD PHPSXQ\DL WRNR VHSDWX 8QWXN MHQLV VHSDWX WHUWHQWX MLND ,QD PHQMXDO SDVDQJ VHSDWX OHELK EDQ\DN LD PHPSHUROHK MXPODK XDQJ \DQJ VDPD+DUJD MXDO VHWLDS SDVDQJ VHSDWX DGDODK 5SOHELKPXUDKGDULKDUJDMXDOQRUPDOQ\D -LND,QDPHQMXDOVHSDWXSDVDQJOHELKVHGLNLWLDMXJD PHPSHUROHK MXPODK XDQJ \DQJ VDPD KDUJD MXDO VHWLDSSDVDQJVHSDWX5SOHELKPDKDOGDUL KDUJDMXDOQRUPDOQ\D
Sumber: Dokumen Kemdikbud
D %HUDSDSDVDQJVHSDWX\DQJGLMXDO,QDXQWXNMHQLVWHUVHEXW"
E %HUDSDKDUJDMXDOQRUPDOVHSDVDQJVHSDWXLWX"
10. Berpikir Kritis /DOD GDQ /LOL EHUVHSDNDW XQWXN PHPDQMDQJNDQ rambutnya hingga beberapa tahun mendatang. 7DEHO GL EDZDK LQL PHQXQMXNNDQ SDQMDQJ UDPEXW mereka pada bulan yang berbeda: Panjang Rambut (cm) Bulan ke-
Lala
Lili
16
28
8
26
Sumber: www.3.bp.blogspot.com
6XDWX VDDW DSDNDK SDQMDQJ UDPEXW PHUHND DNDQ ELVD VDPD SDQMDQJ" -LND L\D SDGDEXODQNHEHUDSDKDOLWXWHUMDGL"%HUDSDSDQMDQJUDPEXWPHUHNDNHWLNDVDPD SDQMDQJ"
B. Menyelesaikan Model SPLDV dari suatu Permasalahan Pertanyaan Penting %DJDLPDQD NDPX PHQ\HOHVDLNDQ PRGHO 3HUVDPDDQ /LQHDU 'XD 9DULDEHO 3/'9 DWDX6LVWHP3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO 63/'9 GDULVXDWXSHUPDVDODKQQ\DWD" Untuk itu coba lakukan kegiatan-kegiatan berikut ini bersama temanmu.
MATEMATIKA
65
0HQ\HOHVDLNDQ63/'9GHQJDQ*UD¿N 7LQJJL
Kegiatan 9.5
Coba pikirkan masalah di bawah ini! 'L VXDWX GDHUDK MDULQJDQ OLVWULN PDWL KLQJJD beberapa hari karena bencana alam, sehingga untuk penerangan mayoritas warga menggunakan lilin. 0LVDONDQ DGD GXD MHQLV OLOLQ \DLWX OLOLQ SHUWDPD tingginya 25 cm meleleh rata-rata setinggi 1,5 cm SHUMDPGDQOLOLQNHGXDWLQJJLQ\DFPPHOHOHKUDWD UDWDVHWLQJJLFPSHUMDP-LNDGLQ\DODNDQPDVLQJ PDVLQJOLOLQDNDQKDELVVHWHODKPHQ\DODEHUDSDMDP" Sumber: Dokumen Kemdikbud Jika dinyalakan bersama-sama, kapan kedua lilin tersebut sama tinggi? Berapa WLQJJLQ\D"6HOHVDLNDQPRGHO63/'9\DQJVXGDKNDPXEXDWGL.HJLDWDQ6XE%DE 9.A. Alternatif Penyelesaian: 0LVDONDQ lama waktu lilin menyala adalah xMDP tinggi lilin pertama setelah menyala selama x MDPDGDODKy1 tinggi lilin kedua setelah menyala selama xMDPDGDODKy2 3DGD.HJLDWDQ 6XE%DE $NDPXVXGDKPHQ\XVXQ63/'9XQWXNPHQ\DWDNDQ WLQJJLOLOLQSHUWDPDGDQOLOLQNHGXDVHWHODKPHQ\DODVHODPD[MDP\DLWX y1
L
y2
LL
*DPEDUODK JUD¿N GDUL SHUVDPDDQ OLQHDU L GDQ LL SDGD NHUWDV EHUSHWDN GHQJDQ terlebih dulu mengisi tabel di bawah ini: 8QWXNJUD¿NSHUVDPDDQ L \DLWX y1 = ... x
0
...
y1
...
0
7LQJJLOLOLQ FP Y 40
8QWXNJUD¿NSHUVDPDDQ LL \DLWX
20
y2 = ...
66
x
0
...
y2
...
0
Kelas IX SMP/MTs
10
10
20
40
X :DNWX MDP
Semester 2
%HUGDVDUNDQJUD¿N\DQJNDPXEXDWGLNHWDKXLEDKZD 7LWLNSRWRQJJUD¿Ny1 pada sumbu X adalah x = .... $UWLQ\DOLOLQSHUWDPDDNDQKDELVVHWHODKPHQ\DODVHODPDMDP 7LWLNSRWRQJJUD¿Ny2 pada sumbu X adalah x = ... $UWLQ\DOLOLQNHGXDDNDQKDELVVHWHODKPHQ\DODVHODPDMDP 3HQ\HOHVDLDQ63/'9WHUVHEXWDGDODKWLWLNSHUSRWRQJDQDQWDUDNHGXDJUD¿NWHUVHEXW \DLWX Artinya lilin pertama dan kedua akan sama tinggi setelah menyala bersama-sama VHODPDMDP\DLWXGHQJDQWLQJJLOLOLQFP Ayo Kita Menalar $SDNDKVHWLDS63/'9PHPSXQ\DLSHQ\HOHVDLDQ" %HUDSDEDQ\DNSHQ\HOHVLDQ\DQJPXQJNLQGDULVXDWX63/'9" 'DSDWNDKKDOLWXGLOLKDWGDULJUD¿NSHQ\HOHVDLDQQ\D" 'DSDWNDKGLOLKDWGDULNRH¿VLHQNRH¿HQYDULDEHOGDQNRQVWDQWDGDULNHGXDSHUVDPDDQ GDODP63/'9\DQJGLEHULNDQ" Coba kamu selidiki bersama kelompokmu. 6LODNDQPHQFDULLQIRUPDVLPHQJHQDLKDOLQLGDULVXPEHU\DQJODLQ Kegiatan 9.6
Menyelesaikan SPLDV: Bisnis Rumah Kost
Coba pikirkan masalah di bawah ini! Bu Parti membuka bisnis rumah kost. Biaya untuk mendirikan 5 kamar kos yang EX 3DUWL NHOXDUNDQ VHEHVDU 5S %LD\D SHPED\DUDQ OLVWULN GDQ DLU 3'$0SHUEXODQXQWXNSHQJKXQLNRVW WLDSNDPDUEHULVLRUDQJ GLSHUNLUDNDQ VHEHVDU 5S %X 3DUWL PHQHQWXNDQ WDULI NRVW WLDS NDPDU VHEHVDU 5S SHU EXODQ 6HDQGDLQ\D NDPDU NRVW VHODOX ODNX WLGDN DGD NDPDU NRVRQJ EHUDSDODPDZDNWX\DQJGLSHUOXNDQEX3DUWLXQWXNEDOLNPRGDO EUHDN HYHQSRLQW " 6HOHVDLNDQPRGHO63/'9\DQJVXGDKNDPXEXDWGL.HJLDWDQ6XE %DE $ Alternatif Penyelesaian: 0LVDONDQ lama waktu yang diperlukan adalah x bulan,
MATEMATIKA
67
biaya yang dikeluarkan oleh bu Parti selama x bulan adalah B rupiah, dan pendapatan yang diterima bu Parti selama x bulan adalah P rupiah. 3DGD .HJLDWDQ 6XE %DE $ NDPX VXGDK PHQ\XVXQ 3/'9 XQWXN PHQ\DWDNDQ biaya yang dikeluarkan oleh bu Parti dan pendapatan yang diterima bu Parti selama x bulan, yaitu y1 = B
L
y2 = P
LL
*DPEDUODK JUD¿N GDUL SHUVDPDDQ OLQHDU L GDQ LL SDGD NHUWDV EHUSHWDN GHQJDQ terlebih dulu mengisi tabel di bawah ini: 8QWXNJUD¿NSHUVDPDDQ L \DLWX\1 = ... x
0
...
y1
...
0
8QWXNJUD¿NSHUVDPDDQ LL \DLWX\2 = ... x
0
y2
... %HUGDVDUNDQJUD¿N\DQJNDPXEXDWGLSHUROHKEDKZD 3HQ\HOHVDLDQ63/'9WHUVHEXWDGDODKWLWLNSHUSRWRQJDQ DQWDUDNHGXDJUD¿NWHUVHEXW\DLWX Artinya biaya dan pendapatan yang diterima bu Parti VDPDEHVDU EUHDNHYHQSRLQ SDGDEXODQNH
Coba selesaikan masalah tersebut dengan metode substitusi. Apakah lebih mudah? Kegiatan 9.7
Menyelesaikan SPLDV: Harga mangga dan apel
Coba pikirkan masalah di bawah ini! 2FKDPHPEHOLNDQ(]UDNJPDQJJDGDQNJDSHOGHQJDQKDUJD5S ,D membeli lagi untuk keluarganya 2 kg mangga dan 2 kg apel yang sama di warung EXDK\DQJVDPDGDQPHPED\DUODJL5S'LMDODQNHPXGLDQLDEHUWHPX$O WHPDQQ\DGDQGLWDQ\D³%HUDSDKDUJDSHUNJPDQJJDGDQDSHOLWX&KD"´WHWDSL2FKD 68
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
tidak tahu karena ia membeli tanpa menanyakan harganya per kg terlebih dahulu. .LUDNLUD EDJDLPDQD PHQMDZDE SHUWDQ\DDQ $O WHUVHEXW WDQSD NHPEDOL NH ZDUXQJ EXDKWDGLGDQWDQ\DNHSHGDJDQJQ\D"%DJDLPDQDPRGHO63/'9XQWXNPDVDODKLQL" Untuk menyelesaikan masalah di atas pertama perlu dibuat modelnya dalam VXDWX VLVWHP SHUVDPDDQ OLQHDU GXD YDULDEHO 63/'9 3HUPDVDODKDQ GL DWDV GDSDW diilustrasikan dalam tabel di bawah ini: Mangga
Apel
Harga
5S
NJ
4kg
5S 2kg
2kg
1kg
5S
5S
5S 1kg
Alternatif Penyelesaian: Harga 1 kg mangga belum diketahui, maka dapat kita misalkan: harga 1 kg mangga = x rupiah. +DUJDNJDSHOMXJDEHOXPGLNHWDKXLPDNDGDSDWNLWDPLVDONDQ harga 1 kg apel = y rupiah. 3DGD.HJLDWDQGL6XE%DE $NDPXVXGDKPHPEXDWPRGHO63/'9XQWXNPDVDODK ini sebagai berikut: KDUJDNJPDQJJDKDUJDNJDSHO 5S ĺxy L KDUJDNJPDQJJDKDUJDNJDSHO 5Sĺx y LL
MATEMATIKA
69
Langkah 1: Pilih salah satu persamaan dan nyatakan salah satu variabel dalam variabel lainnya yaitu x dalam bentuk y DWDXy dalam bentuk x 0LVDONDQSLOLKSHUVDPDDQ L ... x y = 98.000 ... x x
= 98.000 – ... y =
y ...
LLL
Langkah 2: 6XEVLWXVLNDQKDVLO/DQJNDK\DLWXSHUVDPDDQ LLL NHSHUVDPDDQ LL ... xy = 52.000
98.000 ... y ... y 52.000 ... Langkah 3: .. u
Sederhanakan persamaan yang diperoleh pada Langkah 2 dan dapatkan nilai y DWDX x GHQJDQSHUVDPDDQWHUVHEXW
98.000 ... y ... y 52.000 ... ... 98.000 y ... u y ... y 52.000 u 98.000 ...u ... y 52.000 u ...... ... ... ......yy ......
... u u
y ... Langkah 4: Substitusikan nilai y \DQJVXGDKGLSHUROHKSDGD/DQJNDKNHSHUVDPDDQ\DQJ diperoleh dari Langkah 1 dan selesaikan untuk mendapatkan nilai variabel x
98.000 ... y ... x = .... x=
Langkah 5: Periksa kembali nilai x dan y yang sudah diperoleh dengan menstubstitusikan nilai x dan yNHGDODPSHUVDPDDQVHPXOD\DLWXSHUVDPDDQ L GDQ LL x = ... dan y = ... ... x y ĺîî EHQDUVDODK" ... x y ĺîî EHQDUVDODK" 70
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Jika nilai x dan y PHPHQXKLSHUVDPDDQ L GDQ LL PDND x, y DGDODKSHQ\HOHVDLDQ 63/'9WHUVHEXW Ayo Kita Mencoba &REDVHOHVDLNDQPDVDODKGLDWDVGHQJDQPHWRGHJUD¿N Kegiatan 9.8
Membuat Model PLDV atau SPLDV: Tinggi Badan Si kembar
Coba pikirkan masalah di bawah ini!
0LVDONDQ
Sumber: Dokumen Kemdikbud
WLQJJL
tinggi balok adalah y cm y cm /LKDWJDPEDUVHEHODKNLUL
h ± L
/LKDW JDPEDU VHEHODK NLUL
h ± LL
MATEMATIKA
71
-XPODKNDQSHUVDPDDQ L GDQ LL h ±
h ± BBBBBBBBBBBBBBB 2h = ... h = ...
-DGLWLQJJL
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
%HQWXNXPXP63/'9 a1xb1y = c1
L
a2xb2y = c2
LL
/DQJNDKODQJNDKSHQ\HOHVDLDQ63/'9GHQJDQPHWRGHJUD¿N Langkah 1: Gambarlah bidang koordinat kartesius. Langkah 2: *DPEDUODK JUD¿N XQWXN SHUVDPDDQ L GDQ LL GHQJDQ WHUOHELK GXOX PHQJLVL WDEHO seperti di bawah ini
*UD¿N a1 x b1 y c1 x
0
c1 a1
y
c1 b1
0
'LSHUROHKWLWLNSRWRQJJUD¿N a1 x b1 y c1 SDGDVXPEX\\DLWX c1 b1 GDQ titik potong pada sumbu X\DLWX c1 a1 Plot kedua titik tersebut pada bidang koordinat dan hubungkan kedua titik itu VHKLQJJDWHUEHQWXNJDULVOXUXVXQWXNSHUVDPDDQ L
72
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
*UD¿N a2 x b2 y c2 x
0
c2 a2
y
c2 b2
0
'LSHUROHKWLWLNSRWRQJJUD¿N a2 x b2 y c2 SDGDVXPEX\\DLWX c2 b2 GDQ WLWLNSRWRQJSDGDVXPEX;\DLWX c2 a2 Plot kedua titik tersebut pada bidang koordinat dan hubungkan kedua titik itu VHKLQJJDWHUEHQWXNJDULVOXUXVXQWXNSHUVDPDDQ LL
Langkah 3: 3HUNLUDNDQWLWLNSRWRQJNHGXDJUD¿N\DQJGLKDVLONDQSDGD/DQJNDK7LWLNSRWRQJ WHUVHEXWDGDODKSHQ\HOHVDLDQ63/'9LWX Langkah 4: Periksa kembali nilai x dan y yang sudah diperoleh dengan menstubstitusikan nilai x dan yNHGDODPSHUVDPDDQVHPXOD\DLWXSHUVDPDDQ L GDQ LL Jika nilai x dan yPHPHQXKLSHUVDPDDQ L GDQ LL PDND x, y DGDODKSHQ\HOHVDLDQ 63/'9WHUVHEXW 3HQ\HOHVDLDQ VHFDUD JUD¿N WLGDN VHODOX PHQJKDVLONDQ SHQ\HOHVDLDQ \DQJ WHSDW WHUJDQWXQJSDGDNHWHSDWDQGDODPPHQJJDPEDUJUD¿NQ\D 7LGDN VHPXD 63/'9 PHPSXQ\DL SHQ\HOHVDLDQ WXQJJDO %DQ\DNQ\D SHQ\HOHVDLDQ 63/'9GDSDWGLOLKDWGDULJDPEDUJUD¿NQ\D3HUKDWLNDQFRQWRKGLEDZDKLQL 63/'9PHPSXQ\DLSHQ\HOHVDLDQWXQJJDO NHGXDJUD¿NEHUSRWRQJDQGLWLWLN Contoh:
Contoh: 2x y = 14 2x – y = 6
MATEMATIKA
73
63/'9PHPSXQ\DLSHQ\HOHVDLDQVHEDQ\DNWDNKLQJJD NHGXDJUD¿NEHULPSLW Contoh:
Contoh: 2x – y = –5 6x±y = –15 63/'9WLGDNPHPSXQ\DLSHQ\HOHVDLDQ NHGXDJUD¿NVHMDMDU Contoh:
Contoh: 2x – y = –5 6x±y /DQJNDKODQJNDKSHQ\HOHVDLDQ63/'9GHQJDQPHWRGHVXEVWLWXVL Langkah 1: Pilih salah satu persamaan dan nyatakan salah satu variabel dalam variabel lainnya yaitu x dalam bentuk y DWDXy dalam bentuk x Langkah 2: Subsitusikan hasil Langkah 1 ke persamaan lainnya Langkah 3: SederWatikan persamaan yang diperoleh pada Langkah 2 dan dapatkan nilai x DWDX y GHQJDQSHUVDPDDQWHUVHEXW
74
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Langkah 4: Substitusikan nilai x DWDXy \DQJVXGDKGLSHUROHKSDGD/DQJNDKNHSHUVDPDDQ yang diperoleh dari Langkah 1dan selesaikan untuk mendapatkan nilai variabel y DWDXx Langkah 5: Periksa kembali nilai x dan y yang sudah diperoleh dengan menstubstitusikan nilai x dan yNHGDODPSHUVDPDDQVHPXOD\DLWXSHUVDPDDQ L GDQ LL Jika nilai x dan yPHPHQXKLSHUVDPDDQ L GDQ LL PDND x, y DGDODKSHQ\HOHVDLDQ 63/'9WHUVHEXW /DQJNDKODQJNDKSHQ\HOHVDLDQ63/'9GHQJDQPHWRGHHOLPLQDVL Langkah 1: 7XOLVNHGXDSHUVDPDDQGDODPEHQWXNaxby = c. Langkah 2: -LNDSDGDNHGXDSHUVDPDDQNRR¿VLHQGDULVDODKVDWXYDULDEHOPLVDOx DWDXy EHOXP sama, maka samakanlah dengan mengalikan persamaan dengan bilangan yang sesuai. Langkah 3: Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan yang diperoleh pada Langkah 2 untuk memperoleh persamaan dalam satu variabel yaitu y DWDX x GDQ VHOHVDLNDQ XQWXN mendapatkan nilai variabel tersebut. Langkah 4: Substitusikan nilai y DWDXx \DQJVXGDKGLSHUROHKSDGD/DQJNDKNHVDODKVDWX SHUVDPDDQ L DWDX LL GDQGDSDWNDQQLODLYDULDEHOx DWDXy Langkah 5: Periksa kembali nilai x dan y yang sudah diperoleh dengan menstubstitusikan nilai x dan y NHGDODPSHUVDPDDQVHPXOD\DLWXSHUVDPDDQ L GDQ LL Jika nilai x dan y PHPHQXKLSHUVDPDDQ L GDQ LL PDND x, y DGDODKSHQ\HOHVDLDQ 63/'9WHUVHEXW Contoh 9.4
Tebak Angka (1)
'XDEXDKDQJNDMXPODKQ\D6HOLVLKNHGXDELODQJDQLWXDGDODK Berapa angka itu masing-masing? Alternatif Penyelesaian: 0LVDONDQ DQJNDSHUWDPD \DQJOHELKEHVDU DGDODK x angka kedua adalah y MATEMATIKA
75
'XDEXDKDQJNDMXPODKQ\D ĺ
xy ĺy = 80 – x
VHOLVLKQ\DDGDODK
x – y ĺ\ x±
ĺ
*DPEDUODK JUD¿N XQWXN SHUVDPDDQ L GDQ LL GHQJDQ WHUOHELK GXOX PHQJLVL WDEHO seperti di bawah ini *UD¿N y = 80 – x x
0
80
y
80
0
'LSHUROHKWLWLNSRWRQJJUD¿Ny = 80 – x SDGDVXPEX\\DLWX GDQWLWLNSRWRQJ SDGDVXPEX;\DLWX *UD¿N y = x ± x
0
y
0
'LSHUROHKWLWLNSRWRQJJUD¿Ny = x±SDGDVXPEX\\DLWX GDQWLWLNSRWRQJ SDGDVXPEX;\DLWX 80
y = xí
0
80 y íx
'DULJUD¿NGLDWDVGDSDWGLOLKDWEDKZDSHQ\HOHVDLDQQ\DDGDODKx = 65 dan y = 25 Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 65 dan 25.
