ENCUENTRO # 45 TEMA: Circunferencia. Propiedades. CONTENIDOS: 1. Elementos de una circunferencia. 2. Ángulos en la circunferencia. 3. Circunferencia. Propiedades.

Ejercicio reto 1. ABCD es un paralelogramo, hallar m ∠ ABE

A) 93◦

C) 83◦

B) 91◦

D) 81◦

E) 80◦

Circunferencia y círculo Definición 1. Circunferencia Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro de la circunferencia. Definición 2. Círculo Es el conjunto de todos los puntos que están sobre una circunferencia o en su interior Ejemplo 1.1.

circunferencia

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círculo

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Elementos de una circunferencia • AB : diámetro • C 0 = r : radio • FG: cuerda • s: recta secante • t : recta tangente • T : punto de tangencia • M: punto exterior • R: punto interior • Ù AC : arco

Ángulos en la circunferencia. Relaciones entre ángulos y arcos en la circunferencia En dependencia del punto donde se localice el vértice de un ángulo y la relación entre sus lados y una circunferencia se tienen diversos tipos de ángulos, entre ellos se tienen: Subtipo 1.0.1. Ángulo central: Es todo ángulo con su vértice en el centro de la circunferencia. Su medida es igual a la de su arco correspondiente

Subtipo 1.0.2. Ángulo inscrito: Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son rayos secantes.

Teorema 1. La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre AB. sus lados. En la figura, m ∠ AP B = 1 m Ù 2

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Subtipo inscrito:

1.0.3.

Ángulo

semi-

Es el ángulo que tiene

su vértice en la circunferencia y sus lados lo forman un rayo tangente y un rayo secante. Teorema 2. La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido Ù B. entre sus lados. En la figura, m ∠ AP B = 1 m P 2

Subtipo 1.0.4. Ángulo interior: Es el ángulo cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia. Sus lados y sus prolongaciones forman dos secantes que se cortan en el interior. Teorema 3. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y sus prolongaciones. Ù Ù En la figura,m ∠ AP B = 1 [m Ù AB + mC D] y m ∠ APC = 1 [m Ù AC + m BD] 2

2

Subtipo 1.0.5. Ángulo exterior: Es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia y sus lados son dos secantes, dos tangentes o uno secante y otro tangente. Teorema 4. La medida de un ángulo exterior es igual a la semi-diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y sus prolongaciones. En la figura, m ∠P = 1 Ù [m Ù AB–mC D]. Si el ángulo exterior es formado por una tangente y una secante o bien por 2

dos tangentes, la fórmula anterior es válida, aunque la forma de denotar los arcos varíe.

Propiedades en la circunferencia 1.

• Una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia.

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• Si el radio OP de una circunferencia de centro O, es perpendicular a una recta ← → ← → t que pasa por P, entonces la recta t es tangente a la circunferencia en el punto P.

← → OP ⊥ t 2. En una circunferencia o en circunferencias congruentes, a cuerdas congruentes le corresponden arcos congruentes y viceversa.

Ù AB = C D ⇐⇒ m Ù AB = mC D 3. Todo diámetro o radio perpendicular a una cuerda, divide a ésta y a los arcos correspondientes en partes congruentes.

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4. En el plano de una circunferencia, la mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. 5. En la misma circunferencia o en circunferencias congruentes, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes y viceversa, si las cuerdas son congruentes, equidistan del centro. Además los arcos determinados por las cuerdas son congruentes.

AB ∼ = C D ⇐⇒ OE ∼ = OF Ù AB ∼ AB ∼ D = C D ⇐⇒ Ù =C

Relaciones métricas en la circunferencia Definición 1. ← → Si P A es tangente a la circunferencia en A, entonces P A se llama segmento tangente desde P a la circunferencia. Teorema 1. Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos congruentes con el segmento que une el punto exterior con el centro.

AP y BP segmentos tangentes a la circunferencia. OP segmento trazado desde P hasta O ∴ AP ∼ = BP y ∠ APO ∼ = ∠BPO

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Teorema 2. Sea una circunferencia C y un punto Q de su exterior. Sea L 1 una secante que pasa por Q e interseca a C en los puntos R y S; y sea L 2 otra secante que pasa por Q e interseca a C en los puntos U y T, entonces:

QR ·QS = QU ·QT Teorema 3. Sea QT un segmento tangente a una circunferencia en T, y una recta secante que pasa por Q e interseca a la circunferencia en los puntos R y S, entonces:

2

QT = QR ·QS Teorema 4. Si RS y T U son cuerdas de la misma circunferencia que se cortan en Q, entonces

QR ·QS = QU ·QT Portal de Matemática

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Ejemplo 1.1. En la siguiente figura, AB = 25, AE = 18, DC = 27. Determine el valor de EC . Solución Sea EC = x, como DC = 27, entonces E D = 27 − x

Tenemos que: AE · E B = C E · E D

AL sustituir tenemos que:

18(7) = x(27−x) ⇒ x 2 −27x +126 = 0

∴ x1 = 6

x2 = 21

Hay dos valores para EC .

Ejemplo 1.2. En la figura P A = AD, P B = 4, BC = 7, hallarP D. Solución Se cumple que: P A · P D = P B · PC .