76
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Tebak Angka (2)
Contoh 9.5
-XPODK GXD DQJND GLJLW GDUL VXDWX DQJND SXOXKDQ DGDODK $QJND LWX GLNDOLNDQ VDPD GHQJDQ GXD NDOL ELODQJDQ LWX MLND DQJND GXD DQJND LWX GLWXNDU XUXWDQQ\D Berapakah angka tersebut? Alternatif Penyelesaian: 0LVDONDQ DQJNDNHGXD DQJNDVDWXDQ DGDODK[ DQJNDSHUWDPD DQJNDSXOXKDQ DGDODK\ bilangan itu adalah y
x
ELODQJDQLWXDGDODKĺ
yx
“jumlah dua digit bilangan itu adalah 9´ĺ yx L y
x
-LNDGLWXNDUXUXWDQQ\DPHQMDGLĺ
x
y
“Angka itu dikali 9´GDSDWGLWXOLVGHQJDQĺ y x “Dua kali bilangan itu jika bilangan dua digit itu ditukar urutannya´ GDSDWGLWXOLVGHQJDQĺ xy sehingga, “Angka itu dikalikan 9 sama dengan dua kali angka itu jika bilangan dua digit itu ditukar urutannya´GDSDWGLWXOLVGHQJDQĺ yx x y 90y x = 20x y 90y – 2y x – 20x = 0 88y – 11x LL -DGLPDVDODKGLDWDVGDSDWGLQ\DWDNDQGHQJDQ6LVWHP3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO 63/'9 \DQJWHUGLULGDULSHUVDPDDQ L GDQ LL yx = 9 63/'9 88y – 11x = 0 63/'9GLDWDVDNDQGLVHOHVDLNDQGHQJDQPHWRGHVXEVWLWXVL y x ĺ y = 9 – x 6XEVWLWXVLNDQ\ ±[NHSHUVDPDDQ LL 88y – 11x = 0 ±x ±x = 0 792 – 88x – 11x = 0 792 – 99x = 0
}
MATEMATIKA
77
– 99x = –792
99 x 792 99 99
x=8 Substitusikan x = 8 ke persamaan y = 9 – x y=9–x y=9–8 y=1 -DGLELODQJDQLWXDGDODK FREDSHULNVDDSDNDK[ [" Ayo Kita Mencoba &REDVHOHVDLDNDQGHQJDQPHWRGHJUD¿NDWDXPHWRGHHOLPLQDVL Contoh 9.6
Usia Ayah dan Anaknya
6HSXOXKWDKXQ\DQJODOXXVLDD\DK,NDDGDODKHPSDWNDOLXVLD,ND(QDPWDKXQ\DQJ akan datang usia ayah Ika adalah dua kali usia Ika. Berapa usia Ika dan ayahnya sekarang? Nyatakan permasalahan tersebut dalam Sistem Persamaan Linear Dua 9DULDEHO 63/'9 WHUOHELKGXOX Alternatif Penyelesaian: Langkah 1: Besaran yang belum diketahui dan harus dicari adalah: x usia ayah Ika sekarang x usia Ika sekarang Langkah 2: 0LVDONDQ Usia ayah Ika sekarang adalah x Usia Ika sekarang adalah y Langkah 3: usia ayah Ika sepuluh tahun lalu adalah x – 10 usia Ika sepuluh tahun lalu adalah y – 10 “Sepuluh tahun yang lalu usia ayah Ika adalah empat kali usia Ika´GDSDWGLQ\DWDNDQ dengan:
78
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
x ± y ± x – 10 = 4y – 40 x ±\ ± x ±\ ± L usia ayah Ika enam tahun yang akan datang adalah x usia Ika enam tahun yang akan datang adalah y “Enam tahun yang akan datang usia ayah Ika adalah dua kali usia Ika´ GDSDW dinyatakan dengan: x y x y x – 2y = 12 – 6 x – 2y LL -DGLPDVDODKGLDWDVGDSDWGLQ\DWDNDQGHQJDQ6LVWHP3HUVDPDDQ/LQHDU'XD9DULDEHO 63/'9 \DQJWHUGLULGDULSHUVDPDDQ L GDQ LL
[±\ ± x – 2y = 6
}
63/'9
NDUHQDNRRH¿VLHQ[SDGD63/'9GLDWDVVXGDKVDPDDNDQOHELKH¿VLHQMLND63/'9 WHUVHEXWGLVHOHVDLNDQGHQJDQPHWRGHHOLPLQDVL YDULDEHO[GDSDWGLHOLPLQDVLGHQJDQ mengurangkan kedua persamaan tersebut. x – 4y ± x – 2y = 6
– –2y ± y = 18 substitusikan y NHVDODKVDWXSHUVDPDDQGLDWDVPLVDOQ\DSHUVDPDDQ LL
[±\ ĺ
x± x± x x = 42
Jadi, usia Ika adalah 18 tahun dan ayahnya adalah 42 tahun. Ayo Kita Mencoba &REDVHOHVDLDNDQGHQJDQPHWRGHVXEVWLWXVLDWDXPHWRGHJUD¿N
MATEMATIKA
79
Latihan 9.2
Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan SPLDV
Selesaikan Masalah yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel berikut. 1. Jumlah dua bilangan cacah adalah 1100, sedangkan selisih kedua bilangan itu adalah 722. Berapakah bilangan itu masing-masing? 2. Harga 4 ekor ayam dan 5 ekor bebek adalah 5SVHGDQJNDQKDUJDHNRUEHEHNGDQ HNRUD\DPDGDODK5S%HUDSDKDUJD seekor bebek? 3DXOPHQWUDNWLUWHPDQQ\DXQWXNPLQXPNRSLGDQ Sumber: Dokumen Kemdikbud makan kue di suatu tempat karena. Ia membeli 5 cangkir kopi dan 4 porsi kue dengan harga 5S'LNHVHPSDWDQ\DQJODLQLDPHPEHOL lagi 2 cangkir kopi dan 2 porsi kue yang sama GHQJDQKDUJD5S %HUDSDKDUJDVHFDQJNLU kopi? Sumber: Dokumen Kemdikbud 4. Memberi Sumbangan )DKLQGDQ+D¿G]LQJLQPHQ\XPEDQJNRUEDQEDQMLU dengan uang tabungannya. Jumlah uang Fahim GDQ XDQJ +D¿G] \DQJ PDX GLVXPEDQJNDQ DGDODK 5S-LNDXDQJ)DKLP5SOHELK VHGLNLWGDULXDQJ+D¿G]%HUDSDNDKXDQJ)DKLP" 5. Luas Persegipanjang /XDVVXDWXSHUVHJLSDQMDQJDNDQEHUNXUDQJVHEHVDU Sumber: Dokumen Kemdikbud 80 cm2MLNDSDQMDQJQ\DGLNXUDQJLFPGDQOHEDUQ\D GLWDPEDKFP-LNDSDQMDQJQ\DGLWDPEDKFPGDQOHEDUQ\DGLNXUDQJLFP luasnya bertambah sebesar 50 cm2 %HUDSD XNXUDQ SHUVHJLSDQMDQJ LWX PXOD mula? 6. Bunga 5DQLGDQ6DULPHPEHOLEXQJDXQWXNKDGLDK DGLNDGLN NHODVQ\D \DQJ GLZLVXGD 5DQL membeli 4 tangkai mawar dan 6 tangkai WXOLS GHQJDQ KDUJD 5S 6DUL membeli 8 tangkai mawar dan 2 tangkai tulip yang sama di toko bunga yang sama 5S%HUDSDKDUJDVHWDQJNDLWXOLS"
80
Kelas IX SMP/MTs
Sumber: Dokumen Kemdikbud
Semester 2
7. Perbandiangan Usia Perbandingan usia Neni dan Wati empat tahun lalu adalah 5 : 7. Perbandingan usia Neni dan Watia delapan tahun yang akan datang adalah 4 : 5. Berapa usia mereka masing-masing saat ini? 8. Berpikir Kritis 6XDWX SHNHUMDDQ GDSDW PHQ\HOHVDLNDQ ROHK RUDQJ ODNLODNL GDQ RUDQJ SHUHPSXDQGDODPZDNWXKDUL6HGDQJNDQMLNDGLNHUMDNDQROHKRUDQJODNL ODNLGDQRUDQJSHUHPSXDQSHNHUMDDQLWXVHOHVDLGDODPZDNWXKDUL%HUDSD ZDNWX\DQJGLSHUOXNDQXQWXNPHQ\HOHVDLNDQSHNHUMDDQLWXMLNDGLNHUMDNDQROHK
D VHRUDQJODNLODNLVDMD"
E 6HRUDQJSHUHPSXDQVDMD"
9. Berpikir Kritis ,QD PHPSXQ\DL WRNR VHSDWX 8QWXN MHQLV VHSDWX WHUWHQWX MLND ,QD PHQMXDO SDVDQJ VHSDWX OHELK EDQ\DN LD PHPSHUROHK MXPODK XDQJ \DQJ VDPD +DUJD MXDO VHWLDS SDVDQJ VHSDWX DGDODK 5S OHELKPXUDKGDULKDUJDMXDOQRUPDOQ\D -LND,QDPHQMXDOVHSDWXSDVDQJOHELKVHGLNLWLDMXJD PHPSHUROHK MXPODK XDQJ \DQJ VDPD KDUJD MXDO VHWLDS SDVDQJ VHSDWX 5S OHELK PDKDO GDULKDUJDMXDOQRUPDOQ\D
Sumber: Dokumen Kemdikbud
D %HUDSDSDVDQJVHSDWX\DQJGLMXDO,QDXQWXNMHQLVWHUVHEXW"
E %HUDSDKDUJDMXDOQRUPDOVHSDVDQJVHSDWXLWX"
10. Berpikir Kritis /DOD GDQ /LOL EHUVHSDNDW XQWXN PHPDQMDQJNDQ rambutnya hingga beberapa tahun mendatang. 7DEHO GL EDZDK LQL PHQXQMXNNDQ SDQMDQJ UDPEXW mereka pada bulan yang berbeda: Panjang Rambut (cm) Bulan ke-
Lala
Lili
16
28
8
26
Sumber: www.3.bp.blogspot.com
6XDWX VDDW DSDNDK SDQMDQJ UDPEXW PHUHND DNDQ ELVD VDPD SDQMDQJ" -LND L\D SDGDEXODQNHEHUDSDKDOLWXWHUMDGL"%HUDSDSDQMDQJUDPEXWPHUHNDNHWLNDVDPD SDQMDQJ"
MATEMATIKA
81
Proyek 9
Selesaikan masalah di bawah ini bersama temanmu. 6XDWXWRNREDMXPHQMXDOSDNHWNDRV+DUJDNDRVSDNHW³We Love Indonesia´WHUWHUD seperti tabel di bawah ini:
5S
5S
5S
5S
5S
5S
5S
Sumber: Dokumen Kemdikbud
Jika membeli secara paket akan diberikan diskon sebesar 20%. Kaos dapat dibeli VHFDUDWHUSLVDKQDPXQMLNDEHOLVHFDUDWHUSLVDKWLGDNDGDGLVNRQ%HUDSDKDUJD PDVLQJPDVLQJNDRVMLNDGLEHOLVHFDUDWHUSLVDK HFHUDQ " Paparkan cara atau strategi yang digunakan serta penyelesaiaannya secara sistematis dalam powerpoint dan presentasikan di kelas.
82
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Uji Kompetensi 9
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Selesaikan masalah yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel berikut. 1. Pada suatu tempat parkir hanya terdapat mobil dan sepeda motor. Seorang SHQMDJDSDUNLUPHQJDPDWLWHPSDWSDUNLUWHUVHEXWGDQGLSHUROHKLQIRUPDVL
D 7HUGDSDWNHQGDUDDQ b. Banyaknya roda adalah 100
7HQWXNDQEDQ\DNQ\DPRELOGDQVHSHGDPRWRUGDODPWHPSDWSDUNLUWHUVHEXW
7HUGDSDWGXDELODQJDQEXODWSRVLWLI\DQJPHPHQXKL
D 6HOLVLKNXDGUDWGDULNHGXDELODQJDQWHUVHEXWDGDODK
E 6HOLVLKNHGXDELODQJDQWHUVHEXWDGDODK
7HQWXNDQNHGXDELODQJDQWHUVHEXW
6HRUDQJ JXUX DNDQ PHPEDJLNDQ EHEHUDSD SHUPHQ SDGD WLDS VLVZD7LDS VLVZD harus mendapatkan permen yang sama banyaknya. Jika tiap siswa mendapatkan SHUPHQPDNDWHUGDSDWVLVZD\DQJWLGDNPHQGDSDWNDQSHUPHQ-LNDWLDSVLVZD mendapatkan 2 permen maka tersisa 5 permen.
D 7HQWXNDQ63/'9EHUGDVDUNDQNDVXVGLDWDV
E 7HQWXNDQEDQ\DNQ\DVLVZDGDQSHUPHQ
7DQSDEHUXVDKDPHQFDULSHQ\HOHVDLDQQ\DVHOLGLNLODKGLDQWDUD63/'9EHULNXW ini manakah yang mempunyai penyelesaian tunggal, banyak penyelesaian atau tidak mempunyai penyelesaian? Jelaskan. a. 2x±y = 4 xy
E x y = 7 9x y = 12 c. -2x y 4x - 10y = -6
7DQWDQJDQ
7HUGDSDW63/'9 2x±y = -5 -x y = 10
7HQWXNDQEDJDLPDQDFDUDXQWXNPHQGDSDWNDQQLODLxy tanpa mencari nilai x dan y. MATEMATIKA
83
6. Ani dan Ina mempunyai beberapa kelereng. Jika Ani memberikan 10 kelereng kepada Ina maka banyaknya kelereng Ani adalah 2 kali lipat banyaknya kelereng Ina. Jika Ani memberikan 5 kelereng kepada Ina maka banyaknya kelereng Ani DGDODKNDOLOLSDWEDQ\DNQ\DNHOHUHQJ,QD
D 7HQWXNDQ63/'9GDULNDVXVGLDWDV
E 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQEDQ\DNQ\DNHOHUHQJ$QLGHQJDQEDQ\DNQ\DNHOHUHQJ Ina mula-mula.
7HQWXNDQELODQJDQEXODWSRVLWLIx, y yang memenuhi. xy x ± y x ± y 7HQWXNDQELODQJDQEXODW\DQJPHPHQXKL x y = 567 x y = 765 6HEXDKELODQJDQWHUGLULGDULGLJLW\DQJMXPODKNHWLJDGLJLWQ\DDGDODK-LND GLJLWSHUWDPDGDQNHGXDGLWXNDUPDNDELODQJDQ\DQJWHUMDGLQLODLQ\DDGDODK OHELKQ\D GDUL ELODQJDQ VHPXOD 6HGDQJNDQ MLND GLJLW NHGXD GDQ NHWLJD GLWXNDU PDNDELODQJDQ\DQJWHUMDGLQLODLQ\D OHELKQ\DGDULELODQJDQVHPXOD7HQWXNDQODK bilangan semula yang dimaksud. 0X¿G PHPSXQ\DL VHEXDK ELODQJDQ SHFDKDQ NHPXGLDQ GLD PHQJDWDNDQ ³MLND 1 SHPELODQJGDULSHFDKDQPLOLNNXGLNXUDQJLGHQJDQPDNDQLODLQ\DPHQMDGL . 4 7DSLMLNDSHPELODQJGDULSHFDKDQNXWHUVHEXWGLWDPEDKGHQJDQPDNDQLODLQ\D
1 PHQMDGL ´6HWHODKLWX0X¿GEHUWDQ\DNHSDGDWHPDQWHPDQQ\D³%HUDSDNDK VHOLVLK SHQ\HEXW GDQ SHPELODQJ GDUL ELODQJDQ SHFDKDQ PLOLNNX"´ %DQWXODK WHPDQWHPDQ0X¿GXQWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXW
+D¿G] )DKLP :LQD GDQ 3DXO DGDODK WHPDQ VDWX NDQWRU GL VHEXDK SHUXVDKDDQ -XPODKXPXU+D¿G]GDQ)DKLPDGDODKWDKXQVHGDQJNDQMXPODKXPXU)DKLPGDQ Wina adalah 58 tahun. Jika umur Paul sekarang adalah 28 tahun atau setara dengan VHWHQJDKMXPODKXPXU+D¿G]GDQ:LQD%HUDSDXVLDPHUHNDPDVLQJPDVLQJ" 12. Leo mempunyai hobi memelihara burung kenari. Ia memiliki cukup banyak burung kenari di rumahnya. Ia memasukkan burung-burung tersebut ke dalam beberapa sangkar. Jika ke dalam setiap sangkar dimasukkan 7 ekor burung, maka DNDQWHUWLQJJDOHNRUEXUXQJNHQDULGLOXDU7HWDSLMLND/HRPHPDVXNNDQ HNRU burung ke dalam setiap sangkar, maka akan terdapat 1 buah sangkar yang tidak terisi sama sekali. Berapa banyak burung kenari yang dimiliki oleh Leo? 7RPLGDQ-HUU\DGDODKNDNDNEHUDGLN3HUEDQGLQJDQXVLD7RPLGDQ-HUU\WDKXQ \DQJODOXDGDODK VHGDQJNDQSHUEDQGLQJDQXVLD7RPLGDQ-HUU\WDKXQ yang akan datang adalah 8 : 9. Berapakah usia mereka masing-masing saat ini? 84
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
6HPLQJJX \DQJ ODOX $OGR PHPEHOL VHMXPODK EROSRLQ GDQ SHQVLO GL WRNR DODW WXOLV0DQWDS-D\D6DDWLWXLDPHPEHOLEXDKEROSRLQGDQEXDKSHQVLO.HWLND PHPED\DU GL NDVLU LD PHPEHULNDQ OHPEDU XDQJ SHFDKDQ 5S GDQ LD PHQGDSDWNDQ XDQJ NHPEDOLDQ VHEHVDU 5S 7LJD KDUL NHPXGLDQ LD PHPEHOL EXDK EROSRLQ GDQ EXDK SHQVLO GL WRNR \DQJ VDPD VHKDUJD 5S 6HNDUDQJ $OGR GLEHULNDQ XDQJ VDWX OHPEDU SHFDKDQ 5S oleh ibunya. Ia diminta untuk membeli beberapa buah bolpoin dan pensil dengan MXPODKWRWDOEXDK$GDSLOLKDQ\DQJGLEHULNDQROHKLEX\DLWXPHPEHOL buah bolpoin dan 7 buah pensil atau membeli 5 buah bolpoin dan 10 buah pensil. 6LVDXDQJNHPEDOLDQGDULSHPEHOLDQWHUVHEXWPHQMDGLKDN$OGRXQWXNGLWDEXQJ Jika Aldo menginginkan lebih banyak uang kembalian agar bisa ditabung, pilihan manakah yang sebaiknya dipilih oleh Aldo? 15. Sebuah perahu bergerak dari suatu titik A ke titik B yang searah dengan arus sungai. Setelah dihitung, ternyata diketahui bahwa perahu tersebut menempuh MDUDN VHMDXK NP GDQ PHPHUOXNDQ ZDNWX MDP .HPXGLDQ SHUDKX WHUVHEXW bergerak dari titik B ke titik C dengan arah berlawanan dengan arah arus sungai. 'LNHWDKXLEDKZDMDUDNDQWDUDWLWLN%GDQWLWLN&DGDODKNPGDQZDNWX\DQJ GLEXWXKNDQROHKSHUDKXXQWXNEHUJHUDNGDULWLWLN%NH&DGDODKMDP.HFHSDWDQ perahu lebih besar daripada kecepatan aliran sungai. Jika diasumsikan kecepatan SHUDKXEHUJHUDNGDQNHFHSDWDQDOLUDQVXQJDLWHWDS NRQVWDQ EHUDSDNDKNHFHSDWDQ perahu dan kecepatan aliran sungai? 16. Aldo dan Brandon adalah dua orang sahabat karib yang gemar bermain kelereng. 'LNHWDKXLSHUEDQGLQJDQMXPODKNHOHUHQJ$OGRGDQ%UDQGRQPXODPXODDGDODK 6HVDDWNHPXGLDQGDWDQJODKWHPDQPHUHND&KDUO\\DQJLQJLQLNXWEHUPDLQ bersama mereka. Karena Charly tidak memiliki kelereng, Aldo dan Brandon masing-masing sepakat untuk memberikan 9 kelereng kepada Charly. Setelah GLKLWXQJODJLSHUEDQGLQJDQNHOHUHQJ$OGRGDQ%UDQGRQPHQMDGL %HUDSD banyak kelereng Aldo dan Brandon mula-mula? 'DODPVXDWXNDQGDQJWHUGDSDWEHEHUDSDNHOLQFLMDQWDQGDQEHWLQD-LND NHOLQFL MDQWDQGLNHOXDUNDQGDULNDQGDQJPDNDVHWLDSNHOLQFLMDQWDQ\DQJPDVLKDGDGL GDODPNDQGDQJDNDQPHQGDSDWSDVDQJDQNHOLQFLEHWLQD7HWDSLMLNDNHOLQFL betina dikeluarkan dari kandang, maka setiap kelinci betina yang masih ada di GDODPNDQGDQJDNDQPHQGDSDWSDVDQJDQNHOLQFLMDQWDQ%HUDSDEDQ\DNNHOLQFL betina mula-mula? 18. Diketahui usia kakek saat ini kurang dari 100 tahun. Jika kamu balik angkaangka pada usia kakek, maka akan didapatkan usia ayah saat ini. Jika angkaDQJNDSDGDXVLDD\DKGLMXPODKNDQPDNDDNDQGLSHUROHKXVLDDGLNVDDWLQL-XPODK usia mereka bertiga saat ini adalah 144 tahun. Jika kita kalikan usia kakek dengan GDQNLWDNDOLNDQXVLDD\DKGHQJDQODOXGLMXPODKNDQPDNDDNDQGLGDSDWNDQ DQJND%HUDSDNDKXVLDNDNHND\DKGDQDGLNVDDWLQL"
MATEMATIKA
85
bagian anggotanya merupakan 5 SHUHPSXDQ.HPXGLDQRUDQJDQJJRWDEDUXLNXWPHQGDIWDUNHGDODPRUJDQLVDVL tersebut yang terdiri atas 5 orang laki-laki dan 5 orang perempuan. Saat ini, 7 bagian anggotanya adalah laki-laki. Berapakah banyak seluruh anggota dalam organisasi tersebut mula-mula?
19. Di dalam suatu organisasi, diketahui bahwa
+D¿G] GDQ 3DXO PHQGDSDWNDQ WXJDV GDUL D\DK PHUHND XQWXN PHPEXDW SDJDU ND\X GL VHNHOLOLQJ KDODPDQ UXPDK PHUHND -LND +D¿G] EHNHUMD VHQGLUL PDND WXJDVLWXGDSDWGLVHOHVDLNDQGDODPZDNWXMDP-LND3DXOEHNHUMDVHQGLULWDJDV WHUVHEXW GDSDW GLVHOHVDLNDQQ\D GDODP ZDNWX MDP 3DGD SXNXO PHUHND PHPXODL SHNHUMDDQ WHUVHEXW VHFDUD EHUVDPDVDPD .HWLND VHGDQJ EHNHUMD ternyata paku yang digunakan untuk membuat pagar habis, sehingga mereka WLGDNGDSDWPHODQMXWNDQSHNHUMDDQXQWXNVHPHQWDUDZDNWX6HVDDWVHWHODKSDNX habis, Paul segera membeli paku ke toko dan kembali lagi ke rumah. Waktu yang dibutuhkan Paul untuk membeli paku adalah 20 menit. Setelah paku WHUVHGLD +D¿G] PHQ\HOHVDLNDQ SHPEXDWDQ SDJDU VHRUDQJ GLUL VHGDQJNDQ 3DXO mendapatkan tugas lain dari ayahnya. Jika proses pembuatan pagar itu akhirnya GDSDWGLVHOHVDLNDQROHK+D¿G]SDGDSXNXOPDNDSXNXOEHUDSDNHWLNDSDNX \DQJPHUHNDJXQDNDQGLDZDOSHQJHUMDDQWHUVHEXWKDELV"
86
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Bab X Fungsi Kuadrat
Kata Kunci x x
Fungsi Kuadrat Akar Kuadrat
K ompetensi D asar 1.1
Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan keterkaitan pada matematika serta memiliki rasa pada daya dan kegunaan matematika yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 3.3 Menganalisis sifat-sifat fungsi NXDGUDWGLWLQMDXGDULNRH¿VLHQGDQ determinannya. 4.1 Menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel, sistem persamaan linear dua variabel, dan atau fungsi kuadrat.
Sumber: Dokumen Kemdikbud
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang berbentuk f(x)=ax2+bx+c. *UD¿NIXQJVLLQLEHUEHQWXN parabola yang mempunyai nilai optimum. Dalam aplikasi dunia nyata ini sangat berguna.
Pengalaman Belajar 2. 3. 4.
0HQHQWXNDQJUD¿NGDULIXQJVLNXDGUDW Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum. Menentukan fungsi kuadrat. Menjelaskan aplikasi dari fungsi kuadrat.
MATEMATIKA
87
Peta Konsep Sistem Koordinat
*UD¿N)XQJVL Kuadrat
Menentukan Fungsi Kuadrat
Sumbu Simetri dan Nilai Optimum
88
Aplikasi Fungsi Kuadrat
Abu ‘Abdallah Muhammad ibnu Musa alKhwarizmi NHUDS GLMXOXNL VHEDJDL %DSDN $OMDEDU NDUHQD VXPEDQJDQ LOPX SHQJHWDKXDQ $OMDEDU GDQ $ULWPDWLND ,D PHUXSDNDQ VHRUDQJ ahlimatematika dari Persia yang dilahirkan pada WDKXQ0WHSDWQ\DGL.KZDUL]P8]EHLNLVWDQ Selain terkenal sebagai seorang ahli PDWHPDWLND \DQJ DJXQJ LD MXJD DGDODK DVWURQRPHU GDQ JHRJUDIHU \DQJ KHEDW %HUNDW kehebatannya, Khawarizmi terpilih sebagai ilmuwan penting di pusat keilmuwan yang paling bergengsi pada zamannya, yakni BaitalSumber: buku kemendikbud kelas +LNPDK DWDX +RXVH RI :LVGRP \DQJ GLGLULNDQ 8 semester 2 .KDOLIDK $EEDVL\DK GL 0HWURSROLV ,QWHOHNWXDO World, Baghdad. Al-Khwarizmi .LWDE $O-DEU :DO 0XTDEDODK PHUXSDNDQ NLWDE SHUWDPD GDODP VHMDUDK GLPDQD LVWLODK DOMDEDUPXQFXOGDODPNRQWHNVGLVLSOLQLOPX6XPEDQJDQ$O.KZDUL]PLGDODP LOPX XNXU VXGXW MXJD OXDU ELDVD7DEHO LOPX XNXU VXGXWQ\D \DQJ EHUKXEXQJDQ GHQJDQ IXQJVL VLQXVGDQ JDULVVLQJJXQJWDQJHQ WHODK PHPEDQWX SDUD DKOL (URSD PHPDKDPL OHELK MDXK WHQWDQJ LOPX LQL ,D PHQJHPEDQJNDQ WDEHO ULQFLDQ WULJRQRPHWUL \DQJ PHPXDW IXQJVL VLQXV NRVLQXV GDQ NRWDQJHQ VHUWD NRQVHS GLIHUHQVLDVL.LWDE\DQJWHODKGLWXOLVQ\D\DLWX $O-DEUZD¶O0XTDEDODK EHOLDX telah mencipta pemakaian secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri GDQ DVWURQRPL +LVDE DO-DEU ZD DO0XTDEDODK %HOLDX WHODK PHQJDMXNDQ contoh-contoh persoalan matematika dan mengemukakan 800 buah masalah yang sebagian besar merupakan persoalan yang dikemukakan oleh Neo. Babylian dalam bentuk dugaan yang telah dibuktikan kebenarannya oleh al-Khawarizmi, 6LVWHP 1RPRU %HOLDX WHODK PHPSHUNHQDONDQ NRQVHS VLIDW GDQ LD SHQWLQJ dalam sistem Nomor pada zaman sekarang. Karyanya yang satu ini memuat Cos, 6LQGDQ7DQGDODPSHQ\HOHVDLDQSHUVDPDDQWULJRQRPHWULWHRUHPDVHJLWLJDVDPD kaki dan perhitungan luas segitiga, segi empat dan lingkaran dalam geometri. Sumber: www.edulens.org
Hikmah yang bisa diambil 1. .LWDKDUXVMHOLPHODNXNDQSHQJDPDWDQIHQRPHQD\DQJDGDGLVHNLWDUNLWD 2. Kita harus mau dan mampu melakukan pembuktian-pembuktian tentang IHQRPHQD DODP VHNLWDU \DQJ PHUXSDNDQ EXNWL NHNXDVDDQ 7XKDQ PHODOXL keilmuan yang diketahui manusia. Dengan demikian, kita dapat memperkuat NH\DNLQDQSDGD7XKDQ .LWD KDUXV VHPDQJDW GDODP PHODNXNDQ DNWLYLWDV SRVLWLI \DQJ WHODK GLUHQFDQDNDQ XQWXN PHPSHUNXDW NHWDKDQDQ ¿VLN GDQ SVLNLV GDODP menghadapi tantangan.
89
$*UD¿N)XQJVL.XDGUDW Pertanyaan Penting )XQJVLNXDGUDWDGDODKIXQJVL\DQJEHUEHQWXNy = ax2bxc, dengan ax, yR. Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f x ax2bx c. Bagaimanakah FDUDPHQJJDPEDUIXQJVLNXDGUDWSDGDELGDQJNDUWHVLXV"$SDSHQJDUXKQLODLa, b dan FWHUKDGDSJUD¿NIXQJVLNXDGUDW" Kegiatan 10.1
0HQJJDPEDU*UD¿N)XQJVLy = ax2
*DPEDUODKJUD¿NIXQJVLNXDGUDW\DQJSDOLQJVHGHUKDQD\DNQLNHWLNDb = c = 0. 8QWXNPHQGDSDWNDQJUD¿NQ\DNDPXGDSDWPHPEXDWJDPEDUXQWXNEHEHUDSDQLODLx GDQPHQVXEVWLWXVLNDQQ\DSDGDIXQJVLy = ax2, misalkan untuk a =1, a = -1 dan a = 2. .HUMDNDQ.HJLDWDQLQLGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPX Ayo Kita Gali Informasi 8QWXN PHQGDSDWNDQ JUD¿N VXDWX IXQJVL NXDGUDW NDPX WHUOHELK GDKXOX KDUXV PHQGDSDWNDQEHEHUDSDWLWLNNRRUGLQDW\DQJGLODOXLROHKIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW.DPX dapat mencari titik koordinat tersebut dengan mensubstitusikan untuk beberapa nilai x yang berbeda. a. Lengkapi ketiga tabel berikut di bawah. y = x2
90
x, y
y = -x2
x, y
y = 2x2
2 = 9
2 = -9
2 =18
-2
-2
-2
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
2
2
2
Kelas IX SMP/MTs
x, y
Semester 2
E 7HPSDWNDQWLWLNWLWLNNRRUGLQDW\DQJEHUDGDGDODPWDEHOSDGDELGDQJNRRUGLQDW JXQDNDQWLJDZDUQDEHUEHGD F 6NHWVD JUD¿N GHQJDQ PHQJKXEXQJNDQ WLWLNWLWLN NRRUGLQDW WHUVHEXW VHVXDL ZDUQD Ayo Kita Amati *DPEDUNDQNHWLJDJUD¿NWHUVHEXWPHQJJXQDNDQELGDQJNRRUGLQDWGLEDZDKLQLGDQ DPDWLWLDSWLDSJUD¿N Y
X
Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 10.1 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Nilai aSDGDIXQJVLy = ax2DNDQPHPSHQJDUXKLEHQWXNJUD¿NQ\D 1. Jika a!PDND 2. Jika a PDND Jika a !GDQQLODLa makin besar maka ... 4. Jika a GDQQLODLa makin kecil maka ...
MATEMATIKA
91
Kegiatan 10.2
0HQJJDEDU*UD¿N)XQJVLy = ax2 + c
3DGDNHJLDWDQLQLNDPXDNDQPHQJJDPEDUJUD¿NIXQJVLNXDGUDWNHWLNDb = 0 dan c .HJLDWDQLQLGLEDJLPHQMDGLGXDVXENHJLDWDQ3DGDNHJLDWDQLQLNDPXPHQJDPEDU JUD¿NIXQJVLy = x2c sebanyak tiga kali, yakni untuk c = 0, c = 1 dan c = -1. Ayo Kita Gali Informasi a. Lengkapi ketiga tabel berikut di bawah.
y = x2
x, y
2
y = x2 – 1 2 – 1 = 8
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
x, y
E 7HPSDWNDQWLWLNWLWLNNRRUGLQDWGDODPWDEHOSDGDELGDQJNRRUGLQDW F 6NHWVDJUD¿NGHQJDQPHQJKXEXQJNDQWLWLNWLWLNNRRUGLQDWWHUVHEXW VHVXDLZDUQD G *DPEDUODKNHPEDOLJUD¿Ny = x2 seperti pada Kegiatan 10.1. Ayo Kita Amati *DPEDUNDQNHWLJDJUD¿NWHUVHEXWPHQJJXQDNDQELGDQJNRRUGLQDWGLEDZDKLQLGDQ DPDWLWLDSWLDSJUD¿N
92
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Y
X
Berdasarkan hasil pengamatanmu, lengkapi kalimat-kalimat berikut. *UD¿NIXQJVLy = x2 memotong Sumbu-YGLWLWLNNRRUGLQDW *UD¿NIXQJVLy = x2PHPRWRQJ6XPEXY GLWLWLNNRRUGLQDW *UD¿NIXQJVLy = x2 – 1 memotong Sumbu-YGLWLWLNNRRUGLQDW *UD¿NIXQJVLy = x2PHUXSDNDQJHVHUDQJUD¿Ny = x2 VHSDQMDQJVDWXDQNH *UD¿NIXQJVLy = x2±PHUXSDNDQJHVHUDQJUD¿Ny = x2 VHSDQMDQJVDWXDQNH Ayo Kita Simpulkan a. Nilai cSDGDIXQJVLy = x2c DNDQPHPSHQJDUXKLJHVHUDQJUD¿Ny = x2, yaitu ... E *UD¿NIXQJVLy = x2c memotong Sumbu-Y GLWLWLNNRRUGLQDW
Kegiatan 10.3
0HQJJDEDU*UD¿N)XQJVLy = x2 + bx
3DGDNHJLDWDQLQLNDPXDNDQPHQJJDPEDUJUD¿NIXQJVLNXDGUDWNHWLNDc = 0 dan b .HJLDWDQLQLGLEDJLPHQMDGLWLJDVXENHJLDWDQ\DNQLNHWLNDb = 1, b = -1 dan b = 2. 3DGDNHJLDWDQLQLNDPXDNDQPHQJHQDOWLWLNSXQFDNGDULVXDWXJUD¿NIXQJVLNXDGUDW .HUMDNDQNHJLDWDQLQLEHUVDPDWHPDQVHEDQJNXPX
MATEMATIKA
93
Ayo Kita Gali Informasi Lengkapi ketiga tabel berikut di bawah. y = x2x
x, y
2
y = x2 – 2x 2±
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
y = -x2x 2
x, y
x, y
-2 -1 0 1 2 E 7HPSDWNDQWLWLNWLWLNNRRUGLQDWGDODPWDEHOSDGDELGDQJNRRUGLQDW JXQDNDQWLJD ZDUQDEHUEHGDXQWXNWDEHO F 6NHWVDJUD¿NGHQJDQPHQJKXEXQJNDQWLWLNWLWLNNRRUGLQDWWHUVHEXW VHVXDLZDUQD d. Pada tiap-tiap tabel tentukan nilai y yang paling kecil. Apakah ada hubungannya dengan nilai b ?