Ademas P D = 2P A y PC = P B + BC = 4 + 7 = 11

Si hacemos P A = x, entonces AD =

P A = x y P D = 2x

Luego x(2x) = (4)(11) p ∴ 2x 2 /44 x = 22. p Resulta que P D = 2 22

Ejercicios propuestos 1. A partir de la figura y la información dada, encuentre el valor indicado. a) AC = 16, P B = 6, P D = 8, Hallar AP y PC . b) AP = 3, PC = 5, P D = 4. Hallar P B . c) PC = 2 · P A, P D = 4, BD = 12. Hallar AC . d) BD = 15, P B = 6, P B = 3 · P A. Hallar PC a) P A = AD, P B = 4, BC = 7, Hallar P D. b) P D = 6, P A = 2, PC = 5. Hallar P B . 2.

c) P D = 7, AD = 4, BC = 5. Hallar P B. d) P A = 8, AD = 12, BC = 10. Hallar PC . d) P D = 12, P A = 4, PC = 10. Hallar BC

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a) P B = 18, AB = 4, Hallar P T . 3.

b) P T = 8, P BB = 20. Hallar P A. c) P T = 14, P A = 8. Hallar AB. d) P T = 20, AB = 9. Hallar P B.

−→ Se tiene P A tangente a la circunferencia en A. 4.

AP = P X = X B. Si PQ = 1 y QR = 8. Determina AX

5. En la figura mostrada M A = MB, si la m ∠M AB = 75◦. Calcular la m Ù AB.

6. Si la recta "L" es tangente a la circunferencia en "M", calcular la medida de Ú MN.

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7. Dadas las circunferencias tangentes exteriores, calcular la m ∠β.

circunferencia y círculo Área de un círculo Cálculo del área del círculo: Es el área o superficie limitada por la circunferencia y se denomina como el producto de π por el radio al cuadrado.

A = π•r2

A = 41 π • d 2 Ejemplo A = π • (AO)2

A = 14 π • (AB )2

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Área de corona o anillo El área de corona o anillo es la superficie determinada entre dos círculos concéntricos y se determina por el producto de π por R 2 − r 2 , siendo R el radio del círculo exterior y r el radio del círculo interior.

A = π(R 2 − r 2 )

Ejemplo

2

2

A = π(OB − O A ) Longitud o perímetro de la circunferencia Longitud de la circunferencia: Es el perímetro de un círculo y se define como el doble producto de su radio por π o el producto del diámetro por π.

P = L = 2π • r P = L = π•d

Ejemplo P = L = 2π • AO P = L = π • AB

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Sector circular Área de un sector circular: Se define como el producto del área del círculo por la fracción α◦ , donde α es el ángulo que forman los radios del sector circular. 360◦

A sc =

π • r 2 • α◦ 360◦ Ejemplo π • (OB)2 • α◦ A sc = 360◦

Longitud de arco Longitud de arco: es la longitud del arco comprendido entre dos radios. Se obtiene del α◦ , donde α es el ángulo que producto de la longitud de la circunferencia por la fracción 360◦

forman los radios. L ar c =

2π • r • α◦ 360◦ Ejemplo 2π • O A • α◦ LÙ = AB 360◦

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Ejercicios de entrenamiento 1. Sea PQ una cuerda de un círculo con centro O y R un punto del arco mayor determinado por PQ. Si m ∠OP R = 5◦ , m ∠OQP = 40◦ , entonces el valor de m ∠OQR es: (UNI-2005-C)

A)30◦ B)35◦ C)40◦ D)45◦ E)50◦

2. AC y BD son diámetros de la circunferencia de centro O. Si el ∠C AB mide 40◦ , entonces el valor de x (indicado de la figura) es: (UNI-2009-A) A)40◦ B)80◦ C)100◦ D)120◦ E)140◦ 3. En la figura los puntos A, C y D están sobre la circunferencia; B, C y D son colineales; el segmento AB es tangente a la circunferencia y mide 8 cm. Si BC mide 4 cm. ¿cuánto mide el segmento DC ?(UNI-2009-B) A B A)2cm B)4cm

C

C)6cm D)12cm

D

E)16cm

4. En la figura los puntos A, B y C están sobre la circunferencia de centro O. Si m ∠O AB = 50◦ y m ∠BCO = 60◦ , ¿cuál es la medida del ∠ AOC ?(UNI-2009-D)

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A A)110◦

50°

B)120◦ C)130◦

B O

D)140◦

60°

E)150◦

C 5. Un punto P es exterior a un círculo de centro C y radio 5. Desde P se trazan los segmentos tangentes P A y P B , donde A y B son los puntos de tangencia. Si P A = P B = 12, ¿cuánto mide la distancia desde P al segmento AB, redondeada a

la centésima más cercana? (UNI-2009-E)

A A)12.15 B)11.08

P

C

C)9.45 D)6.43 E)5.86

B Ø es 50◦ , el valor de 6. En la figura T S es el diámetro del círculo y la medida del arco RS θ es: (UNI-2013-F)

A)40◦ B)65◦ C)120◦ D)75◦ E)115◦

7. Dada la figura, la medida del arco CØEmenor es: (UNI-2013-D)

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A)226◦ B)94◦ C)247◦ D)114◦ E)86◦

8. En la figura se muestra una esfera pequeña de radio 8cm que posee tangencia con dos esferas idénticas de radio 16cm que descansan alineadas sobre la mesa plana. La

d

distancia d en cm es de: p A)32 2

p B)16 2

p C)48 2

p D)16 5

p E)48 5

9. En la figura dada PQ y M N son cuerdas de la circunferencia, PQ = 25, OP = 18, M N = 27, OM < ON . La medida del segmento ON es: (UNI-2013-E)

A)126 B)108 C)21 D)19.31 E)11.22 p 10. En la figura BC une los centros de los círculos tangentes, AB ⊥ BC , AC = 8 3 y

∠C = 30◦ . El radio de la circunferencia pequeña es: (UNI-2015-C) p A)4 3 B)12

p C)6 − 2 3 p D)8 3 − 12 p E)12 − 4 3

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11. Si los segmentos P A = 8cm, P B = 24cm y P D = 16cm, entonces la medida en cm del segmento PC es de: (UNI-2015-D)

A)48 B)12 C) 16 3

D) 25 3

E)8

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