94
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Ayo Kita Amati *DPEDUNDQNHWLJDJUD¿NWHUVHEXWPHQJJXQDNDQELGDQJNRRUGLQDWGLEDZDKLQLGDQ DPDWLWLDSWLDSJUD¿N3DGDWLDSWLDSJUD¿NWHQWXNDQNRRUGLQDWWLWLN\DQJSDOLQJEDZDK WLWLNNRRUGLQDWLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWWLWLNSXQFDN Y
X
H 8ODQJL NHJLDWDQ LQL GHQJDQ IXQJVL NXDGUDW y = -x2 x, y = -x2 - x, y = -x2 x6HODQMXWQ\DWHQWXNDQWLWLN\DQJSDOLQJDWDV WLWLNNRRUGLQDWLQLMXJDGLVHEXW GHQJDQWLWLNSXQFDN I 3DGDWLDSJUD¿NWHQWXNDQVXDWXJDULVYHUWLNDO\DQJPHUXSDNDQVXPEXVLPHWUL Ayo Kita Simpulkan 7LWLNSXQFDNDGDODK 2. Sumbu simetri adalah ... 3HQJDUXKQLODLbSDGDJUD¿NIXQJVLy = x2bx adalah ...
MATEMATIKA
95
Ayo Kita Menanya %XDWODKSHUWDQ\DDQPHQJHQDLVHPXDNHJLDWDQ\DQJWHODKNDPXNHUMDNDQGLDWDV Materi Esensi
*UD¿N)XQJVL.XDGUDW
)XQJVLNXDGUDWPHUXSDNDQIXQJVL\DQJEHUEHQWXNy = ax2bx c, dengan a *UD¿N GDUL IXQJVL NXDGUDW PHQ\HUXSDL SDUDEORD VHKLQJJD GDSDW GLNDWDNDQ MXJD VHEDJDLIXQJVLSDUDEROD Y 5
y = 2x2
y = x2
4 2 1 X
-2
-1
1
2
-1 -2 -4
y íx2
-5 Gambar 3HUEDQGLQJDQ*UD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x2, y = -x2 dan y = 2x2
96
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Nilai aSDGDIXQJVLy = ax2bxc DNDQPHPSHQJDUXKLEHQWXNJUD¿NQ\D-LND a SRVLWLI PDND JUD¿NQ\D DNDQ WHUEXND NHDWDV 6HEDOLNQ\D MLND a QHJDWLI PDND JUD¿NQ\DDNDQWHUEXNDNHEDZDK-LNDQLODLDVHPDNLQEHVDUPDNDJUD¿NQ\DPHQMDGL OHELK³NXUXV´ Y 5
y = x2 í 2x
4 2 1 -5
-4
-2
-1
y = x2 í x 2 1
2
4
X
5
-1 -2 y = x2 í 5x í
-4 -5
Gambar 3HUEDQGLQJDQ*UD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x2x, y = -x2±xGDQy = -x2 – 5x – 4
Garis putus-putus pada gambar di atas menerupakan sumbu simetri. Koordinat yang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yang ditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan Sumbu-Y. Nilai bSDGDJUD¿Ny = ax2bx c PHQXQMXNNDQGLPDQDNRRUGLQDWWLWLNSXQFDN GDQVXPEXVLPHWULEHUDGD WLWLNSXQFDNGDQVXPEXVLPHWULGLEDKDVOHELKODQMXWSDGD VXEEDEVHODQMXWQ\D -LNDa!PDNDJUD¿Ny = ax2bx c memiliki titik puncak minumum. Jika a PDNDJUD¿Ny = ax2bxc memiliki titik puncak maksimum 1LODLFSDGDJUD¿Ny = ax2bx c PHQXQMXNNDQWLWLNSHUSRWRQJDQJUD¿NIXQJVL kuadrat tersebut dengan Sumbu-Y\DNQLSDGDNRRUGLQDW c
MATEMATIKA
97
Contoh 10.1
*UD¿N)XQJVL.XDGUDW
%HULNXWLQLDGDODKJUD¿NOLPDIXQJVLNXDGUDW\DQJEHUEHGD Y 10 9 8 7 6 5 4 2 1 -10 -9 -8 -7
-6 -5 -4 -2 -1
X 1
2
4
5
6
7
8
9 10
-1 -2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1. *UD¿N \DQJ EHUZDUQD KLWDP PHUXSDNDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW y = x2 – x *UD¿Ny = x2 – xPHPRWRQJ6XPEX<SDGDNRRUGLQDW GDQPHPLOLNL titik puncak minimum. 2. *UD¿N\DQJEHUZDUQDPHUDKPHUXSDNDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDW\ x2 – 6x *UD¿N\ x2 – 6xPHPRWRQJ6XPEX<SDGDNRRUGLQDW GDQPHPLOLNL titik puncak minimum. *UD¿N\DQJEHUZDUQDELUXPHUXSDNDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = -2x2*UD¿N y = -2x2PHPRWRQJ6XPEX<SDGDNRRUGLQDW GDQPHPLOLNLWLWLNSXQFDN maksimum.
98
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
4. *UD¿N\DQJEHUZDUQDPHUDKGHQJDQJDULVSXWXVSXWXVPHUXSDNDQJUD¿NIXQJVL kuadrat y = x2 – 7x *UD¿N y = x2 – 7x PHPRWRQJ 6XPEXY pada NRRUGLQDW GDQPHPLOLNLWLWLNSXQFDNPLQLPXP 5. *UD¿N \DQJ EHUZDUQD ELUX GHQJDQ JDULV SXWXVSXWXV PHUXSDNDQ JUD¿N IXQJVL kuadrat y = -x2 – 5x±*UD¿Ny = -x2 – 5x±PHPRWRQJ6XPEX<SDGDNRRUGLQDW GDQPHPLOLNLWLWLNSXQFDNPDNVLPXP Ayo Kita Tinjau Ulang 1. 0HQJDSDIXQJVLNXDGUDWy = ax2bxc disyaratkan aWHQWXNDQDODVDQPX 2. 7HUGDSDWGXDIXQJVLNXDGUDWf x ax2bx c dan g x f x ax2íbxíc. $SD\DQJGDSDWGLVLPSXONDQGDULJUD¿Nf x GDQg x Latihan 10.1
*UD¿N)XQJVL.XDGUDW
*DPEDUNDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWEHULNXW a. y =
1 2 x 2
c. y = -
1 2 x 2
b. y =
1 2 x 4
d. y = -
1 2 x 2
'DUL6RDODSD\DQJGDSDWNDPXVLPSXONDQPHQJHQDLJUD¿Ny = ax2 dengan |a| GDQa" *DPEDUNDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWEHULNXW a. y = x2x
F y = x2x
b. y = x2±x
G y = x2 – 5x
'DUL 6RDO DSD \DQJ GDSDW NDPX VLPSXONDQ PHQJHQDL SHUEDQGLQJDQ JUD¿N y = ax2bx c dengan y = ax2 – bxc ? *DPEDUNDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWEHULNXW a. y = x2x
F y = x2 – 5x
b. y = -x2x
G y = -2x2x
'DULVRDOQRPRUWHQWXNDQWLWLNSXQFDNWLDSWLDSJUD¿N7HQWXNDQSXODKXEXQJDQ b WLWLNSXQFDNJUD¿NIXQJVLy = ax2bxc dengan nilai . 2a
MATEMATIKA
99
Ayo Kita Menalar $SDNDKPXQJNLQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWWLGDNPHPRWRQJ6XPEXX? Jelaskan alasanmu. $SDNDKPXQJNLQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWWLGDNPHPRWRQJ6XPEXY? Jelaskan alasanmu. $SDNDK PXQJNLQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW PHPRWRQJ 6XPEXX pada tiga titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu. $SDNDK PXQJNLQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW PHPRWRQJ 6XPEXY pada dua titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu.
B. Sumbu Simetri dan Nilai Optimum Pertanyaan Penting D %DJDLPDQDNDPXPHQHQWXNDQVXPEXVLPHWULJUD¿NIXQJVLNXDGUDW" E %DJDLPDQDPHQHQWXNDQQLODLRSWLPXPIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW"
3HUJHVHUDQ*UD¿N)XQJVL.XDGUDW
Kegiatan 10.4
*DPEDUODKJUD¿NIXQJVLNXDGUDWGLEDZDKLQLSDGDELGDQJNRRUGLQDW a. f x x2
d. f x x 2
b. f x x í
e. f x x 2
2
c. f x xí 2 *DPEDUODKJUD¿NIXQJVLNXDGUDWGLEDZDKLQLSDGDELGDQJNRRUGLQDW a. f x x2 b. f x x2
d. f x x2í
H f x x2 í
c. f x x2 Ayo Kita Amati %HUGDVDUNDQNHJLDWDQGLDWDVEDQGLQJNDQJUD¿NOLPDIXQJVLSDGDEDJLDQ *UD¿Nf x xí 2DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH
100
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
*UD¿Nf x x í 2DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH *UD¿Nf x x 2DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH *UD¿Nf x x 2DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH %DQGLQJNDQJUD¿NGDULOLPDIXQJVLSDGDEDJLDQ *UD¿Nf x x2 DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH *UD¿Nf x x2 DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH *UD¿Nf x x2 íDGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH *UD¿Nf x x2 íDGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH
Ayo Kita Simpulkan Berdasarkan kegiatan di atas, maka 1. Untuk s SRVLWLIPDNDJUD¿Nf x x ís 2DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH 2. Untuk sSRVLWLIPDNDJUD¿Nf x x s 2DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH 8QWXNt SRVLWLIPDNDJUD¿Nf x x2t DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH 8QWXNWSRVLWLIPDNDJUD¿Nf x x2ítDGDODKSHUJHVHUDQJUD¿NIXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNH 5. Untuk s dan tSRVLWLIPDNDJUD¿Nf x x ís 2 t DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿N IXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNHGDQGLODQMXWNDQGHQJDQSHUJHVHUDQVHMDXK ... satuan ke ... 6. Untuk s dan tSRVLWLIPDNDJUD¿Nf x x ís 2 ít DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿N IXQJVLf x x2 VHMDXKVDWXDQNHGDQGLODQMXWNDQGHQJDQSHUJHVHUDQVHMDXK ... satuan ke ...
MATEMATIKA
101
7. Untuk s dan t SRVLWLIPDNDJUD¿Nf x xs 2 tDGDODKSHUJHVHUDQJUD¿N IXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNHGDQGLODQMXWNDQGHQJDQSHUJHVHUDQVHMDXK ... satuan ke ... 8. Untuk s dan t SRVLWLIPDNDJUD¿Nf x x s 2ít DGDODKSHUJHVHUDQJUD¿N IXQJVLf x x2VHMDXKVDWXDQNHGDQGLODQMXWNDQGHQJDQSHUJHVHUDQVHMDXK ... satuan ke ...
Menentukan Sumbu Simetri dan Nilai Optimum
Kegiatan 10.5
%XDWODKVXPEXVLPHWULXQWXNVHWLDSJUD¿N\DQJWHODKGLEXDWSDGD.HJLDWDQ
Ayo Kita Amati Isilah tabel di bawah ini Fungsi
Sumbu simetri
f x x2 f x x í 2 f x x í 2 f x x 2 f x x 2
x = ...
Nilai f optimum
x = ...
x = ...
x = ...
x = ...
f
f
f
f
Isilah tabel di bawah ini Fungsi
f x x2
f x x2
f x x2
f x x2 í
f x x2í
Sumbu simetri
x = ...
x = ...
x = ...
x = ...
x = ...
f
f
f
f
Nilai f optimum
102
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Ayo Kita Simpulkan %HUGDVDUNDQSHQJDPDWDQGLDWDVMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXWLQL 1. 7HQWXNDQVXPEXVLPHWULGDQQLODLRSWLPXPJUD¿NIXQJVLf x xís 2? 2. 7HQWXNDQVXPEXVLPHWULGDQQLODLRSWLPXPJUD¿NIXQJVLf x x2t? 7HQWXNDQVXPEXVLPHWULGDQQLODLRSWLPXPJUD¿NIXQJVLf x x ís 2 t?
Ayo Kita Menalar 6XPEXVLPHWULJUD¿NIXQJVLf x ax2 adalah ... Jadi 6XPEX VLPHWUL JUD¿N IXQJVL f x a x í s 2 adalah ... dan nilai optimumnya adalah ... 6XPEXVLPHWULJUD¿NIXQJVLf x a x ís 2 t adalah ... dan nilai optimumnya adalah ... Kemudian untuk
b b x c = a x2 x ía c a a = a [ 2 ía « c = a x í« 2 ía « c
f x ax2 bx c = a x2
didapatkan sumbu simetrinya adalah x = ..., dengan nilai optimumnya adalah f « sehingga titik optimumnya adalah «« Ayo Kita Simpulkan $SDUXPXVXQWXNPHQGDSDWNDQVXPEXVLPHWULGDQQLODLRSWLPXPGDULJUD¿NIXQJVL f x ax2bx c?
MATEMATIKA
103
Kegiatan 10.6
6NHWVD*UD¿N)XQJVL.XDGUDW
6NHWVDODKJUD¿Nf x x2íx GDQf x x2xí
Ayo Kita Gali Informasi 1. 3HULNVDODKDSDNDKEHQWXNSDUDERODJUD¿NIXQJVLGLDWDVWHUEXNDNHDWDVDWDXNH bawah! 2. 7HQWXNDQSHUSRWRQJDQJUD¿NWHUKDGDS6XPEXX; yaitu, koordinat titik potongnya DGDODK x1 \DQJPHPHQXKLSHUVDPDDQ f x1
3HUKDWLNDQDSDNDKSHUVDPDDQWHUVHEXWPHPSXQ\DLSHQ\HOHVDLDQDWDXWLGDNMLND WLGDNDSD\DQJELVDNDPXVLPSXONDQ
7HQWXNDQSHUSRWRQJDQJUD¿NWHUKDGDS6XPEXY; yaitu,koordinat titik potongnya DGDODK y1 GHQJDQy1 didapatkan berdasarkan persamaan y1 = f 7HQWXNDQVXPEXVLPHWULGDQQLODLRSWLPXPJUD¿NIXQJVLGLDWDV 'DULLQIRUPDVL\DQJGLGDSDWNDQVNHWVDODKJUD¿NIXQJVLNXDGUDWGLDWDV Ayo Kita Berbagi 'LVNXVLNDQ GHQJDQ WHPDQPX EDJDLPDQD EHQWXN JUD¿N f x x dan f x x . %DQGLQJNDQJUD¿NQ\DGHQJDQJUD¿NSHUVDPDDQNXDGUDW$SD\DQJELVDNDPXGDSDWNDQ dari analisis ini? Ayo Kita Menanya %XDWODKSHUWDQ\DDQPHQJHQDLNHJLDWDQ\DQJWHODKNDPXNHUMDNDQGLDWDV Materi Esensi
Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Optimum
Fungsi kuadrat f x ax2 bx c mempunyai sumbu simetri x=
104
Kelas IX SMP/MTs
-b 2a Semester 2
Dengan nilai optimumnya adalah y0 =
D 4a
/DQJNDKODQJNDKPHQVNHWVDJUD¿NIXQJVLNXDGUDW /DQJNDK0HQHQWXNDQEHQWXNSDUDEROD WHUEXNDNHDWDVDWDXNHEDZDK /DQJNDK0HQHQWXNDQSHUSRWRQJDQJUD¿NWHUKDGDS6XPEXX; yaitu, koordinat titik SRWRQJQ\DDGDODK x1 \DQJPHPHQXKLSHUVDPDDQ f x1 /DQJNDK0HQHQWXNDQSHUSRWRQJDQJUD¿NWHUKDGDS6XPEXY; yaitu, koordinat titik SRWRQJQ\DDGDODK \1 GHQJDQ\1 didapatkan berdasarkanpersamaan y1 = f /DQJNDK0HQHQWXNDQVXPEXVLPHWULGDQQLODLRSWLPXPGDULJUD¿NIXQJVL /DQJNDK0HQVNHWVDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWEHUGDVDUNDQODQJNDK GDQ
Menentukan Sumbu Simetri dan Nilai Optimum
Contoh 10.2
7HQWXNDQVXPEXVLPHWULGDQQLODLRSWLPXPGDULJUD¿NIXQJVLf x x2 – 4x
1 2
Alternatif Penyelesaian:
1 1 'LNHWDKXL IXQJVLNXDGUDWf x x2íx , didapatkan a = 1, b = -4 dan c = . 2 2 Ditanya: sumbu simetri dan titik optimum Penyelesaian : Persamaan sumbu simetrinya adalah
x 1LODLRSWLPXPIXQJVLWHUVHEXWDGDODK
y0
4 b 2 a
D b 2 4ac a a
1 2 2
7
Sehingga titik optimumnya adalah x, y0 7 2
MATEMATIKA
105
Menentukan Nilai Maksimum dan Minimun
Contoh 10.3
7HQWXNDQ DSDNDK IXQJVL f x x2 í x í PHPSXQ\DL QLODL PDNVLPXP DWDX PLQLPXP7HQWXNDQQLODLQ\D Alternatif Penyelesaian: 'LNHWDKXL IXQJVLNXDGUDWf x x2íx í didapatkan a = -2, b = -12 dan c = -17. 'LWDQ\D 7HQWXNDQ DSDNDK DGD QLODL PDNVLPXP DWDX PLQLPXP 7HQWXNDQ QLODL maksimum atau minimumnya! Penyelesaian : Karena nilai a PDNDSDUDERODWHUEXNDNHEDZDKVHKLQJJD\DQJDGDKDQ\D nilai maksimum. Nilai maksimumnya adalah
ym
D b 2 ac 2 1 a a
Contoh 10.4
6NHWVD*UD¿N
6NHWVDODKJUD¿Nf x x2íx $OWHUQDWLI3HQ\HOHVDLDQ 'LNHWDKXL IXQJVLNXDGUDWf x x2íxGLGDSDWa = 1, b = -6 dan c = 10. 'LWDQ\D 6NHWVDJUD¿N Penyelesaian: Langkah 1. Karena a !PDNDSDUDERODWHUEXNDNHDWDV /DQJNDK3HUSRWRQJDQJUD¿NWHUKDGDS6XPEXX Dihitung bahwa D = b2 íac = 62 í 6HKLQJJDJUD¿N tidak memotong Sumbu-X. /DQJNDK3HUSRWRQJDQJUD¿NWHUKDGDS6XPEXY y0 = f \DLWXSDGDWLWLN /DQJNDK6XPEXVLPHWULGDQQLODLRSWLPXPGDULIXQJVL
b a GDQQLODLRSWLPXPQ\DGLGDSDW 2a 2 2 D b ac 1 a a
Sumbu simetrinya adalah x = -
y0
106
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
/DQJNDK6NHWVD*UD¿N Y
x
X
Ayo Kita Tinjau Ulang 1. 7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDWf x x2 íx c sedemikian hingga nilai optimumnya adalah 20. 2. 7HQWXNDQQLODLa GDQEXQWXNIXQJVLNXDGUDWf x ax2 bx VHGHPLNLDQKLQJJD a. Fungsi f x PHPSXQ\DLQLODLPDNVLPXPGDQVXPEXVLPHWULx b. Fungsi f x PHPSXQ\DLQLODLPLQLPXPGHQJDQQLODLPLQLPXPGDQVXPEX simetri x 6NHWVDODKJUD¿Nf x x2 íx
MATEMATIKA
107
Latihan 10.2
Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Optimum
7HQWXNDQVXPEXVLPHWULJUD¿NIXQJVLGLEDZDKLQL a. y = 2x2íx b. y x2 x c. y = -8x2 íxí 7HQWXNDQQLODLRSWLPXPIXQJVLEHULNXWLQL a. y = -6x2xí b. y =
2 2 x x 5
c. y =
2 x xí 4
6NHWVDODKJUD¿NIXQJVLEHULNXWLQL a. y = 2x2 x b. y = 8x2íx 4. Diketahui suatu barisan 1, 7, 16, …. Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un = an2 bnc7HQWXNDQVXNXNH 5. Diketahui suatu barisan 0, -9, -12, … Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un = an2 bnc7HQWXNDQQLODLPLQLPXPGDULEDULVDQ tersebut. 6. Fungsi kuadrat y = f x PHODOXLWLWLN GDQ -LNDVXPEXVLPHWULQ\Dx WHQWXNDQQLODLPLQLPXPIXQJVLf x %LODIXQJVLy = 2x2 x ím PHPSXQ\DLQLODLPLQLPXPPDNDWHQWXNDQm. 8. Dari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan telepon genggam N GDODP MXWDRUDQJ GDSDWGLPRGHONDQROHKSHUVDPDDQN = 17,4x2 x GHQJDQ x = 0 merepresentasikan tahun 1995 [Sumber: Data dari 2005 Statistical Abstract of the United States 7DEHO KDO @ 3DGD WDKXQ EHUDSD EDQ\DNQ\D pelanggan mencapai nilai maksimum? -XPODKGXDELODQJDQDGDODK-LNDKDVLONDOLNHGXDELODQJDQPHQJKDVLONDQQLODL yang maksimum, maka tentukan kedua bilangan tersebut. 10. Selisih dua bilangan adalah 10. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang minimum, tentukan kedua bilangan tersebut.
108
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
C. Menentukan Fungsi Kuadrat .DPXVXGDKPHQJHWDKXLEDJDLPDQDFDUDPHQJJDPEDUJUD¿NVXDWXIXQJVLNXDGUDW .DPX MXJD VXGDK PHQJHWDKXL EDJDLPDQD PHQGDSDWNDQ WLWLN SXQFDN WLWLN SRWRQJ dan sumbu simetri. Pada sub-bab ini kamu akan mengetahui cara untuk menentukan IXQJVLNXDGUDWGDULLQIRUPDVL\DQJDGD Pertanyaan Penting D %DJDLPDQDFDUDPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDVXGDKGLNHWDKXLJUD¿NQ\D E %DJDLPDQD FDUD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW MLND GLNHWDKXL WLWLN SXQFDN WLWLN potong atau sumbu simetri. Kegiatan 10.7
0HQHQWXNDQ)XQJVL.XDGUDW%HUGDVDUNDQ*UD¿NQ\D
Ayo Kita Gali Informasi *DPEDU GL VDPSLQJ PHUXSDNDQ JUD¿N VXDWX IXQJVL NXDGUDW 'DSDWNDK NDPX PHQHQWXNDQ VXDWX IXQJVL \DQJJUD¿NQ\DVHSHUWLJDPEDUGLVDPSLQJ"
Y 5 4
D ,QIRUPDVLDSDNDK\DQJNDPXSHUROHKGDULJUD¿N di samping?
E $SDNDKJUD¿NGLVDPSLQJPHPRWRQJ6XPEXX?
2
F 3DGD NRRUGLQDW PDQD JUD¿N GL VDPSLQJ memotong Sumbu-Y.
1 X -4
-2
-1
1 -1
Diskusi Diskusikan dengan temanmu tiga pertanyaan di atas. Kemudian diskusikan pertanyaan berikut. D 'DUL MDZDEDQ WLJD SHUWDQ\DDQ GL DWDV DSDNDK NDPX ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDWVHVXDLJUD¿NGLDWDV" E 0LQLPDO EHUDSD NRRUGLQDW \DQJ KDUXV GLNHWDKXL DJDU NDPX ELVD PHQHQWXNDQ WHSDWVDWXIXQJVLNXDGUDWEHUGDVDUNDQJUD¿N"
MATEMATIKA
109
Kegiatan 10.8
Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Titik Potong Sumbu-X
.DPXVXGDKPHQJHWDKXLEDJDLPDQDFDUDPHQGDSDWNDQDNDUDNDUIXQJVLNXDGUDWGL .HODV'LEHULNDQIXQJVLNXDGUDWEHULNXW i.
y = x2x
ii. y = x2x iii. y = x2íx Ayo Kita Gali Informasi D 7HQWXNDQDNDUDNDUWLDSWLDSIXQJVLNXDGUDW7HQWXNDQIXQJVL\DQJWLGDNPHPLOLNL DNDUIXQJVL\DQJPHPLOLNLVDWXDNDUGDQIXQJVL\DQJPHPLOLNLGXDDNDU E *DPEDUNDQJUD¿NWLDSWLDSIXQJVLNXDGUDW F 7HQWXNDQ PDQD IXQJVL NXDGUDW \DQJ WLGDN PHPRWRQJ 6XPEXX IXQJVL \DQJ memotong Sumbu-X di satu titik dan yang memotong Sumbu-X di dua titik. G $SD\DQJGDSDWNDPXVLPSXONDQPHQJHQDLKXEXQJDQDNDUDNDUIXQJVLNXDGUDW dengan titik potong Sumbu-X?
Diskusi 0LVDONDQWHUGDSDWGXDIXQJVLNXDGUDW y = x2x GDQy = 2x2x x2x Diskusikan beberapa pertanyaan berikut. D 7HQWXNDQ DNDUDNDU WLDSWLDS IXQJVL NXDGUDW $SDNDK NHGXD IXQJVL NXDGUDW tersebut memiliki akar-akar yang sama? E *DPEDUNDQJUD¿NWLDSWLDSIXQJVLNXDGUDW$SDNDKNHGXDIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW PHPLOLNLJUD¿N\DQJVDPD" c. Apa yang dapat kamu simpulkan? G -LND GLNHWDKXL DNDUDNDUQ\D DSDNDK NDPX SDVWL VHODOX ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL kuadratnya?
110
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Ayo Kita Simpulkan -LNDIXQJVLNXDGUDWy = ax2bx c memiliki akar-akar x = p dan x = q dengan p z qPDNDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWDNDQPHPRWRQJ6XPEX;SDGDNRRUGLQDW dan ... . Bentuk umumnya adalah ...
Kegiatan 10.9
Menentukan Fungsi Kuadrat Dari Beberapa Informasi
3DGD NHJLDWDQ LQL NDPX DNDQ PHPSHODMDUL GDQ PHQJDQDOLVLV EDJDLPDQD FDUD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW GDUL EHEHUDSD LQIRUPDVL ,QIRUPDVLQ\D DGDODK VHEDJDL berikut:
D 7LWLNSRWRQJGHQJDQ6XPEXX.
E 7LWLNSRWRQJGHQJDQ6XPEXY.
F 7LWLNSXQFDNGDQVXPEXVLPHWUL
G %HEHUDSDWLWLNNRRUGLQDW\DQJGLODOXLIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW
%HUGDVDUNDQ.HJLDWDQGDQNDPXPDVLKEHOXPELVDPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDW MLNDKDQ\DGLNHWDKXLVDWXLQIRUPDVLGDULHPSDWLQIRUPDVLGLDWDV 1. Jika diketahu tiga koordinat berbeda 3HUKDWLNDQJDPEDUGLVDPSLQJ0LVDONDQWHUGDSDWVXDWX IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHODOXL WLJD NRRUGLQDW EHUEHGD\DNQL GDQ
Y
$SDNDK NDPX ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW berdasarkan tiga koordinat yang diketahui dan bagaimana caranya?
6
Perhatikan langkah-langkah berikut:
4
D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKf x ax2 bx c.
E .DUHQD PHOHZDWL NRRUGLQDW GDQ GLSHUROHKf f GDQf
2
-
5
1
f D 2E F !F 'LSHUROHK 2
f(x) = ax + bx + 1 -
7
f a 2 b !ab
X -1
1
2
-1
MATEMATIKA
111
Diperoleh persamaan a + b = 2 ... (1) -
f a b !a b 'LSHUROHKSHUVDPDDQ 2
4a + 2b = 6 ... (2) c. Dengan mensubstitusi a = 2 – b NHSHUVDPDDQ GLSHUROHKb = ... d. Dari hasil diperoleh a = ...
H 6HKLQJJDIXQJVLNXDGUDW\DQJPHPHQXKLDGDODK f x ax2 bx c = ... Ayo Kita Simpulkan -LNDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWf x ax2 bx c PHODOXLWLWLNNRRUGLQDW p, q GLSHUROHK hubungan ...
2. Jika diketahui titik potong dengan Sumbu-X dan Sumbu-Y 3HUKDWLNDQ JDPEDU GL VDPSLQJ 0LVDONDQ WHUGDSDW VXDWX JUD¿N IXQJVL NXDGUDW \DQJ memotong Sumbu-XGL GDQ )XQJVL NXDGUDWWHUVHEXWMXJDPHPRWRQJ6XPEXY GL $SDNDK NDPX VXGDK ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL kuadratnya dan bagaimana caranya?
Y 2 1 X -2 -1
Perhatikan langkah-langkah berikut:
1
2
4
-1 -2
D 0LVDONDQ IXQJVL NXDGUDWQ\D DGDODK f x ax2 bxc. b. Karena memotong Sumbu-XSDGDGL GDQ GDSDWGLWXOLVNDQ
-4
f x ax2bx c = a x í xí F .DUHQDPHPRWRQJ6XPEX<GL GLSHUROHKI f a í í -4 = a î Diperoleh a GDQIXQJVLNXDGUDWf x ax2bx c = ...
112
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
5
Ayo Kita Simpulkan -LND JUD¿N IXQJVL NXDGUDW f x ax2 bx c memotong Sumbu-X pada titik NRRUGLQDW p GDQ q PDNDIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGDSDWGLWXOLVNDQPHQMDGL f x -LND JUD¿N IXQJVL NXDGUDW f x ax2 bx c memotong Sumbu-Y pada titik NRRUGLQDW r PDNDGLSHUROHK f Dengan mensubstitusikan nilai x SDGDIXQJVLNXDGUDWy = ax2bx c diperoleh f yang berakibat ... 3. Jika diketahui titik potong Sumbu-X dan titik puncak 3HUKDWLNDQJDPEDUGLVDPSLQJ7HUGDSDWVXDWXIXQJVL kuadrat yang memotong Sumbu-X GL 7LWLN SXQFDN IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXWEHUDGD GL NRRUGLQDW
Y 4
$SDNDK NDPX VXGDK ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL kuadratnya dan bagaimana caranya ?
2 1
Perhatikan langkah-langkah berikut:
X
D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKf x ax2 bxc.
-2
E 'DUL JUD¿N GLVDPSLQJ GLSHUROHKVXPEX VLPHWUL x %HUGDVDUNDQVLIDWVLPHWULWLWLNSRWRQJGL Sumbu-X yang lain adalah hasil pencerminan NRRRUGLQDW WHUKDGDS JDULV x = 1, yakni pada koordinat x = ...
-1
1
2
-1 -2 -4
F 6HKLQJJD IXQJVL NXDGUDWQ\D GDSDW GLQ\DWDNDQ dengan f x ax2bxc = a x xí G .DUHQDWLWLNSXQFDNEHUDGDGL PDNDGLSHUROHKI f a ± -4 = aî diperoleh a GDQIXQJVLNXDGUDWf x
MATEMATIKA
113
Ayo Kita Simpulkan -LNDIXQJVLNXDGUDWy = ax2bxcPHPLOLNLWLWLNSXQFDNSDGDWLWLNNRRUGLQDW s, t PDNDVXPEXVLPHWULIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWDGDODKJDULV x = ... 4. Jika diketahui titik potong Sumbu-Y dan titik puncak 3HUKDWLNDQJDPEDUGLVDPSLQJ7HUGDSDWVXDWXIXQJVL kuadrat yang memotong Sumbu-Y GL 7LWLN SXQFDNIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWEHUDGDGLNRRUGLQDW
Y 5 4
$SDNDK NDPX VXGDK ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL kuadratnya dan bagaimana caranya?
Perhatikan langkah-langkah berikut:
2
D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKf x ax2 bx c.
1
E 'DULJUD¿NGLVDPSLQJGLSHUROHKVXPEXVLPHWUL x %HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL MLND WLWLN GLFHUPLQNDQWHUKDGDSJDUXV[ GLSHUROHK koordinat ...
X
-2
-1
1 -1
F 6HKLQJJDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWPHODOXLWLJDWLWLNNRRUGLQDW\DLWX GDQ G 'HQJDQPHQJJXQDNDQFDUDVHSHUWLSDGD6XE.HJLDWDQGLSHUROHK a = ... , b = ... dan c = ... H 6HKLQJJDGLGDSDWNDQIXQJVLNXDGUDWf x Materi Esensi
Menentukan Fungsi Kuadrat
8QWXNPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWGLSHUOXNDQEHEHUDSDLQIRUPDVLGLDQWDUDQ\D
%HEHUDSDWLWLNNRRUGLQDW\DQJGLODOXLIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW
7LWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGL6XPEXX.
7LWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGL6XPEXY.
7LWLNSXQFDNGDQVXPEXVLPHWUL
114
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
/DQJNDKSHUWDPDXQWXNPHQGDSDWNDQQ\DDGDODKGHQJDQPHPLVDONDQIXQJVLNXDGUDW tersebut dengan f x ax2bx c%HULNXWLQLDGDODKODQJNDKVHODQMXWQ\DEHUGDVDUNDQ LQIRUPDVLLQIRUPDVLGLDWDV 1. Jika diketahui beberapa titik koordinat yang lain.
-LNDIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWPHODOXLNRRUGLQDW p, q PDNDGLSHUROHKf p q.
-LNDGLNHWDKXLWLWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGL6XPEXX.
-LNDGLNHWDKXLWLWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGL6XPEX<
-LND IXQJVL NXDGUDW PHPRWRQJ 6XPEX; GL p GDQ q PDND IXQJVL NXDGUDWWHUVHEXWGDSDWGLWXOLVNDQPHQMDGLf x a xíp xíq -LNDIXQJVLNXDGUDWPHPRWRQJ6XPEXXGL r PDNDGLSHUROHK f r
'HQJDQPHQVXEVWLWXVLNDQQLODLSDGDI [ GLSHUROHK f a 2b c = c. Sehingga diperoleh c = r.
4. Jika diketahui titik puncak dan sumbu simetri.
-LND IXQJVL NXDGUDW NXDGUDW WHUVHEXW PHPLOLNL WLWLN SXQFDN GL s, t PDND GLSHUROHKVXPEXVLPHWULIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWDGDODKJDULV x=s
6HODQMXWDQ\D MLND GLNHWDKXL IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW PHODOXL e, d PDND GHQJDQ PHQJJXQDNDQ VLIDW VLPHWUL GLSHUROHK WLWLN NRRUGLQDW \DQJ ODLQ KDVLO SHQFHUPLQDQ NRRUGLQDW e, d WHUKDGDSJDULVx = s.
Menentukan Fungsi Kuadrat I
Contoh 10.5
7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHODOXLWLWLN NRRUGLQDW GDQ
Y
Alternatif Penyelesaian: D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKf x ax2 bx c. E .DUHQDPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW GDQ GLSHUROHKf f GDQ f -
f a b c !c = 4. 2
X
MATEMATIKA
115
Diperoleh f x ax2bx -
f a 2b !a – b 'LSHUROHKSHUVDPDDQ
-
f a 2b !a b 'LSHUROHKSHUVDPDDQ
a–b
a b
'HQJDQPHQMXPODKNDQSHUVDPDDQ GDQ GLSHUROHK 2a = -4 --> a = -2 Kemudian b = 1 – a ±
c. Diperoleh nilai a = -2, b GDQc VHKLQJJDIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODK f x x2x Contoh 10.6
Menentukan Fungsi Kuadrat II
7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D memiliki titik potong Sumbu-X pada titik NRRUGLQDW GDQ VHUWD PHPRWRQJ Sumbu-YSDGDNRRUGLQDW
Y
Alternatif Penyelesaian: D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKf x ax2bxc. b. Karena memotong Sumbu-X pada NRRUGLQDW GDQ IXQJVL NXDGUDWQ\DGDSDWGLXEDKPHQMDGL
X
f x a x x ± c. Karena memotong Sumbu-Y SDGDNRRUGLQDW GLSHUROHKf f a ± a Sehingga diperoleh -6a o a = -
1 2
G 'LSHUROHKIXQJVLNXDGUDW
1 1 1 1 f x x x ± x2 – x± x2 x2 2 2 2 2
116
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Menentukan Fungsi Kuadrat III
Contoh 10.7
7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHPLOLNLWLWLNSXQFDNSDGDWLWLNNRRUGLQDW VHUWDPHPRWRQJ6XPEXYSDGDWLWLNNRRUGLQDW Y
X
Alternatif Penyelesaian: D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKf x ax2bx c. b. Diperoleh sumbu simetri x = -1. F %HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL MLND WLWLN GLFHUPLQNDQ WHUKDGDS JDULV x = -1 GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW G )XQJVLNXDGUDWPHODOXLWLJDWLWLNNRRUGLQDW\DNQL VHUWD H .DUHQDPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW GDQ GLSHUROHKf f GDQf -
f a 2b F o c = 1. Diperoleh
-
f a b o a íb 'LSHUROHKSHUVDPDDQ
-
f a 2b o 4a – 2b 'LSHUROHKSHUVDPDDQ
f(x) = ax2 + bx + 1 2
a – b = 2 ... (1) 2a íb = 0 ... (2)
'HQJDQPHQJXUDQJLSHUVDPDDQ GDQ GLSHUROHK -a = 2 o a = -2
Kemudian b = 2a I 'LSHUROHKQLODLa = -2, b = -4 dan c VHKLQJJDIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODK f(x)= -2x2íx + 1
MATEMATIKA
117
Contoh 10.8
Menentukan Fungsi Kuadrat
1 yang 2 memotong Sumbu-X SDGD WLWLN NRRUGLQDW GDQ PHPRWRQJ 6XPEXY pada NRRUGLQDW
7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPLOLNL VXPEX VLPHWUL x = -
x=-
Y
1 2
X
Alternatif Penyelesaian: D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKf x ax2bx c. E %HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL MLND WLWLN GLFHUPLQNDQ WHUKDGDS JDULV x = -
1 2
GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW c. Karena memotong Sumbu-XSDGDNRRUGLQDW GDQ IXQJVLNXDGUDWQ\D GDSDWGLXEDKPHQMDGL f x a x x± d. Karena memotong Sumbu-YSDGDNRRUGLQDW GLSHUROHKf f a ± a
Sehingga diperoleh -6a = 2 o a = H 'LSHUROHKIXQJVLNXDGUDW
1
1 1 1 1 f x x xí x2xí x2 í x2 Tahukah Kamu
.HWLND NDPX PHQJJDPEDU JUD¿N IXQJVL OLQHDU GDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW DWDX PHQJJDPEDUGXDJUD¿NIXQJVLNXDGUDW GLPXQJNLQNDQNHGXDJUD¿NWHUVHEXWVDOLQJ berpotongan.
118
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
y = x2 íx
5
Y y = x2 íx
4 2 1 X
-2
-1
1
2
4
5
6
-1 y = x í
-2
'DULJDPEDUGLDWDVJUD¿NIXQJVLOLQHDUy = xíGDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x2 í x EHUSRWRQJDQSDGD GXD WLWLN NRRUGLQDW\DLWX GDQ 6HGDQJNDQ JUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x2íxGDQy = x2íx EHUSRWRQJDQSDGDVDWXWLWLN NRRUGLQDW\DLWX .DPXMXJDGDSDWPHQHQWXNDQWLWLNSRWRQJQ\DWDQSDPHQJJDPEDUJUD¿N&DUDQ\D DGDODKGHQJDQ³PHQ\DPDNDQQ\D´ 7LWLNSRWRQJJUD¿NIXQJVLOLQHDUGDQIXQJVLNXDGUDW Fungsi linear : y = -x IXQJVLNXDGUDW y = x2 íx
'HQJDQPHQ\DPDNDQNHGXDIXQJVLGLDWDVGLSHUROHK x2 – 5x x í x2 – 5xíx x2 – 6x
x± xí
Diperoleh x = 1 atau x = 5. Dari nilai x di atas kamu dapat memperoleh nilai y dengan mensubstitusikan nilai xSDGDVDODKVDWXIXQJVL Untuk x = 1 o y = x í í GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW
Untuk x = 5 oy = xí í GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW
-DGLWLWLNSRWRQJQ\DSDGDWLWLNNRRUGLQDW GDQ
7LWLNSRWRQJGXDIXQJVLNXDGUDW Fungsi kuadrat f1 x x2íxGDQf2 x x2íx MATEMATIKA
119
Karena yang dicari titik potong maka f1 x f2 x VHODQMXWQ\DGLGDSDWNDQ x2 – 5x x2íx x2 – 5xí x2 – 4x x Diperoleh x = 2. Dari nilai x di atas kamu dapat memperoleh nilai y dengan mensubstitusikan nilai x SDGDVDODKVDWXIXQJVL Untuk x = 2 o y = x2 – 5x 2í GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW
-DGLWLWLNSRWRQJQ\DSDGDWLWLNNRRUGLQDW Ayo Kita Tinjau Ulang
1. Untuk suatu bilangan bulat p!q!DSDNDKWHUGDSDWVXDWXIXQJVLNXDGUDWy = ax2 bxc\DQJPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW p GDQ q " Jelaskan alasanmu. 2. Untuk suatu bilangan bulat p!q!r!DSDNDKWHUGDSDWVXDWXIXQJVLNXDGUDW y = ax2bxc \DQJPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW p p GDQ r " Jelaskan alasanmu. $SDNDKPXQJNLQJUD¿NIXQJVLOLQHDUGDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWEHUSRWRQJDQGL tiga titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu. 4. $SDNDK PXQJNLQ GXD JUD¿N JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUSRWRQJDQ GL WLJD WLWLN koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu. Latihan 10.3
Menentukan Fungsi Kuadrat
1. 7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW GDQ 2. 7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHPRWRQJ6XPEXX pada titik koordinat GDQ VHUWDPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW 7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPRWRQJ 6XPEXX pada koordinat GDQPHPLOLNLWLWLNSXQFDNSDGDNRRUGLQDW
120
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
4. 7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHPRWRQJ6XPEXYSDGDNRRUGLQDW PHODOXLWLWLNNRRUGLQDW GDQPHPLOLNLVXPEXVLPHWULx = 2. 5. 7DQWDQJDQ7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHODOXL GDQ 6. 8QWXN VXDWX ELODQJDQ EXODW S WHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHODOXL WLWLNNRRUGLQDW p GDQ p GDQ p 7. 7HQWXNDQVHPXDWLWLNSRWRQJJUD¿NIXQJVLOLQHDUy = xGHQJDQIXQJVLNXDGUDW y = x2 – 5x 8. 7HQWXNDQVHPXDWLWLNSRWRQJJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x2 – 6x GHQJDQIXQJVL kuadrat y = x2 – 8x. 9. 7DQWDQJDQ7HQWXNDQQLODLa dan b DJDUJUD¿NIXQJVLOLQHDUy = axb memotong JUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x2 – 4x WHSDWSDGDVDWXWLWLNNRRUGLQDW\DNQL .DODXGLSHUOXNDQGDSDWPHQJJXQDNDQJUD¿N 10. 'DULIXQJVLNXDGUDWy = 2x2 – 12xDNDQGLEXDWVXDWXVHJLWLJD7LWLNWLWLNVXGXW VHJLWLJD WHUVHEXW PHUXSDNDQ WLWLN SRWRQJ 6XPEX; GDQ WLWLN SXQFDN7HQWXNDQ luas segitiga tersebut.
D. Aplikasi Fungsi Kuadrat 3DGD VXEEDE LQL NDPX DNDQ PHPSHODMDUL EHEHUDSD DSOLNDVL IXQJVL NXDGUDW GDODP kehidupan sehari-hari. Pertanyaan Penting %DJDLPDQDDSOLNDVLIXQJVLNXDGUDWSDGDNHKLGXSDQQ\DWD" Kegiatan 10.5
Lompat Trampolin
Lompat trampolin adalah sebuah permainan di mana seseorang akan dilemparkan ke udara dengan menggunakan trampolin seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini. Pada suatu hari diadakan suatu kompetisi lompat trampolin dimana GHQJDQSHVHUWDORPSDWDQWHUWLQJJLDNDQNHOXDUPHQMDGLSHPHQDQJ8QWXNPHQHQWXNDQ tinggi dari lompatan, panitia menyiapkan suatu alat ukur berupa penggaris dengan ukuran 5 meter yang dipasang secara vertikal disebelah trampolin sehingga tinggi dari lompatan peserta bisa dilihat dari penggaris ini. Namun dengan menggunakan
MATEMATIKA
121
metode ini panitia mengalami masalah yaitu ketika ada peserta yang lompatannya melebihi 5 meter. Untuk menyelesaikan hal ini lakukanlah kegiatan di bawah ini sebagai simulasi.
Sumber: http://tahu-x.blogspot.com
Ayo Kita Amati 1. 6LDSNDQSHQJJDULVEHUXNXUDQFPDWDXFP 2. 6LDSNDQVWRSZDWFKDWDXMDPWDQJDQDWDXMDPGLQGLQJ Siapkan koin atau benda kecil yang bisa dilempar ke atas. 4. Buatlah kelompok minimal terdiri dari tiga orang yang mana bertugas untuk PHOHPSDUNRLQPHQJDPDWLXMLFREDGDQPHQFDWDW 5. Letakkan penggaris secara vertikal dan bilangan nol letakkan pada posisi di bawah. 6. Lemparlah koin atau benda kecil yang kamu siapkan dengan posisi lemparannya di titik nol pada penggaris. 7. $PDWLZDNWX\DQJGLSHUOXNDQNRLQXQWXNPHQFDSDLWLQJJLFPDWDXFP VHVXDLNDQGHQJDQSHQJJDULV\DQJNDPXEDZD
122
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
8. Lakukan kegiatan ini sebanyak 10 kali dan isi tabel berikut ini. Percobaan ke-
Waktu yang diperlukan untuk mencapai 100 cm atau 30 cm
1. 2. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Ayo Kita Mencoba 3DGDWHRUL¿VLNDWHUGDSDWSHUVDPDDQ\DQJEHUKXEXQJDQGHQJDQNHJLDWDQGLDWDV\DLWX 1 h t v0 tí gt2 dengan h menyatakan tinggi benda, v0 menyatakan kecepatan awal 2 atau kecepatan disaat waktu sama dengan nol, t menyatakan waktu dan g menyatakan NRH¿VLHQGDODPJD\DJUDYLWDVL\DQJEHUQLODL 'DULNHJLDWDQGLDWDVLQIRUPDVLDSD VDMD\DQJELVDNDPXGDSDWWHQWXNDQGDQEHULSHQMHODVDQQ\D Ayo Kita Simpulkan 7HQWXNDQ KXEXQJDQ DQWDUD NHJLDWDQ GHQJDQ SHUPDVDODKDQ SDQLWLD ORPSDW trampolin di atas. Dan bagaimana pemecahan masalahnya.
MATEMATIKA
123
Kegiatan 10.6
Membuat Balok
Seorang pengusaha es ingin membuat cetakan untuk es. Untuk itu dia menyediakan VHKHODLND\XEHUXNXUDQPHWHUîPHWHU'HQJDQND\XLQLGLDLQJLQPHPEHQWXN cetakan berbentuk balok dengan tinggi 1 meter tanpa alas dan tutup. Sebagai pengusaha dia ingin menghasilkan es semaksimal mungkin. Selesaikan permasalahan ini dengan melakukan kegiatan berikut. Ayo Kita Amati 6LDSNDQNHUWDVNDUWRQEHUXNXUDQFPîFP 2. Buatlah balok atau kubus tanpa alas dan tutup dengan tinggi 10 cm dari kertas tersebut dengan cara melipat seperti pada contoh gambar berikut ini.
Sumber: Dokumen Kemdikbud
+LWXQJODKYROXPHEDORN\DQJNDPXEXDW 4. Lakukan kegiatan ini sebanyak sepuluh kali dengan menggunakan kertas yang sama tapi ukuran baloknya berbeda. 5. Isilah tabel berikut ini Balok ke-
Volume balok
1. 2. 4.
124
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Balok ke-
Volume balok
5. 6. 7. 8. 9. 10.
Ayo Kita Menalar Dari kesepuluh balok yang kamu buat, balok nomor berapakah yang mempunyai YROXPHWHUEHVDU"0XQJNLQNDKGLEXDWEDORN\DQJODLQGHQJDQYROXPHQ\DOHELKEHVDU daripada volume balok tersebut? Ayo Kita Simpulkan 7HQWXNDQ KXEXQJDQ KDVLO GDUL NHJLDWDQ GL DWDV GHQJDQ NDVXV \DQJ DGD SDGD kegiatan 2 ini. Bagaimana kamu menyelesaikan kasus yang dihadapi oleh pengusaha tersebut?
Kegiatan 10.7
Membuat Persegi
Seorang pengusaha emas mendapatkan pesanan 10 lempeng emas berbentuk segitiga sama sisi dengan ukuran sisinya adalah 10 cm. Akibat dari produksi ini, EDKDQ XQWXN SHPEXDWDQ HPDV \DQJ GLD PLOLNL WHODK KDELV 6HODQMXWQ\D WHUQ\DWD DGDNDEDU\DQJPHQJHMXWNDQ\DLWXVLSHPEHOLWLGDNLQJLQPHPEHOLHPDVEHUEHQWXN VHJLWLJD QDPXQ GLD LQJLQ PHPEHOL HPDV EHUEHQWXN SHUVHJL SDQMDQJ VHEDQ\DN dengan ukuran yang sama dan dia akan membayarnya dengan harga dua kali lipat dari harga sebelumnya. Karena bahannya sudah habis maka si pengusaha harus PHPRWRQJHPDVEHUEHQWXNVHJLWLJDPHQMDGLSHUVHJLSDQMDQJ.DUHQDVLSHQJXVDKD MATEMATIKA
125
ingin mendapat keuntungan maksimal maka dia harus membuat emas berbentuk SHUVHJL SDQMDQJ GHQJDQ OXDV PDNVLPDO 6HOHVDLNDQ SHUPDVDODKDQ LQL GHQJDQ melakukan kegiatan berikut.
10 cm
10 cm 6 cm
FP
FP 6 cm 10 cm
Ayo Kita Amati 1. Siapkan kertas karton. 2. Buatlah segitiga sama sisi dengan ukuran sisi 10 cm. %XDWODKSHUVHJLSDQMDQJGLGDODPVHJLWLJDWHUVHEXWVHSHUWLSDGDJDPEDUGLDWDV 4. +LWXQJODKOXDVGDULSHUVHJLSDQMDQJWHUVHEXW 5. Lakukan kegiatan ini sebanyak sepuluh kali. 6. Isilah tabel berikut ini Persegi Panjang ke-
Luas Persegi Panjang
1. 2. 4. 5. 6.
126
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Persegi Panjang ke-
Luas Persegi Panjang
7. 8. 9. 10.
Ayo Kita Menalar 'DULNHVHSXOXKSHUVHJLSDQMDQJ\DQJNDPXEXDWSHUVHJLSDQMDQJQRPHUEHUDSDNDK \DQJ PHPSXQ\DL OXDV WHUEHVDU" 0XQJNLQNDK GLEXDW SHUVHJL SDQMDQJ \DQJ ODLQ GHQJDQ OXDV OHELK EHVDU GDULSDGD OXDV SHUVHJL SDQMDQJ WHUVHEXW" +XEXQJNDQ KDVLO GDUL NHJLDWDQ LQL GHQJDQ NDVXV \DQJ DGD SDGD NHJLDWDQ LQL %DJDLPDQD NDPX menyelesaikan kasus yang dihadapi oleh pengusaha tersebut? Ayo Kita Berbagi &DULODKDSOLNDVLIXQJVLNXDGUDW\DQJDGDSDGDNHKLGXSDQPXVHKDULKDUL Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan dari hasil diskusi di atas! Materi Esensi
Aplikasi Fungsi Kuadrat
%HULNXWODQJNDKODQJNDKXQWXNPHQ\HOHVDLNDQPDVDODKRSWLPDOLVDVLIXQJVLNXDGUDW /DQJNDK7HQWXNDQ YDULDEHO \DQJ DNDQ GLRSWLPDOLVDVL \DLWX y dan variabel yang bebas yaitu x Langkah 2. Jika model y = ax2bxc tidak diketahui maka bentuklah model y = ax2 bxc dari permasalahan /DQJNDK7HQWXNDQQLODLRSWLPXPGDULPRGHO\DQJGLGDSDWNDQSDGD/DQJNDK
MATEMATIKA
127
Contoh 10.9
Tukang Talang Air
3HNHUMDDQ 3DN 6XUDGL DGDODK SHPEXDW 7DODQJ$LU ,D PHQGDSDW SHVDQDQ PHPEXDW VHEXDK7DODQJ$LUGDULOHPEDUDQVHQJ\DQJOHEDUQ\DFPGHQJDQPHOLSDWOHEDUQ\D DWDVWLJDEDJLDQVHSHUWLWHUOLKDWSDGD*DPEDUGLEDZDKLQL7HQWXNDQQLODL[VXSD\D volume dari talang maksimum.
íx
íx
Alternatif Penyelesaian: Diketahui :
Lembaran seng yang lebarnya 40 cm akan dibuat talang seperti gambar di atas.
Ditanya
Ukuran talang supaya maksimum
:
Penyelesaian: /DQJNDK0HQHQWXNDQYDULDEHO\DQJDNDQGLRSWLPDOLVDVL\DLWXy dan variabel yang bebas yaitu x
9DULDEHOy dalam kasus ini adalah luas sisi talang dan variabel x seperti terlihat pada gambar 1 /DQJNDK0RGHOSHUPDVDODKDQLQLDGDODKy = x íx xí x2 yakni a 2 1 = - , b = 20 dan c = 0 2 b 20 /DQJNDK$JDUy optimum maka nilai x adalah – 20 cm . 2a § 1· 2¨ ¸ © 2¹ Contoh 10.10
Tinggi Balon Udara
7LQJJLGDULEDORQXGDUDGDODPxZDNWXGDSDWGLQ\DWDNDQGDODPEHQWXNIXQJVLf x -16x2 x í PHWHU7HQWXNDQWLQJJLPDNVLPXPEDORQXGDUD
128
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Alternatif Penyelesaian: Diketahui :
Fungsi f x x2 x – 91 merupakan tinggi balon udara
'LWDQ\D
7LQJJLPDNVLPXPEDORQXGDUD
Penyelesaian
:
/DQJNDK7HQWXNDQYDULDEHO\DQJDNDQGLRSWLPDOLVDVL \DLWXy dan variabel yang bebas; yaitu x
9DULDEHOy dalam kasus ini adalah f x \DLWXIXQJVLWLQJJLEDORQ
/DQJNDK0RGHOf x x2 x í /DQJNDK7LQJJLPDNVLPXP
yo
D a
Contoh 10.11
b 2 4ac a
2
6720 105 meter
Luas Kebun
Seorang tukang kebun ingin memagari kebun yang dia miliki. Dia hanya bisa memagari kebun dengan keliling 100 m. Jika pagar yang diinginkan berbentuk SHUVHJLSDQMDQJ%HUDSDOXDVPDNVLPXPNHEXQ\DQJELVDGLSDJDUL" Alternatif Penyelesaian: Diketahui : Diketahui keliling kebun yang akan dipagari 100 meter Ditanya
: Luas maksimum kebun yang akan dipagari
Penyelesaian: x
íx
íx
x /DQJNDK0HQHQWXNDQYDULDEHO\DQJDNDQGLRSWLPDOLVDVL\DLWXy dan variabel yang bebas yaitu x
9DULDEHO y GDODP NDVXV LQL DGDODK OXDV SHUVHJLSDQMDQJ SDGD JDPEDU GL atas.
MATEMATIKA
129
/DQJNDK0RGHOGDOPNDVXVLQLDGDODKy = x íx x íx2 /DQJNDK/XDVPDNVLPXP
yo
D 4a
b 2 4ac 4a
50
2
4 1 0
4 1
2500 4
625 meter
Ayo Kita Simpulkan Berdasarkan contoh di atas, tuliskan langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah RSWLPDOLVDVLIXQJVLNXDGUDW
Ayo Kita Tinjau Ulang 3DGD &RQWRK EDJDLPDQD XNXUDQ WDODQJ MLND EHQWXN JDPEDUQ\D VHEDJDL berikut. Apakah menghasilkan hal yang sama?
x
x íx
3DGD &RQWRK EDJDLPDQD MLND f x x2 x í "$SD \DQJ WHUMDGL" %DJDLPDQDKDOLWXELVDWHUMDGL"-HODVNDQ" Latihan 10.4
Aplikasi Fungsi Kuadrat
1. 6XDWXSHUVHJLSDQMDQJNHOLOLQJQ\DFP7HQWXNDQXNXUDQSHUVHJLSDQMDQJDJDU mempunyai luas maksimum. 2. 6HOHPEDUNDUWRQEHUEHQWXNSHUVHJLSDQMDQJDNDQGLEXDWNRWDNWDQSDWXWXSGHQJDQ cara membuang persegi seluas sîs cm2GLWLDSSRMRNQ\D-LNDNDUWRQWHUVHEXW EHUXNXUDQîFP27HQWXNDQYROXPHNRWDNPDNVLPXP" 6HEXDKVHJLWLJDVLNXVLNXMXPODKNHGXDVLVLVLNXVLNXQ\DDGDODKFP7HQWXNDQ ukuran segitiga siku-siku agar mempunyai luas maksimum.
130
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
4. Seorang siswa memotong selembar kertas. Kain hasil potongannya berbentuk SHUVHJLSDQMDQJ GHQJDQ NHOLOLQJ FP $SDELOD VLVZD WHUVHEXW EHUKDUDS PHQGDSDWNDQNDLQKDVLOSRWRQJDQPHPSXQ\DLOXDVPDNVLPXPWHQWXNDQSDQMDQJ dan lebar kain. 5. 6HEXDKSHOXUXGLWHPEDNNDQYHUWLNDONHDWDV7LQJJLSHOXUXh GDODPPHWHU VHEDJDL IXQJVLZDNWXt GDODPGHWLN GLUXPXVNDQGHQJDQ h t t2t7HQWXNDQWLQJJL maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan. Diketahui bahwa tinggi Jam Gadang yangada GL 6XPDWHUD DGDODK PHWHU 7HQWXNDQ SHPHFDKDQ PDVDODK EHULNXW LQL 3HWXQMXN 5XPXV¿VLNDXQWXNEHQGD\DQJGLMDWXKNDQSDGD ketinggian tertentu adalah s = s0ív0 t t2 dan untuk benda yang dilempar keatas adalah h = h0 v0 tít2GHQJDQVDGDODKMDUDNEHQGD\DQJ GLMDWXKNDQWHUKDGDSSRVLVLDZDOEHQGD PHWHU K DGDODK MDUDN EHQGD \DQJ GLOHPSDU WHUKDGDS SRVLVL DZDO EHQGD PHWHU W DGDODK ZDNWX GHWLN s0 dan h0 adalah ketinggian awal, dan v0 DGDODKNHFHSDWDQDZDOEHQGD PV
6.
Sumber: http://id.wikipedia.org
D 3DGDVXDWXKDULDGDVHVHRUDQJ\DQJPHQMDWXKNDQDSHOGDULDWDVJHGXQJ-DP Gadang. Jika diharapkan apel tiba di tanah pada 0,7 detik setelah pelemparan DSHO7HQWXNDQNHFHSDWDQDZDODSHO b. Pada suatu hari ada seseorang yang melempar apel keatas. Jika orang tersebut menginginkan tinggi lemparannya tersebut tepat sama dengan tinggi gedung -DP*DGDQJ7HQWXNDQNHFHSDWDQDZDO\DQJKDUXVGLEHULNDQRUDQJWHUVHEXW pada saat melempar apel.
7.
Sumber: http://www.wikihow.com
Seorang pemain bola basket mempunyai tinggi 170 cm. Sedangkan tinggi NHUDQMDQJDGDODKPHWHU3HPDLQEDVNHW WHUVHEXWPHOHPSDUERODEDVNHWVHMDXK PHWHU GDUL SRVLVL WLDQJ NHUDQMDQJ GDQ posisi awal bola berada tepat di atas NHSDOD SHPDLQ 7HUQ\DWD OHPSDUDQQ\D mempunyai tinggi maksimum 4,5 meter GDQVHFDUDKRULVRQWDOEHUMDUDNPHWHU dari pemain. Jika lemparannya membentuk parabola tentukan apakah ERODWHUVHEXWPDVXNNHGDODPNHUDQMDQJ"
MATEMATIKA
131
Seorang tukang bangunan mendapat pesanan membuat air mancur yang diletakkan dipusat kolam kecil yang berbentuk lingkaran. Pemesan menginginkan luas kolamnya adalah 10 m2. Jika tinggi maksimum dari air mancur adalah 2 meter dan air mancurnya KDUXV MDWXK WHSDW GLWHSLDQ NRODP PDND tentukan persamaan kuadrat dari air mancur.
8.
Sumber: http://www.wikihow.com
9.
6HRUDQJ DWOHW ORPSDW MDXK VHGDQJ mengadakan latihan. Pada saat latihan dia mengambil awalan lari dengan kecepatan tertentu dan pada saat di balok WXPSXDQNHFHSDWDQQ\DNLUDNLUDPV Sumber: http://elgisha.wordpress.com/ NHPXGLDQSDGDVDDWLWXMXJDGLDPHORPSDW GHQJDQVXGXW07HQWXNDQMDUDNDWOHWWHUVHEXWGHQJDQEDORNWXPSXDQNHWLNDGLD VDPSDL GLWDQDK" 3HWXQMXN 5XPXV ¿VLND XQWXN MDUDN YHUWLNDO WLQJJL \DQJ 1 EHUJDQWXQJWHUKDGDSZDNWXGHQJDQVXGXWDZDO0 adalah h = v0 t ít2 dan 2 1 MDUDNKRULVRQWDO\DQJEHUJDQWXQJSDGDZDNWXDGDODKV v0 t dengan t adalah 2 ZDNWX GHWLN h adalah tinggi lompatan pada saat t P sDGDODKMDUDNKRULVRQWDO pada saat t P GDQv0 DGDODKNHFHSDWDQDZDO Bak Pasir
Lintasan lari 1m
10.
Sumber: Dokumen Kemdikbud
132
Kelas IX SMP/MTs
Balok 7XPSXDQ
Seorang atlet lompat tinggi sedang mengadakan latihan. Pada saat latihan dia mengambil awalan lari dengan kecepatan tertentu dan dia melompat dengan sudut mendekati 900 pada saat MDUDNQ\D VDQJDW GHNDW VHNDOL GHQJDQ tiang lompat. Satu detik setelah dia melompat, tubuhnya mencapai tanah. 7HQWXNDQ NHFHSDWDQ ODUL VHVDDW VHEHOXP dia melompat supaya lompatannya bisa melewati tinggi mistar lompat yaitu 2 PHWHU 3HWXQMXN 5XPXV ¿VLND XQWXN
Semester 2
tinggi yang bergantung terhadap waktu dengan sudut awal lompatan mendekati 1 900 adalah h= v0 t ít2GHQJDQWDGDODKZDNWX GHWLN h adalah tinggi lompatan 2 pada saat t P GDQY0DGDODKNHFHSDWDQDZDO Proyek 8NXUODK WLQJJL EDGDQPX t GDQ MXJD SDQMDQJ MDQJNDXDQ NHGXD WDQJDQPX j 1\DWDNDQNHGXDQ\DGDODPVDWXDQFP7XJDVPXDGDODKPHPEXDWIXQJVLNXDGUDW EHUGDVDUNDQLQIRUPDVLWLQJJLGDQMDQJNDXDQWDQJDQWDQJDQPXVHEDJDLEHULNXW
*UD¿NIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWPHPLOLNLWLWLNSXQFDNSDGDNRRUGLQDW h
*UD¿NIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWPHPRWRQJ6XPEXX pada koordinat
j j dan 2 2
Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
Sumber: Dokumen Kemdikbud
Uji Kompetensi 10
Fungsi Kuadrat
*DPEDUNDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWEHULNXW a. f x x2x F f x x2x b. f x x2 – 6x 7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHPRWRQJ6XPEXX pada tiitk koordinat GDQ VHUWDPHPRWRQJ6XPEXY SDGDWLWLNNRRUGLQDW 7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHPLOLNLWLWLNSXQFDNSDGDWLWLNNRRUGLQDW VHUWDPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW
MATEMATIKA
133
7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW GDQ 7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW VHUWD 1 memiliki sumbu simetri x = 2 $QDOLVD NHVDODKDQ/LO\ PHQHQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ PHPLOLNL DNDU x dan x VHUWDJUD¿NQ\DPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW )XQJVLNXDGUDW\DQJ diperoleh adalah y = -2x2 – 2x7HQWXNDQNHVDODKDQ\DQJGLODNXNDQROHK/LO\ 7DQWDQJDQ7HQWXNDQEDQ\DNQ\DIXQJVLNXDGUDWy = ax2bxc yang memiliki GXDDNDUEHUEHGDGHQJDQa, b, c 7HQWXNDQWLWLNSRWRQJJUD¿NIXQJVLOLQHDUy = 2xGHQJDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDW y = 2x2íx 7HQWXNDQWLWLNSRWRQJJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = 2x2 xGHQJDQJUD¿NIXQJVL kuadrat y = x2 x 7DQWDQJDQ$SDNDKPXQJNLQJDULVKRULVRQWDOPHPRWRQJJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = ax2bx c tepat pada satu titik koordinat? 7HQWXNDQVXPEXVLPHWULGDQQLODLRSWLPXPGDULJUD¿NIXQJVLGLEDZDKLQL a. y x2 – 7x c. y = 6x2 x b. y = 8x2 íx 6NHWVDODKJUD¿NIXQJVLEHULNXWLQL a. y = 6x2 x b. y = 7x2 x 'LNHWDKXL VXDWX EDULVDQ « 6XNX NHn dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un = an2 bnc7HQWXNDQEDULVDQNH 14. Diketahui suatu barisan barisan 5, 19, 29, … . Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un = an2 bnc7HQWXNDQQLODLPDNVLPXPGDUL barisan tersebut. -LNDIXQJVLy = ax2x a mempunyai nilai maksimum 0, maka tentukan a. 16. Seorang sopir mengemudikan mobilnya dengan NHFHSDWDQ NRQVWDQ PV 7LEDWLED GLD PHOLKDW RUDQJ \DQJ VHGDQJ EHUGLUL GLWHQJDK MDODQ \DQJ EHUMDUDN P GLGHSDQ PRELOQ\D NHPXGLDQ GLD PHQJHUHP PRELOQ\D GHQJDQ SHUODPEDWDQ PV2. Apakah mobil tersebut menabrak orang didepannya LWX" 3HWXQMXN UXPXV¿VLNDXQWXNNDVXVLQLDGDODK Sumber: Dokumen Kemdikbud 1 s = v0 t - at2GHQJDQWPHQ\DWDNDQZDNWX GHWLN 2 mulai dari pengereman, s MDUDN WHPSXK SDGD VDDW t, v0 menyatakan kecepatan mobil dan aPHQ\DWDNDQSHUODPEDWDPRELO
134
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
17.
Sumber: Dokumen Kemdikbud
18.
Sumber: http://idkf.bogor.net
$LU 7HUMXQ 0DGDNDULSXUD WHUOHWDN GL .HFDPDWDQ Lumbang, Probolinggo merupakan salah satu air WHUMXQGLNDZDVDQ7DPDQ1DVLRQDO%URPR7HQJJHU 6HPHUX7LQJJLGDULDLUWHUMXQLQLDGDODKP3DGD suatu hari ada seseorang yang melepas ikan tepat GDUL DWDV DLU WHUMXQ 7HQWXNDQ EHUDSD ZDNWX \DQJ diperlukan ikan tersebut untuk mencapai dasar air WHUMXQ" -LND SHUVDPDDQ MDUDN WHPSXK GDUL LNDQ tersebut adalah y = y0ít2 dengan yMDUDNWHPSXK y0DGDODKWLQJJLDLUWHUMXQGDQt waktu tempuh. Sebuah roket mempunyai dua bahan bakar yaitu salah satunya berada pada pada bagian ekor. Pada ketinggian tertentu bahan bakar ini akan dibuang untuk mengurangi bobot. Suatu roket mempunyai rumusan suatu persamaan y t – 5t2 dengan t DGDODKZDNWX GHWLN GDQ\PHQ\DWDNDQWLQJJLURNHW Jika ekor roket dibuang pada saat mencapai tinggi maksimum, tentukan tinggi roket pada saat membuang bahan bakarnya? Seorang atlet tolak peluru mempunyai tinggi 160 cm. Atlit ini melempar peluru tepat di atas NHSDODQ\D 7HUQ\DWD OHPSDUDQQ\D PHPSXQ\DL tinggi maksimum 4,5 meter dan secara horisontal EHUMDUDNPHWHUGDULSHPDLQ-LNDOHPSDUDQQ\D PHPEHQWXN SDUDEROD WHQWXNDQ MDUDN \DQJ GLFDSDL peluru tersebut!
19.
Sumber: Dokumen Kemdikbud
%DORQ XGDUD MDWXK GDUL NHWLQJJLDQ NDNL 'LEHULNDQIXQJVLh t2 GHQJDQh adalah tinggi balon setelah t detik. Kapan balon ini mencapai tanah?
20.
Sumber: http://2.bp.blogspot.com
MATEMATIKA
135
Contoh Penilaian Sikap
KUESIONER SIKAP SISWA TERHADAP KOMPONEN DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN 1DPD6HNRODK 0DWD3HODMDUDQ 0DWHUL
.HODV6HPHVWHU +DULWDQJJDO 1DPD
A. TUJUAN 7XMXDQ SHQJJXQDDQ NXHVLRQHU LQL DGDODK XQWXN PHQMDULQJ GDWD VLNDS VLVZD WHUKDGDS NHJLDWDQGDQNRPSRQHQSHPEHODMDUDQGDODPSHODNVDQDDQSHPEHODMDUDQPDWHPDWLND B. PETUNJUK
%HULWDQGDFHN 9 SDGDNRORP\DQJVHVXDLPHQXUXWSHQGDSDWPX No.
Aspek
Senang
Tidak Senang
I
Bagaimana sikapmu terhadap komponen berikut? D 0DWHULSHODMDUDQ b. Buku Siswa F /HPEDU.HUMD6LVZD /.6 G 6XDVDQDEHODMDUGLNHODV H &DUDJXUXPHQJDMDU
...................... ...................... ...................... ...................... ......................
........................... ........................... ........................... ........................... ...........................
%HULNDQDODVDQVHFDUDVLQJNDWDWDVMDZDEDQ\DQJGLEHULNDQ
II
Bagaimana pendapatmu terhadap komponen berikut? D 0DWHULSHODMDUDQ b. Buku Siswa F /HPEDU.HUMD6LVZD /.6 G 6XDVDQDEHODMDUGLNHODV H &DUDJXUXPHQJDMDU
Baru
Tidak Baru
...................... ...................... ...................... ...................... ......................
........................... ........................... ........................... ........................... ...........................
%HULNDQDODVDQVHFDUDVLQJNDWDWDVMDZDEDQ\DQJGLEHULNDQ
136
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Tidak Bermanfaat
Bermanfaat
III
Apakah kamu berminat mengikuti NHJLDWDQEHODMDUVHODQMXWQ\DVHSHUWL\DQJ ...................... ........................... telah kamu ikuti sekarang?
%HULNDQDODVDQVHFDUDVLQJNDWDWDVMDZDEDQ\DQJGLEHULNDQ
Ya
,9
Tidak
Bagaimana pendapatmu terhadap DNWLYLWDVEHODMDUPDWHPDWLNDGLNHODVGDQ di luar kelas? a. Apakah ananda merasa terbebani ..................... terhadap tugas yang diberikan guru? E $NWLYLWDVEHODMDUPDWHPDWLNDPHQXUXW ..................... saya adalah menarik.
Bermanfaat
9
.......................... ..........................
Tidak Bermanfaat
Bagaimana menurut pendapatmu, DSDNDK PDWHPDWLND EHUPDQIDDW GDODP ...................... ........................... kehidupan?
Rubrik Penilaian Sikap
Kriteria
Skor
Siswa memberikan respon senang dan baru terhadap komponen SHPEHODMDUDQ PDWHPDWLND berminat, tertarik dan tidak merasa terbebani WHUKDGDS WXJDV GDQ DNWLYLWDV EHODMDU PDWHPDWLND WHWDSL merasakan kebermanfaatan EHODMDUPDWHPDWLND
4
MATEMATIKA
137
Siswa memberikan respon senang dan baru terhadap komponen SHPEHODMDUDQ PDWHPDWLND berminat, tertarik dan tidak merasa terbebani WHUKDGDS WXJDV GDQ DNWLYLWDV EHODMDU PDWHPDWLND WHWDSL WLGDN merasakan kebermanfaatanEHODMDUPDWHPDWLND
3
Siswa memberikan respon senang dan baru terhadap komponen SHPEHODMDUDQ PDWHPDWLND WHWDSL tidak berminat, tidak tertarik dan merasa terbebaniWHUKDGDSWXJDVGDQDNWLYLWDVEHODMDUPDWHPDWLNDVHUWD tidak merasakan kebermanfaatanEHODMDUPDWHPDWLND
2
Siswa memberikan respon tidak senangWHUKDGDSNRPSRQHQSHPEHODMDUDQ matematika, tidak berminat, tidak tertarik dan merasa terbebani WHUKDGDS WXJDV GDQ DNWLYLWDV EHODMDU PDWHPDWLND VHUWD tidak merasakan kebermanfaatanEHODMDUPDWHPDWLND
1
Contoh Penilaian Diri
PENILAIAN DIRI DALAM KELOMPOK (SELF-ASSESSMENT IN GROUP) Nama Anggota Kelompok Kegiatan Kelompok
: ........................................................................... : ........................................................................... : ...........................................................................
8QWXNSHUWDQ\DDQVDPSDLGHQJDQWXOLVPDVLQJPDVLQJKXUXIVHVXDLGHQJDQSHQGDSDWPX x A = Selalu x B = Jarang x C = Jarang Sekali x ' 7LGDNSHUQDK 1 2
____Selama diskusi saya memberikan saran kepada kelompok untuk didiskusikan. ____Ketika Kami berdiskusi, setiap anggota memberikan masukan untuk didiskusikan. BBBB6HPXDDQJJRWDNHORPSRNKDUXVPHODNXNDQVHVXDWXGDODPNHJLDWDQNHORPSRN BBBB6HWLDS DQJJRWD NHORPSRN PHQJHUMDNDQ NHJLDWDQQ\D VHQGLUL GDODP NHJLDWDQ kelompok. Selama kegiatan, saya .... BBBB0HQGHQJDUNDQBBBB0HQJHQGDOLNDQNHORPSRN BBBB%HUWDQ\D BBBB0HQJJDQJJXNHORPSRN BBBB0HUDQFDQJJDJDVDQ BBBB7LGXU 5 Selama kegiatan kelompok, tugas apa yang kamu lakukan?
138
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
Contoh Penilaian Partisipasi Siswa
LEMBAR PENILAIAN PARTISIPASI Nama : ____________________________________________ Kelas : ____________________________________________ Hari/Tanggal : ____________________________________________ .DPX WHODK PHQJLNXWL SHODMDUDQ PDWHPDWLND KDUL LQL ,QJDWODK NHPEDOL EDJDLPDQD partisipasi kamu dalam kelas matematika hari ini. -DZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXWVHMXMXUQ\D x Apakah kamu berpartisipasi dalam diskusi? x $SDNDKNDPXWHODKPHPSHUVLDSNDQGLULVHEHOXPPDVXNNHODVDWDXWHODKPHQJHUMDNDQ 35VHKLQJJDNDPXGDSDWPHQMDZDESHUWDQ\DDQGLNHODV" x Apakah kamu bertanya ketika kamu tidak paham? x -LNDDGDWHPDQEHUWDQ\D NHSDGDJXUXNHSDGDPXNHSDGDWHPDQODLQ DSDNDKNDPX menyimaknya? Berikan skor atas partisipasi kamu, menurut ketentuan berikut ini. ¾ -LND NDPX PHQMDZDE ³ya´ SDGD VHPXD SHUWDQ\DDQ GL DWDV EDJXV « NDPX WHODK melakukan partisipasi yang sempurna. Berikan nilai untuk dirimu 5. ¾ -LNDNDPXPHQMDZDE³ya´SDGDWLJDSHUWDQ\DDQGLDWDVEHULNDQQLODLXQWXNGLULPX4. ¾ -LNDNDPXPHQMDZDE³ya´SDGDGXDSHUWDQ\DDQGLDWDVEHULNDQQLODLXQWXNGLULPX3. ¾ -LNDNDPXKDQ\DPHQMDZDE³ya´SDOLQJEDQ\DNSDGDVDWXSHUWDQ\DDQGLDWDVEHULNDQ nilai untuk dirimu 2GDQXSD\DNDQXQWXNPHQLQJNDWNDQSDUWLVLSDVLPXGDODPSHODMDUDQ matematika. Nilai partisipasi saya hari ini adalah : ____________.
7DQGDWDQJDQBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
MATEMATIKA
139
Lembar Partisipasi
(Lembar ini diisi setiap jam belajar matematika) Tulislah dengan jujur, partisipasi anda dalam belajar matematika di kelas hari ini. Partisipasi yang dimaksud adalah: x Bertanya kepada teman di dalam kelas. x Bertanya kepada guru di dalam kelas. x Menyelesaikan tugas belajar dalam kelompok. x Mempresentasikan hasil kerja di depan kelas. x Menawarkan ide/menjawab pertanyaan teman di dalam kelas. x Menawarkan ide/menjawab pertanyaan guru di dalam kelas. x Membantu teman dalam belajar. Pertanyaan utama yang harus dijawab pada tabel berikut adalah: Partisipasi apa yang kamu lakukan dalam belajar Matematika hari ini?
Hari/Tanggal
140
Kelas IX SMP/MTs
Partisipasi apa yang kamu lakukan?
Semester 2
Contoh Pengolahan Laporan Pencapaian Kompetensi Matematika a.
Pengelolan Skor Kompetensi Pengetahuan
6HWHODKSHODNVDQDDQXMLNRPSHWHQVLSHQJHWDKXDQPDWHPDWLNDPHODOXLWHVGDQSHQXJDVDQ GHQJDQ FRQWRK LQVWUXPHQ GDQ SHGRPDQ SHQVNRUDQ \DQJ WHODK GLVDMLNDQ GL DWDV PDND diperoleh skor. Dari beberapa kali pemberian tes dan penugasan dalam mengukur kompetensi pengetahuan, perlu pengelolaan skor untuk laporan pencapaian kompetensi. Berikut contoh untuk dipedomani guru. Skor
Skor Akhir
KD Tes
Penugasan
Skala 1-100
Skala 1-4
3.1
84
90
86
3.44
3.2
76
84
79
3.16
3.3
80
70
77
3.08
3.4
84
87
85
3.40
Rata-Rata Skor Akhir
3.22
Cara konvensi ke skala 1-4 adalah
Skor yang diperoleh î 6NRUDNKLU Skor maksimal b. Pengelolaan Skor ompetensi Keterampilan 6HWHODK SHODNVDQDDQ XML NRPSHWHQVL NHWHUDPSLODQ PDWHPDWLND PHODOXL SHQLODLDQ XQMXN NHUMD SURMHN GDQ SRUWRIROLR GHQJDQ FRQWRK LQVWUXPHQ GDQ UXEULN \DQJ WHODK GLVDMLNDQ GL atas maka diperoleh skor. Dari beberapa kali pemberian tes dan penugasan dalam mengukur kompetensi pengetahuan, perlu pengelolaan skor untuk laporan pencapaian kompetensi. Berikut contoh untuk dipedomani guru. Skor KD
Tes Praktik
Projek
4.1
84
90
4.2
76
4.3
65
Skor Akhir Portofolio
Skala 1-100
Skala 1-4
-
87
3.48
84
-
80
3.20
60
70
65
2.60
Rata-Rata Skor Akhir
3.09
MATEMATIKA
141
Cara konvensi ke skala 1-4 adalah
Skor yang diperoleh î 6NRUDNKLU Skor maksimal Petunjuk 3HQLODLDQ VHWLDS PDWD SHODMDUDQ PHOLSXWL NRPSHWHQVL SHQJHWDKXDQ NRPSHWHQVL keterampilan, dan kompetensi sikap. 2.
Kompetensi pengetahuan dan kompetensi keterampilan menggunakan skala 1–4 NHOLSDWDQ VHGDQJNDQ NRPSHWHQVL VLNDS PHQJJXQDNDQ VNDOD 6DQJDW %DLN 6% %DLN % &XNXS & GDQ.XUDQJ . \DQJGDSDWGLNRQYHUVLNHGDODPSUHGLNDW$' seperti pada tabel di bawah ini.
7DEHO .RQYHUVL.RPSHWHQVL3HQJHWDKXDQ.HWHUDPSLODQGDQ6LNDS Nilai Kompetensi Predikat Pengetahuan
Keterampilan
A
4
4
A-
%
B
B-
2,66
2,66
&
C
2
2
C-
1,66
1,66
'
D-
1
1
Sikap
SB
B
C
K .HWXQWDVDQPLQLPDOXQWXNVHOXUXKNRPSHWHQVLGDVDUSDGDNRPSHWHQVLSHQJHWDKXDQGDQ NRPSHWHQVLNHWHUDPSLODQ\DLWX % 4.
142
Pencapaian minimal untuk kompetensi sikap adalah B. Untuk kompetensi yang belum WXQWDV NRPSHWHQVL WHUVHEXW GLWXQWDVNDQ PHODOXL SHPEHODMDUDQ UHPHGLDO VHEHOXP PHODQMXWNDQ SDGD NRPSHWHQVL EHULNXWQ\D 8QWXN PDWD SHODMDUDQ \DQJ EHOXP WXQWDV SDGD VHPHVWHU EHUMDODQ GLWXQWDVNDQ PHODOXLSHPEHODMDUDQ UHPHGLDO VHEHOXP PHPDVXNL semester berikutnya.
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
B. Petunjuk Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan .XULNXOXP0DWHPDWLNDDGDODKNXULNXOXPEHUEDVLVNRPSHWHQVLGHQJDQSHQGHNDWDQ SHPEHODMDUDQ WXQWDV 3HPEHODMDUDQ WXQWDV mastery learning GDODP SURVHV SHPEHODMDUDQ EHUEDVLV NRPSHWHQVL GLPDNVXGNDQ DGDODK SHQGHNDWDQ GDODP SHPEHODMDUDQ \DQJ mempersyaratkan peserta didik menguasai secara tuntas seluruh kompetensi dasar pokok EDKDVDQDWDXPDWDSHODMDUDQWHUWHQWX3HVHUWDGLGLNGLNDWDNDQPHQJXDVDLVHFDUDWXQWDVVHOXUXK NRPSHWHQVLGDVDUSDGDSRNRNEDKDVDQDWDXPDWDSHODMDUDQPDWHPDWLNDSDGDNHODVWHUWHQWX DSDELOD SHVHUWD GLGLN WHUVHEXW PHPSHUROHK KDVLO SHQLODLDQXML NRPSHWHQVL OHELK EHVDU DWDX VDPD GHQJDQ GDUL .HWXQWDVDQ %HODMDU .% \DQJ GLWHWDSNDQ GDODP NXULNXOXP 6HEDOLNQ\D peserta didik dikatakan tidak tuntas. %DJLSHVHUWDGLGLN\DQJPHPSHUROHKKDVLOSHQLODLDQXMLNRPSHWHQVLSDGDSRNRNEDKDVDQ PDWDSHODMDUDQPDWHPDWLNDNXUDQJGDUL.%ZDMLEGLEHULSHPEHODMDUDQUHPHGLDO3HPEHODMDUDQ remedial pada hakikatnya adalah pemberian bantuan bagi peserta didik yang mengalami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treatment SHPEHODMDUDQ remedial. %DJL SHVHUWD GLGLN \DQJ PHPSHUROHK KDVLO SHQLODLDQXML NRPSHWHQVL SDGD SRNRN EDKDVDQPDWDSHODMDUDQPDWHPDWLNDNXUDQJGDUL.%ZDMLEGLEHULSHPEHODMDUDQSHQJD\DDQ 3HPEHODMDUDQSHQJD\DDQDGDODKSHPEHODMDUDQ\DQJPHPEHULNDQSHQJDODPDQ PHPEDQJXQ EHUSLNLU WLQJNDW WLQJJL \DLWX EHUSLNLU NULWLV GDQ NUHDWLI OHELK PHQGDODPL PDWHUL WHUNDLW kompetensi atau kegiatan peserta didik yang melampaui persyaratan minimal yang ditentukan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bulannya.
MATEMATIKA
143
DAFTAR PUSTAKA +DHVH5GNN0DWKHPDWLFVIRU
144
Kelas IX SMP/MTs
Semester 2
A... B... C...
Glosarium
%DQJXQUXDQJ %DQJXQUXDQJVLVLOHQJNXQJ Barisan bilangan Bidang koordinat
Busur 'DWD 'HUHWELODQJDQ Diagram batang 'LDJUDPJDULV Diagram lingkaran 'LDJUDPSRKRQ Diameter *UD¿N )XQJVL -DUDN -DULMDUL -DULQJMDULQJ .HMDGLDQ .HOLOLQJOLQJNDUDQ
2EMHN \DQJ PHPLOLNL GLPHQVL SDQMDQJ OHEDU WLQJJL 0LVDOQ\DSULVPDOLPDVNXEXV %DQJXQ UXDQJ \DQJ PHPLOLNL VLVL OHQJNXQJ 0LVDOQ\D tabung, kerucut dan bola. Susunan bilangan yang membentuk suatu pola atau aturan tertentu. Bidang yang dibentuk oleh sumbu horizontal dan sumbu vertikal, seringkali Sumbu-X untuk garis horizontal dan Sumbu-Y untuk garis vertikal; terdiri atas kuadran 1 sampai 4 yang ditandai dengan angka romawi I, II, III, GDQ,9 Kurva lengkung yang berimpit dengan suatu lingkaran. ,QIRUPDVL\DQJGLNXPSXONDQ'DWDELDVDQ\DGDODPEHQWXN bilangan, dikumpulkan dalam bentuk tabel, diolah dalam bentuk diagram. 3HQMXPODKDQGDULVXNXVXNXSDGDEDULVDQELODQJDQ Gambar yang menggunakan batang secara horizontal atau YHUWLNDOXQWXNPHQXQMXNNDQVXDWXGDWD *UD¿N \DQJ PHQJJXQDNDQ VHJPHQ JDULV XQWXN PHQXQMXNNDQSHUXEDKDQGDWD Bagan lingkaran dengan membagi luas lingkaran oleh MXULQJ\DQJPHZDNLOLVXDWXGDWD MXPODKGDWDSDGDVHWLDS MXULQJKDUXV 'LDJUDP \DQJ PHQXQMXNNDQ KDVLO \DQJ PXQJNLQ GDODP VXDWXHNVSHULPHQ SHOXDQJWHRULWLN Segmen garis pada lingkaran yang melalui pusat lingkaran. 5HSUHVHQWDVLYLVXDO\DQJGLJXQDNDQXQWXNPHQXQMXNNDQ hubungan numerik. 3HPHWDDQ VHWLDS DQJJRWD VHEXDK KLPSXQDQ GLQDPDNDQ VHEDJDL GRPDLQ NHSDGD DQJRWD KLPSXQDQ \DQJ ODLQ GLQDPDNDQVHEDJDLNRGRPDLQ $QJND \DQJ PHQXQMXNNDQ VHEHUDSD MDXK VXDWX EHQGD berupa posisi melalui suatu lintasan tertentu. 5XDVJDULV\DQJGLWDULNGDULSXVDWOLQJNDUDQNHVHEDUDQJ titik pada lingkaran; sama dengan setengah diameter. 3HUSDGXDQ EHEHUDSD SRO\JRQ \DQJ GDSDW GLEXDW EDQJXQ ruang. %DJLDQGDULUXDQJVDPSHO 3DQMDQJNXUYDOHQJNXQJWHUWXWXS\DQJEHULPSLWSDGDVXDWX lingkaran.
MATEMATIKA
145
Konstanta Koordinat Kuadran
Luas permukaan 0HDQ 0HGLDQ 0RGXV 3HOXDQJ
Persamaan garis lurus
Persamaan linear dua variabel Pola 5XDQJVDPSHO Suku Sumbu Sumbu-X Sumbu-Y 7HRUHPD3K\WDJRUDV
7LWLNDVDO 9DULDEHO
9ROXPH
146
Kelas IX SMP/MTs
Lambang yang mewakili suatu nilai tertentu. Pasangan terurut suatu bilangan yang digunakan untuk PHQHQWXNDQWLWLNSDGDELGDQJNRRUGLQDWGLWXOLV x, y Satu dari empat bagian bidang koordinat yang dipisahkan oleh Sumbu-X dan Sumbu-Y. Kuadran diberi nama .XDGUDQ,,,,,,GDQ,9\DQJGLPXODLGDULEDJLDQNDQDQ DWDVEHUODZDQDQDUDKMDUXPMDP Jumlah luas semua sisi-sisi pada bangun ruang. 1LODLUDWDUDWDGDULNXPSXODQGDWD 1LODLGDWD \DQJ WHUOHWDN GL WHQJDK VHWHODK NXPSXODQ GDWD tersebut diurutkan dari yang kecil hingga terbesar. 1LODLGDWD \DQJ SDOLQJ VHULQJ PXQFXO SDGD VHNXPSXODQ data. 3HUEDQGLQJDQDQWDUDNHMDGLDQ\DQJVXGDKWHUMDGLGHQJDQ VHPXD NHMDGLDQ \DQJ PXQJNLQ WHUMDGL QLODLQ\D VDPD dengan atau lebih dari 0 dan kurang dari atau sama dengan 1. Pernyataan matematika yang menyatakan dua ekspresi DOMDEDU DGDODK VDPD 3HUQ\DWDDQ \DQJ EHULVL WDQGD VDPD GHQJDQ 0LVDOQ\D y = ax b; dinyatakan oleh garis lurus pada bidang koordinat. Kalimat matematika yang dinyatakan dalam bentuk ax by = c, dengan a, b z 0. Sebuah susunan yang mempunyai bentuk yang teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya. +LPSXQDQ VHPXD KDVLO \DQJ PXQJNLQ GLSHUROHK SDGD suatu percobaan. Setiap anggota bilangan dari suatu barisan bilangan. Garis horizontal atau vertikal dalam sistem koordinat Cartesius untuk meletakkan titik pada bidang koordinat. Garis bilangan horizontal pada bidang koordinat. Garis bilangan vertikal pada bidang koordinat. +XEXQJDQ PDWHPDWLV \DQJ PHQ\DWDNDQ EDKZD GDODP VHJLWLJD VLNXVLNX MXPODK NXDGUDW GDUL SDQMDQJ GXD VLVL VDPD GHQJDQ NXDGUDW VLVL PLULQJQ\D hipotenusa MLND a dan bDGDODKSDQMDQJGXDVLVLVHJLWLJDVLNXVLNXGDQc DGDODKSDQMDQJVLVLPLULQJ KLSRWHQXVD PDNDa2b2 = c2. 7LWLNSDGDELGDQJNRRUGLQDW\DQJPHUXSDNDQWLWLNSRWRQJ Sumbu-X dan Sumbu-Y EHUNRRUGLQDW 6LPERO \DQJ PHZDNLOL VXDWX ELODQJDQ GDODP VXDWX EHQWXNDOMDEDUPLVDOnYDULDEHOQ\DDGDODKn. - Simbol yang digunakan untuk menyatakan nilai yang WLGDNGLNHWDKXLGDODPVXDWXSHUVDPDDQ0LVDOa 6, variabelnya adalah a. Simbol yang digunakan untuk menyatakan suatu bilangan atau anggota himpunan pasangan terurut. 0LVDOy = xYDULDEHOQ\DDGDODKx dan y. 3HUKLWXQJDQ VHEHUDSD EDQ\DN UXDQJ \DQJ ELVD GLWHPSDWL GDODPVXDWXREMHN
Semester 2
Copyright:
