KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN REPUBLIK INDONESIA 2015

MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN

Buku ini disusun berdasarkan Kurikulum 2013 dengan menyesuaikan kompetensi dan materi berdasarkan standar internasional seperti PISA (Program for International Student Assessment) dan TIMSS (The International Mathematics and Science Survey). Buku ini berbeda dengan buku matematika umumnya karena dalam buku ini tidak semua informasi pengetahuan disajikan secara langsung, melainkan mengajak siswa aktif menggali pengetahuan dan mengkontruksi suatu konsep serta menumbuhkan kemampuan bernalar melalui kegiatan yang disajikan. Pembelajaran matematika dalam buku ini mengaitkan matematika dengan masalah dalam kehidupan nyata, bidang ilmu lain, dan antar materi matematika. Sehingga, siswa tidak hanya menguasai kompetensi dasar yang ditetapkan tetapi juga memahami manfaat matematika dalam kehidupan nyata dan mampu menerapkannya. Buku ini mengajak untuk berpikir secara ilmiah, dengan cara: mengamati, menanya, mengumpulkan informasi/mencoba, menalar/ mengasosiasi/ menganalisa, dan mengkomunikasikan. Kegiatan dalam buku ini perlu dilakukan secara berkelompok untuk membiasakan siswa bekerjasama dalam tim. Buku ini juga menyajikan beberapa model permasalahan, antara lain: soal prosedural, soal penalaran yang menuntut siswa berfikir kreatif, serta soal terbuka yang memungkinkan beberapa jawaban benar. Selain itu, juga memuat tugas projek untuk melatih siswa bekerjasama menghasilkan suatu model, metode, strategi, atau produk untuk dipresentasikan. Adapun materi yang dipelajari selama kelas IX semester 1 ini mencakup 5 Bab, yaitu: (1) Perpangkatan dan Bentuk Akar; (2) Pola, Barisan dan Deret; (3) Perbandingan Bertingkat; (4) Kekongruenan dan Kesebangunan; (5) Bangun Ruang Sisi Lengkung.

ISBN : 978-602-282-095-6 (jilid lengkap) (jilid 3a)

Matematika % Kelas IX SMP/MTs %Semester 1

MATEMATIKA

MATEMATIKA

SMP/MTs

KELAS

IX

SEMESTER 1

Hak Cipta © 2015 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang.

Disklaimer: Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini. .DWDORJ'DODP7HUELWDQ .'7 Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.  0DWHPDWLND.HPHQWHULDQ3HQGLGLNDQGDQ.HEXGD\DDQ Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2015. vi, 274 hlm : ilus. ; 25 cm.   

8QWXN60307V.HODV,;6HPHVWHU ,6%1 MLOLGOHQJNDS ,6%1 MLOLGD



 0DWHPDWLND6WXGLGDQ3HQJDMDUDQ  II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan







,-XGXO 510

.RQWULEXWRU1DVNDK

 6XEFKDQ :LQDUQL /XNPDQ +DQD¿ 0 6\LID XO 0X¿G .LVWRVLO )DKLP :DZDQ +D¿G 6\DLIXGLQ GDQ 6DUL Cahyaningtias

3HQHODDK Penyelia Penerbitan

 $JXQJ/XNLWR$OL0DKPXGL.XVQDGLGDQ7XUPXGL : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.

Cetakan ke-1, 2015 'LVXVXQGHQJDQKXUXI7LPHV1HZ5RPDQSW ii

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Kata Pengantar  0DWHPDWLND DGDODK EDKDVD XQLYHUVDO GDQ NDUHQDQ\D NHPDPSXDQ PDWHPDWLND VLVZD VXDWX QHJDUD VDQJDW PXGDK GLEDQGLQJNDQ GHQJDQ QHJDUD ODLQ 6HODLQ LWX PDWHPDWLND MXJD GLSDNDL VHEDJDLDODWXNXUXQWXNPHQHQWXNDQNHPDMXDQSHQGLGLNDQGLVXDWXQHJDUD.LWDPHQJHQDO3,6$ Program for International Student Assessment  GDQ 7,066 The International Mathematics and Science Survey  \DQJ VHFDUD EHUNDOD PHQJXNXU GDQ PHPEDQGLQJNDQ DQWDUD ODLQ NHPDMXDQ pendidikan matematika dibeberapa negara.  6WDQGDU LQWHUQDVLRQDO VHPDFDP LQL PHPEHULNDQ DUDKDQ GDODP PHUXPXVNDQ SHPEHODMDUDQ 0DWHPDWLND GL 60307V +DVLO SHPEDQGLQJDQ DQWDUD \DQJ NLWD DMDUNDQ VHODPD LQL GHQJDQ \DQJ GLQLODL VHFDUD LQWHUQDVLRQDO PHQXQMXNNDQ DGDQ\D SHUEHGDDQ EDLN WHUNDLW PDWHUL PDXSXQ NRPSHWHQVL3HUEHGDDDQLQLPHQMDGLGDVDUGDODPPHUXPXVNDQSHPEHODMDUDQ0DWHPDWLNDGDODP .XULNXOXP Buku Matematika Kelas IX SMP/MTs.XULNXOXPLQLGLWXOLVEHUGDVDUNDQSDGDPDWHUL GDQNRPSHWHQVL\DQJGLVHVXDLNDQGHQJDQVWDQGDULQWHUQDVRQDOWHUVHEXW7HUNDLWPDWHULPLVDOQ\D VHEDJDL WDPEDKDQ VHMDN NHODV 9,, WHODK GLDMDUNDQ DQWDUD ODLQ WHQWDQJ GDWD GDQ SHOXDQJ SROD GDQ EDULVDQ ELODQJDQ DOMDEDU GDQ EDQJXQ VHUWD WUDQVIRUPDVL JHRPHWUL .HVHLPEDQJDQ DQWDUD PDWHPDWLNDDQJNDGDQPDWHPDWLNDSRODGDQEDQJXQVHODOXGLMDJD.RPSHWHQVLSHQJHWDKXDQEXNDQ hanya sampai memahami secara konseptual tetapi sampai ke penerapan melalui pengetahuan SURVHGXUDOGDODPSHPHFDKDQPDVDODKPDWHPDWLND.RPSHWHQVLNHWHUDPSLODQEHU¿NLUMXJDGLDVDK untuk dapat memecahkan masalah yang membutuhkan pemikiran order tinggi seperti menalar SHPHFDKDQPDVDODKPHODOXLSHUPRGHODQSHPEXNWLDQGDQSHUNLUDDQSHQGHNDWDQ Walaupun demikian, pembahasan materi selalu didahului dengan pengetahuan konkret \DQJGLMXPSDLVLVZDGDODPNHKLGXSDQVHKDULKDUL3HUPDVDODKDQNRQNUHWWHUVHEXWGLSHUJXQDNDQ VHEDJDL MHPEDWDQ XQWXN PHQXMX NH GXQLD PDWHPDWLND DEVWUDN PHODOXL SHPDQIDDWDQ VLPERO simbol matematika yang sesuai melalui pemodelan. Sesampainya pada ranah abstrak, metodemetode matematika diperkenalkan untuk menyelesaikan model permasalahan yang diperoleh dan mengembalikan hasilnya pada ranah konkret.  %XNX LQL PHQMDEDUNDQ XVDKD PLQLPDO \DQJ KDUXV GLODNXNDQ VLVZD XQWXN PHQFDSDL kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum VLVZDGLDMDNEHUDQLXQWXNPHQFDULVXPEHUEHODMDUODLQ\DQJWHUVHGLDGDQWHUEHQWDQJOXDVGL sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap siswa dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam. Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka terhadap masukan dan akan terus diperbaiki dan disempurnakan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca untuk memberikan kritik, saran dan masukan guna perbaikan dan penyempurnaan edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami XFDSNDQWHULPDNDVLK0XGDKPXGDKDQNLWDGDSDWPHPEHULNDQ\DQJWHUEDLNEDJLNHPDMXDQGXQLD SHQGLGLNDQGDODPUDQJNDPHPSHUVLDSNDQJHQHUDVLVHUDWXVWDKXQ,QGRQHVLD0HUGHND   Jakarta, Januari 2015 0HQWHUL3HQGLGLNDQGDQ.HEXGD\DDQ

iii

1... 2... 3...

DAFTAR ISI

Kata Pengantar .................................................................................................. Daftar Isi ............................................................................................................. Bab I 

  



Perpangkatan dan Bentuk Akar ........................................................ 0HQJHQDO7RNRK .................................................................................. A. Bilangan Berpangkat ..................................................................... Latihan 1.1 Bilangan Berpangkat.................................................. B. Perkalian pada Perpangkatan ........................................................ Latihan 1.2 Perkalian pada Perpangkatan ..................................... C. Pembagian pada Perpangkatan......................................................  /DWLKDQ3HPEDJLDQSDGD3HUSDQJNDWDQ .................................. ' 1RWDVL,OPLDK %HQWXN%DNX ........................................................  /DWLKDQ0HPEDFDGDQ0HQXOLV1RWDVL,OPLDK ........................ E. Pangkat Bilangan Pecahan ............................................................ Latihan 1.5 Pangkat Bilangan Pecahan ......................................... Proyek 1 ................................................................................................  8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

Bab II Pola, Barisan, dan Deret .....................................................................  0HQJHQDO7RNRK.................................................................................... A. Pola Bilangan ................................................................................   0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 2.1 Pola Bilangan ............................................................. B. Barisan Bilangan ...........................................................................   0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 2.2 Barisan Bilangan ........................................................ C. Deret Bilangan ..............................................................................   0DWHUL(VHQVL.................................................................................   /DWLKDQ'HUHW%LODQJDQ ........................................................... Proyek 2 ................................................................................................  8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

iv

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

iii iv 1  4 10 12 20 21 27 29     40  45 46 54 58 60 70 76 78 88  95 96

Copyright:

Bab III Perbandingan Bertingkat ...................................................................  0HQJHQDO7RNRK.................................................................................... A. Perbandingan Bertingkat ...............................................................   0DWHUL(VHQVL.................................................................................   /DWLKDQ3HUEDQGLQJDQ%HUWLQJNDW...............................................  3UR\HN ................................................................................................  8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

101  104 108 110 112 

Bab IV Kekongruenan dan Kesebangunan ...................................................  0HQJHQDO7RNRK.................................................................................... A. Kekongruenan Bangun Datar ........................................................   0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 4.1 Bangun-bangun yang Kongruen ................................ B. Kekongruenan Dua Segitiga .........................................................   0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 4.2 Kekongruenan Dua Segitiga ...................................... C. Kesebangunan Bangun Datar ........................................................   0DWHUL(VHQVL.................................................................................   /DWLKDQ.HVHEDQJXQDQ%DQJXQ'DWDU..................................... D. Kesebangunan Dua Segitiga .........................................................   0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 4.4 Kesebangunan Dua Segitiga ...................................... Proyek 4 ................................................................................................  8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

117 119 120 125 129   142 144 147  157  169  175

Bangun Ruang Sisi Lengkung............................................................ 0HQJHQDO7RNRK.................................................................................... $ 7DEXQJ ...........................................................................................  0DWHUL(VHQVL.................................................................................  /DWLKDQ7DEXQJ........................................................................ B. Kerucut .......................................................................................... Latihan 5.2 Kerucut....................................................................... C. Bola ...............................................................................................  /DWLKDQ%ROD ............................................................................ Proyek 5 ................................................................................................ 8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

 185 186 191 194 197 205 208 212 215 216

Bab V    

 

MATEMATIKA

v

Bab VI        

Statistika ........................................................................................... 0HQJHQDO7RNRK ................................................................................ $ 3HQ\DMLDQ'DWD ..........................................................................  0DWHUL(VHQVL ............................................................................  /DWLKDQ3HQ\DMLDQ'DWD ....................................................... % 0HDQ0HGLDQGDQ0RGXV .......................................................  0DWHUL(VHQVL ............................................................................  /DWLKDQ0HDQ0HGLDQ0RGXV........................................... Proyek 6 ............................................................................................. 8ML.RPSHWHQVL ...............................................................................

 225 226   242 247 251 254 255

Contoh Penilaian Sikap ..................................................................................... 259 Rubrik Penilaian Sikap ..................................................................................... 261 Contoh Penilaian Diri ........................................................................................ 262 Contoh Penilaian Partisipasi Siswa ..................................................................  LembarPartisipasi.............................................................................................. 264 Contoh Pengolahan Laporan Pencapaian Kompetensi Matematika ............ 265 Daftar Pustaka ................................................................................................... 269 Glosarium ........................................................................................................... 272

vi

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Bab I

Perpangkatan dan Bentuk Akar

Kata Kunci x x x x

Sifat-sifat Pangkat Pangkat Negatif Pangkat Pecahan Bentuk Baku

K ompetensi D asar 1.1 2.1

3.1

3.2

4.3

Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik dan kreatif, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah sehari-hari, yang merupakan pencerminan sikap positif dalam bermatematika. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar dalam suatu permasalahan. Memahami operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar. Menyelesaikan permasalahan dengan menaksir besaran yang tidak diketahui menggunakan berbagai teknik manipulasi aljabar dan aritmatika.

Sumber: Dokumen Kemdikbud Tahukah kamu berapakah jarak planet Jupiter ke matahari? Bagaimana kamu dapat menuliskan jarak tersebut dalam bentuk yang lebih sederhana? Dapatkah kamu melihat seekor bakteri dengan mata telanjang? Mengapa kamu tidak dapat melihatnya tanpa bantuan mikroskop?Berapakah panjang bakteri tersebut?Dapatkah kamu menuliskan dalam bentuk yang lebih sederhana untuk ukuran yang sangat kecil tersebut? Pernahkah kamu mengamati pembelahan sel pada seekor hewan bersel satu di pelajaran biologi? Bagaimanakah pola pembelahan yang terbentuk tiap satuan waktunya? Berapakah jumlah seluruh hewan tersebut pada satuan waktu tertentu? Bagaimanakah kamu dapat mengetahui jumlah tersebut? Bagaimana jika jumlah hewan bersel satu yang kalian amati lebih dari satu ekor? Dapatkah kamu mendapatkan jumlah seluruhnya setelah satu waktuan waktu? Nah, masalah-masalah tersebut di atas dapat diselesaikan dengan konsep perpangkatan. Konsep ini akan kita pelajari bersama di Bab 1 ini.

Pengalaman Belajar  0HQJLGHQWL¿NDVLPHQGHVNULSVLNDQPHQMHODVNDQVLIDWEHQWXNSDQJNDWEHUGDVDUNDQKDVLOSHQJDPDWDQ 2. Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan perpangkatan dan operasi matematika. 3. Menggunakan bentuk baku untuk menuliskan bilangan yang sangat besar dan bilangan yang sangat kecil.

MATEMATIKA

1

Peta Konsep Perpangkatan

Bilangan Berpangkat

Pembagian pada Perpangkatan

Perkalian pada Perpangkatan

2

Perpangkatan Bilangan Pecahan

Notasi Ilmiah

Sumber: www.stanford.edu

Julius Wilhelm Richard Dedekind ODKLU SDGD  2NWREHU  GDQ ZDIDW pada 12 Februari 1916, pada usia 85 WDKXQ%HOLDXPHUXSDNDQ0DWHPDWLNDZDQ asal Jerman yang sangat diperhitungkan GDODP VHMDUDK PDWHPDWLND VHEDJDL salah satu penemu dibidang matematika. 3HPLNLUDQ 'HGHNLQG EDQ\DN GLMDGLNDQ UXMXNDQ XQWXN PHPEHQWXN NRQVHS EDUX The Man and The Number   Dedekind menyebutkan bahwa, angka adalah kreasi pikiran manusia dari sini Beliau menemukan konsep angka secara NXDQWLWDV GDQ PHUXSDNDQ UHSUHVHQWDWLI dari suatu label yang disebut bilangan.

    'HGHNLQG PHUXSDNDQ 3URIHVVRU GL Pholytecnic School di Zurich, Jerman. Selama hidupnya, Dedekind banyak menerima penghargaan dalam bidang PDWHPDWLND GLDQWDUDQ\D *|WWLQJHQ $FDGHP\   7KH %HUOLQ $FDGHP\   $FDGHP\ RI 5RPH 7KH /HRSROGLQR&DOLIRUQLD 1DWXUDH &XULRVRUXP $FDGHPLDDQGWKH$FDGpPLHGHV6FLHQFHVLQ3DULV  3HQJKDUJDDQGDODP ELGDQJGRNWRUDOGLEHULNDQNHSDGDQ\DROHK7KH8QLYHUVLWLHVRI.ULVWLDQLD 2VOR  =XULFKDQG%UXQVZLFN3DGDWDKXQ'HGHNLQPHQHUELWNDQEXNXEHUMXGXO Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen yang memberikan pengaruh VDQJDWEHVDUWHUKDGDSGDVDUGDVDU0DWHPDWLND Julius Wilhelm Richard Dedekind

Sumber: www.stanford.edu

Hikmah yang bisa diambil 1. Semangat Dedekind untuk merumuskan suatu teori bilangan yang lebih sederhana dan dapat dipahami sekaligus sebagai dasar metodologi konsepNRQVHSPRGHUQSDGDXVLD\DQJUHODWLIPXGD  'HGHNLQGWHWDSUHQGDKKDWLVHKLQJJDGLDVHODOXPHPLOLNLVHPDQJDWEHODMDU \DQJWLQJJLVHNDOLSXQWHODKPHQMDGLVHRUDQJSHQJDMDU  'HGHNLQG WLGDN PXGDK SXDV GHQJDQ VHJDOD SHQJKDUJDDQ \DQJ WHODK GLDQXJHUDKNDQNHSDGDQ\DKDOLQLWHUEXNWLGHQJDQNHDNWLIDQQ\DGDODPKDO SHQHOLWLDQNKXVXVQ\DWHRULDOMDEDU

3

A. Bilangan Berpangkat Pertanyaan Penting Bagaimana kamu dapat menggunakan bentuk pangkat untuk menyederhanakan penulisan sebuah bilangan?

Memahami Konsep Bilangan Berpangkat

Kegiatan 1.1

Lakukan kegiatan ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 siswa dan sediakan satu karton berwarna serta sebuah gunting kertas.  /LSDWODK NHUWDV LWX PHQMDGL GXD EDJLDQ VDPD EHVDU \DLWXSDGDVXPEXVLPHWULOLSDWQ\D   *XQWLQJODK NHUWDV SDGD VXPEX VLPHWUL lipatnya.  7XPSXNODK KDVLO JXQWLQJDQ NHUWDV VHKLQJJD tepat menutupi satu dengan yang lain. 5. Berikan kertas tersebut kepada siswa berikutnya, lalu lakukan Langkah 2 sampai 4 secara berulang sampai seluruh siswa di Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 1.1 Karton, gunting, dan kelompokmu mendapat giliran. kertas 6. Banyak kertas hasil guntingan pada tiap-tiap SHQJJXQWLQJDQVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQEDQ\DNNHUWDV7XOLVNDQEDQ\DNNHUWDV pada tabel berikut:

4

Pengguntingan ke-

Banyak kertas

1

2

2

...



...

4

...

5

...

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Dari Kegiatan 1.1, diperoleh bahwa banyak kertas hasil pengguntingan ke-2 adalah 2 kali lipat dari banyak kertas hasil pengguntingan ke-1. Banyak kertas hasil SHQJJXQWLQJDQNHDGDODKNDOLOLSDWGDULEDQ\DNNHUWDVKDVLOSHQJJXQWLQJDQNH dan seterusnya. Jika kamu melakukan pengguntingan kertas sebanyak n kali maka banyak kertas hasil pengguntingan adalah 2 u 2 u2 u… u2 = 2n 2 sebanyak n Bentuk di atas merupakan perkalian berulang bilangan 2 yang disebut dengan perpangkatan 2. Secara umum, perkalian berulang dari suatu bilangan x disebut dengan perpangkatan x. Ayo Kita Berbagi /DNXNDQNHPEDOL.HJLDWDQQDPXQNHUWDVGLOLSDWPHQMDGLEDJLDQ\DQJVDPDEHVDU EHUGDVDUNDQ VXPEX VLPHWUL OLSDWQ\D YHUWLNDO GDQ KRULVRQWDO  .HPXGLDQ WXOLVNDQ MDZDEDQPX VHSHUWL WDEHO GL DWDV$SDNDK EDQ\DN NHUWDV KDVLO JXQWLQJDQ SDGD WLDS WLDSSHQJJXQWLQJDQMXPODKQ\DVDPDGHQJDQ\DQJWHODKNDPXODNXNDQVHEHOXPQ\D" 0HQJDSDKDOWHUVHEXWELVDWHUMDGL"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW3DSDUNDQMDZDEDQPXGL depan teman sekelasmu. Kegiatan 1.2

Menggunakan Notasi Pangkat

6HWHODK PHPDKDPL NRQVHS SHUSDQJNDWDQ SDGD .HJLDWDQ  VHODQMXWQ\D SDGD kegiatan ini kamu akan menyatakan perpangkatan dalam bentuk perkalian berulang. Ayo Kita Amati Amatilah tabel berikut ini. Perpangkatan

Bentuk Perkalian

Hasil Perkalian

51

5

5

52

5u5

25

5

5u5u5

125

5 merupakan perpangkatan dari 5. Bilangan 5 merupakan basis atau bilangan SRNRNVHGDQJNDQPHUXSDNDQeksponen atau pangkat.

MATEMATIKA

5

Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan yang berhubungan dengan kata “basis” dan “eksponen”. Ayo Kita Mencoba Setelah mengamati tabel di atas, lengkapilah tabel di bawah ini. Perpangkatan

Bentuk Perkalian

Nilai

24  65 74 107 Ayo Kita Menalar &REDMHODVNDQGHQJDQNDWDNDWDPXVHQGLULDSDNDK\DQJGLPDNVXGGHQJDQEHQWXNn untuk nELODQJDQEXODWSRVLWLI Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.2, apa yang dapat kamu simpulkan berkaitan dengan perpangkatan? Perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bilangan pokok dalam suatu perpangkatan disebut ... dan banyaknya bilangan pokok yang digunakan dalam perkalian berulang disebut ... Sehingga bentuk umum dari perpangkatan adalah xn = x u x u x u … u x nELODQJDQEXODWSRVLWLI x sebanyak n

6

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Kegiatan 1.3

Menyatakan Perpangkatan dalam Bentuk Bilangan Biasa

Ayo Kita Mencoba Berikut ini diberikan suatu besaran yang dituliskan dalam perpangkatan. Untuk PDVLQJPDVLQJREMHNWXOLVNDQNHPEDOLGDODPEHQWXNELDVD WLGDNGDODPSHUSDQJNDWDQ  a. Kisaran luas total daratan Indonesia adalah 1,8 u 1012 m2 = 1.800.000.000.000 m2

Sumber: http://www.biakkab.go.id

Gambar 1.2 Daratan Indonesia

E .LVDUDQ SDQMDQJ WHPERN EHVDU great wall GL7LRQJNRNDGDODKu107 m = ...

Sumber: http://inedwi.blogspot.com

Gambar 1.37HPERNEHVDUGL7LRQJNRN

c. Kisaran diameter bumi adalah 108 m = ...

Sumber: http://hanifweb.wordpress.com

Gambar 1.4 Bumi

MATEMATIKA

7

G .LVDUDQOXDVVDPXGHUDSDVL¿NDGDODK m2 = ....

Sumber: http://banyakilmunya. blogspot.com

Gambar 1.56DPXGHUD3DVL¿N

H 'LDPHWHU JDODNVL ELPD VDNWL milky way adalah 9,5 u 1017 = ....

Sumber: http://www.jpnn.com

Gambar 1.6 Galaksi Bima Sakti

I .LVDUDQGLDPHWHUPDWDKDULDGDODK8 km = ....

Ayo Kita Simpulkan

Sumber: https://triwidodo. wordpress.com

Gambar 1.70DWDKDUL

6HWHODK PHODNXNDQ NHJLDWDQ GL DWDV GDSDWNDK NDPX PHQMHODVNDQ PDQIDDW GDUL perpangkatan? Contoh 1.1

Menuliskan Perpangkatan

Nyatakan perkalian berikut dalam perpangkatan. D  u  u   

8

.DUHQD   GLNDOLNDQ EHUXODQJ VHEDQ\DN WLJD NDOL PDND   u   u   PHUXSDNDQSHUSDQJNDWDQGHQJDQEDVLV  GDQSDQJNDW -DGL  u  u     

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

b. y uy uy uy uy uy

Karena y dikalikan berulang sebanyak enam kali maka y u y u y u y u y u y merupakan perpangkatan dengan basis y dan pangkat 6. Jadi y uy uy uy uy uy = y6

Contoh 1.2

Menghitung Nilai Perpangkatan

 1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQ  2 GDQ  2 dalam bentuk bilangan biasa. Alternatif Penyelesaian: 

 2   u  



 



7XOLVNHPEDOLGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

= 0,09 2

  u  

Sederhanakan



7XOLVNHPEDOLGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

= 0,09

Sederhanakan

 1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQ  GDQ   dalam bentuk bilangan biasa. 

Alternatif Penyelesaian:  

    u  u   = -0,027

7XOLVGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

    u  u   = 0,027

7XOLVGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

Sederhanakan

Sederhanakan

 1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQ  GDQ  4 dalam bentuk bilangan biasa. 

Alternatif Penyelesaian:  

   4

  u  u    = -8

7XOLVGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

  u  u  u   = 16

7XOLVGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

Sederhanakan

Sederhanakan

Ayo Kita Menalar Berdasarkan Contoh 1.2, tentukan perbedaan:  3HUSDQJNDWDQGHQJDQEDVLVELODQJDQSRVLWLIGDQQHJDWLI  3HUSDQJNDWDQGHQJDQHNVSRQHQELODQJDQJDQMLOGDQJHQDS -HODVNDQMDZDEDQPX MATEMATIKA

9

Contoh 1.3

Operasi yang Melibatkan Perpangkatan

Hitung nilai pada operasi perpangkatan berikut: D u 52 

u 52 u 25

Lakukan operasi perkalian





 

/DNXNDQRSHUDVLSHQMXPODKDQ







Sederhanakan



b. 42 

42 

Lakukan operasi pembagian



/DNXNDQRSHUDVLSHQMXPODKDQ

  = 17

Sederhanakan

Ayo Kita Tinjau Ulang Selesaikan soal-soal di bawah ini.  7HQWXNDQKDVLOGDUL 

D u 4

b. § 1 · u 2  1 ¨ ¸ 2 ©8¹ 

 7XOLVNDQNHGDODPEHQWXNSHUSDQJNDWDQ a.

§ 2· § 2· § 2· § 2· ¨- ¸u¨- ¸u¨- ¸u¨- ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

c. -66

b. t u t u 2 u 2 u2

 7HQWXNDQQLODLGDUL a. pn -p n untuk p bilangan bulat dan n bilangan asli genap. b. pn -p n untuk p bilangan bulat dan nELODQJDQDVOLJDQMLO

Latihan 1.1

Bilangan Berpangkat

1. Nyatakan perkalian berulang berikut dalam perpangkatan 

10

D  u  u 

2 2 2 2 b. §¨ - ·¸ u §¨ - ·¸ u §¨ - ·¸ u §¨ - ·¸     © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ c. t ut u t × 2 × 2 × 2 Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

d. t u y ut uy ut e.

1 1 1 1 1 u u u u 4 4 4 4 4

2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk perkalian berulang D 8



E  4 c. t

1 d. §¨ - ·¸ © 4¹ 4 e. - §¨ 1 ·¸ ©4¹ 4













I § 1 · ¨ ¸ ©2¹

5

 7HQWXNDQKDVLOGDULSHUSDQJNDWDQEHULNXW a. 54

G  2

e. §¨ 1 ·¸ ©¹ 4 I - § 1 · ¨ ¸ ©4¹ 

b. 65 c. 28

4. Nyatakan bilangan berikut dalam perpangkatan dengan basis 10 a. 1.000

c. 1.000.000

b. 100.000

d. 10.000.000

5. Nyatakan bilangan berikut dalam perpangkatan dengan basis 2 a. 256

c. 512

b. 64

d. 1.048.576

 7XOLVNDQVHEDJDLEHQWXNSHUSDQJNDWDQGHQJDQEDVLV a. 5

c. 15.625

b. 625

d. 125

 7HQWXNDQKDVLOGDULRSHUDVLEHULNXWLQL 

D î4 b.



1  6  4 2

F î  4

G 4 – 44 

e. §¨ 1 ·¸ u §¨ - 1 ·¸ © ¹ © ¹ 4

I § 1 · : - § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ ©¹ 4

2

2

MATEMATIKA

11

 7HPXNDQQLODLx pada persamaan matematika di bawah ini. a. 7x 







x



F x = 10.000 d. 5x = 625

b. 2 = 64

 7LPSHQHOLWLGDUL'LQDV.HVHKDWDQVXDWXGDHUDKGL,QGRQHVLD7LPXUPHQHOLWLVXDWX ZDEDK\DQJVHGDQJEHUNHPEDQJGL'HVD;7LPSHQHOLWLWHUVHEXWPHQHPXNDQ IDNWD EDKZD ZDEDK \DQJ EHUNHPEDQJ GLVHEDENDQ ROHK YLUXV \DQJ WHQJDK EHUNHPEDQJ GL $IULND 'DUL KDVLO SHQHOLWLDQ GLGDSDWNDQ EDKZD YLUXV WHUVHEXW GDSDWEHUNHPEDQJGHQJDQFDUDPHPEHODKGLULPHQMDGLYLUXVVHWLDSVHWHQJDK MDPGDQPHQ\HUDQJVLVWHPNHNHEDODQWXEXK%HUDSDEDQ\DNYLUXVGDODPWXEXK PDQXVLDVHWHODKMDP" 10. Tantangan. Dalam sebuah penelitian, diketahui seekor Amoeba S berkembang biak dengan membelah diri sebanyak 2 kali tiap 15 menit. 

D %HUDSD EDQ\DN DPRHED 6  VHODPD VDWX KDUL MLND GDODP VXDWX SHQJDPDWDQ terdapat 4 ekor amoeba S?



E %HUDSDEDQ\DNMXPODK$PRHED6PXODPXODVHKLQJJDGDODPMDPWHUGDSDW minimal 1.000 Amoeba S?

B. Perkalian pada Perpangkatan Pertanyaan Penting Bagaimana hasil perkalian dari dua perpangkatan dengan basis yang sama? Kegiatan 1.4

Mengalikan Dua Perpangkatan dengan Basis yang Sama

Ayo Kita Amati $PDWLODKWDEHOGLEDZDKLQL+DVLORSHUDVLSHUNDOLDQSDGDSHUSDQJNDWDQVHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan. Operasi Perkalian pada Perpangkatan 2 u

 2 u   y5 uy2

12

Kelas IX SMP/MTs

Operasi Perkalian

Perpangkatan

uuuu

5

 u  u  u  u 

 5

yuyuyuyuyuyuy

y7

Semester 1

Ayo Kita Mencoba Lengkapilah tabel di bawah ini. Operasi Perkalian pada Perpangkatan

Operasi Perkalian

Perpangkatan

6u 62

4,22 u 4,2 74 u 74

§1· §1· ¨ ¸ u¨ ¸ ©¹ ©¹ 2

5

§ 1· § 1· ¨- ¸ u¨- ¸ © ¹ © ¹ 



5u 5

6HWHODKPHOHQJNDSLWDEHOGLDWDVLQIRUPDVLDSDNDK\DQJNDPXGDSDWNDQPHQJHQDL operasi perkalian pada perpangkatan? Ayo Kita Menalar Sederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis a di bawah ini. am u an = a  Apakah aturan yang kamu dapatkan berlaku untuk operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis yang berbeda? Sebagai contoh, 54 u 2-HODVNDQMDZDEDQPX Ayo Kita Simpulkan

Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis yang sama?

MATEMATIKA

13

Memangkatkan Suatu Perpangkatan

Kegiatan 1.5

$PDWL WDEHO EHULNXW LQL +DVLO SHPDQJNDWDQ SDGD VXDWX SHUSDQJNDWDQ VHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan. Pemangkatkan Suatu Perpangkatan

2 

Bentuk Perkalian Berulang

42 u 42 u42  u u u u u =4 u4 u4 u4 u4 u4

4 u4  u4 u u u4 u = 4 u4 u4 u4 u4 u4

 2

s4 u s4  s us us us u s us us us = s us us us us us us us

s4 2

s2 4

s2 u s2 u s2 u s2  s u s u s u s u s u s u s u s =sususususususus

Perpangkatan

46

46

s8

s8

Dari tabel di atas, perhatikan kembali kolom pertama dan ketiga. Apa yang dapat kamu simpulkan? Ayo Kita Menanya Setelah mengamati tabel di atas, buatlah pertanyaan yang berhubungan dengan “memangkatkan suatu perpangkatan”. 14

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Mencoba Setelah mengamati tabel di atas, salin dan lengkapilah tabel di bawah ini. Bentuk Perkalian Berulang

Pemangkatkan Suatu Perpangkatan

Perpangkatan

4   4 t4  t 4 6HFDUDXPXPEHQWXN am nGDSDWGLXEDKPHQMDGL am n  an m = am u n

Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.5 tersebut. Apa yang dapat kamu simpulkan berkaitan dengan memangkatkan bentuk perpangkatan? Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil dari perpangkatan yang dipangkatkan?

Kegiatan 1.6

Memangkatkan Suatu Perkalian Bilangan

Ayo Kita Amati $PDWL WDEHO GL EDZDK LQL +DVLO SHPDQJNDWDQ SDGD SHUNDOLDQ ELODQJDQ VHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan

MATEMATIKA

15

Pemangkatan Pada Perkalian Bilangan

Bentuk Perkalian Berulang u u u u u

î 

= 2 uu2 uu2 u

= 2 u2 u2 uuu u u u u u u u

î 4

b u y

= 2 u5 u2 u5 u2 u5 u2 u5

= 2 u 2 u 2 u 2 u5 u 5 u 5 u 5 b u y u b u y

2

=buyubuy

=bubuyuy

Perpangkatan

2 u

25 u 5 5

b2 u y2

Ayo Kita Mencoba Lengkapi tabel di bawah ini. Pemangkatan Pada Perkalian Bilangan

Bentuk Perkalian Berulang

Perpangkatan

u 

u 5 n u y 2 u t 

u 4

16

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

6HFDUDXPXPEHQWXN a u b mGDSDWGLXEDKPHQMDGL a u b m = am u bm Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.6 tersebut, kesimpulan apakah yang kamu dapatkan? Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil pemangkatan pada perkalian bilangan?

Kegiatan 1.7

Permainan Menuliskan Perpangkatan

Lakukan kegiatan ini secara berkelompok yang terdiri atas 4 - 5 siswa, kemudian lakukan langkah-langkah berikut ini. Ayo Kita Mencoba 1. Siapkan 1 lembar kertas karton, penggaris, pensil, serta uang koin 2. Buatlah tabel seperti gambar di bawah ini

1

2

 1

2



 7XPSXNODKNRLQSDGDWLDSWLDSNRWDNGHQJDQNHWHQWXDQEHULNXW  

%DQ\DNQ\DNRLQSDGDNRWDNGHQJDQSRVLVL x, y DGDODKx u 2y

&RQWRKSDGDNRWDNGHQJDQSRVLVL  EDQ\DNQ\DNRLQDGDODK1 u22 = 2 = 8 koin

MATEMATIKA

17

'DULSHUFREDDQGLDWDVMDZDEODKSHUWDQ\DDQGLEDZDKLQL D %HUDSDEDQ\DNNRLQSDGDSRVLVL  " E 3DGDSRVLVLPDQDWHUGDSDWNRLQVHEDQ\DN" c. Pada posisi mana terdapat koin paling banyak, dan berapa banyaknya? Ayo Kita Menalar  -LNDWDEHO\DQJNDPXEXDWGLSHUOXDVPHQMDGLEHUXNXUDQu 5, berapa banyak koin SDGDSRVLVL  "  %HUDSDWLQJJLWXPSXNDQNRLQSDGDSRVLVL  MLNDVHEXDKNRLQPHPLOLNLWHEDO 0,2 cm? Menyederhanakan Operasi Perkalian Pada Perpangkatan

Contoh 1.5

Sederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan berikut ini. a. 4 u 42 = 4 =4









5

Jumlahkan pangkatnya Sederhanakan

b. 16 u     2 u  



6DPDNDQEHQWXNEDVLVPHQMDGL 









 



-XPODKNDQSDQJNDWGDULEDVLV 









  5

c. m× m5 = m =m





Sederhanakan 





8

Jumlahkan pangkat dari basis m Sederhanakan

Memangkatkan Suatu Perpangkatan

Contoh 1.6

Sederhanakan operasi pemangkatan pada perpangkatan berikut ini D  2 = 4u 4 = 4 =4

















6

E x 4 = xu x u x u x 

=x



= x12

18

Kelas IX SMP/MTs

8EDKPHQMDGLEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ Jumlahkan pangkatnya Sederhanakan









8EDKPHQMDGLEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ Jumlahkan pangkatnya Sederhanakan

Semester 1

Mendapatkan Hasil Perpangkatan dari Hasil Kali

Contoh 1.7

Sederhanakan perpangkatan pada perkalian bilangan berikut ini D y 2 = 4y u 4y 

 u u y u y 



=4 uy 2

8EDKPHQMDGLEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ







2

Jumlahkan tiap-tiap pangkatnya

2

= 16y

Sederhanakan

E wy  = wy u wy u wy 





 w u w u w u y u y u y    

=wy

Kelompokkan basis yang sama













8EDKPHQMDGLEHQWXNSHQJXODQJDQSHUNDOLDQ Kelompokkan yang sama Sederhanakan

Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat berikut: a. 7u 72

b. §¨ 1 ·¸ × §¨ 1 ·¸ ©¹ ©¹ c. t u t-1 6

4

2. Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat berikut: 

D 4 



E ] 6 c.

§ § 2 · · ¨¨ ¨ ¸ ¸¸ ©©  ¹ ¹

2

 6HGHUKDQDNDQRSHUDVLEHULNXWLQL a. 72 u 7



E  4



%DQGLQJNDQMDZDEDQVRDOQRPRU D GHQJDQVRDOQRPRU D GDQVRDOQRPRU  E GHQJDQVRDOQRPRU D $SDNDKMDZDEDQ\DQJNDPXGDSDWEHUQLODLVDPD" 0HQJDSDGHPLNLDQ"-HODVNDQ

MATEMATIKA

19

Latihan 1.2

Perkalian pada Perpangkatan

1. Berpikir Kritis. Nyatakan hasil kali perpangkatan berikut dalam satu bentuk pangkat Jelaskan. Gunakan cara yang lebih mudah 4 u 56

2. Sederhanakan perpangkatan berikut ini. a. 46 u 4

 













G 2 

e. 52 u § 2 · u § 2 · ¨ ¸ ¨ ¸ ©5¹ ©5¹

E   u  2



F   4 u  



 6HGHUKDQDNDQRSHUDVLDOMDEDUEHULNXWLQL a. y u 2y7 u y 2

b. b u 2y7 × b × y2  

F m u mn 4 G tn 4 u 4t

H x u x2y2  u 5y4

 7HQWXNDQQLODLGDULSHUSDQJNDWDQEHULNXWLQL 

D  u 2 u7



E 2 u 16  

  1 §§ 1 · · u¨¨- ¸ ¸ 2 ¨© © 2 ¹ ¸¹ G 4 u 4 u 2

4

c. 





5. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk paling sederhana: a. 4 u 26



E  u 2 5

c. 4 u4 u4

5

G  u  6

6. Nyatakan bilangan di bawah ini dalam bentuk yang memuat perpangkatan dengan basis 2. a. 64

c. 100

128   7HQWXNDQQLODLx yang memenuhi persamaan berikut ini. b. 20



D x x = 81 b.

20

d.

1 u 4 x u 2 x = 64 64

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

8. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam menyederhanakan hasil perkalian bentuk pangkat berikut ini. 

D 6 u4  u  = 910



E t 6 = t = t

9. Tantangan 3DGD VHEXDK SDVDU WUDGLVLRQDO SHUSXWDUDQ XDQJ \DQJ WHUMDGL VHWLDS PHQLWQ\D DGDODK 5S 3DGD KDUL 6HQLQ-XPDWSURVHV SHUGDJDQJDQ WHUMDGL UDWDUDWD  MDP WLDS KDUL 6HGDQJNDQ XQWXN 6DEWX0LQJJX SURVHV MXDO EHOL WHUMDGL UDWDUDWD  MDP WLDS KDUL %HUDSD MXPODK SHUSXWDUDQ XDQJ GL SDVDU WUDGLVLRQDO WHUVHEXW VHODPD  PLQJJX Q\DWDNDQ MDZDEDQPX GDODP EHQWXN SHUSDQJNDWDQ  10. Tantangan. Sebuah bola karet dengan diameter 7 cm direndam dalam sebuah EHMDQD EHULVL PLQ\DN WDQDK VHODPD  MDP -LND SHUWDPEDKDQ GLDPHWHU EROD NDUHW WHUVHEXW  PPGHWLN %HUDSDNDK YROXPH EROD NDUHW VHWHODK SURVHV perendaman.

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 1.8%HMDQDEHULVLPLQ\DNWDQDKGDQERODNDUHW

C. Pembagian pada Perpangkatan Pertanyaan Penting Bagaimana hasil pembagian dari dua perpangkatan yang memiliki basis sama? Kegiatan 1.8

Membagi Dua Bentuk Perpangkatan

Ayo Kita Amati $PDWL WDEHO GL EDZDK LQL +DVLO SHPEDJLDQ SDGD VXDWX SHUSDQJNDWDQ VHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan.

MATEMATIKA

21

Pembagian Bentuk Perpangkatan

9 4

Pengulangan Bentuk Perkalian

Bentuk Perpangkatan

u u u u u u u u  u u u 

5

-2  -2

-2 u -2 u -2 u -2 u -2 u -2 -2 u -2 u -2

68 64

6u6u6u6u6u6u6u6 6u6u6u6

6

 

64

Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan “pembagian pada perpangkatan”. Ayo Kita Mencoba Setelah kamu mengamati tabel di atas, lengkapilah tabel di bawah ini. Pembagian pada Perpangkatan

Bentuk Perkalian Berulang

Perpangkatan

4, 210 4, 25

-7 5 -7 7

27 21

22

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Pembagian pada Perpangkatan

Bentuk Perkalian Berulang

-2,5 2 -2,5

Perpangkatan

4

109 10 Secara umum bentuk

am GDSDWGLXEDKPHQMDGL an am = am  n an

Ayo Kita Simpulkan Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil pemangkatan pada perkalian bilangan? Kegiatan 1.9

Membandingkan Volume

%HQWXNODKNHORPSRNGDQEDQGLQJNDQYROXPHGDULREMHN\DQJGLEHULNDQGLEDZDKLQL Ayo Kita Mencoba Pada gambar di bawah ini, diberikan berbagai ukuran wadah dengan bentuk limas yang diputar 180o terhadap sumbu-y. Hitung volume tiap-tiap limas. Bandingkan YROXPHOLPDVEHVDUWHUKDGDSYROXPHOLPDVNHFLOGHQJDQXNXUDQSDQMDQJDODVOLPDV s  GDQ WLQJJL OLPDV h  GLEHULNDQ VHEDJDL EHULNXW &DWDW KDVLO \DQJ NDPX SHUROHK dalam tabel. a. limas kecil s h = 9 B A O

b. limas kecil s = 4, h = 8 B A O C

D

T

C

D

T

MATEMATIKA

23

limas besar s 2, h = 18 B A O

limas besar s = 42, h = 12 B A C

D

O C

D

T

T

c. limas kecil s = 2, h = 5 B A O

d. limas kecil s = 10, h = 15 B A O C

D

T

T

limas besar s = 2, h = 5 B A O

limas besar s = 102, h = 200 B A O C

D

Volume limas kecil

24

1 2 u u 

Kelas IX SMP/MTs

C

D

T

a.

C

D

T

Volume limas besar

1 2 2  u  

Volume limas besar Volume limas kecil



2 2

u  u 2

2 u 2

 u 2

Semester 1

Volume limas kecil

Volume limas besar

Volume limas besar Volume limas kecil

b. c. d.

Diskusi 1. Bagaimana kamu dapat membagi dua perpangkatan dengan basis yang sama?  %HULNDQGXDFRQWRKVHEDJDLSHQGXNXQJMDZDEDQPX

Pembagian pada Perpangkatan

Contoh 1.8

1.

4 42

= 4± =4

-4  2 -4

Kurangkan pangkat dari basis 4 Sederhanakan

7

2. 



  7 – 2

.XUDQJNDQSDQJNDWGDULEDVLV 

 

Sederhanakan

5

x5  2 = x5 – 2 x = x

Kurangkan pangkat dari basis x 



Contoh 1.9 Sederhanakan bentuk

4 4 u 4 = 5 5 4 4 411 = 5 4 = 411 – 5 6

=4



Sederhanakan

Menyederhanakan Operasi pada Perpangkatan 4 u 4 7XOLVNDQMDZDEDQGDODPEHQWXNELODQJDQEHUSDQJNDW 45 Jumlahkan pangkat dari pembilang Sederhanakan Kurangkan pangkat dari basis 4 Sederhanakan

MATEMATIKA

25

Operasi Perkalian dan Pembagian pada Perpangkatan

Contoh 1.10

b4 b6 u 7XOLVNDQMDZDEDQGDODPEHQWXNELODQJDQEHUSDQJNDW b  b Alternatif Penyelesaian: Sederhanakan bentuk

b4 b6 u = b4 – 2 × b± b  b = b2 u b

Kurangkan pangkat Sederhanakan

= b

Jumlahkan pangkat

5

=b

Sederhanakan

Penerapan Pembagian pada Perpangkatan dalam Kehidupan Nyata

Contoh 1.11

Berdasarkan data BPS tahun  ZZZESVJRLG  MXPODK penduduk pulau Jawa mencapai  MXWD MLZD PHODOXL SURVHV SHPEXODWDQ 6HGDQJNDQ OXDV SXODX -DZD  u 10 km2. Berapakah kepadatan penduduk pulau Jawa tahun 2010? Sumber: www. http://geospasial.bnpb.go.id

Gambar 1.9 Kepadatan penduduk Jawa

Jawaban: /XDVDUHD u 105 km2 Jumlah penduduk Kepadatan penduduk = Luas area = =

 u 8  u 5

 8 ×  5

= 1 u 108 – 5 = 1 u 10

Subtitusikan populasi penduduk dan luas area

7XOLVNHPEDOLGDODPEHQWXNSHPEDJLDQWHUSLVDK Kurangkan pangkat Sederhanakan

-DGLNHSDGDWDQSHQGXGXN3XODX-DZDWDKXQDGDODKMLZDNP2

26

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat berikut: a.

84 81

b.

-8  -8 9

7 

c.

2. Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat berikut: a.

84 u 82 8

±    u  10

b.

c.

b9 b 7 u b b 

 3DGD&RQWRKMLNDSRSXODVLSHQGXGXNSXODX-DZDEHUWDPEDKVHWLDS WDKXQKLWXQJNHSDGDWDQSHQGXGXNSXODX-DZDSDGDWDKXQGDQ

Latihan 1.3

Pembagian pada Perpangkatan

5m = 54 5n D 7HQWXNDQ GXD ELODQJDQ m dan n yang bernilai antara 1 sampai dengan 9 sehingga dapat memenuhi persamaan di atas.

1. Berpikir Kritis. Diberikan persamaan  

E 7HQWXNDQ EDQ\DNQ\D SHQ\HOHVDLDQ GDUL SHUVDPDDQ WHUVHEXW -HODVNDQ MDZDEDQPX

 6HGHUKDQDNDQ SHPEDJLDQ SDGD SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL 7XOLVNDQ MDZDEDQPX dalam bentuk bilangan berpangkat

-4 2 -4 5

a.

-4 2 -4

c.

§2· ¨ ¸ ©5¹ 5 §2· ¨ ¸ ©5¹ 9

6

b.

7 

d.

MATEMATIKA

27

 6HGHUKDQDNDQHNVSUHVLEHQWXNDOMDEDUEHULNXWLQL a.

- y5 - y2

§1· ¨ ¸ ©t¹  §1· ¨ ¸ ©t¹

c.

m7 m

d.

42 y 8 12 y 5

7

b.

 6HGHUKDQDNDQRSHUDVLEHULNXWLQL7XOLVNDQMDZDEDQPXGDODPSDQJNDW

a.

b.

c.

§1· §1· ¨ ¸ ¨ ¸ ©t ¹ u©t ¹   §1· §1· ¨ ¸ ¨ ¸ ©t¹ ©t¹

d.

w4 u 5w w2



 u  7

2

55 5 u 5 

5. Sederhanakan bentuk di bawah ini. a.

0, 24 u 0, 22 0, 25

b.

-5 u -5

d.

-55

2

2

e.



 u 4  15 5 45 2 4  u6 4  2

7

c.   4 46 6. Sederhanakan bentuk di bawah ini.

28

a.

5 8

b.

 20

c.

45 6

d.

50 625

e.

49 686

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

 7XOLVNDQNHPEDOLGDODPEHQWXNSHPEDJLDQSHUSDQJNDWDQ a. 25 b. p 8. Dapatkan nilai n dari pembagian bilangan berpangkat di bawah ini: a.

s 2 s9 × = sn s  s

b.

6 = nu9 2

9. Analisa Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam menyederhanakan ekspresi berikut  7 = 7 5 = 78 5 7

10.

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Tantangan. Intensitas bunyi percakapan manusia adalah 106 lebih besar dari intensitas suara manusia berbisik. Sedangkan intensitas bunyi pesawat lepas landas adalah 1014 lebih besar dari pada suara bisikan manusia yang dapat terdengar. Berapa kali intensitas bunyi pesawat lepas landas dibandingkan dengan bunyi percakapan manusia?

Gambar 1.10

D Notasi Ilmiah (Bentuk Baku) Pertanyaan Penting Bagaimana membaca dan menuliskan notasi ilmiah? Kegiatan 1.10

Menggunakan Kalkulator

Ayo Kita Amati Pada kegiatan ini, kamu diminta melakukan pengamatan secara berkelompok. /DNXNDQODQJNDKNHUMDVHSHUWL\DQJWHODKGLVDMLNDQ

MATEMATIKA

29

Ayo Kita Mencoba 1. Dengan menggunakan kalkulator VDLQWL¿N NDOLNDQ GXD ELODQJDQ besar. Sebagai contoh 2.000.000.000 u

Berapa nilai yang muncul di layar kalkulator?  7HQWXNDQ KDVLO SHUNDOLDQ 2.000.000.000 dengan WDQSDPHQJJXQDNDQ kalkulator. Berapa hasilnya?  $SD \DQJ GDSDW NDPX VLPSXONDQ GDULKDVLO  GDQ  "

Sumber: www.studentcalculators.co.uk

Gambar 1.11 Kalkulator

 3HULNVD NHPEDOL SHQMHODVDQPX GHQJDQ PHQJJXQDNDQ KDVLO NDOL ELODQJDQ EHVDU yang lain. Ayo Kita Menanya Setelah melakukan percobaan di atas, buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan pola SHQXOLVDQSHUSDQJNDWDQ\DQJGLWXQMXNNDQNDONXODWRU Ayo Kita Menalar 1. Lakukan percobaan dengan mengalikan dua bilangan yang sangat kecil, sebagai FRQWRKGLNDOLNDQGHQJDQEDJDLPDQDKDVLO\DQJGLWXQMXNNDQ oleh kalkulatormu?  $SD\DQJGLWXQMXNNDQGLOD\DUNDONXODWRU"-HODVNDQ  /DNXNDQSHUFREDDQXQWXNPHQHQWXNDQDQJNDPDNVLPXP\DQJGDSDWGLWDPSLONDQ di layar kalkulator. Sebagai contoh, ketika kamu mengalikan 1.000 dengan 1.000 PDNDNDONXODWRUPXDNDQPHQXQMXNNDQ

30

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Diskusi 1. Bagaimana kamu dapat menuliskan sebuah bilangan dalam bentuk notasi ilmiah? 2. Coba kamu buat penelitian secara mandiri seperti pada Kegiatan 1.10, dengan menggunakan angka yang sangat kecil. Bagaimanakah hasil penelitian kamu? Jelaskan. Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.10 tersebut, kesimpulan apakah yang dapat NDPXWDULNEHUNHQDDQGHQJDQQRWDVLLOPLDK EHQWXNEDNX VXDWXELODQJDQ" 6HEXDKELODQJDQGLNDWDNDQWHUWXOLVGDODPEHQWXNQRWDVLLOPLDK EDNX NHWLND x )DNWRUSHQJDOLEHUDGDGLDQWDUD”t”

x

Basis dari bentuk perpangkatan 10 memiliki pangkat ... Faktor pengali lebih besar dari 1 dan kurang dari 10

u 10

Pemangkatan 10 harus memiliki pangkat bilangan bulat

Bilangan lebih besar atau sama dengan 10 *XQDNDQVHEXDKSDQJNDWSRVLWLINHWLNDNDPXPHPLQGDKNDQWLWLNGHVLPDONHNLUL Bilangan antara 0 dan 1 *XQDNDQVHEXDKSDQJNDWQHJDWLINHWLNDNDPXPHPLQGDKNDQWLWLNGHVLPDONHNDQDQ Contoh 1.12

Menulis Notasi Ilmiah dalam Bentuk Biasa

1\DWDNDQEHQWXNLOPLDKEHULNXWLQLPHQMDGLEHQWXNELDVD

a. 2,16× 105 = 2,16 u 100.000 Dapatkan hasil dari perpangkatan 5 dari basis 10 = 216.000 b. 0,16 u 10 = 0,16 u0,001 = 0,00016

Lakukan operasi perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 5 tempat ke kanan 'DSDWNDQKDVLOGDULSHUSDQJNDWDQ  GDULEDVLV Lakukan perkalian dengan memindahkan tanda desimal VHEDQ\DNWHPSDWNHNLUL

MATEMATIKA

31

Ayo Kita Tinjau Ulang 7XOLVNDQEHQWXNEDNXGDUL a. 12 u 105







E u 10-7

Latihan 1.4

Membaca dan Menulis Notasi Ilmiah

1. Berpikir Kritis7HEDOVHEXDKELVNXLWDGDODKFP sedangkan dalam satu kemasan 600 gr berisi 100 EXDKELVNXLW%HUDSDNDKSDQMDQJELVNXLW\DQJGDSDW GLVXVXQPHPDQMDQJGDODPVDWXNDUGXV\DQJEHULVL NHPDVDQJU7XOLVNDQMDZDEDQPXGDODPEHQWXN biasa kemudian sederhanakan dalam bentuk baku. Sumber: http://food.detik.com

Gambar 1.12 Biskuit

 7HQWXNDQMDZDEDQNDPXGDODPEHQWXNEDNX%HULSHQMHODVDQVLQJNDWEDJDLPDQD NDPXPHQGDSDWNDQMDZDEDQWHUVHEXW a. 10,5 u 10



b. 1,5 u 10-5









c. 7.125 u 10

d. 0,455 u 10-6

e. 5 u 1012

-16

 7XOLVNDQNHPEDOLGDODPEHQWXNELDVD a. 7 u 10 

b. 2,7 u 10 











d. 9,95 u 1015 H u 10

-12

F u105

 7XOLVNDQGDODPEHQWXNEDNX a. 0,00000056 

d. 880

E  





H  



c. 1.000.000.000.000.000  6HGHUKDQDNDQGDQWXOLVNDQMDZDEDQPXGDODPEHQWXNEDNX 

D u 102 î u 102  





E u 10 u u 10 





F u10 u 

32

Kelas IX SMP/MTs



5

6

-12

Semester 1

d. e.

1, 25 u 10 5 u 10

16

6

1,6 u 10 2 u 104

6. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam penulisan bilangan bentuk baku berikut. a. 125.000.000 = 12,5 u 107

b. 0,0000055 = 5,5 u 106 

F u 10-4 

 0DVVD SODQHW -XSLWHU DGDODK  u 108 kg, VHGDQJNDQ EHUDW SODQHW %XPL DGDODK  GDUL -XSLWHU%HUDSDNDKPDVVDSODQHW%XPL"7XOLVNDQ MDZDEDQPX GDODP EHQWXN EDNX DWDX QRWDVL ilmiah.

Sumber: http://teknologi.news. viva.co.id

Gambar 1.13 Planet Jupiter

 0DVVD%XPLDGDODK NJ7XOLVNDQGDODPEHQWXNEDNX

Sumber: indonesiaindonesia. com

Gambar 1.14 Planet Bumi

9. Tantangan 'LQGD PHPEHOL ÀDVKGLVN EDUX VHKDUJD 5S GHQJDQ NDSDVLWDV  *% %HUDSD E\WH NDSDVLWDV ÀDVKGLVN 'LQGD \DQJ ELVD GLJXQDNDQ MLND GDODP VXDWX ÀDVK GLVN NDSDVLWDV \DQJ GDSDW GLJXQDNDQDGDODKGDULNDSDVLWDVWRWDOQ\D Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 1.15 Flashdisk

10. Tantangan. Pada soal nomor 9. Berapakah kisaran harga memori yang dapat GLJXQDNDQWLDSE\WHQ\D7XOLVNDQMDZDEDQPXGDODPEHQWXNEDNX

MATEMATIKA

33

E. Pangkat Bilangan Pecahan Pertanyaan Penting Bagaimana kamu dapat menggunakan bilangan berpangkat pecahan untuk menuliskan sebuah angka? Pangkat Bilangan Pecahan

Kegiatan 1.11

Ayo Kita Amati Pada kegiatan ini, kamu diminta untuk mengamati suatu rumusan matematika yaitu 7HRUHPD 3\WKDJRUDV7HRUHPD 3\WKDJRUDV EHUODNXSDGD VHEXDK VHJLWLJD \DQJ VDODK satu sudutnya adalah siku-siku. Perhatikan dengan seksama langkah-langkah aturan Pythagoras berikut ini. c2 = a2 b2

c

c

5XPXVXPXPDWXUDQS\WKDJRUDV

a b

2

2

2

sisi miring segita siku-siku

b

a b

cc = 2



$NDUNDQNHGXDUXDVXQWXNPHQGDSDWNDQSDQMDQJ





a











2

2





Didapatkan persamaan umum untuk mencari 

SDQMDQJVLVLPLULQJVHJLWLJDVLNXVLNX

Ayo Kita Menanya Setelah kamu mengamati proses untuk mendapatkan sisi miring pada segitiga siku-siku dengan menerapkan aturan pythagoras pada kegiatan di atas. Susunlah pertanyaan yang menyatakan hubungan antara pangkat kuadrat dan akar pangkat dua. Kegiatan 1.12

Mendapatkan Sisi Kubus

Ayo Kita Mencoba %HULNXWLQLGLVDMLNDQEHEHUDSDPDFDPNXEXVGHQJDQXNXUDQ\DQJEHUEHGDGHQJDQ PHQJJXQDNDQGH¿QLVL\DQJGLGDSDWNDQGL.HJLDWDQ7HQWXNDQPDVLQJPDVLQJ luas permukaan dan sisi kubus yang ada. 34

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Volume

Panjang sisi

(s u s u s = s3)

(s)

Luas Permukaan

(6 u s u s)

Metode 1: = = =



4u 4u 4

4u 4u 4

4 



§ 1· = ¨ 4 ¸ © ¹







64 cm

= 4 = 41 = 4

6 u 4 u 4 = 96

Metode 2: =



4u 4u 4

=



4



26

= 26  =

1

6

= 2 = 22 = 4 Metode 1:

125 cm

Metode 2:

Metode 1: 

729 m

Metode 2:

MATEMATIKA

35

Diskusi dan Berbagi ,QIRUPDVLDSDNDK\DQJNDPXGDSDWNDQVHWHODKPHOHQJNDSLWDEHOGLDWDV"'DSDWNDK kamu mendapatkan hubungan antara bentuk perpangkatan dengan bentuk akar? Diskusikan hasil yang kamu dapatkan dengan teman kamu. Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.11 dan Kegiatan 1.12 tersebut. Kesimpulan apakah yang dapat kamu tarik berkenaan dengan pangkat pecahan pada bentuk perpangkatan? Dari kegiatan-kegiatan yang telah kamu lakukan, maka didapatkan: xJika mempertimbangkan

xJika mempertimbangkan m

a n = ... a... =

a

...

...

m

an m

an

VHEDJDL a... ...VHODQMXWQ\D

m

a

a n = ... a... m

VHEDJDL a... ...VHODQMXWQ\D a n =

...

, ...

, dengan a > 0, dan m, nELODQJDQEXODWSRVLWLI

Menghitung Bentuk Pangkat Pecahan

Contoh 1.13

Hitung bentuk pangkat pecahan di bawah ini: a.

1

b.

92

2

8

Alternatif Penyelesaian: a.

1

92 1

Metode 1 





Metode 2



92  1

92

=

9

Bentuk dalam bentuk akar



= 2 2





Hitung hasil akarnya

1

1 2u 2

=

1 

36



Kelas IX SMP/MTs

Bentuk dalam bentuk kuadrat Kalikan pangkat Hitung hasil pangkatnya

Semester 1

Alternatif Penyelesaian: b.

2

8 § 1· = ¨ 8 ¸ 8 © ¹ 2 

Metode 1

=

2

8 

Bentuk dalam bentuk perkalian pangkat 2

Bentuk ke dalam akar pangkat tiga

= 22 = 4 2

Metode 2

8

Hitung hasil pangkatnya

= 82  1

Bentuk dalam bentuk kuadrat

1

= 64  = 2

Metode 3

8



Kalikan pangkat

64

= 2 

Hitung hasil akarnya

4

2

=

2

Bentuk dalam bentuk perkalian pangkat

2 u 

Bentuk ke dalam akar pangkat tiga

= 22 = 4

Hitung hasil pangkatnya

Ayo Kita Tinjau Ulang  7XOLVNDQEHQWXNEDNXGDUL a.

1

64 2

2

b. 27 

 7XOLVNDQEHQWXNSHUSDQJNDWDQSHFDKDQGDUL a.



25

Latihan 1.5

b.

125

Pangkat Bilangan Pecahan

1. Berpikir Kritis 7RQR GDSDW PHQJLVL SHQXK VHEXDKNHUDQMDQJEXDKZDNWXPHQLW-LND7RQR PHQJLVLNHUDQMDQJWHUVHEXWGHQJDQNHFHSDWDQGXD kali dari biasanya. Berapa menitkah waktu yang GLEXWXKNDQ7RQRXQWXNPHQJLVLSHQXKNHUDQMDQJ buah tersebut? Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 1.16 .HUDQMDQJEXDK

MATEMATIKA

37

2. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan persamaan berikut.

x



2 

1 x

2

 1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQGLEDZDKLQLGDODPEHQWXNODLQ b. § 1 · 2 ¨ ¸ ©5¹

c. § 27 ·  ¨ ¸ © 8 ¹

1

a.

1 

-



1

4. Nyatakan perpangkatandi bawah ini dalam bentuk lain a.

6  u6  u6  -

1

-

1

-

1

b.

625

5. Sederhanakan bentuk perpangkatan di bawah ini a.

y4 u  y 6 1

b.

-

1

m 2 : 2m 2

6. Hitung operasi bilangan berpangkat di bawah ini: 2

a.

 u 2   1 2

b.

55 

c.

1

5

1,96 u 1024

 6HWLDSNDOLSHUD\DDQ+875,60317DPDQPHQJDGDNDQORPED³NHODVEHUKLDV´ 6HOXUXK VLVZD GLZDMLENDQ PHQJKLDV NHODV PHUHND VHPHQDULN PXQJNLQ GHQJDQ tema kemerdekaan. Kelas 9A berencana menghias langit-langit kelas dengan deretan bendera merah-putih pada benang wool. Sesuai kesepakatan, benang bendera tersebut akan dihiaskan memutari langit-langit kelas dan menyilang SDGD GLDJRQDOQ\D %HUDSD SDQMDQJ EHQDQJ EHQGHUD \DQJ GLEXWXKNDQ NHODV $ MLNDNHODVQ\DEHUXNXUDQPu 8 m?  6HGHUKDQDNDQ EHQWXN RSHUDVL SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL WXOLVNDQ MDZDEDQPX dalam bentuk akar: a.

xyz 



x yz



b.

ab u a 2 b- 1

 6HGHUKDQDNDQ EHQWXN RSHUDVL SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL WXOLVNDQ MDZDEDQPX dalam bentuk pangkat:

a  bc u  abc

a.



b. 

38

x



xyz yz 

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

10. Gunakan kalkulator untuk mendapatkan nilai perpangkatan di bawah ini: a.

1

 

1

b. 125 4

c.

1

1.024 2

Proyek 1 1. Gunakan akses internet untuk mendapatkan populasi penduduk di 5 negara dengan penduduk terpadat di dunia. D 1\DWDNDQ MXPODK PDVLQJPDVLQJ SRSXODVL SHQGXGXN WHUVHEXW GDODP bentuk notasi ilmiah E 'DSDWNDQ MXJD OXDV ZLOD\DK GL QHJDUD WHUVHEXW 6HODQMXWQ\D GDSDWNDQ NHSDGDWDQSHQGXGXNPDVLQJPDVLQJQHJDUD1\DWDNDQMDZDEDQPXGDODP bentuk baku. F 0HODOXL FDUD \DQJ VDPD FDUL WDKX MXJD WHQWDQJ SHUWXPEXKDQ SHQGXGXN WLDSWDKXQQ\D.HPXGLDQGDSDWNDQMXPODKSHQGXGXNWDKXQNHGHSDQNH depan di masing-masing negara. G 'DUL LQIRUPDVL \DQJ NDPX GDSDWNDQ SDGD SRLQ EXWLU F +LWXQJ MXJD kepadatan penduduk 10 tahun kedepanke depan. 2. Seorang ayah memberikan sebuah tantangan kepada anaknya untuk PHQJKLWXQJMXPODKELMLMDJXQJ\DQJGLSHUOXNDQXQWXNPHPHQXKLSDSDQFDWXU -LNDSDGDNRWDNSHUWDPDGLEHULELMLMDJXQJNRWDNNHGXDELMLMDJXQJELML MDJXQJXQWXNNRWDNNHWLJDELMLXQWXNNRWDNNHHPSDWGHPLPLNLDQEHUODQMXW sampai memenuhi ke enampuluh kotak. D %DQWXDQDNWHUVHEXWPHQHQWXNDQVXVXQDQMXPODKELMLSDGDPDVLQJPDVLQJ kotak papan catur tersebut. E -LNDEHUDWWLDSWLDSELMLMDJXQJDGDODKJU'DSDWNDQEHUDWELMLMDJXQJ pada masing-masing kotak. F *DEXQJNDQLQIRUPDVL\DQJNDPXGDSDWNDQGDODPEHQWXNWDEHOSHUKLWXQJDQ \DQJPHPXDWNHGXDLQIRUPDVLWHUVHEXW G %HUDSDNDK XDQJ \DQJ KDUXV GLNHOXDUNDQ DQDN WHUVHEXW MLND KDUJD ELML MDJXQJWLDSNLORJUDPQ\DDGDODK5S

MATEMATIKA

39

Uji Kompetensi 1

Perpangkatan dan Bentuk Akar

1. Dapatkan hasil dari operasi perpangkatan berikut ini.

 4 64  'L VHEXDK GHVD GL .DEXSDWHQ /DUDQWXND .XSDQJ 177 terdapat sebuah lapangan seukuran lapangan sepak bola 120m u 90m. Pemerintah daerah setempat berencana menanami lapangan dengan rumput. Hitung luas rumput yang disediakan untuk menanami seluruh permukaan ODSDQJDQVHSDNERODWHUVHEXW-HODVNDQMDZDEDQPXGDODP SHUSDQJNDWDQ\DQJSDOLQJVHGHUKDQD /XDVSHUVHJLSDQMDQJ DGDODKSDQMDQJuOHEDU  'DSDWNDQ EHQWXN SHUSDQJNDWDQ \DQJ HNLYDOHQ GHQJDQ ELODQJDQ GL EDZDK LQL -DZDEDQGDSDWOHELKGDULVDWXEHQWXNSHUSDQJNDWDQ  a.

2

b.



8

x

27

4. Diketahui

n 1

yn



6 n

2n

adalah senilai dengan xayb. Dapatkan nilai

x y  6HGHUKDQDNDQRSHUDVLSHUSDQJNDWDQDOMDEDUEHULNXWLQL a. y u \ 2

b.

b2y ub 6y  





b . a

F tn 4 u 4t





G x î x2y2  × 5y4

 7XOLVNDQELODQJDQGLEDZDKLQLGDODPQRWDVLLOPLDK a. 0,00000056

c. 0,98

b. 2.500.000

d. 10.000.000.000.000

 +LWXQJ KDVLO SDGD SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL7XOLVNDQ MDZDEDQPX GDODP QRWDVL ilmiah. a. 12 u 2 







b. 7,27 u 10 – 0,5 u 10 2



 

F u 104  u 10-6  

G u 10 u5,2 u 10

40

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

8. Diberikan x = 24 dan y   7HQWXNDQ KDVLO RSHUDVL GL EDZDK LQL WXOLVNDQ MDZDEDQPXGDODPEHQWXNSHUSDQJNDWDQ\DQJSDOLQJVHGHUKDQD x a. x u y b. y  %HUDSDNDKKDVLORSHUDVLSHUSDQJNDWDQEHULNXW 5 – 2465  %HUDSDEDQ\DNGHWLNGDODPNXUXQZDNWXWDKXQ"7XOLVNDQKDVLOQ\DGDODP notasi ilmiah.  7XOLVNDQKDVLORSHUDVLSHUSDQJNDWDQEHULNXWLQL a. -8 u 26

16 24 98 d. 7 c.

b. 54 u 50

12. Tantangan. Pada acara lomba 17 Agustus GL6'17DPDQGLDGDNDQORPEDPHQJLVL air pada topi ulang tahun berbentuk NHUXFXW GHQJDQ PHOHZDWL SHUMDODQDQ VHMDXK  P 6HWLDS PHWHU \DQJ GLWHPSXK 1 maka air akan berkurang sebanyak 10 bagian. Berapakah air yang terkumpul GDODP VDWX NDOL SHUMDODQDQ" 'LPHQVL WRSL

Sumber: Dokumen Kemdikbud

XODQJWDKXQGLDPHWHU FPGHQJDQWLQJJLFP9kerucut =  8UXWNDQELODQJDQEHULNXWLQLGDUL\DQJWHUEHVDUNHWHUNHFLO a. 7 d. 0,98 u 104 b. 0,89

c. 5,2 u 10 

1 2 ʌr . 

e. 0,0045 





I 

 &DKD\D EHUJHUDN GHQJDQ NHFHSDWDQ  u 108 PV %HUDSD MDXK FDKD\D EHUJHUDN GDODPVDWXWDKXQ"7XOLVNDQKDVLOQ\DGDODPQRWDVLLOPLDK  7XOLVNDQKDVLOSHUSDQJNDWDQEHULNXWLQL a. 

1  6  4  2

E u  4







F 4 – 44 

d. § 1 · u § - 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 4 ¹ © 16 ¹ 4

2

Perlu diingat bahwa operasi perkalian dan pembagian lebih didahulukan GDULSDGD RSHUDVL SHQMXPODKDQSHQJXUDQJDQ NHFXDOL GDODP NDVXV NKXVXV VHSHUWLEHUDGDGDODPWDQGDNXUXQJVHKLQJJDKDUXVPHQMDGLSULRULWDV

MATEMATIKA

41

16. Dapatkan nilai n dari persamaan berikut ini: 

D n  







F n   0

1      G  n4 16  1\DWDNDQ SHUQ\DWDDQ PDWHPDWLND EHULNXW VHEDJDL SHUQ\DWDDQ %HQDU %  DWDX 6DODK 6 %HULNDQDODVDQPX b. 2n =

a. 

6 6

27 c. §¨ 2 ·¸ 7 ©5¹ 5 d. 4 × 47 = 220 7

0

E u 5 = 25 u 65

18. Sederhanakan bentuk di bawah ini. a. b. c.

§ a bc · § 8ac · ¨ ¸u¨  ¸ © bc ¹ © bc ¹ 2m0 u m  2

m 

4 m 

19. Diberikan x = 27 dan y 7HQWXNDQKDVLOGDULRSHUDVLGLEDZDKLQLWXOLVNDQ MDZDEDQPXGDODPEHQWXNELODQJDQEHUSDQJNDWSDOLQJVHGHUKDQD a. xy b.

x y

 7XOLVNDQGDODPEHQWXNSDQJNDWSDOLQJVHGHUKDQD

42

a.

 20

c.

b.

500 9

d.

Kelas IX SMP/MTs

50 625 49 686

Semester 1

Bab II Pola, Barisan, dan Deret

Kata Kunci x x x x x

Pola Bilangan Genap Pola Bilangan Segitiga Pola Bilangan Persegi Pola Bilangan Persegi Panjang Pola Bilangan Segitiga Pascal

K ompetensi D asar 1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 3.10 Menerapkan pola dan generalisasi untuk membuat prediksi. 4.4 Mengenal pola bilangan, barisan, deret, dan semacam, dan memperumumnya; menggunakan untuk menyelesaikan masalah nyata serta menemukan masalah baru.

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Pada hari pertama dalam suatu pengamatan di lab biologi, diketahui terdapat 8.000 bakteri. Setelah 4 hari pengamatan jumlah bakteri bertambah menjadi 32.000. Jumlah bakteri tersebut terus bertambah, sehingga kita bisa menghitung jumlah pertumbuhan bakteri tiap harinya. Apakah kamu dapat menentukan jumlah bakteri setelah 6, 8 dan 10 hari pengamatan? Bagaimana caramu menentukannya? Pelajarilah lebih lanjut pada bab ini!

Pengalaman Belajar 1. 2. 3.

Menentukan pola berikutnya dari suatu susunan bilangan. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan barisan aritmetika dan geometri. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan deret aritmetika dan geometri.

MATEMATIKA

43

Peta Konsep Pola, Barisan, dan Deret

Pola Bilangan

Deret Bilangan

Pola Bilangan Ganjil

Aritmetika

Aritmetika

Pola Bilangan Genap

Geometri

Geometri

Pola Bilangan Segitiga

Pola Bilangan Persegi

Pola Bilangan Persegi Panjang

Pola Bilangan Segitiga Pascal

44

Barisan Bilangan

Leonardo dari Pisa atau lebih dikenal dengan QDPD /HRQDUGR )LERQDFFL OHELK VLQJNDWQ\D )LERQDFFL  DGDODK VHRUDQJ DKOL PDWHPDWLND Italia. Ia terkenal karena penelitiannya dalam Deret Fibonacci dan perannya mengenalkan tentang algorisme di wilayah Eropa. Algorisme merupakan sistem Arab modern dalam penempatan bilangan desimal untuk menulis dan memanipulasi angka.

Sumber: www.edulens.org

Leonardo Fibonacci

$\DK /HRQDUGR EHUQDPD *XJOLHOPR :LOOLDP  dengan nama panggilan Bonaccio. William bertugas mengatur pos perdagangan pada VHEXDKSHODEXKDQGL$OLJLHUVSDGD]DPDQGLQDVWL NHVXOWDQDQ $OPRKDG GL %DUEDUHVTXH $IULND Utara. Leonardo Fibonacci pergi ke sana untuk PHPEDQWXD\DKQ\D'LVDQDODKLDEHODMDUWHQWDQJ sistem bilangan Arab.

Setelah melihat bahwa aritmetika dengan bilangan Arab lebih mudah GDQ OHELK H¿VLHQ GLEDQGLQJNDQ GHQJDQ DQJND URPDZL )LERQDFFL PHODNXNDQ SHUMDODQDQ GL VHSDQMDQJ 0HGLWHUDQLD XQWXN EHODMDU GLEDZDK ELPELQJDQ DKOL PDWHPDWLND$UDEWHUNHPXNDVDDWLWXGDQNHPEDOLVHNLWDUWDKXQ03DGD WDKXQ0SDGDVDDWLDEHUXPXUWDKXQLDPHQHUELWNDQEXNXEHULVLDSD \DQJWHODKLDSHODMDUL\DLWXLiber Abaci atau "Book of Calculation".  /HRQDUGR PHQMDGL VHRUDQJ WDPX GDUL (PSHURU )UHGHULFN ,, \DQJ MXJD PHUXSDNDQVHRUDQJSHFLQWD0DWHPDWLNDGDQ6DLQV3DGDWDKXQ5HSXEOLN 3LVD PHQJDQXJHUDKL /HRQDUGR GHQJDQ PHPDNDL QDPD DOWHUQDWLIQ\D /HRQDUGL Bigollo. Sumber: www.edulens.org

Hikmah yang bisa diambil 1. Fibonacci adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi. 6HNDOLSXQ DQJND 5RPDZL VXGDK GLNHQDO PDV\DUDNDW (URSD SDGD XPXQ\D WDSLGLDWHUXVPHQJJDOLLQIRUPDVLPHQJHQDLSHQXOLVDQELODQJDQ$UDE\DQJ OHELKPXGDKGDQOHELKH¿VLHQGDULDQJND5RPDZL  7LGDNPXGDKSXDVWHUKDGDSVHVXDWX\DQJVXGDKGLGDSDWNDQVHKLQJJDWHUXV EHU¿NLUPHODNXNDQLQRYDVLXQWXNPHQHPXNDQVHVXDWX\DQJEDUX  0DWHPDWLND DGDODK LOPX \DQJ PHQDULN XQWXN NLWD SHODMDUL .DUHQD WHODK EDQ\DN VHMDUDK \DQJ PHQFHULWDNDQ WHQWDQJ SHUDQ PDWHPDWLND GDODP PHPDMXNDQSHUDGDEDQPDQXVLDVDODKVDWXQ\DDGDODKGHUHW¿ERQDFFL\DQJ PHQMDGLSHORSRUSHUNHPEDQJDQLOPXEDULVDQGDQGHUHW

45

A. Pola Bilangan Pertanyaan Penting Bagaimana cara untuk menentukan bilangan berikutnya dari suatu susunan bilangan? $JDUNDPXGDSDWPHQJHWDKXLGDQPHPDKDPLMDZDEDQSHUWDQ\DDQGLDWDVODNXNDQODK kegiatan-kegiatan di bawah ini. Kegiatan 2.1

Menentukan Gambar Berikutnya

 3HUKDWLNDQVXVXQDQJDPEDU\DQJDGDGLEDZDKLQL7LDSVRDOWHUGLULGDULJDPEDU dengan aturan tertentu, tentukanlah gambar kelima dari setiap soal di bawah ini. 1.

2.



4.

5.

6.

7.

46

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

8.

9.

10.

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.10HQHQWXNDQJDPEDUEHULNXWQ\D

Kegiatan 2.2

Menentukan Nomor Rumah di Suatu Perumahan

Ayo Kita Amati

Sumber: http://www.rumahku.com

Gambar 2.21RPRUUXPDKSDGDVXDWX3HUXPDKDQ;

 3DGD VXDWX MDODQ GL SHUXPDKDQ ; QRPRU SDGD VHWLDS UXPDK PHQJLNXWL VXDWX DWXUDQ WHUWHQWX 3DGD VLVL NLUL MDODQ UXPDK EHUQRPRU  WHUOHWDN SDGD SRVLVL SDOLQJ XMXQJVHGDQJNDQSDGDVLVLNDQDQMDODQUXPDK\DQJWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJXMXQJ EHUQRPRU5XPDKEHUQRPRUWHUOHWDNWHSDWGLVDPSLQJUXPDKEHUQRPRUGDQ UXPDKEHUQRPRUWHUOHWDNWHSDWGLVHEHODKUXPDKEHUQRPRU5XPDKEHUQRPRU WHUOHWDNGLDQWDUDUXPDKEHUQRPRUGDQVHGDQJNDQUXPDKEHUQRPRUWHUOHWDNGL antara rumah bernomor 4 dan 8, begitu seterusnya MATEMATIKA

47

Ayo Kita Mencoba Buatlah sebuah denah sederhana yang menggambarkan sepuluh rumah pertama \DQJ WHUOHWDN SDGD SRVLVL XMXQJ MDODQ GL SHUXPDKDQ ; WHUVHEXW EDLN SDGD VLVL NLUL MDODQPDXSXQVLVLNDQDQMDODQ6HVXDLLQIRUPDVL\DQJWHODKNDPXGDSDWNDQGLDWDV UXPDK\DQJEHUQRPRUWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJXMXQJVLVLNLULMDODQGDQUXPDK \DQJEHUQRPRUWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJXMXQJVLVLNDQDQMDODQ%HULNDQQRPRU SDGDVHWLDSUXPDKVHVXDLGHQJDQLQIRUPDVL\DQJDGD'DULGHQDK\DQJWHODKNDPX EXDWUXPDKQRPRUEHUDSD\DQJWHUOHWDNSDGDSRVLVLNHVHSXOXKGDULXMXQJGLVHEHODK NDQDQMDODQ" Ayo Kita Menalar D -LNDGDODPVDWXMDODQWHUVHEXWWHUGDSDWUXPDK EDQ\DNQ\DUXPDKSDGDVLVL NLULGDQNDQDQMDODQPDVLQJPDVLQJDGDODK EHUDSDNDKQRPRUUXPDKWHUEHVDU \DQJWHUOHWDNSDGDVLVLNLULMDODQ" E 0HQXUXWPX EDJDLPDQD DWXUDQ XQWXN PHQHQWXNDQ QRPRU UXPDK \DQJ WHUOHWDN SDGDVLVLNLULPDXSXQNDQDQMDODQGLSHUXPDKDQ;WHUVHEXW" c. Carilah contoh benda-benda di sekitarmu yang memiliki suatu pola tertentu. 7XOLVNDQPLQLPDOFRQWRKGDQDWXUDQ\DQJWHUGDSDWSDGDWLDSWLDSEHQGDWHUVHEXW Kegiatan 2.3

Menata Tutup Botol

Ayo Kita Mencoba Buatlah kelompok yang terdiri dari 5 anak. Setiap anak membawa 20 tutup botol air mineral. Kumpulkan tutup botol tersebut dalam satu kelompok. Siapkan kertas karton berukuran 2 uPHWHUSHUVHJL6HODQMXWQ\DEHULNDQOHPSDGDEDJLDQEHODNDQJ dari tutup botol sehingga tutup botol tersebut dapat ditempelkan pada kertas karton. 7LDSWLDS DQDN VHFDUD EHUJDQWLDQ GLEHULNDQ WXJDV XQWXN PHPEXDW VXVXQDQ WXWXS ERWRO EHUGDVDUNDQ XUXWDQ EHULNXW DQDN SHUWDPD PHODNXNDQ .HJLDWDQ  DQDN NHGXDPHODNXNDQ.HJLDWDQEHJLWXVHWHUXVQ\DVDPSDLDQDNNHOLPD Kegiatan 2.3.1 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini

48

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.36XVXQDQWXWXSERWROSDGD.HJLDWDQ

Amatilah dan catat banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat susunan ke-1, NHNHNHGDQNH Kegiatan 2.3.2 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.46XVXQDQWXWXSERWROSDGD.HJLDWDQ

Kegiatan 2.3.3 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.56XVXQDQWXWXSERWROSDGD.HJLDWDQ

Kegiatan 2.3.4 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini

MATEMATIKA

49

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.66XVXQDQWXWXSERWROSDGD.HJLDWDQ

Kegiatan 2.3.5 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.76XVXQDQWXWXSERWROSDGD.HJLDWDQ

Amatilah dan catat banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat susunan ke-1, NHNHNHGDQNH Ayo Kita Amati  3DGD.HJLDWDQGLDWDVGDSDWGLNHWDKXLEDQ\DNWXWXSERWRO\DQJGLJXQDNDQ XQWXNPHPEXDWVXVXQDQNHDGDODKVXVXQDQNHDGDODKGDQVHWHUXVQ\D-XPODK tutup botol yang digunakan untuk membuat tiap-tiap susunan pada setiap kegiatan EHUEHGD+DOLQLWHUMDGLNDUHQDDWXUDQXQWXNPHPEXDWVXVXQDQSDGDVHWLDSNHJLDWDQ MXJDEHUEHGD Dari kegiatan pengamatan yang telah kamu lakukan dengan kelompokmu, hitunglah banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat tiap-tiap susunan pada VHWLDSNHJLDWDQ7XOLVNDQKDVLOPXSDGDWDEHOGLEDZDKLQL

50

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQSDGDNHJLDWDQPHQDWDWXWXSERWRO Pola ke-

Banyak Tutup Botol

1 2  4 5  3HUKDWLNDQKDVLO\DQJWHODKNDPXGDSDWNDQSDGD7DEHOEHUGDVDUNDQNHJLDWDQ \DQJWHODKNDPXODNXNDQSDGD.HJLDWDQVDPSDLGHQJDQ.HJLDWDQ-DZDEODK pertanyaan di bawah ini. a. Berapa banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat susunan ke-5 pada .HJLDWDQ  VXVXQDQ NH SDGD .HJLDWDQ  GDQ VXVXQDQ NH SDGD .HJLDWDQ" E 3HUKDWLNDQ NHPEDOL ELODQJDQELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D WXWXS ERWRO SDGD NRORP VHEHODK NDQDQ7DEHO 7HQWXNDQ MXPODK WXWXS ERWRO \DQJ digunakan untuk membuat susunan ke-6, ke-7, dan ke-8 pada tiap-tiap kegiatan GDUL.HJLDWDQVDPSDLGHQJDQ.HJLDWDQ  Ayo Kita Menalar 0HQXUXWPX DSDNDK ELODQJDQELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D WXWXS ERWRO SDGD WLDSWLDS VXVXQDQ GL PDVLQJPDVLQJ NHJLDWDQ PHPLOLNL DWXUDQSROD WHUWHQWX" Bagaimanakah cara untuk mendapatkan susunan berikutnya? Diskusi dan Berbagi  6HWHODK NDPX PHODNXNDQ .HJLDWDQ  NLQL NDPX WHODK PHQJHWDKXL EHEHUDSD MHQLV SROD ELODQJDQ 6HNDUDQJ FRED NDPX GLVNXVLNDQ GHQJDQ WHPDQ NHORPSRNPX XQWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQEHULNXWLQL D 7XOLVNDQ  ELODQJDQ SHUWDPD GDUL WLDSWLDS SROD ELODQJDQ \DQJ WHODK NDPX SHODMDULSDGD.HJLDWDQ

MATEMATIKA

51

b. Bagaimana aturan untuk untuk menentukan bilangan berikutnya pada tiap-tiap pola bilangan tersebut?  7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL %HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQPXGLGHSDQWHPDQPX Ayo Kita Simpulkan x 7XOLVNDQ  ELODQJDQ SHUWDPD GDUL WLDSWLDS SROD ELODQJDQ \DQJ WHODK NDPX SHODMDULSDGD.HJLDWDQ

x 7XOLVNDQ DWXUDQ XQWXN PHQGDSDWNDQ ELODQJDQ EHULNXWQ\D GDUL VHWLDS SROD bilangan tersebut. Kegiatan 2.4

Segitiga Pascal

 6XVXQDQELODQJDQVHJLWLJDSDVFDOWHODKGLNHQDOGL&LQDVHMDNNLUDNLUDWDKXQ Kemudian susunan ini dinamakan dengan segitiga pascal, karena diperkenalkan oleh VHRUDQJLOPXZDQ3UDQFLVEHUQDPD%ODLVH3DVFDOSDGDWDKXQ*DPEDUEHULNXWLQL merupakan susunan bilangan segitiga pascal. Ayo Kita Amati

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.8 Segitiga Pascal

52

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Coba kamu amati susunan bilangan yang terdapat pada segitiga pascal tersebut. Susunan bilangan 1 merupakan baris ke-1, susunan bilangan-bilangan 1 1 merupakan EDULVNHVXVXQDQELODQJDQELODQJDQPHUXSDNDQEDULVNHGDQVHWHUXVQ\D ,VLODKWDEHOEHULNXWLQL\DQJPHQ\DWDNDQKDVLOSHQMXPODKDQELODQJDQELODQJDQSDGD WLDS EDULV VHJLWLJD SDVFDO +DVLO SHQMXPODKDQ ELODQJDQELODQJDQ SDGD WLDS EDULV VHJLWLJDSDVFDOVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQMXPODKEDULV 7DEHO3HQMXPODKDQ%LODQJDQ3DGD6HWLDS%DULV6HJLWLJD3DVFDO Baris ke-

Bentuk Penjumlahan

Jumlah Baris

1

1

1

2



2





4

4

...

...

5

...

...

6

...

...

7

...

...

8

...

...

D %HUGDVDUNDQ7DEHOEHUDSDMXPODKEDULVNHGDULVXVXQDQELODQJDQVHJLWLJD Pascal? E 7HQWXNDQMXPODKEDULVNHNHNHGDULVXVXQDQELODQJDQVHJLWLJD3DVFDO WDQSDPHQXOLVNDQEHQWXNMXPODKDQVHSHUWL\DQJWHUGDSDWSDGDNRORPNH7DEHO 2.2 di atas. Ayo Kita Menanya Berdasarkan kegiatan yang telah kamu lakukan di atas, coba buatlah pertanyaan \DQJPHPXDWNDWDNDWDEHULNXW³MXPODKEDULVVHJLWLJD3DVFDO´GDQ³SRODELODQJDQ´" 7XOLVODKSHUWDQ\DDQPXGLEXNXWXOLV Ayo Kita Menalar &REDNDPXDPDWLMXPODKEDULVGDULVXVXQDQELODQJDQVHJLWLJDSDVFDO\DQJWHUGDSDW SDGDNRORP7DEHO.HPXGLDQMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXWLQL MATEMATIKA

53

D $SDNDKELODQJDQELODQJDQ\DQJPHQ\DWDNDQMXPODKEDULVWHUVHEXWPHPEHQWXN suatu pola tertentu? E %DJDLPDQDNDKDWXUDQXQWXNPHQGDSDWNDQMXPODKEDULVEHULNXWQ\D" Materi Esensi

Pola Bilangan

 3DGDEHEHUDSDNHJLDWDQ\DQJWHODKNDPXODNXNDQGLDWDVNDPXWHODKPHPSHODMDUL EHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQ%HULNXWLQLDGDODKEHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQWHUVHEXW A. Pola Bilangan Ganjil  %LODQJDQ«DGDODKVXVXQDQELODQJDQ\DQJPHPLOLNLVXDWXSROD\DQJ dinamakan dengan pola bilangan ganjil. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua DGDODK  XUXWDQ NHWLJD DGDODK  GDQ VHWHUXVQ\D %LODQJDQ EHULNXWQ\D GLSHUROHK GHQJDQPHQDPEDKNDQSDGDELODQJDQVHEHOXPQ\D&RQWRKGDULSRODELODQJDQJDQMLO ELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ B. Pola Bilangan Genap Bilangan 2, 4, 6, 8, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan genap. Urutan pertama adalah 2, urutan kedua adalah 4, urutan ketiga adalah 6, dan seterusnya. Bilangan berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada bilangan sebelumnya. Contoh dari pola bilangan JHQDSELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ C. Pola Bilangan Segitiga  %LODQJDQ«DGDODKVXVXQDQELODQJDQ\DQJPHPLOLNLVXDWXSROD\DQJ dinamakan dengan pola bilangan segitiga. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua DGDODKXUXWDQNHWLJDDGDODKGDQVHWHUXVQ\D%LODQJDQELODQJDQWHUVHEXWEHUDVDO GDULSHQMXPODKDQELODQJDQFDFDK\DLWX   GDQ VHWHUXVQ\D&RQWRKGDULSRODELODQJDQVHJLWLJDELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ D. Pola Bilangan Persegi Bilangan 1, 4, 9, 16, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan persegi. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua adalah 4, urutan ketiga adalah 9, dan seterusnya. Pola bilangan tersebut dinamakan SROD ELODQJDQ SHUVHJL DWDX GLVHEXW MXJD SROD ELODQJDQ NXDGUDW NDUHQD XQWXN mendapatkannya berasal dari kuadrat bilangan asli, yaitu 12 = 1, 22 2 = 9, dan VHWHUXVQ\D&RQWRKGDULSRODELODQJDQSHUVHJLELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ E. Pola Bilangan Persegi Panjang Bilangan 2, 6, 12, 20, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan persegi panjang. Urutan pertama adalah 2,

54

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

urutan kedua adalah 6, urutan ketiga adalah 12, dan seterusnya. Bilangan-bilangan WHUVHEXWGLSHUROHKGHQJDQFDUDPHQJDOLNDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDULVGHQJDQ ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQNRORPVHEDJDLEHULNXW baris 1 2   4

kolom u

2

u

hasil

u 

=

2

 



4

=

12

4

=

20

u

 $WXUDQQ\DDGDODKELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQNRORPQLODLQ\DVHODOXVDWXOHELK EDQ\DNGDULELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDULV&RQWRKGDULSRODELODQJDQSHUVHJL SDQMDQJELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ F. Pola Bilangan Segitiga Pascal Bilangan-bilangan pada segitiga Pascal memiliki suatu pola tertentu, yaitu DSDELODGXDELODQJDQ\DQJVDOLQJEHUGHNDWDQGLMXPODKNDQPDNDDNDQPHQJKDVLONDQ ELODQJDQELODQJDQ SDGD EDULV VHODQMXWQ\D NHFXDOL  6HGDQJNDQ KDVLO SHQMXPODKDQ ELODQJDQSDGDWLDSWLDSEDULVVHJLWLJD3DVFDOMXJDPHPLOLNLVXDWXSRODGHQJDQUXPXV 2n – 1, dengan nPHQXQMXNNDQSRVLVLEDULVSDGDVHJLWLJDSDVFDO Tahukah Kamu? Salah satu kegunaan dari susunan bilangan pada segitiga pascal adalah untuk PHQHQWXNDQNRH¿VLHQNRH¿VLHQVXNXVXNXKDVLOSHUSDQJNDWDQ ab n, dengan n adalah bilangan asli. ab 0 = 1

1

ab = ab 1

1

ab = a abE 2

2

2

ab  Da2bab2b

1 



1 2

1



# 3HUKDWLNDQKDVLOSHQMDEDUDQGDUL ab GLDWDV.RH¿VLHQaDGDODKNRH¿VLHQa2 b DGDODKNRH¿VLHQab2DGDODKGDQNRH¿VLHQb adalah 1. Contoh 2.1

Menentukan Aturan Pada Susunan Bilangan

7HQWXNDQ DWXUDQ XQWXN PHQGDSDWNDQ ELODQJDQ EHULNXWQ\D SDGD WLDSWLDS VXVXQDQ ELODQJDQEHULNXWLQLGDQWHQWXNDQHPSDWELODQJDQEHULNXWQ\D

MATEMATIKA

55

a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, … b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, … c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, … d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, … Alternatif Penyelesaian: a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya GLSHUROHKGHQJDQPHQDPEDKNDQSDGDELODQJDQVHEHOXPQ\D(PSDWELODQJDQ EHULNXWQ\DDGDODKGDQ b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengalikan 4 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan EHULNXWQ\DDGDODKGDQ c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1 = 1, bilangan kedua adalah 1 = 2 ELODQJDQ NHWLJD DGDODK   , bilangan keempat adalah 64 = 4. Bilangan berikutnya diperoleh dengan melakukan pemangkatan tiga terhadap urutan bilangan tersebut. Empat bilangan berikutnya adalah 5= 125, 6= 216, 7 GDQ= 512. d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 2000. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengurangkan 200 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 1.200, 1.000, 800, 600. Contoh 2.2

Menentukan Pola Bilangan Pada Susunan Kardus

Perhatikan susunan kardus yang dibentuk menurut aturan seperti pada gambar di bawah ini:

Gambar 2.9 Susunan Kardus

D %XDWODK WDEHO \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDWVXVXQDQNHNHNHGDQNH

56

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

b. Pola bilangan apa yang kalian dapatkan? F %HUDSDNDKMXPODKNDUGXV\DQJGLSHUOXNDQXQWXNPHPEXDWVXVXQDQNH" Alternatif Penyelesaian: D 7DEHO EHULNXW PHQXQMXNNDQ EDQ\DN NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW susunan ke-1 sampai pola ke-4. Susunan ke-

1

2



4

Jumlah Kardus

2

4

6

8

b. Susunan berikutnya diperoleh dengan menambahkan satu buah kardus pada bagian atas, serta satu buah kardus pada bagian kanan. Sehingga untuk mendapatkan MXPODKNDUGXV\DQJGLEXWXKNDQDJDUGDSDWPHPEXDWVXVXQDQEHULNXWQ\DDGDODK dengan menambahkan dua buah kardus pada susunan sebelumnya. Jika kamu perhatikan, pola bilangan yang terbentuk merupakan pola bilangan genap. Bilangan pertama adalah dua, dan untuk mendapatkan bilangan berikutnya dapat diperoleh dengan menambahkan dua pada bilangan sebelumnya. c. Jumlah kardus yang diperlukan untuk membuat susunan ke-100 sama dengan ELODQJDQ JHQDS \DQJ NH 6HKLQJJD MXPODK NDUGXV \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN membuat susunan ke-100 adalah 200 buah kardus. Ayo Kita Tinjau Ulang  6HEXWNDQEHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQ\DQJWHODKNDPXSHODMDULSDGDEDELQLGDQ sebutkan aturan untuk tiap-tiap pola bilangan tersebut. 2. Salinlah urutan bilangan berikut ini, kemudian isilah bagian yang kosong VHKLQJJD PHPEHQWXN VXVXQDQ ELODQJDQ GHQJDQ SROD WHUWHQWX 7HQWXNDQ DWXUDQ untuk mendapatkan pola berikutnya. D ««« E ««« F «« 1 , …, … 2 d. …, 1 ««« 

MATEMATIKA

57

Latihan 2.1

Pola Bilangan

 7HQWXNDQELODQJDQEHULNXWQ\DGDULVXVXQDQELODQJDQ\DQJDGDGLEDZDKLQL a. 2, 10, 50, 250, …, …, … 

E «««

 , 1, 4 , 16 , …, …, … 4  9 H «««

d. 

c. 164, 172, 180, 188, …, …, … 2. Lengkapilah susunan gambar yang ada di bawah ini pada bagian yang kosong. 

 



 

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.100HOHQJNDSLVXVXQDQJDPEDU

 /HQJNDSLODKVXVXQDQELODQJDQGLEDZDKLQLEHUGDVDUNDQSROD\DQJDGDSDGDWLDS WLDSVXVXQDQELODQJDQ 

D  b. 5, 10, 8, 14, 11, 18, ..., ..., ... c. 99, 94, 97, 92, 95, ..., ..., 88, ... d. 1, 4, 20, 80, ..., 1600, 8000, ..., ... e. 5, 6, 9, 14, 21, ..., ..., 54, ...

4. Susunan Lantai. Coba kamu perhatikan susunan lantai dari beberapa buah persegi yang diarsir seperti pada gambar di samping ini. Susunan persegi tersebut membentuk suatu pola tertentu. Berapakah banyak persegi yang diarsir pada pola ke-7? Gambar 2.11 Susunan lantai

58

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

5. Perhatikan susunan segitiga pada gambar di bawah ini:

Gambar 2.12 Susunan segitiga



D 7XOLVNDQODKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHVDPSDLVXVXQDQNH



E %HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNH"



F %HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHn?

6. Amir mencoba membuat sebuah menara yang disusun dari batang korek api. Berikut adalah susunan menara korek api yang dibuat oleh Amir. WLQJNDW 2 tingkat 1 tingkat

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.13 Susunan Batang Korek Api

D %XDWODKWDEHO\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DNRUHNDSL\DQJGLJXQDNDQXQWXN PHPEXDWPHQDUDWLQJNDWWLQJNDWVDPSDLGHQJDQWLQJNDW E %HUDSDNDK EDQ\DN NRUHN DSL \DQJ GLJXQDNDQ MLND $PLU LQJLQ PHPEXDW susunan 10 tingkat? c. Berapa banyak batang korek api yang digunakan untuk membuat n tingkat? -HODVNDQMDZDEDQPX  :DZDQ PHPLOLNL  EXDK NRWDN GHQJDQ XNXUDQ \DQJ EHUEHGDEHGD 0DVLQJ masing kotak berbentuk kubus. Wawan harus mengisi tiap kotak tersebut dengan NXEXVNXEXV NHFLO \DQJ PHPLOLNL SDQMDQJ VLVL  FP :DZDQ WHODK PHQJLVL  kotak. Jumlah kubus kecil yang tepat masuk ke dalam tiap-tiap kotak adalah sebagai berikut: 





/HQJNDSLODK MXPODK NXEXV NHFLO \DQJ GLEXWXKNDQ XQWXN NHHPSDW NRWDN VHODQMXWQ\D

MATEMATIKA

59

8. Lengkapilah bagian-bagian yang kosong dalam pola bilangan di bawah ini: 

u  



u  



u  



u  



u  



u  

9. Perhatikan pola bilangan di bawah ini: a. 1 b. 1        4 5 6 5 6 7 8 9               # #  7HQWXNDQ ELODQJDQ SHUWDPD SDGD EDULV NH  GDQ  GDUL PDVLQJPDVLQJ VXVXQDQ ELODQJDQ GL DWDV %DJDLPDQD FDUDPX PHQGDSDWNDQQ\D"$SDNDK NDPX dapat menentukan bilangan pertama pada baris ke-n untuk masing-masing VXVXQDQELODQJDQGLDWDV"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW

B. Barisan Bilangan Pertanyaan Penting 3HUKDWLNDQNHPEDOLFRQWRKFRQWRKVXVXQDQELODQJDQ\DQJWHODKNDPXSHODMDULSDGD Bab 2.1. Susunan bilangan tersebut memiliki suatu pola atau aturan tertentu. Apa \DQJ GLPDNVXG EDULVDQ ELODQJDQ" 8QWXN PHQJHWDKXL MDZDEDQQ\D FRED ODNXNDQ kegiatan-kegiatan berikut ini. Kegiatan 2.5

Menentukan Urutan dalam Barisan Berdasarkan Tinggi Badan

Ayo Kita Amati  3DGD VHWLDS KDUL 6HQLQ SDJL VHOXUXK VLVZD 603 &HULD VHODOX PHODNVDQDNDQ XSDFDUDEHQGHUD0HUHNDVHPXDEHUEDULVVHFDUDUDSLDJDUGDSDWPHQJLNXWLXSDFDUD

60

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

EHQGHUDVHFDUDNKLGPDW6HWLDSNHODVGL603&HULDWHUGLULGDULRUDQJVLVZD3DGD NHODV ,;$ MXPODK VLVZD ODNLODNL DGDODK  RUDQJ GDQ MXPODK VLVZD SHUHPSXDQ MXJD  RUDQJ )RUPDVL EDULVDQ \DQJ GLEHQWXN ROHK WLDSWLDS NHODV DGDODK WHUGLUL GDULEDULV\DQJVHMDMDUGLPDQDEDULVSHUWDPDGLLVLROHKVLVZDODNLODNLGDQEDULV kedua diisi oleh siswa perempuan. Berikut adalah data siswa laki-laki beserta tinggi EDGDQQ\DGLNHODV,;$ 7DEHO'DWD7LQJJL%DGDQ6LVZD.HODV,;$603&HULD GDODPFP Nama Siswa

Tinggi Badan

Fahim

157

0X¿G

154

Wawan



+D¿G

169

Budi



Aldo

176

Stevan

151

Andika

165

Andre

160

5XGL

179

Ayo Kita Mencoba &REDNDPXSHUKDWLNDQGDWDWLQJJLEDGDQGDULVLVZDNHODV,;$603&HULDVHSHUWL \DQJWHUOLKDWSDGD7DEHO a. Siapakah siswa tertinggi dan siswa terpendek dalam kelas tersebut? b. Coba kamu urutkan siswa-siswa tersebut dalam suatu barisan sesuai dengan WLQJJLEDGDQWLDSWLDSVLVZDGDUL\DQJWHUSHQGHNVDPSDL\DQJWHUWLQJJL7XOLVNDQ hasilmu dalam tabel berikut ini.

MATEMATIKA

61

7DEHO+DVLO3HQJXUXWDQ6LVZD%HUGDVDUNDQ7LQJJL%DGDQ GDODPFP Urutan ke-

1

2



4

5

6

7

8

9

10

Nama Siswa Tinggi Badan c. Siapakah siswa yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-8, dan berapa tinggi siswa tersebut? Ayo Kita Menalar 0HQXUXWPXEDJDLPDQDDWXUDQXQWXNPHQJXUXWNDQNHVHSXOXKVLVZDWHUVHEXWGDODP satu barisan berdasarkan tinggi badannya? Informasi Utama Susunan bilangan yang menyatakan tinggi badan kesepuluh siswa tersebut membentuk suatu barisan bilanganGHQJDQDWXUDQSRODWHUWHQWX%LODQJDQELODQJDQ yang terdapat dalam barisan bilangan tersebut dikenal dengan nama suku. Secara umum suku-suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai U1, U2, U, …, Un . Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.5 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Apa yang dimaksud dengan barisan bilangan? Apa yang dimaksud suku dari barisan bilangan? Kegiatan 2.6

Menyusun Batang Korek Api

Ayo Kita Mencoba  %XDWODKNHORPSRN\DQJWHUGLULGDULDWDXDQDN6HGLDNDQNRWDNNRUHNDSLGDQ kertas karton. Pada tiap-tiap batang korek api oleskan lem sehingga batang korek api WHUVHEXWGDSDWGLWHPSHONDQSDGDNHUWDVNDUWRQ7HPSHONDQEDWDQJNRUHNDSLWHUVHEXW pada kertas karton dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini:

62

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.14 Susunan batang korek api

Ayo Kita Amati Coba kamu amati susunan yang dibentuk dari batang korek api seperti pada gambar di atas. Pada kegiatan tersebut, dapat dilihat bahwa untuk membuat susunan ke-1 dan ke-2 masing-masing diperlukan 4 dan 7 batang korek api. Berapa banyak EDWDQJ NRUHN DSL \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN PHPEXDW VXVXQDQ NH NH GDQ NH" 7XOLVNDQKDVLOSHQJDPDWDQPXSDGDWDEHOEHULNXW 7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQEDQ\DNEDWDQJNRUHNDSLSDGDWLDSVXVXQDQ Susunan ke-

Banyak batang korek api

1

4

2

7





4



5



 0HQXUXWPX EHUDSDNDK MXPODK WXWXS EDWDQJ NRUHN DSL \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN membuat pola ke-6 dan ke-7?

MATEMATIKA

63

Ayo Kita Menalar 3HUKDWLNDQ NHPEDOL ELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D EDWDQJ NRUHN DSL GDUL KDVLOSHQJDPDWDQPXSDGDNRORPNHGXD7DEHOVHWHODKLWXMDZDEODKSHUWDQ\DDQGL bawah ini. D $SDNDKELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DEDWDQJNRUHNDSL\DQJGLEXWXKNDQ untuk membuat setiap susunan membentuk suatu barisan bilangan? E %HUGDVDUNDQ7DEHOEDJLDQPDQD\DQJPHQXQMXNNDQVXNXVXNXGDULEDULVDQ bilangan yang terbentuk? c. Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya dari barisan bilangan tersebut? G $SDNDKVHOLVLKDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQVHODOXVDPDWHWDS" Informasi Utama Dari Kegiatan 2.6 yang telah kamu lakukan, dapat kamu lihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya batang korek api untuk membuat tiaptiap susunan membentuk suatu barisan bilangan yang disebut dengan barisan aritmetika. Selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap dan disebut beda. Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.6 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Apakah yang dimaksud dengan barisan aritmetika? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Ayo Kita Mencoba  3HUKDWLNDQNHPEDOLNRORPSDGD7DEHO%LODQJDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQ banyaknya batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan pertama VDPSDLNHOLPDGDSDWGLWXOLVNDQGDODPEHQWXN$SDNDKNDPXGDSDW menentukan banyaknya batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan NHGDQNH"'DSDWNDKNDPXPHQMHODVNDQVHFDUDVLQJNDWFDUDPHQHQWXNDQQ\D"  8QWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWODNXNDQNHJLDWDQGLEDZDKLQL%DQ\DNQ\D EDWDQJ NRUHN DSL \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW WLDSWLDS VXVXQDQ VHODQMXWQ\D disebut suku dari barisan aritmetika yang terbentuk. Lengkapi tabel di bawah ini: 64

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Susunan ke-

Suku

Pola Bilangan dengan Beda 3

1

4

  ± u

2

7

  ± u



10

  ± u

4



  ± u

5





6





7





8





Informasi Utama Perhatikan bilangan-bilangan pada kolom kedua tabel di atas, bilangan 4 menyatakan suku ke-1 dari barisan aritmetika tersebut. Bilangan 7 menyatakan suku ke-2 dari barisan aritmetika tersebut, dan seterusnya. Sekarang perhatikan kolom sebelah kanan dari tabel di atas. Suku kedua adalah 7, dengan demikian didapatkan bentuk pola bilangan GHQJDQ EHGD  DGDODK      ±   u $QJND  SDGD EDJLDQ SHUWDPD UXDV NDQDQ SHUVDPDDQ WHUVHEXW PHQXQMXNNDQ suku pertama dari barisan aritmetika \DQJWHUEHQWXN$QJNDPHQXQMXNNDQEDKZDPHUXSDNDQsuku ke-2. Sedangkan DQJNDPHQXQMXNNDQbeda dari barisan aritmetika tersebut.

Ayo Kita Menanya Berdasarkan hasil pengamatanmu di atas, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan kegiatan tersebut. Berikut adalah salah satu contoh pertanyaan: Apakah hubungan antara suku pertama dengan suku-suku berikutya pada barisan aritmetika? 7XOLVNDQSHUWDQ\DDQPXGDODPEXNXWXOLV Ayo Kita Menalar a. Bagaimana caramu menentukan suku ke-9, 10, dan 11 dari barisan aritmetika tersebut? Berapakah nilainya? MATEMATIKA

65

E 0HQXUXWPXDSDKXEXQJDQDQWDUDVXNXSHUWDPDEHGDGHQJDQQLODLWLDSWLDSVXNX dari barisan aritmetika tersebut ? F 7HQWXNDQVXNXNHGDQGDULEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXW Diskusi dan Berbagi D 3HUKDWLNDQ NHPEDOL NRORP VHEHODK NDQDQ SDGD WDEHO GL DWDV 7HQWXNDQ UXPXV umum suku ke-n pada barisan aritmetika tersebut sesuai dengan bentuk yang terdapat pada kolom sebelah kanan tabel di atas. b. Jika suku pertama dari suatu barisan aritmetika disimbolkan dengan a¸ beda dari barisan aritmetika disimbolkan dengan b, dan suku ke-n dari barisan aritmetika disimbolkan dengan Un, tuliskan rumus suku ke-n yang melibatkan a dan b.  7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL %HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQPXGLGHSDQWHPDQPX Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Bagaimana rumus suku ke-n GLVRPERONDQGHQJDQUn GDULVXDWXEDULVDQDULWPHWLND MLNDGLNHWDKXLVXNXSHUWDPDDGDODKa dan beda dalam barisan aritmetika adalah b? Kegiatan 2.7

Melipat dan Menghitung Potongan Kertas

Ayo Kita Mencoba 3DGDNHJLDWDQLQLNDPXGLZDMLENDQXQWXNPHPEDZDVDWXOHPEDUNHUWDVKYV,NXWL langkah-langkah kegiatan di bawah ini:  /LSDWODKVDWXOHPEDUNHUWDV\DQJWHODKNDOLDQEDZDVHKLQJJDPHQMDGLEDJLDQ yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas? 2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah VXVXQDQ NHUWDV WHUVHEXW PHQMDGL  EDJLDQ \DQJ VDPD NHPXGLDQ JXQWLQJODK menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang?  /DNXNDQNHJLDWDQWHUVHEXWVDPSDLNDOL

66

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Amati  &REDNDPXDPDWLMXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJDGDVHWLDSNDOLNDPXPHODNXNDQ kegiatan melipat dan menggunting kertas. Setelah melakukan kegiatan ini sebanyak 1 dan 2 kali, diperoleh banyak potongan kertas yang ada masing-masing sebanyak 2 GDQ7XOLVNDQKDVLOSHQJDPDWDQPXSDGDWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQMXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJWHUEHQWXN Kegiatan Melipat dan Menggunting Kertas ke-

Banyak Potongan Kertas

1

2

2

4





4



5



6



7



a. Berapakah banyak potongan kertas setelah kamu melakukan kegiatan tersebut sampai 8 kali? E 7HQWXNDQ EDQ\DN SRWRQJDQ NHUWDV MLND NDPX PHODNXNDQ NHJLDWDQ PHOLSDW GDQ menggunting kertas tersebut sampai 10 kali? Ayo Kita Menalar Perhatikan kembali bilangan-bilangan pada pengamatan terhadap banyak SRWRQJDQNHUWDV\DQJWHUEHQWXNVHVXDL7DEHO6HWHODKLWXMDZDEODKSHUWDQ\DDQGL bawah ini: a. Apakah bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas membentuk suatu barisan bilangan? E %HUGDVDUNDQ 7DEHO  EDJLDQ PDQDNDK \DQJ PHQXQMXNNDQ VXNXVXNX GDUL barisan bilangan yang terbentuk? c. Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya dari barisan bilangan tersebut? G $SDNDKSHUEDQGLQJDQDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQVHODOXVDPDWHWDS" MATEMATIKA

67

Informasi Utama Dari Kegiatan 2.7 yang telah kamu lakukan, dapat kamu lihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya potongan kertas pada tiap-tiap kegiatan melipat dan menggunting kertas membentuk suatu barisan bilangan yang disebut dengan barisan geometri. Perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu bernilai tetap dan disebut rasio. Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.7 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Apakah yang dimaksud dengan barisan geometri? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri.

Ayo Kita Amati  3HUKDWLNDQNHPEDOLNRORPSDGD7DEHO%LODQJDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQ MXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJDGDSDGDNHJLDWDQPHOLSDWGDQPHPRWRQJNHUWDVNH VDPSDLNHGDSDWGLWXOLVNDQGDODPEHQWXN$SDNDKNDPX dapat menentukan banyak potongan kertas yang terbentuk pada kegiatan ke-8 dan NHJLDWDQNH"'DSDWNDKNDPXPHQMHODVNDQVHFDUDVLQJNDWFDUDPHQHQWXNDQQ\D"  8QWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWODNXNDQNHJLDWDQGLEDZDKLQL%DQ\DNQ\D SRWRQJDQNHUWDVSDGDWLDSWLDSNHJLDWDQPHOLSDWGDQPHQJJXQWLQJNHUWDVVHODQMXWQ\D disebut suku dari barisan geometri yang terbentuk. Lengkapi tabel di bawah ini.

68

Susunan ke-

Suku

1

2

2

4



8

4

16

16 = 2 u 24 – 1

5





6





7





8





Kelas IX SMP/MTs

Pola Bilangan dengan Rasio 2

2 = 2 u 21 – 1 4 = 2 u 22 – 1 8 = 2 u 2±

Semester 1

Informasi Utama Perhatikan bilangan-bilangan pada kolom kedua tabel di atas, bilangan 2 menyatakan suku ke-1 dari barisan geometri tersebut. Bilangan 4 menyatakan suku ke-2 dari barisan geometri tersebut, dan seterusnya. Sekarang perhatikan kolom sebelah kanan dari tabel di atas. Suku ketiga adalah 8, dengan demikian didapatkan bentuk pola bilangan dengan rasio 2 adalah 8 = 2 u 2 ± . Angka 2 pada bagian pertama ruas kanan SHUVDPDDQ WHUVHEXW PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ JHRPHWUL \DQJ terbentuk. Pada bagian perpangkatan, angka 2 yang merupakan basis dari SHUSDQJNDWDQWHUVHEXWPHQXQMXNNDQUDVLRGDULEDULVDQJHRPHWUL6HGDQJNDQDQJND PHQXQMXNNDQEDKZDPHUXSDNDQVXNXNHGDULEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXW

Ayo Kita Menanya Berdasarkan hasil pengamatanmu di atas, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan GHQJDQEDULVDQJHRPHWUL7XOLVNDQSHUWDQ\DDQNDOLDQGLEXNXWXOLV Ayo Kita Menalar a. Bagaimana caramu menentukan suku ke-9, 10 dan 11 dari barisan aritmetika tersebut? Berapakah nilainya? E 0HQXUXWPX DSD KXEXQJDQ DQWDUD VXNX SHUWDPD UDVLR GHQJDQ QLODL WLDSWLDS suku dari barisan geometri tersebut ? F 7HQWXNDQVXNXNHGDQGDULEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXW Diskusi dan Berbagi D 3HUKDWLNDQ NHPEDOL NRORP VHEHODK NDQDQ SDGD WDEHO GL DWDV 7HQWXNDQ UXPXV umum suku ke-n pada barisan geometri tersebut sesuai dengan bentuk yang terdapat pada kolom sebelah kanan tabel di atas? b. Jika suku pertama dari barisan geometri tersebut disimbolkan dengan a¸ rasio dari barisan geometri disimbolkan dengan r, dan suku ke-n dari barisan geometri disimbolkan dengan Un, tuliskan rumus suku ke-n yang melibatkan a dan r.  7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL %HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQPXGLGHSDQWHPDQPX

MATEMATIKA

69

Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Bagaimana rumus suku ke-n GLVRPERONDQGHQJDQUn GDULVXDWXEDULVDQJHRPHWUL MLNDGLNHWDKXLVXNXSHUWDPDDGDODKa dan rasio dalam barisan geometri adalah r? Materi Esensi

Barisan Bilangan

Susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu disebut barisan bilangan. Kedudukan tiap-tiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku-suku dari barisan bilangan tersebut. Secara umum suku-suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai U1, U2, U, …, Un . A. Barisan Aritmetika  &REDNDPXSHUKDWLNDQNHPEDOLKDVLO\DQJWHODKNDPXGDSDWNDQSDGD7DEHO Suku-suku pada barisan bilangan tersebut ditulis secara berurutan seperti di bawah ini. 4

7 



10 



...

16 



 7HUOLKDW EDKZD VHOLVLK DQWDU GXD VXNX EHUXUXWDQ DGDODK  DWDX ELVD GLWXOLVNDQ sebagai berikut U2 – U1  U – U2  U4 – U  # Un – Un – 1   6XNXEHULNXWQ\DGLSHUROHKGHQJDQFDUDPHQDPEDKNDQSDGDVXNXVHEHOXPQ\D $QJNDLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQbeda. Pada barisan aritmetika tersebut, diketahui bahwa suku pertama adalah 4, dan EHGDEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXWDGDODKVHKLQJJDUXPXVVXNXNHQDGDODKUn  n± u Barisan bilangan U1, U2, U, …, Un disebut barisan aritmetikaMLNDVHOLVLKDQWDUD dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih antara dua suku yang berurutan disebut dengan beda. 70

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Secara umum, suatu barisan aritmetika dengan suku pertama U1 = a , dan beda antara dua suku yang berurutan adalah b, maka suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah Un = a + (n – 1) u b. Tahukah Kamu? %DULVDQ DULWPHWLND GLVHEXW EDULVDQ DULWPHWLND QDLN MLND VXNXVXNXQ\D PDNLQ EHVDUGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKSRVLWLI %DULVDQDULWPHWLNDGLVHEXWEDULVDQDULWPHWLNDWXUXQMLNDVXNXVXNXQ\DPDNLQ NHFLOGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKQHJDWLI B. Barisan Geometri  &REDNDPXSHUKDWLNDQNHPEDOLKDVLO\DQJWHODKNDPXGDSDWNDQSDGD7DEHO Suku-suku pada barisan bilangan tersebut ditulis secara berurutan seperti di bawah ini 2

4 u2

8 u2



16 u2

u2

... u2

 7HUOLKDW EDKZD SHUEDQGLQJDQ DQWDU GXD VXNX EHUXUXWDQ DGDODK  DWDX ELVD dituliskan: U2 =2 U1

U =2 U2 U4 =2 U # Un =2 Un 1 Suku berikutnya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 2. $QJNDLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQSHPEDQGLQJUDVLR Pada barisan geometri tersebut, diketahui bahwa suku pertama adalah 2, dan rasio dari barisan tersebut adalah 2 , maka rumus suku ke-n adalah Un = 2 u 2n – 1 Barisan bilangan U1, U2, U, …, Un disebut barisan geometriMLNDSHUEDQGLQJDQ antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Nilai perbandingan antara dua suku yang berurutan pada barisan geometri disebut dengan pembanding/rasio.

MATEMATIKA

71

Secara umum, suatu barisan geometri dengan suku pertama U1 = a, dan SHUEDQGLQJDQUDVLRDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQDGDODKr, maka suku ke-n barisan geometri tersebut adalah Un = a × rn – 1 Tahukah Kamu? %DULVDQJHRPHWULGLVHEXWEDULVDQJHRPHWULQDLNMLNDVXNXVXNXQ\DPDNLQEHVDU dengan kata lain rasio pada barisan geometri lebih dari 1. %DULVDQ JHRPHWUL GLVHEXW EDULVDQ JHRPHWUL WXUXQ MLND VXNXVXNXQ\D PDNLQ kecil, dengan kata lain rasio pada barisan geometri kurang dari 1.

Contoh 2.3

Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap

7XOLVNDQVXNXSHUWDPDSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDSGDQWHQWXNDQVXNXNH Alternatif Penyelesaian: Diketahui: Suatu barisan bilangan genap dengan  x suku pertama a = 2  x beda b = 2 Ditanya: 5 suku pertama dan suku ke-57 Jawab: Suku pertama pada barisan bilangan genap adalah 2, atau bisa ditulis dengan U1 = 2. Suku berikutnya pada barisan bilangan genap dapat diperoleh dengan menambahkan 2 pada suku sebelumnya, sehingga beda pada barisan tersebut adalah 2. Sehingga keempat suku berikutnya adalah U2 = 4, U = 6, U4 = 8, U5 = 10. Dari a = 2 dan b = 2, maka kita bisa dapatkan nilai dari U57 yaitu Un = a n± ub U57 = a ± ub 

 ± u 2



u 2



 = 114

Jadi suku ke-57 pada barisan bilangan genap adalah 114.

72

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Contoh 2.4

Sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku

Sisi-sisi dari suatu segitiga siku-siku membentuk barisan DULWPHWLND -LND SDQMDQJ VLVL PLULQJQ\D DGDODK  FP PDNDWHQWXNDQSDQMDQJVLVLVLNXVLNX\DQJWHUSHQGHN

40 cm

Alternatif Penyelesaian: Diketahui:  

x Suatu segitiga siku-siku memiliki sisi miring GHQJDQSDQMDQJFP

x Ketiga sisi segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika dengan beda sebesar b

Gambar 2.15 Sisi-sisi segitiga siku-siku

Ditanya: 

3DQMDQJVLVLVLNXVLNXWHUSHQGHN

Jawab: /DQJNDK 7XOLVNDQVLVLVLVLVHJLWLJDGDODPEHQWXNEDULVDQDULWPHWLND Coba kamu perhatikan gambar segitiga siku-siku di samping. Kita bisa tuliskan SDQMDQJ VLVLVLVLQ\D VHVXDL GHQJDQ EHQWXN barisan aritmetika sebagai berikut:

40 cm 40 – 2b

U1 = 40 – 2b U2 = 40 – b

40 – b Sisi-sisi segitiga siku-siku

U = 40 Langkah 2: Gunakan teorema Phytagoras

Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh persamaan berikut: 402  ±b 2 ±b 2   ±bb2  ±b b2  ±b b2 /DQJNDK6HOHVDLNDQEHQWXNSHUVDPDDQNXDGUDWXQWXNPHPSHUROHKQLODLb Selesaikan bentuk persamaan kuadrat yang telah kita peroleh dengan cara mengurangkan kedua ruas dengan 1.600, sehingga didapatkan: 0 = 5b2±

MATEMATIKA

73

3HUVDPDDQGLDWDVELVDNLWDMDEDUNDQGDQWXOLVNDQNHPEDOLPHQMDGL b± b±   Didapatkan penyelesaiannya adalah b = 8 atau b = 40, akan tetapi nilai b = 40 tidak memenuhi, karena ketika substitusikan nilai ini ke dalam barisan aritmetika DNDQGLSHUROHKQLODLGDQSDGDSDQMDQJVLVLVHJLWLJDVHGDQJNDQSDQMDQJGDUL VHJLWLJDWLGDNPXQJNLQEHUQLODLQHJDWLIPDXSXQ 'DULSHQMHODVDQWHUVHEXWNLWDGDSDWNDQQLODLEHGDb = 8. Langkah 4: Substitusikan nilai b ke dalam tiap suku barisan aritmetika 6XEVWLWXVLNDQQLODLLQLSDGDEDULVDQDULWPHWLND\DQJWHODKNLWDGH¿QLVLNDQGLDWDV sehingga diperoleh: U1 = 40 – 2b ±   ±  U2 = 40 – b ±  U = 40 -DGLSDQMDQJVLVLVLNXVLNX\DQJWHUSHQGHNSDGDVHJLWLJDVLNXVLNXWHUVHEXWDGDODK 24 cm. Ayo Kita Menalar Dengan prosedur yang hampir sama dengan Contoh 42. di atas, dapatkan SDQMDQJ VLVL PLULQJ GDUL VXDWX VHJLWLJD VLNXVLNX MLND GLNHWDKXL SDQMDQJ VLVL WHJDN \DQJPHUXSDNDQVLVLWHUSHQGHNDGDODKFPGDQVLVLVLVLGDULVHJLWLJDWHUVHEXWMXJD PHPEHQWXN VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND -HODVNDQ VHFDUD VLQJNDW ODQJNDKODQJNDK SHQ\HOHVDLDQQ\D Contoh 2.5

Pertumbuhan Jumlah Penduduk

Kota A memiliki populasi sebanyak 100.000 MLZD SDGD EXODQ -DQXDUL  3HPHULQWDK NRWD tersebut bertekad untuk meningkatkan semua sarana GDQSUDVDUDQDGLNRWD$VHKLQJJDMXPODKSHQGXGXN di kota A bisa mengalami peningkatan tetap sebesar VHWLDSWDKXQQ\D  %HUDSDNDKMXPODKSHQGXGXNNRWD$SDGDEXODQ Sumber: http://saly-enjoy.blogspot. Januari 2020? com %XDWODKJUD¿NSHUWXPEXKDQMXPODKSHQGXGXNNRWD$ Gambar 2.16 Pertumbuhan MXPODKSHQGXGXN GDULEXODQ-DQXDULVDPSDLGHQJDQ-DQXDUL

74

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Alternatif Penyelesaian: Diketahui:

x Populasi awal kota A pada Januari 2015 adalah a = 100.000

x 3HQLQJNDWDQSHQGXGXNNRWD$WLDSWDKXQDGDODKWHWDSVHEHVDU  Ditanya: 

-XPODKSHQGXGXNNRWD$SDGD-DQXDULGDQJUD¿NSHUWXPEXKDQSHQGXGXN

Jawab: 

/DQJNDK7HQWXNDQUDVLRSHUWXPEXKDQSHQGXGXNr



3HUWXPEXKDQ MXPODK SHQGXGXN PHUXSDNDQ VDODK VDWX DSOLNDVL GDUL EDULVDQ JHRPHWULQDLN'LNHWDKXLEDKZDVHWLDSWDKXQQ\DWHUMDGLSHQLQJNDWDQWHWDSSDGD MXPODKSHQGXGXNNRWD$VHEHVDUVHKLQJJDSDGDWDKXQEHULNXWQ\DMXPODK VHOXUXKSHQGXGXNNRWD$DNDQPHQMDGLGDULSRSXODVL\DQJDGDSDGDWDKXQ saat ini.



'HQJDQGHPLNLDQPDNDWLDSWDKXQQ\DMXPODKSHQGXGXNNRWD$DNDQPHQMDGL NDOLMXPODKSHQGXGXNSDGDWDKXQLQLVHKLQJJDUDVLRSHUWXPEXKDQSHQGXGXNNRWD A adalah r = 1,2. Langkah 2: Gunakan r untuk mendapatkan suku berikutnya Populasi awal penduduk pada Januari 2015 adalah a = 100.000, dengan menggunakan perhitungan maka didapatkan: Populasi penduduk kota A pada bulan Januari 2016 hingga bulan Januari 2020 masing-masing dinyatakan dengan U2, U, U4, U5, dan U6. U2 = ar     U = ar2  2   U4 = ar     U5 = ar4  4   U6 = ar5  5  



%HULNXW LQL DGDODK WDEHO \DQJ PHQXQMXQMXNNDQ SHUWXPEXKDQ SHQGXGXN NRWD$ dari Januari 2015 sampai dengan Januari 2020: Bulan/ Tahun Jumlah Penduduk

Januari

Januari

Januari

Januari

Januari

Januari

2015

2016

2017

2018

2019

2020

100.000

120.000

144.000

172.800





MATEMATIKA

75

*DPEDUGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQJUD¿NSHUWXPEXKDQMXPODKSHQGXGXNNRWD$ dari bulan Januari 2015 sampai dengan Januari 2020:  

Ja n 20 uar 18 i Ja n 20 uar 18 i Ja n 20 uar 20 i

172.800 144.000 120.000 100.000

Ja n 20 uar 15 i Ja n 20 uar 16 i Ja n 20 uar 17 i

Jumlah Penduduk



Tahun Sumber: Dokumentasi Kemdikbud

Gambar 2.17*UD¿NSHUWXPEXKDQSHQGXGXNNRWD$

Ayo Kita Tinjau Ulang Perhatikan kembali konsep mengenai suku ke-n pada barisan aritmetika dan EDULVDQJHRPHWUL\DQJWHODKGLMHODVNDQVHEHOXPQ\D&REDNDPXSDKDPLODJL 1. Sebutkan ciri utama dari barisan aritmetika dan barisan geometri.  'LNHWDKXLEDULVDQELODQJDQ«7HQWXNDQ a. Suku ke-10 dan suku ke-25 

E 5XPXVVXNXNHn



F 6XNXNHEHUDSD\DQJQLODLQ\DDGDODK" Latihan 2.2

Barisan Bilangan

 7HQWXNDQODKOLPDVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQEHULNXWLQL a. Un = n2



b. Un n – 2

76

Kelas IX SMP/MTs





F Un =

1 2 n ±  2

d. Un = n 









Semester 1

2. Dapatkan selisih antar suku yang berurutan dan suku ke–15 dari tiap-tiap barisan bilangan berikut ini: a. 1, 8, 15, 22, … 

E « 





c. 2, 5, 8, 11, … 

G «

 'DSDWNDQSHUEDQGLQJDQDQWDUVXNXEHUXUXWDQGDQVXNXNH±GDULWLDSWLDSEDULVDQ bilangan berikut ini: c. xy, x2y, xy, x4y, …

a. 64, -96, 144, -216, …

2, 1, 1 , 1 ,… d. 7 , 1,  , 9 , …  7 49   6 12  7HQWXNDQVXNXNHGDQVXNXNHn Un GDULEDULVDQELODQJDQEHULNXW b.



D «







F «



E « 





G ab2, a2b, ab4, a4b5,…

5. Perkembangbiakan Bakteri. Seorang peneliti melakukan pengamatan pada perkembangbiakan sebuah bakteri di dalam sebuah preparat. Pada hari awal SHQJDPDWDQ GLNHWDKXL EDKZD MXPODK bakteri yang terdapat di dalam preparat DGDODK  6HWLDS  MDP PDVLQJPDVLQJ EDNWHUL PHPEHODK GLUL PHQMDGL GXD $SDELODVHWLDSMDPVHNDOLVHWHQJDKGDUL seluruh bakteri yang ada dibunuh, maka tentukan banyaknya virus setelah 12 hari GDULDZDOSHQJDPDWDQ 6. Usia Anak .HOXDUJD 3DN 5KRPD Sumber: http://www.artikelbiologi.com Gambar 2.18 Perkembangbiakan mempunyai 6 orang anak yang usianya pada Bakteri saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika XVLDDQDNNHDGDODKWDKXQGDQXVLDDQDNNHDGDODKWDKXQPDNDMXPODK XVLDHQDPDQDN3DN5KRPDWHUVHEXWDGDODK«WDKXQ 7. Membagi Uang ,EX &DWK\ LQJLQ PHPEDJLNDQ XDQJ VHEHVDU 5S  kepada 5 orang anaknya. Semakin tua usia anak, maka semakin banyak uang yang akan dia terima. Jika selisih uang yang diterima oleh setiap dua orang anak \DQJ XVLDQ\D EHUGHNDWDQ DGDODK 5S GDQ VL EXQJVX PHQHULPD XDQJ SDOLQJVHGLNLWPDNDWHQWXNDQXDQJ\DQJGLWHULPDROHKDQDNNHWLJD

MATEMATIKA

77

8. Gaji Karyawan. Pada suatu perusahaan, VHPXD NDU\DZDQQ\D PHPSHUROHK JDML awal yang besarnya sama ketika pertama kali masuk ke dalam perusahaan. *DML WHUVHEXW DNDQ PHQLQJNDW GHQJDQ persentase yang tetap setiap tahunnya, sehingga karyawan yang lebih dahulu EHNHUMD SDGD SHUXVDKDDQ WHUVHEXW DNDQ PHQHULPD JDML \DQJ OHELK EHVDU GDULSDGD NDU\DZDQ \DQJ EDUX PDVXN$SDELOD JDML 6DVKD\DQJWHODKEHNHUMDVHODPDGXDWDKXQ DGDODK 5S GDQ JDML :LQGD Sumber: http://www.jobstreet.co.id \DQJ WHODK EHNHUMD VHODPD WLJD WDKXQ Gambar 2.19*DMLNDU\DZDQ DGDODK 5S EHUDSDNDK JDML karyawan di perusahaan tersebut saat pertama kali masuk? 9. Soal Tantangan. Jika diketahui t, u, v, dan wDGDODKELODQJDQDVOLEXNWLNDQVLIDW VLIDW\DQJEHUODNXSDGDEDULVDQDULWPHWLNDGLEDZDKLQL a. Jika u, v, dan w adalah tiga suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika, maka akan berlaku : 2v = uw b. Jika t, u, v, w adalah empat suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika, PDNDEHUODNXVLIDWuv = tw 10. Soal Tantangan. Jika diketahui t, u, v, dan wDGDODKELODQJDQDVOLEXNWLNDQVLIDW VLIDW\DQJEHUODNXSDGDEDULVDQJHRPHWULGLEDZDKLQL a. Jika u, v, dan w adalah tiga suku yang berurutan pada suatu barisan geometri, PDNDDNDQEHUODNXVLIDWv2 = uw b. Jika t, u, v, w adalah empat suku yang berurutan pada suatu barisan geometri, PDNDEHUODNXVLIDWuv = tw

C. Deret Bilangan Pertanyaan Penting $SD \DQJ GLPDNVXG GHQJDQ GHUHW ELODQJDQ" 8QWXN PHQJHWDKXL MDZDEDQQ\D FRED lakukan kegiatan-kegiatan berikut ini.

78

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Kegiatan 2.8

Menabung

Ayo Kita Amati Setiap akhir minggu Nita selalu menyisihkan uang saku yang ia dapatkan untuk ditabung. Ia bertekad untuk dapat menabung uang lebih banyak pada minggu-minggu berikutnya. Pada akhir minggu pertama Nita menabung VHEHVDU 5S DNKLU PLQJJX NHGXD LD PHQDEXQJ VHEHVDU 5S DNKLU PLQJJX NHWLJD LD PHQDEXQJ VHEHVDU5SEHJLWXVHWHUXVQ\DLDVHODOXPHQDEXQJ 5S OHELK EDQ\DN GDUL PLQJJX VHEHOXPQ\D 3HUKDWLNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ ROHK 1LWD VHWLDS akhir minggunya. Sumber: http://stdiis.ac.id

Gambar 2.200HQDEXQJ

Ayo Kita Mencoba

&RED NDPX WXOLVNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ VHUWD MXPODK WRWDO XDQJ WDEXQJDQ 1LWDVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DGHQJDQPHOHQJNDSLWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO-XPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJGDQWRWDOWDEXQJDQ1LWD Akhir Minggu ke-

Uang yang Ditabung

Total Tabungan

1

1.000

1.000

2

2.000







6.000

4

4.000

10.000

5

5.000



6





7





8





9





10





MATEMATIKA

79

Ayo Kita Menalar D 'DSDWNDKNDPXPHQJKLWXQJMXPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJ1LWDSDGDDNKLUPLQJJX NHGDQDNKLUPLQJJXNH"%HUDSDNDKMXPODKQ\D" b. Berapakah total uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-20? F %DJDLPDQDFDUDPXPHQHQWXNDQKDVLOSDGD E "-HODVNDQ d. Berapakah total uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-25? H %DJDLPDQDFDUDPXXQWXNPHQGDSDWNDQKDVLOSDGD G MLNDPHOLEDWNDQ E " Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan kegiatan yang telah kamu lakukan di atas. Berikut adalah salah satu contoh pertanyaan: Bagaimana hubungan antara uang yang ditabung oleh Nita dengan uang total tabungan Nita pada tiap akhir minggu? Diskusi dan Berbagi 0HQXUXWPXDSDNDKPXQJNLQNLWDGDSDWPHQHQWXNDQMXPODKWRWDOWDEXQJDQ1LWDSDGD DNKLUPLQJJXNHMLNDKDQ\DGLNHWDKXLXDQJ\DQJGLWDEXQJ1LWDSDGDDNKLUPLQJJX NH NH GDQ NH" %DJDLPDQDNDK FDUDQ\D"  %HUDSDNDK EDQ\DN XDQJ WDEXQJDQ Nita pada akhir minggu ke-n? Diskusikan dengan teman sebangkumu dan paparkan hasilnya di depan kelas. Informasi Utama 6HSHUWL\DQJWHODKGLMHODVNDQSDGDEDEEDULVDQELODQJDQGDSDWGLOLKDWEDKZDXDQJ yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu membentuk suatu barisan bilangan. Banyaknya uang yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu menyatakan VXNXGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXW7RWDOXDQJWDEXQJDQ1LWDWLDSDNKLUPLQJJX PHQ\DWDNDQMXPODKDQGDULEHEHUDSDVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXW \DQJVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQderet bilangan. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan disimbolkan dengan Sn. Dalam hal ini S2   PHQ\DWDNDQ MXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXWS = 6.000 dan S4 = 10.000 PDVLQJPDVLQJPHQ\DWDNDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDUL barisan bilangan tersebut

80

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Simpulkan x x

Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan disimbolkan dengan … Apakah yang dimaksud dengan deret bilangan? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Kegiatan 2.9

Penjumlahan Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap

Ayo Kita Mencoba &RED NDPX WXOLVNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ VHUWD MXPODK WRWDO XDQJ WDEXQJDQ 1LWDVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DGHQJDQPHOHQJNDSLWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO-XPODKEHEHUDSDVXNXSHUWDPDSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDS Suku ke-

Nilai

Jumlah Suku

1

2

2

2

4

 



6

 

4

8

 

5

10



6





7





8





9





10





MATEMATIKA

81

D %HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW" E %HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW" F %DJDLPDQDFDUDPXPHQHQWXNDQ E GHQJDQPHOLEDWNDQ D " Ayo Kita Mencoba  -LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan Sn, maka S4PHQ\DWDNDQMXPODK VXNXSHUWDPDGDULVXDWXEDULVDQ6HNDUDQJFREDNDPXMXPODKNDQVXNXSHUWDPDGDUL barisan bilangan genap. S4 

L

 %HULNXWQ\D FRED NDPX MXPODKNDQ  VXNX SHUWDPD GDUL ELODQJDQ JHQDS GL DWDV GHQJDQFDUDPHQXOLVNDQEHQWXNSHQMXPODKDQGLDWDVGDODPXUXWDQWHUEDOLN S4 

LL

 &RED MXPODKNDQ L  GDQ LL  PHODOXL ODQJNDKODQJNDK EHULNXW LQL GHQJDQ FDUD mengisi bagian yang kosong S4  S4  2S4 



4 suku 

         2S4 = ... u  S4 =

} u }     2

 LLL

Ayo Kita Menalar Coba kamu perhatikan kembali langkah-langkah dalam menghitung S4 pada EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS GL DWDV VHKLQJJD GLGDSDWNDQ KDVLOQ\D VHSHUWL SDGD LLL  Perhatikan nilai yang terdapat pada bagian di dalam tanda kurung. Jawablah pertanyaan di bawah ini: a. Berapakah dari suku pertama pada barisan bilangan genap? E -LND PHQJKLWXQJ MXPODK  VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS VXNX PDQDNDK\DQJPHQMDGLVXNXWHUDNKLUGDODPSHUKLWXQJDQWHUVHEXW"

82

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

F %HUDSDNDKVXNXWHUDNKLUGDODPSHQMXPODKDQVXNXSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDS" G .DPX WHODK PHQMXPODKNDQ  VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS PHQXUXWPXDQJNDSDGDEDJLDQ LLL PHQXQMXNNDQLQIRUPDVLDSD" Ayo Kita Simpulkan Jumlah 4 suku pertama pada barisan bilangan genap disimbolkan dengan … %LODQJDQ « SDGD EDJLDQ LLL  PHQXQMXNNDQ VXNX NH GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDSVHGDQJNDQDQJND«PHQXQMXNNDQVXNXNHGDULEDULVDQELODQJDQJHQDS 3HQMXPODKDQVXNXVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQEHODQJDQJHQDSVHODQMXWQ\DGLVHEXW dengan deret bilangan genap.

Diskusi dan Berbagi  %HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW"7HPXNDQ FDUD WHUFHSDW WDQSD SHUOX PHQMXPODKNDQ VDWX SHUVDWX VHPXD VXNXQ\D 3HUKDWLNDQ NHPEDOLODQJNDKODQJNDK\DQJWHODKNDPXODNXNDQGDODPPHQJKLWXQJMXPODKVXNX pertama barisan bilangan genap di atas. Diskusikan dengan teman sebangkumu agar GDSDWPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWGDQSDSDUNDQMDZDEDQPXGLGHSDQNHODV Informasi Utama 0LVDONDQ GDODP VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND VXNX SHUWDPD U1 = a, dan beda pada barisan aritmetika tersebut adalah b0DNDVXNXNHNHNHNHNHGDQ ke-n dapat dituliskan dalam bentuk: U2 = ab U = ab U4 = ab U5 = ab U6 = ab ‫ڭ‬

Un = a n± b 6HFDUD XPXP MXPODK n suku pertama pada barisan aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut : Sn = a ab  ab  a n± îb  a n± îb  L

MATEMATIKA

83

%HQWXNSHQMXPODKDQGLDWDVMLNDGLWXOLVGDODPXUXWDQWHUEDOLNGLPDQDVXNXWHUDNKLU \DQJEHUDGDSDGDSRVLVLSDOLQJGHSDQGDQVHEDOLNQ\DPDND L DNDQPHQMDGLEHQWXN di bawah ini: Sn  a n± îb  a Q± îb « ab  ab a LL %HULNXWQ\DMXPODKNDQ L GDQ LL VHKLQJJDGLGDSDWNDQEHQWXNGLEDZDKLQL Sn = a ab  ab  a n± îb  a n± îb Sn  a n± îb  a Q± îb « ab  ab a 2Sn  aa n± îb  aa n± îb  aa n± îb



n suku   DUn  DUn  DUn n suku = nîDUn Sn =

n u a  U n 2 Ayo Kita Simpulkan

'DUL,QIRUPDVL8WDPDGLDWDVNHVLPSXODQDSD\DQJNDPXSHUROHK" -LND«PHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DVXNXGDULVXDWXEDULVDQDULWPHWLND«PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD « PHQXQMXNNDQ VXNX NHn dari barisan aritmetika, maka rumus MXPODKn suku pertama dari barisan aritmetika yang disimbolkan dengan … adalah …

Ayo Kita Menalar Dengan menggunakan rumus Un = a  n ±  b EXNWLNDQ EDKZD MXPODK n suku pertama dari deret aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut

n a  n± b 2

84

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Kegiatan 2.10

Koleksi Kelereng

Ayo Kita Amati Amin memiliki hobi mengumpulkan NHOHUHQJ7LDSDNKLUPLQJJXLDVHODOXPHPEHOL kelereng untuk dikoleksi. Pada akhir minggu SHUWDPDLDPHPEHOLVHEDQ\DNEXDKNHOHUHQJ Pada akhir minggu kedua ia membeli lagi sebanyak 6 buah kelereng, dan pada akhir minggu ketiga ia membeli sebanyak 12 buah kelereng. Begitu seterusnya, tiap akhir minggu ia selalu membeli kelereng sebanyak 2 kali lipat dari akhir minggu sebelumnya.

Sumber: http://www.bimbingan.org

Gambar 2.21 Kelereng

Ayo Kita Mencoba 3HUKDWLNDQODKMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLROHK$PLQVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\D&RED NDPX WXOLVNDQ MXPODK NHOHUHQJ \DQJ GLEHOL VHUWD MXPODK WRWDO WRWDO NHOHUHQJ \DQJ dimiliki oleh Amin setiap akhir minggunya dengan melengkapi tabel di bawah LQL7RWDONHOHUHQJ\DQJGLPLOLNL$PLQVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DVHODQMXWQ\DGLVHEXW GHQJDQMXPODKNHOHUHQJ 7DEHO-XPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLVHUWDWRWDONHOHUHQJPLOLN$PLQ Minggu ke-

Kelereng yang dibeli

Jumlah Kelereng

1





2

6

 



12

 

4

24

 

5

48



6





7





8





MATEMATIKA

85

a. Berapakah banyak total kelereng yang dimiliki oleh Amin pada akhir minggu ke-6 dan akhir minggu ke-8? b. Apakah kamu dapat menebak banyak total kelereng Amin pada akhir minggu ke"%HUDSDMXPODKQ\D" c. Apakah banyaknya kelereng yang dibeli Amin antara dua minggu yang berurutan memiliki perbandingan yang tetap? Ayo Kita Mencoba -LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan Sn, maka S5PHQ\DWDNDQMXPODK VXNX SHUWDPD GDUL VXDWX EDULVDQ 6HNDUDQJ FRED NDPX MXPODKNDQ  VXNX SHUWDPD GDULEDULVDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDS minggunya. S5  



L

Berikutnya coba kamu kalikan masing-masing suku di dalam barisan bilangan tersebut dengan 2, sehingga didapatkan 2S5 = 2 uu«u«u«u … 2S5  



LL

&RED NXUDQJNDQ LL  GHQJDQ L  PHODOXL ODQJNDKODQJNDK EHULNXW LQL GHQJDQ FDUD mengisi bagian yang kosong 2S5  S5  –

2S5 – S5 «±

&RED SHUKDWLNDQ WLDSWLDS DQJND SDGD UXDV NDQDQ GDUL SHQJXUDQJDQ S5 terhadap S5MLNDWHUGDSDWQLODL\DQJVDPDPDNDNDPXGDSDWPHQJXUDQJNDQVHFDUDODQJVXQJ VHKLQJJDKDVLOSHQJXUDQJDQQ\DPHQMDGL S5 ±  «± S5 ±  î ± …

S5 ±  î  ± …

S5 =

86

 u }       

Kelas IX SMP/MTs

LLL

Semester 1

Ayo Kita Menalar Coba kamu perhatikan kembali langkah-langkah dalam menghitung S5 di atas VHKLQJJDGLGDSDWNDQKDVLOQ\DVHSHUWLSDGD LLL 3HUKDWLNDQQLODLQLODLELODQJDQ\DQJ WHUGDSDWSDGDUXDVNDQDQGDUL LLL -DZDEODKSHUWDQ\DDQGLEDZDKLQL D &REDNDPXSHUKDWLNDQELODQJDQSDGD LLL %HUDSDNDKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQ ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDSPLQJJXQ\D" Apa kamu dapat menarik suatu kesimpulan sederhana terkait hal ini? E &REDNDPXSHUKDWLNDQELODQJDQSDGDEDJLDQDWDV LLL 3HUKDWLNDQSXODELODQJDQ  SDGD EDJLDQ EDZDK LLL  %HUDSDNDK SHUEDQGLQJDQ DQWDU VXNX GDUL EDULVDQ ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDSPLQJJXQ\D" Apa kamu dapat menarik suatu kesimpulan sederhana terkait hal ini? Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.10 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? -XPODK  VXNX SHUWDPD SDGD EDULVDQ ELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D kelereng yang dibeli oleh Amin tiap minggunya disimbolkan dengan … Bilangan « SDGD EDJLDQ LLL  PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD EDULVDQ ELODQJDQ VHGDQJNDQ ELODQJDQ « PHQXQMXNNDQ SHUEDQGLQJDQ UDVLR  DQWDU VXNX \DQJ EHUXUXWDQ GDUL barisan bilangan tersebut.

Informasi Utama 0LVDONDQ GDODP VXDWX EDULVDQ JHRPHWUL VXNX SHUWDPD 81 = a , dan rasio pada barisan geometri tersebut adalah r 0DND VXNX NH NH NH NH NH GDQ ke-n dapat dituliskan dalam bentuk: U2 = ar U3 = ar2 U4 = ar U5 = ar4 U6 = ar5 ‫ڭ‬

Un = arn – 1

MATEMATIKA

87

6HFDUD XPXP MXPODK n suku pertama pada barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut: Sn = aarar2ararn – 1

 L

.HPXGLDQNDOLNDQ L GHQJDQr, sehingga didapatkan hasil berikut ini. rSn = ar ar2 ararn – 1 arn LL  .XUDQJNDQ LL  GHQJDQ L  GDQ GHQJDQ FDUD \DQJ KDPSLU VDPD GHQJDQ ODQJNDK ODQJNDKNHWLNDNDPXPHQJKLWXQJMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQ\DQJ PHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDSPLQJJXQ\DPDNDGLGDSDWNDQ rSn =

arar2 ararn – 1 arn

Sn = aarar2 ararn – 1 – rSn – Sn = arn – a Sn r±  a rn±  Sn =

a r n   r  1

Ayo Kita Simpulkan 'DUL,QIRUPDVL8WDPDGLDWDVNHVLPSXODQDSD\DQJNDPXSHUROHK" -LND«PHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DVXNXGDULVXDWXEDULVDQJHRPHWUL«PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD « PHQXQMXNNDQ UDVLR GDUL EDULVDQ JHRPHWUL PDND UXPXV MXPODK Q VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ JHRPHWUL GLVHEXW GHQJDQ GHUHW JHRPHWUL  \DQJ disimbolkan dengan … adalah … Materi Esensi

Deret Bilangan

 6HSHUWL\DQJWHODKGLMHODVNDQSDGDSHPEDKDVDQVHEHOXPQ\DNLWDGDSDWPHQXOLVNDQ suku-suku pada barisan bilangan sebagai U1, U2, U, …, Un. Jika suku-suku pada EDULVDQWHUVHEXWNLWDMXPODKNDQPDNDEHQWXNSHQMXPODKDQQ\DGLVHEXWGHQJDQGHUHW bilangan, dan dapat dituliskan sebagai U1U2U«Un . A. Deret Aritmetika Coba kamu perhatikan hasil yang telah kamu dapatkan pada Kegiatan 2.9. Deret bilangan genap tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk sebagai berikut: « 88

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

-LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan Sn , maka S4 dari deret di atas adalah S4  S4 



2S4 

 



GLWXOLVGDODPXUXWDQWHUEDOLN

4 suku          2S4

 

    2  3HUKDWLNDQMXPODKVXNXSHUWDPDSDGDGHUHWELODQJDQJHQDS\DQJGLVLPERONDQ dengan S4. Angka 2 pada perhitungan tersebut menyatakan suku pertama dari barisan bilangan tersebut, sedangkan angka 8 merupakan suku ke-4. Deret bilangan genap termasuk ke dalam deret aritmetika. S4 =



6HFDUDXPXPMXPODKn suku pertama pada barisan aritmetika adalah:

n a  U n 2 dengan n adalah banyak suku, a adalah suku pertama, dan Un adalah suku ke-n Sn =

B. Deret Geometri Coba kamu perhatikan hasil yang telah kamu dapatkan pada Kegiatan 2.10. Jumlah dari kelereng Amin pada akhir minggu ke-n dapat dituliskan dalam bentuk deret sebagai berikut: « Deret bilangan tersebut termasuk ke dalam deret geometri. Suku pertama dari GHUHWWHUVHEXWDGDODKGDQUDVLRQ\DDGDODK-LNDMXPODKQVXNXSHUWDPDGLQRWDVLNDQ dengan Sn , maka S5 dari deret di atas adalah: S5  





 L

 %HULNXWQ\DNDOLNDQ L GHQJDQSDGDPDVLQJPDVLQJUXDVVHKLQJJDNLWDSHUROHK hasil sebagai berikut: 2S5    





LL

6HODQMXWQ\DNXUDQJNDQ LL WHUKDGDS L VHKLQJJDGLGDSDWNDQ 2S5  S5  2S5 – S5

±



MATEMATIKA

89

S5 ±  î± S5 ±  î ±

 u 5       3HUKDWLNDQMXPODKVXNXSHUWDPDSDGDGHUHWELODQJDQGLDWDV\DQJGLVLPERONDQ dengan S5 $QJND  GL EDJLDQ GHSDQ GDUL SHPELODQJ SDGD SHUKLWXQJDQ WHUVHEXW merupakan suku pertama deret geometri, sedangkan angka 2 pada perpangkatan di dalam tanda kurung dan pada penyebut merupakan rasio dari deret geometri tersebut. $QJNDPHQXQMXNNDQSHQMXPODKDQSDGDVXNXSHUWDPD S5 =



6HFDUDXPXPMXPODKn suku pertama pada barisan geometri adalah: Sn =

a   r n a r n   MLNDr > 1 dan Sn = MLNDr < 1 1  r r  1

dengan n adalah banyak suku, a adalah suku pertama, dan r adalah rasio dari deret geometri. Contoh 2.6

Produksi Mobil

Pertambahan hasil produksi mobil pada suatu pabrik tiap bulannya mengikuti barisan aritmetika. Jika produksi mobil pada bulan pertama adalah 100 unit dan pada bulan ke- 4 adalah 160 unit, berapa MXPODKPRELO\DQJGLSURGXNVLROHKSDEULN pada tahun tersebut? Alternatif Penyelesaian: Diketahui:  

x SURGXNVL EXODQ SHUWDPD VXNX SHUWDPD a = 100

Sumber: http://teknologi.inilah.com

Gambar 2.22 Produksi mobil

x SURGXNVLEXODQNHHPSDW VXNXNHHPSDW U4 = 160

Ditanya: 

-XPODKPRELO\DQJGLSURGXNVLSDEULNGDODPVDWXWDKXQ EXODQ  S12

Jawab: Langkah 1: Dari a dan U4, hitung nilai b  

90

U4 = ab =160, substitusikan nilai a = 100 ke dalam U4 didapatkan b = 160 b = 60 b = 20 Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Langkah 2: Dari a dan b hitung S12

n a  n   b 2

Sn = S n



12    ±  2  

 

 

S12 =

= 2.520 

-DGLMXPODKPRELO\DQJGLSURGXNVLSDEULNSDGDWDKXQWHUVHEXWDGDODKVHEDQ\DN 2.520 unit. Ayo Kita Menalar

a. Pada Contoh 2.6 di atas, kamu dapat menghitung S12 tanpa menghitung U12. Apakah nilai U12 memang tidak dipergunakan untuk menghitung S12? Jelaskan MDZDEDQPX b. Pada Contoh 2.6 di atas, U1 dari deret telah diketahui. Apakah mungkin mencari S12 apabila U1 tidak diketahui, tetapi sebagai gantinya yang diketahui adalah U2 dan suku U4? Jelaskan alasanmu dan tuliskan secara detail bagaimana langkahODQJNDKQ\D Contoh 2.7

Potongan Kayu

Pak Seno memiliki sepotong kayu. Kemudian ia PHPRWRQJQ\D PHQMDGL  EDJLDQ GHQJDQ PHQJLNXWL aturan deret geometri. Apabila potongan yang WHUSHQGHNDGDODKFPGDQSRWRQJDQ\DQJWHUSDQMDQJ DGDODK  FP EHUDSDNDK SDQMDQJ ND\X 3DN 6HQR mula-mula? Alternatif Penyelesaian:

Sumber: http://liriklaguanak.com

Gambar 2.23 Potongan kayu

Diketahui:  6HSRWRQJND\XGLSRWRQJPHQMDGLEDJLDQGHQJDQ dengan x SRWRQJDQWHUSHQGHN VXNXSHUWDPD a  x SRWRQJDQWHUSDQMDQJ VXNXNHHQDP U6 = ar5 = 96 Ditanya:  3DQMDQJND\XPXODPXOD S6

MATEMATIKA

91

Jawab: Langkah 1: Dari a dan U6, hitung nilai r

U6 U1

ar 5 a

r5

96 



dengan demikian didapatkan nilai r = 2 Langkah 2: Dari a dan r hitung S6

Sn = S6 = =

a r n   r  1

 6        1

= 189 cm 

-DGLSDQMDQJND\X3DN6HQRPXODPXODDGDODKFP Ayo Kita Menalar

 3DGD&RQWRKGLDWDVWHODKGLNHWDKXLEDKZDSDQMDQJND\X3DN6HQRPXODPXOD sebelum dipotong adalah 189 cm. Di lain pihak, Pak Badu yang merupakan tetangga 3DN6HQRMXJDPHPLOLNLVHSRWRQJND\XGHQJDQSDQMDQJDGDODKFPOHELKSDQMDQJ dari potongan kayu Pak Seno mula-mula. Apabila Pak Badu ingin memotong kayu PLOLNQ\DVHMXPODKEDJLDQGHQJDQPHQJLNXWLDWXUDQGHUHWDULWPHWLNDGDQSRWRQJDQ ND\XWHUSHQGHNQ\DDGDODKFP0HQXUXWPXOHELKSDQMDQJPDQDDQWDUDSRWRQJDQ ND\X WHUSDQMDQJ PLOLN 3DN 6HQR DWDX SRWRQJDQ ND\X WHUSDQMDQJ PLOLN 3DN %DGX" -HODVNDQMDZDEDQPX Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Jika Un adalah suku ke-n dari barisan bilangan, dengan n adalah bilangan asli , buktikanlah bahwa: Sn – Sn – 1 = Un 2. Buatlah langkah-langkah sederhana untuk mendapatkan S20 pada suatu deret bilangan apabila diketahui U1 = a, U8 = ab dan U10 = ab, dengan a dan b adalah bilangan asli dan b menyatakan beda pada barisan bilangan tersebut. -HODVNDQDODVDQPX 92

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Latihan 2.3

Deret Bilangan

 7HQWXNDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQEHULNXWLQL 

D  









E 









F        





1   2 8 4  H    9  27   I  2  +LWXQJODKQMLNDn –1 = 127 d.

 -LNDGLNHWDKXLMXPODKn suku pertama bilangan asli adalah 5.050, berapakah nilai n"7HQWXNDQUXPXVXQWXNn bilangan asli pertama.  -LNDMXPODKn suku pertama suatu barisan adalah 4n2 n PDNDWHQWXNDQU4.  1RPRUUXPDKSDGDVDODKVDWXVLVL-DODQ0DNPXUGL3HUXPDKDQ$VULGLPXODLGDUL QRPRUGDQVHWHUXVQ\D 

D 3DGDVLVLMDODQ\DQJVDPDXUXWDQNHEHUDSDNDKUXPDKQRPRU"



E 3DGDVLVLMDODQ\DQJVDPDUXPDKQRPRUEHUDSDNDK\DQJWHUOHWDNSDGDXUXWDQ ke-25?

 7HQWXNDQMXPODKVHPXDELODQJDQELODQJDQEXODWGLDQWDUDGDQ\DQJKDELV GLEDJLWHWDSLWLGDNKDELVGLEDJL 7. Menjatuhkan Bola 6HEXDK EROD GLMDWXKNDQ dari ketinggian 4 meter. Bola tersebut kemudian PHPDQWXOGHQJDQNHWLQJJLDQVHEHVDUPHWHUSDGD pantulan pertama. Setelah itu bola tersebut terus memantul dengan ketinggian sebesar ¾ dari tinggi sebelumnya. Berapakah meter tinggi bola pada pantulan kedua, ketiga, keempat, dan kelima? EXODWNDQVDPSDLDQJNDGHVLPDO Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.24 Pantulan bola

MATEMATIKA

93

a. Lengkapi tabel di bawah ini: Pantulan ke-

1

2



4

5

Tinggi pantulan (meter) 

E *DPEDUNDQKDVLO\DQJNDPXGDSDWNDQGLDWDVNHGDODPEHQWXNJUD¿N c.

Berapakah tinggi pantulan bola pada pantulan ke-6?

d.

Berapa meter total lintasan yang dilalui oleh bola tersebut apabila bola tersebut berhenti tepat saat pantulan keenam?

8. Menabung. Ibu memiliki uang sebesar 5S GDQ LQJLQ PHPEHULNDQ XDQJ tersebut kepada Andi untuk ditabung. Namun ibu tidak memberikan uang tersebut secara langsung, melainkan secara bertahap. Pada hari pertama ibu PHPEHUL$QGLXDQJVHEHVDU5SSDGDKDUL NHGXDLEXPHPEHUL5LQDXDQJVHEHVDU5S begitu seterusnya uang yang diberikan oleh ibu Sumber: http://diketiknews. EHUWDPEDK VHEHVDU 5S VHWLDS KDULQ\D blogspot.com Jika ibu ingin memberikan seluruh uang yang Gambar 2.240HQDEXQJ dipunyai kepada Andi, maka berapa hari Andi akan PHQGDSDWNDQVHOXUXKXDQJWHUVHEXW 9. Turnamen Tennis 3DGD VXDWX NHMXDUDDQ GXQLD tennis total ada 2.048 peserta mengikuti turnamen WHUVHEXWXQWXNPHPSHUHEXWNDQJHODUMXDUDSHULQJNDW  GXQLD 6LVWHP \DQJ GLJXQDNDQ GDODP NHMXDUDDQ tersebut adalah sistem cup, dimana pemenang dari tiap pertandingan akan lolos ke babak berikutnya dan peserta yang kalah akan langsung tereliminasi Sumber: http://www.portalkbr. secara otomatis. com. a. 

Berapakah total pertandingan yang dimainkan GDULDZDOWXUQDPHQVDPSDLSDGDEDEDN¿QDO"

Gambar 2.26 Pertandingan tennis

E -LND GLDVXPVLNDQ EDKZD SDGD WLDS SHUWDQGLQJDQ MXPODK WLNHW \DQJ WHUMXDO DGDODK  EXDK EHUDSD MXPODK WLNHW \DQJ WHUMXDO VHODPD NHMXDUDDQ WHQQLV tersebut?

10. Robot Mobil. Suatu robot mobil yang digerakkan dengan tenaga baterai PHPLOLNLNHFHSDWDQDZDOFPGHWLN(QHUJL\DQJWHUVLPSDQGLGDODPEDWHUDL PRELO WHUVHEXW WHUXV EHUNXUDQJ VHSDQMDQJ ZDNWX VHKLQJJD VHWHODK EHUMDODQ VHODPDVHWHQJDKPHQLWGDULSRVLVLDZDONHFHSDWDQURERWPRELOEHUNXUDQJPHQMDGL

94

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

 FPGHWLN GDQ NHFHSDWDQQ\D EHUNXUDQJ ODJL PHQMDGL  FPGHWLN VHWHODK EHUMDODQ  PHQLW dari posisi awal, begitu seterusnya kecepatan URERWPRELOVHODOXEHUNXUDQJVHEHVDUFPGHWLN VHWLDSVHWHQJDKPHQLW5RERWPRELOWLGDNGDSDW EHUMDODQ NHWLND NHFHSDWDQQ\D PHQFDSDL  FP detik. D 3DGDMDUDNEHUDSDPHWHUGDULSRVLVLDZDOGDQ setelah berapa menit robot mobil tersebut akan berhenti? b. Jika lintasan robot mobil berupa lingkaran dengan diameter 56 cm, apakah robot mobil Sumber: http://nibiru-world. WHUVHEXW GDSDW EHUMDODQ VHSDQMDQJ VDWX blogspot.com Gambar 2.27 5RERWPRELO SXWDUDQSHQXK"%HULNDQSHQMHODVDQPX

Proyek 2 Perhatikan barisan bilangan di bawah ini: « Bagaimana cara untuk mendapatkan suku-suku berikutnya dari barisan bilangan di atas? Dapatkan rumus matematika untuk mendapatkan suku ke-n dari barisan di atas? Barisan bilangan di atas telah secara umum dikenal oleh PDWHPDWLNDZDQ 7XJDV NDOLDQ DGDODK WXOLVNDQ VHMDUDK VLQJNDW GDUL EDULVDQ ELODQJDQ \DQJ GLPDNVXG VHUWD SHQHUDSDQQ\D GDODP NHKLGXSDQ NLWD VHKDULKDUL Carilah pada beberapa literatur, baik pada buku, internet, maupun sumber lainnya. 7XOLVNDQVHFDUDUDSLGDQFHULWDNDQNHSDGDWHPDQWHPDQPXGLGHSDQNHODV

MATEMATIKA

95

Uji Kompetensi 2

Pola, Barisan, dan Deret

 7HQWXNDQVXNXVXNXGDULELODQJDQELODQJDQGLEDZDKLQL D6XNXNHGDULEDULVDQELODQJDQ b. Suku ke-8 dari barisan bilangan 6, 12, 24, 48, ... c. Suku ke-2015 dari barisan bilangan 2, 7, 12, 17, ... d. Suku ke-10 dari barisan bilangan 15, 10, 20 , 40 , ...  9  7HQWXNDQVXNXNHGDQVXNXNHn Un GDULEDULVDQELODQJDQEHULNXW a. 1, 6, 11, 16, ... b. 2, 6, 18, 54, ... c. 100, 95, 90, 85, ...

1 5 7 , 1, , , ...     /HQJNDSLODKEDJLDQEDJLDQ\DQJNRVRQJGDODPSRODELODQJDQGLEDZDKLQL d.

u   u   u   u   u   u   u   u   u   4. Perhatikan pola bilangan di bawah ini:   









 

 

  dan seterusnya 

96

7HQWXNDQ ELODQJDQ WHUDNKLU SDGD EDULV NH %DJDLPDQD  FDUDPX PHQGDSDWNDQQ\D"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

5. Pada papan catur di bawah terdapat 64 kotak. Kotak pertama diisi 6 butir padi, kotak kedua diisi 12 butir padi, kotak ketiga diisi 18 butir padi, demikian VHWHUXVQ\D VHWLDS NDOL SHQJLVLDQ EHUVHOLVLK  EXWLU +LWXQJODK MXPODK ELML EHUDV SDGDSDSDQFDWXUEHULNXW 1

2



4

5

6

7

8

9

10

11

12



14

15

16

17

18

19

20

21

22



24

25

26

27

28

29





















40

41

42



44

45

46

47

48

49

50

51

52



54

55

56

57

58

59

60

61

62



64

Gambar 2.28 Papan catur yang diisi butir padi

6. Panjang Sisi Segitiga. Diketahui keliling dari segitiga sama sisi ABC di bawah ini adalah wFP7LWLNWHQJDKGDUL masing-masing sisi segitiga tersebut kemudian dibubungkan satu dengan yang lainnya sehingga membentuk suatu segitiga baru yang lebih kecil. Proses ini berlangsung secara terusmenerus seperti yang terlihat pada gambar. Apabila keliling dari segitiga ke-8 yang terbentuk adalah 1,5 cm, tentukan nilai dari w

C

A

B Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.29 Segitiga sama sisi

7. Kota YPHUXSDNDQNRWD\DQJWHUOHWDNGLWHSLSDQWDLQDPXQNRWDLQLMXJDGLNHOLOLQJL ROHKJXQXQJJXQXQJ7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQVXKXXGDUDGLNRWDY pada tiap ketinggian wilayahnya. Ketinggian (m)

100

200



400

500

600

Suhu (oC)





28

26

24

22

Suhu di kota tersebut akan turun dengan nilai tetap dengan semakin tingginya wilayah kota yang diukur dari permukaan laut. a. Berapakah suhu di walayah kota Y yang memiliki ketinggian 1.000 m di atas permukaan laut?

MATEMATIKA

97

b. Berapakah suhu di wilayah kota Y yang berada pada wilayah pantai? NHWLQJJLDQZLOD\DKSDQWDLGLDVXPVLNDQVDPDGHQJDQNHWLQJJLDQSHUPXNDDQ DLUODXW c. Berapakah suhu terendah di kota YMLNDNHWLQJJLDQPDNVLPXPZLOD\DKNRWD <DGDODKPGLDWDVSHUPXNDDQODXW" G 0HQXUXWPXEHUDSDNDKVXKXGLZLOD\DKNRWDY yang memiliki ketinggian 700 PGLDWDVSHUPXNDDQODXW"%HULNDQDODVDQPX 8. Gaji Manajer 3DN +D¿G DGDODK VHRUDQJ PDQDMHU GL VHEXDK SHUXVDKDDQ DVXUDQVL 7DKXQ ODX GLD PHQGDSDWNDQ JDML VHEHVDU 5S SHU bulan. Karena prestasinya, tahun ini dia mendapatkan NHQDLNDQ JDML VHEHVDU 5S VHKLQJJD SDGD WDKXQ LQL GLD PHQGDSDWNDQ JDML VHEHVDU 5SSHUEXODQ3DGDWDKXQGHSDQJDMLQ\D QDLNODJLPHQMDGL5SSHUEXODQEHJLWX VHWHUXVQ\D GLD PHQGDSDWNDQ NHQDLNDQ JDML VHEHVDU Sumber: http://www. 5SVHWLDSWDKXQQ\D bimbingan.org

D -LND WDKXQ LQL XVLD 3DN +D¿G DGDODK  WDKXQ Gambar 2.300DQJHU EHUDSDEHVDUJDMLSHUEXODQ\DQJDNDQGLGDSDWNDQ perusahaan 3DN+D¿GNHWLNDXVLDQ\DDGDODKWDKXQ" b. Apabila batas pensiun di perusahaan asuransi tersebut adalah 60 tahun dan GLDVXPVLNDQ3DN+D¿GDNDQPHQMDEDWVHEDJDLPDQDMHUVDPSDLGLDSHQVLXQ DSDNDK3DN+D¿GSHUQDKPHQGDSDWNDQJDMLPLQLPDOVHEHVDU5S tiap bulannya? Jika iya pada usia berapa dia mendapatkannya? Berikan SHQMHODVDQPX 9. Pada sebuah segitiga sembarang diketahui bahwa besar salah satu sudutnya adalah 600. Ketiga sudut segitiga tersebut membentuk suatu barisan aritmetika. +DVLOSHQMXPODKDQDQWDUDVXGXWSHUWDPDGHQJDQVXGXW NHGXD DGDODK  KDVLO SHQMXPODKDQ DQWDUD VXGXW kedua dengan sudut ketiga adalah 1.400, sedangkan KDVLOSHQMXPODKDQDQWDUDVXGXWSHUWDPDGHQJDQVXGXW ketiga adalah 1.200. Berapakah besar kedua sudut lain dari segitiga tersebut?

Gambar 2.31 Segitiga sembarang

 -XPODKGDULGHUHWELODQJDQ«DGDODK%HUDSDEDQ\DNVXNXSDGD deret bilangan tersebut? 11. Pabrik Sepeda. Sebuah pabrik memproduksi sepeda gunung. Permintaan pasar terhadap sepeda gunung tersebut terus meningkat tiap bulannya. Agar tetap bisa PHPHQXKL NHEXWXKDQ SDVDU PDND SDEULN WHUXV PHQLQJNDWNDQ MXPODK SURGXNVL sepeda gunung tiap bulannya. Jumlah sepeda gunung yang diproduksi tiap

98

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

bulannya membentuk suatu barisan aritmetika. -LNDMXPODKVHSHGDJXQXQJ\DQJGLSURGXNVLSDGD EXODQNHDGDODKXQLWGDQSDGDEXODQNH MXPODK VHSHGD JXQXQJ \DQJ GLSURGXNVL DGDODK XQLW7HQWXNDQ a. Banyaknya produksi pada bulan pertama b. Pertambahan produksi tiap bulan c. Jumlah produksi pada tahun pertama

Sumber: : http://sumutpos.co

d. Pada bulan ke berapa setelah pabrik tersebut Gambar 2.32 Pabrik sepeda EHURSHUDVL MXPODK SURGXNVL VHSHGD PHOHELKL 10.000 unit tiap bulannya?  $QGUH GLNRQWUDN XQWXN EHNHUMD SDGD VXDWX SHUXVDKDDQ VHODPD  KDUL 6HEHOXP EHNHUMD GLD GLPLQWD PHPLOLK DQWDUD GLEHUL JDML VHEHVDU 5S SHU KDUL VHODPD VHPLQJJX DWDX GLEHULNDQ JDML VHEHVDU 5S SDGD KDUL pertama dan bertambah dua kali lipat tiap harinya VHODPD VHPLQJJX 0DQDNDK SLOLKDQ WHUEDLN \DQJ KDUXVGLSLOLK$QGUHDJDUGLDPHQGDSDWNDQJDML\DQJ Sumber: : http:// PDNVLPDO"-HODVNDQMDZDEDQPX h4rry5450ngko.blogdetik.com Gambar 2.333HNHUMD kantoran

 Toko Kue. Pak Udin mempunyai VHEXDKWRNRNXH.DUHQDNXH\DQJGLMXDO VDQJDWOH]DWPDNDEDQ\DNSHPEHOLEDUX yang berdatangan setiap harinya untuk membeli kuenya. Dengan semakin larisnya usaha kue yang dimiliki oleh Pak Udin, maka keuntungan yang didapatkan SXQ MXJD VHPDNLQ EHUWDPEDK VHWLDS KDULQ\D GHQJDQ MXPODK \DQJ WHWDS %LOD total keuntungan sampai hari keempat DGDODK 5S ULEX UXSLDK GDQ total keuntungan sampai hari kesepuluh Sumber: : http://ipnuralam.wordpress.com DGDODK 5S ULEX UXSLDK Gambar 2.347RNRNXH maka tentukan total keuntungan sampai KDULNH

MATEMATIKA

99

14. Tantangan3HUKDWLNDQJDPEDUGLEDZDKLQL

Sumber: : Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.35 Susunan segitiga

Aturan untuk mendapatkan gambar berikutnya adalah dengan menambah gambar segitiga sama sisi berwarna hitam dengan ukuran sisinya adalah setengah dari masing-masing segitiga berwarna putih yang tersisa pada gambar berikutnya. Jika diketahui luas segitiga sama sisi pada gambar pertama adalah 10 satuan luas, tentukan luas daerah yang dibentuk oleh segitiga berwarna hitam pada gambar ke-5. Jika kamu diminta untuk menentukan luas daerah yang dibentuk oleh segitiga berwarna hitam pada gambar ke-8, bagaimana caramu menentukannya? Berapakah luas daerahnya? 15. Tantangan 7LJD ELODQJDQ PHPEHQWXN VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND$SDELOD VXNX pertama dikurangi dengan suku ketiga, hasilnya adalah 8. Ketika suku pertama, NHGXDGDQNHWLJDEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXWPDVLQJPDVLQJGLWDPEDKGHQJDQ 5 dan 8 maka bilangan-bilangan yang dihasilkan akan membentuk suatu barisan JHRPHWUL&DULODKEHGDGDQVXNXSHUWDPDEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXW%LODQJDQ EHUDSDVDMD\DQJWHUPDVXNGDODPEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXW"

100

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Bab III Perbandingan Bertingkat

Kata Kunci x x x

Perbandingan Bertingkat Perbandingan Variabel Persen

K ompetensi D asar 1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.1 Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik dan kreatif, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah sehari-hari, yang merupakan pencerminan sikap positif dalam bermatematika. 3.4 Memahami perbandingan bertingkat dan persentase, serta mendeskripsikan permasalahan PHQJJXQDNDQWDEHOJUD¿NGDQ persamaan. 4.2 Menggunakan konsep perbandingan untuk menyelesaikan masalah nyata mencakup perbandingan bertingkat dan persentase dengan PHQJJXQDNDQWDEHOJUD¿NGDQ persamaan.

Pengalaman Belajar 1. 2.

Sumber: Dokumen Kemdikbud Tentunya kamu sering membandingkan dua atau lebih benda karena perbedaan yang dimiliki benda-benda tersebut. Umumnya, membandingkan benda/obyek didasarkan pada kuantitas benda tersebut. Dapatkah kamu menjelaskan dengan katakatamu bagaimanakah aturan membandingkan dua benda atau lebih? Pernahkah kamu memeriksa kandungan dari makanan ringan atau minuman ringan yang kamu konsumsi? Bagaimanakah zat-zat yang terkandung dalam makanan/minuman tersebut disajikan? Tepat sekali, kandungan yang tertera di dalam suatu kemasan makanan/minuman umumnya dalam bentuk persen (%). Kamu tentu juga sering mengamati diskon/ potongan harga ketika sedang berbelanja. Potongan harga di pusat perbelanjaan adalah juga contoh nyata dari penerapan persen. Masih ingatkah kamu cara mendapatkan persentase dari suatu kondisi? Kamu akan memahami konsep perbandingan dan persen di Bab 3 ini.

Menentukan perbandingan antara dua kuantitas atau lebih. Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan perbandingan dan persen.

MATEMATIKA

101

Peta Konsep

Perbandingan Bertingkat

Perbandingan Tiga Variabel

102

Perbandingan Bertingkat pada Kehidupan Nyata

Abul Wafa adalah seorang saintis serba bisa. Selain ahli di bidang matematika, ia pun terkenal sebagai insinyur dan astronom terkenal pada ]DPDQQ\D%HOLDXWHUODKLUEHUQDPD$EXDO:DID 0XKDPPDG ,EQ 0XKDPPDG ,EQ
6XPEHUKWWSSUR¿OERVFRP

Abul Wafa

Buah pemikirannya dalam matematika sangat EHUSHQJDUXKGLGXQLD%DUDW3DGDDEDGNH0 %DURQ&DUUDGH9DX[PHQJDPELONRQVHSsecan \DQJGLFHWXVNDQ$EXO:DID6D\DQJQ\DGLGXQLD ,VODP MXVWUX QDPDQ\D VDQJDW MDUDQJ WHUGHQJDU 1\DULV WDN SHUQDK SHODMDUDQ VHMDUDK SHUDGDEDQ ,VODP \DQJ GLDMDUNDQ GL 7DQDK $LU PHQJXODV dan memperkenalkan sosok dan buah pikir Abul :DID

 ,DEHODMDUPDWHPDWLNDGDULSDPDQQ\DEHUQDPD$EX8PDUDO0DJKD]OLGDQ $EX$EGXOODK0XKDPPDG,EQ$WDED6HGDQJNDQLOPXJHRPHWULGLNHQDOQ\DGDUL $EX
Hikmah yang bisa diambil Hikmah yang dapat diambil adalah untuk mendapatkan ilmu harus diiringi GHQJDQ XVDKD NHUDV 6HODLQ LWX MXJD MDQJDQ SHUQDK SXDV GHQJDQ LOPX \DQJ didapat sekarang dan carilah guru sebanyak-banyaknya untuk memperluas ilmu yang dimiliki.

103

A. Perbandingan Bertingkat Pertanyaan Penting Bagaimana kamu membandingkan kualitas dari dua benda atau lebih? Kegiatan 3.1

Uang Saku

Catatlah uang saku teman sekelasmu, kemudian pilih tiga orang yang mempunyai uang saku yang berbeda. Ayo Kita Mencoba Isilah tabel berikut ini: Uang Saku 6LVZD 5XSLDK

6LVZD 5XSLDK

6LVZD 5XSLDK

8DQJVDNXVLVZD8DQJVDNXVLVZD8DQJVDNXVLVZD  'DSDWGLVHGHUKDQDNDQPHQMDGL 8DQJVDNXVLVZD8DQJVDNXVLVZD8DQJVDNXVLVZD  Bentuk perbandingan di atas disebut sebagai perbandingan tiga variabel. Ayo Kita Amati Berdasarkan perbandingan tiga variabel diatas, tentukan perbandingan dua variabel berikut ini i. uang saku siswa 1 : uang saku siswa 2 LL XDQJVDNXVLVZDXDQJVDNXVLVZD LLL XDQJVDNXVLVZDXDQJVDNXVLVZD Apa yang dapat kamu simpulkan?

104

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Menalar 1. Jika yang kamu ketahui adalah i. uang saku siswa 1 : uang saku siswa 2  LL XDQJVDNXVLVZDXDQJVDNXVLVZD Dapatkah kamu menetukana perbandingan tiga variabel yaitu  8DQJVDNXVLVZD8DQJVDNXVLVZD8DQJVDNXVLVZD"-HODVNDQ 2. Jelaskan bagaimana bentuk perbandingan n variabel. Ayo Kita Simpulkan 1. Apa yang dimaksud perbandingan tiga variabel?  %DJDLPDQDPHQGDSDWNDQSHUEDQGLQJDQGXDYDULDEHOMLNDGLNHWDKXLSHUEDQGLQJDQ tiga variabelnya?

Beasiswa untuk Siswa Kurang Mampu

Kegiatan 3.2

603+DUDSDQ%DQJVDPHPLOLNLVLVZLGDQVLVZD6HNRODKLQLPHPLOLNLSURJUDP ³%HDVLVZD 8QWXN 6HPXD 6LVZD .XUDQJ 0DPSX´ XQWXN LWX GLODNXNDQ SHQGDWDDQ mengenai banyaknya siswa-siswa yang kurang mampu. Berdasarkan hasil pendataan didapat 80 siswa perempuan dan 40 siswa laki-laki yang kurang mampu. Ayo Kita Gali Informasi Isilah tabel berikut ini. Banyaknya Siswa Laki-laki

Siswa Perempuan

0HQGDSDW Beasiswa

7LGDN0HQGDSDW Beasiswa

0HQGDSDW Beasiswa

7LGDN0HQGDSDW Beasiswa

...

...

...

...

Banyaknya siswa = ...

Banyaknya siswa = ...

%DQ\DNPXULGGL60$+DUDSDQ%DQJVD 

MATEMATIKA

105

Ayo Kita Mencoba 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQDQWDUD D %DQ\DNVLVZDODNLODNLGDQVHOXUXKVLVZDGL603+DUDSDQ%DQJVD b. Banyak siswa laki-laki dan banyak siswa laki-laki yang memperoleh beasiswa di 603+DUDSDQ%DQJVD c. Banyak siswa laki-laki yang memperoleh beasiswa dan banyak seluruh siswa di 603+DUDSDQ%DQJVD G %DQ\DNVLVZDSHUHPSXDQGDQVHOXUXKVLVZDGL603+DUDSDQ%DQJVD e. Banyak siswa perempuan keseluruhan dan banyak siswa laki-laki yang PHPSHUROHKEHDVLVZDGL603+DUDSDQ%DQJVD I %DQ\DNVLVZDSHUHPSXDQ\DQJPHPSHUROHKEHDVLVZDGDQEDQ\DNVHOXUXKVLVZD GL603+DUDSDQ%DQJVD Ayo Kita Menalar Bagaimana kamu memperoleh perbandingan  %DQ\DN VLVZD ODNLODNL GDQ VHOXUXK VLVZD GL 603 +DUDSDQ %DQJVD MLND \DQJ diketahui perbandingan a. Banyak siswa laki-laki dan banyak siswa laki-laki yang memperoleh beasiswa GL603+DUDSDQ%DQJVDGDQ b. Banyak siswa laki-laki yang memperoleh beasiswa dan banyak seluruh siswa GL603+DUDSDQ%DQJVD  %DQ\DN VLVZD SHUHPSXDQ GDQ VHOXUXK VLVZD GL 603 +DUDSDQ %DQJVD MLND diketahui perbandingan a. Banyak siswa perempuan keseluruhan dan banyak siswa perempuan yang PHPSHUROHKEHDVLVZDGL603+DUDSDQ%DQJVD b. Banyak siswa perempuan yang memperoleh beasiswa dan banyak seluruh VLVZDGL603+DUDSDQ%DQJVD Ayo Kita Simpulkan Bagaimana memperoleh a : cMLND\DQJGLNHWDKXLa : b dan b : c? Kegiatan 3.3

3URGXNWL¿WDV3HQGXGXN

6XDWX GHVD PHPSXQ\DL SHQGXGXN VHEDQ\DN  MLZD 3DGD GHVD LQL GLODNXNDQ SHQGDWDDQ XQWXN PHQJHWDKXL SURGXNWL¿WDV SHQGXGXN %HUGDVDUNDQ KDVLO SHQGDWDDQ 106

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

GLSHUROHKEDKZDSHQGXGXN\DQJDNWLIEHNHUMDVHEDQ\DNGDULMXPODKSHQGXGXN NHVHOXUXKDQ 6HWHODK GLGDWD OHELK MDXK ODJL WHUQ\DWD SHQGXGXN \DQJ EHNHUMD WHUGLUL GDULMLZDXVLDWDNSURGXNWLIGDQSHQGXGXN\DQJWLGDNEHNHUMDWHUGLULGDULMLZD XVLDSURGXNWLI Ayo Kita Gali Informasi Isilah tabel berikut ini. Banyak Penduduk (Jiwa) ... Bekerja (Jiwa)

Tidak Bekerja (Jiwa)

...

...

8VLD3URGXNWLI -LZD

8VLD7DN3URGXNWLI -LZD

8VLD3URGXNWLI -LZD

8VLD7DN3URGXNWLI -LZD

...

...

...

...

Ayo Kita Mencoba 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQDQWDUD D %DQ\DNSHQGXGXN\DQJEHNHUMDSDGDXVLDWDNSURGXNWLIGDQSHQGXGXNNHVHOXUXKDQ E %DQ\DN SHQGXGXN \DQJ EHNHUMD SDGD XVLD WDN SURGXNWLI GDQ EDQ\DN SHQGXGXN NHVHOXUXKDQ\DQJEHNHUMD F %DQ\DNSHQGXGXN\DQJEHNHUMDGDQSHQGXGXNNHVHOXUXKDQ G %DQ\DNSHQGXGXN\DQJWDNEHNHUMDSDGDXVLDSURGXNWLIGDQSHQGXGXNNHVHOXUXKDQ H %DQ\DN SHQGXGXN \DQJ WDN EHNHUMD SDGD XVLD SURGXNWLI GDQ EDQ\DN SHQGXGXN NHVHOXUXKDQ\DQJWDNEHNHUMD I %DQ\DNSHQGXGXN\DQJWDNEHNHUMDGDQSHQGXGXNNHVHOXUXKDQ Ayo Kita Menalar Bagaimana kamu memperoleh perbandingan  %DQ\DNSHQGXGXN\DQJEHNHUMDSDGDXVLDWDNSURGXNWLIGDQSHQGXGXNNHVHOXUXKDQ MLNDGLNHWDKXLSHUEDQGLQJDQ MATEMATIKA

107

D %DQ\DNSHQGXGXN\DQJEHNHUMDSDGDXVLDWDNSURGXNWLIGDQEDQ\DNSHQGXGXN NHVHOXUXKDQ\DQJEHNHUMDGDQ E %DQ\DNSHQGXGXN\DQJEHNHUMDGDQSHQGXGXNNHVHOXUXKDQ  %DQ\DNSHQGXGXN\DQJWDNEHNHUMDSDGDXVLDSURGXNWLIGDQSHQGXGXNNHVHOXUXKDQ MLNDGLNHWDKXLSHUEDQGLQJDQ D %DQ\DNSHQGXGXN\DQJWDNEHNHUMDSDGDXVLDSURGXNWLIGDQEDQ\DNSHQGXGXN NHVHOXUXKDQ\DQJWDNEHNHUMDGDQ E %DQ\DNSHQGXGXN\DQJWDNEHNHUMDGDQSHQGXGXNNHVHOXUXKDQ Ayo Kita Gali Informasi &DULODK LQIRUPDVL PHQJHQDL EDQ\DNQ\D SHQGXGXN ,QGRQHVLD .HPXGLDQ FDULODK LQIRUPDVL PHQJHQDL EDQ\DNQ\D SHQGXGXN \DQJ EHNHUMD GDQ WDN EHNHUMD 'DQ MXJD FDULLQIRUPDVLPHQJHQDLEDQ\DNQ\DSHQGXGXN\DQJEHNHUMDSDGDXVLDWDNSURGXNWLI GDQSHQGXGXN\DQJWDNEHNHUMDSDGDXVLDSURGXNWLI6HODQMXWQ\DDQDOLVDGDWDWHUVHEXW seperti pada kegiatan bab ini. Ayo Kita Berbagi 3UHVHQWDVLNDQLQIRUPDVL\DQJNDPXSHUROHKGLGHSDQNHODV Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan yang berhubungan dengan perbandingan bertingkat. Materi Esensi

Perbandingan Bertingkat

Berikut langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah perbandingan bertingkat Langkah 1. Jadikan permasalahan a : b ELODQJDQELODQJDQPHQMDGL a bilangan1 = b bilangan 2 Langkah 2. Jadikan permasalahan b : c ELODQJDQELODQJDQPHQMDGL b ELODQJDQ  = c bilangan 4

108

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

/DQJNDK'LGDSDWNDQ a ELOHQJDQ ELODQJDQ  ELODQJDQ u ELODQJDQ  u = = c bilangan2 bilangan 4 bilangan 2 u bilangan 4 Sehingga a : c = bilangan 1uELODQJDQELODQJDQu bilangan 4 Catatan: Jika dalam permasalahan dalam bentuk persen maka rubahlah bentuk tersebut kedalam bentuk perbandingan biasa (a : b). Kemudian lakukan langkah diatas untuk menyelesaikan permasalahannya. Contoh 3.1

Perbandingan Bertingkat

Dalam suatu kelas, perbandingan banyaknya siswa laki-laki dan seluruh siswa dalam NHODVDGDODKDGDQ3HUEDQGLQJDQEDQ\DNQ\DVLVZDODNLODNL\DQJVHQDQJRODKUDJD GDQ \DQJ WLGDN DGDODK    7HQWXNDQ SHUEDQGLQJDQ EDQ\DN VLVZD ODNLODNL \DQJ senang olahraga terhadap banyaknya siswa secara keseluruhan. Alternatif Penyelesaian: Diketahui:

banyaknya siswa laki - laki 2 EDQ\DNQ\DVHOXUXKVLVZD  banyaknya siswa laki - lakisenang olahraga 4 banyaknya siswa laki - laki tidak senang olahraga 1 Ditanya:

banyaknya siswa laki - lakisenang olahraga banyaknya seluruh siswa Jawab: 6XGDKMHODVEDKZD EDQ\DNQ\DVLVZDODNLODNLVHQDQJRODKUDJDEDQ\DNQ\DVLVZDODNLODNLWLGDNVHQDQJ olahraga = banyaknya siswa laki-laki Bagi kedua ruas dengan banyaknya siswa laki-laki didapatkan banyaknya siswa laki - laki senang olahraga banyaknya siswa laki - laki tidak senang olahraga  =1 banyaknya siswa laki - laki banyaknya siswa laki - laki

Diketahui bahwa

banyaknya siswa laki - lakisenang olahraga 4, banyaknya siswa laki - laki tidak senang olahraga 1

MATEMATIKA

109

maka 1

banyaknya siswa laki-laki tidak senang olahraga = banyaknya siswa laki-laki 4 senang olahraga. Dengan demikian 1 banyaknya siswa laki - laki senang olahraga banyaknya siswa laki - laki senang olahraga 4  =1 banyaknya siswa laki - laki banyaknya siswa laki - laki

atau

banyaknya siswa laki - laki senang olahraga 4 = banyaknya siswa laki - laki 5

« 

'LNHWDKXLMXJDEDKZD

banyaknya siswa laki - laki 2 = EDQ\DNQ\DVHOXUXKVLVZD 

« 

.DOLNDQ3HUVDPDDQ  GDQ  GLGDSDW

banyaknya siswa laki - laki senang olahraga 8 = banyaknya seluruh siswa 15 Ayo Kita Tinjau Ulang .HPEDOLNH&RQWRK Jika yang diketahui perbandingan banyaknya siswa perempuan dan seluruh siswa GDODPNHODVDGDODK'DQ3HUEDQGLQJDQEDQ\DNQ\DVLVZDODNLODNL\DQJVHQDQJ RODKUDJDGDQ\DQJWLGDNDGDODK7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQEDQ\DNVLVZDODNLODNL yang senang olahraga terhadap banyaknya siswa secara keseluruhan. Latihan 3

Perbandingan Bertingkat

 7LJDEXDKNRWDNVHUXSDA, B, C total berisi 72 buah pensil. Perbandingan banyak pensil di kotak A, B, dan CDGDODK%HUDSDEDQ\DNSHQVLO\DQJEHUDGDGL kotak C? 2. Empat buah wadah yang serupa P, Q, R, dan S, total berisi 85 liter air. Perbandingan volume air di wadah P, QGDQ5DGDODK-LNDZDGDK6EHULVLOLWHUDLU berapa air dalam wadah R?  3HUEDQGLQJDQXVLDDQWDU7DV\D)LQD&DFDDGDODK-LNDXVLD&DFDHPSDW WDKXQOHELKWXDGDUL)LQDEHUDSDMXPODKXVLDPHUHNDEHUWLJD"  ,UDGDQ5LDEHUEHODQMDGLSDVDUGHQJDQWRWDOXDQJ\DQJPHUHNDEDZD5S 6HWHODKEHUEHODQMD,UDPDVLKPHPLOLNLóGDULXDQJQ\DPXODPXODGDQXDQJ5LD 110

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

PDVLKEHUVLVD5S-LNDEHVDUXDQJ\DQJGLEHODQMDNDQROHK,UDGDQ5LD VDPDEHUDSDXDQJ\DQJGLEDZD5LDPXODPXOD" 5. Banyak perangko yang dimiliki Wina dan Wini adalah 240 buah. Setelah Wini memberikan

1  SHUDQJNRQ\D NHSDGD :LQD EDQ\DN SHUDQJNR PHUHND PHQMDGL 7

sama. Berapa banyak perangko yang dimiliki Wini mula-mula?  7XEXKPDQXVLDWHUGLULGDULEDJLDQ\DLWXNHSDODEDGDQGDQNDNL-LNDSDQMDQJ NHSDODPDQXVLDDGDODKGDULWXEXKNHVHOXUXKDQGDQSHUEDQGLQJDQSDQMDQJ DQWDUDEDGDQGDQNHSDODDGDODK7HQWXNDQSHUVHQWDVHSDQMDQJEDGDQPDQXVLD terhadap keseluruhan tubuhnya.  3DGDVXDWXQHJDUDGLODNXNDQVHQVXVSHQGXGXNWHUQ\DWDSHQGXGXNQ\DPDVLK WHUJRORQJPLVNLQGDQGDUL\DQJPLVNLQWHUVHEXWPDVLKELVDVHNRODKVDPSDL perguruan tinggi. Berapakah perbandingan penduduk miskin yang tidak bisa VHNRODK VDPSDL SHUJXUXDQ WLQJJL GHQJDQ MXPODK SHQGXGXN NHVHOXUXKDQ SDGD negara tersebut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x -LND PRELO tersebut berangkat dari kota A pada pukul 08.24 dan dia menginginkan tiba di kota B pada pukul 12.00, tentukan nilai x. 11. Pada suatu pemilihan umum yang terdiri dari dua kandidat x dan y 7HUQ\DWD VHWHODKGLODNXNDQSHUKLWXQJDQSHQGXGXNPHPLOLKNDQGLGDWxSHQGXGXN memilih kandidat y GDQ  SHQGXGXN VDODK PHODNXNDQ SHQFREORVDQ 'DUL  SHQGXGXN \DQJ *ROSXW WHUQ\DWD DGDODK PDKDVLVZD 7HQWXNDQ SHUVHQWDVH PDKDVLVZD\DQJJROSXWWHUKDGDSMXPODKSHQGXGXN 12. Andi menabungkan uangnya pada Bank x. Andi mulai menabung pada bulan -DQXDUL \DLWX PHQDEXQJ VHEHVDU 5S 3DGD EXODQ EHULNXWQ\D $QGL menabung 

5 kali lipat dari bulan sebelumnya. Untuk keperluan sekolah, pada 8

EXODQ0DUHW$QGLPHQJDPELOXDQJQ\DVHEHVDU5S-LNDEDQNWHUVHEXW MATEMATIKA

111

PHPEHUL EXQJD VHEHVDU  XQWXN VHWLDS DNKLU EXODQ WHQWXNDQ VDOGR WDEXQJDQ $QGLSDGDDNKLUEXODQ0DUHW"  3DGD VXDWX SHPLOLKDQ XPXP \DQJ WHUGLUL GDUL GXD NDQGLGDW x dan y 7HUQ\DWD VHWHODKGLODNXNDQSHUKLWXQJDQSHQGXGXNPHPLOLKNDQGLGDWxSHQGXGXN memilih kandidat yGDQGDULSHQGXGXNDGDODKJROSXW-LNDV\DUDWPHQMDGL SHPHQDQJDGDODKKDUXVXQJJXOGDULODZDQQ\DGDQSHQJXNXUDQSHUVHQWDVHQ\D GLKLWXQJEHUGDVDUNDQSHQGXGXN\DQJPHODNXNDQSHPLOLKDQXPXPVDMD *ROSXW WLGDNGLKLWXQJ $SNDKNDQGLGDWx bisa disimpulkan sebagai pemenang?  3DGDVXDWX6XSHU0DUNHWPHODNXNDQSRWRQJDQKDUJDVHEHVDUXQWXNVHWLDS SHPEHOLDQ EDMX $QL EHUEHODQMD GL VXSHUPDUNHW WHUVHEXW GLD PHPEHOL  EDMX 7HUQ\DWDDGDSHPRWRQJDQWDPEDKDQVHEHVDUMLNDPHPEHOLEDMXVHEDQ\DN -LNDKDUJDVHWLDSEDMXVHEHOXPSHPRWRQJDQKDUJDDGDODK5S7HQWXND seberapa besar uang yang harus dibayar Ani? 15. Nisa mencoba membuat minuman baru dengan cara mencampurkan sirup , soda dan susu dengan perbandingan 1 : 2 : 5. Jika banyaknya minuman baru tersebut 4 liter maka berapa liter banyaknya sirup, soda dan susu tersebut?

Proyek 3 x

Buatlah kelompok yang terdiri 10 orang.

x 7LDSWLDSNHORPSRNPHPEXDWDQJNHWPDWDSHODMDUDQDSD\DQJSDOLQJGLVXNDL VLVZDVLVZL GL VHEXDK NHODV 8QWXN WLDS NHORPSRN EHULNDQ DQJNHW NH VDWX NHODV9,,VDWXNHODV9,,,GDQVDWXNHODV,; x &DWDWODKPDWDSHODMDUDQDSD\DQJGLVXNDLRUDQJGDQEXDWODKWDEHOXQWXNWLDS kelas. x +LWXQJODKEHUDSDEDJLDQGDULVHWLDSPDWDSHODMDUDQ\DQJGLVXNDLXQWXNWLDS WLDS NHODV 9,, NHODV 9,,, GDQ NHODV ,; 1\DWDNDQ SHFDKDQ WHUVHEXW GDODP desimal dan persen.

x -LNDVHNDUDQJNHODV9,,NHODV9,,,GDQNHODV,;GLJDEXQJKLWXQJODKEHUDSD EDJLDQ GDUL VHWLDS PDWD SHODMDUDQ \DQJ GLVXNDL 1\DWDNDQ SHFDKDQ WHUVHEXW GDODPGHVLPDOGDQSHUVHQ$SDNDKDGDSHUXEDKDQSHUVHQWDVHPDWDSHODMDUDQ yang disukai ? Apa yang dapat kamu simpulkan?

112

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Uji Kompetensi 3

Perbandingan Bertingkat

 3DGDVXDWXQHJDUDGLODNXNDQVHQVXVSHQGXGXNWHUQ\DWDGDULSHQGXGXNQ\D masih tergolong miskin. Penduduk yang tergolong kaya semuanya bisa sekolah sampai perguruan tinggi. Dari keseluruhan penduduk yang sekolah VDPSDL SHUJXUXDQ WLQJJL  DGDODK SHQGXGXN WHUJRORQJ PLVNLQ %HUDSDNDK perbandingan penduduk miskin yang tidak bisa sekolah sampai perguruan tinggi GHQJDQMXPODKSHQGXGXNNHVHOXUXKDQSDGDQHJDUDWHUVHEXW"  7XEXK PDQXVLD WHUGLUL GDUL  EDJLDQ \DLWX  NHSDOD EDGDQ GDQ NDNL 6HVHRUDQJ GLDPELO IRWRQ\D XQWXN VHOXUXK EDGDQ 7HUQ\DWD VHWHODK GLKLWXQJ SHUEDQGLQJDQ XNXUDQ KDVLO IRWR GDQ XNXUDQ VHEHQDUQ\D DGDODK  -LND SDGD IRWR SDQMDQJ NHSDOD DGDODK  GDUL WXEXK NHVHOXUXKDQ GDQ SHUEDQGLQJDQ SDQMDQJ DQWDUD EDGDQGDQNDNLDGDODK7HQWXNDQSHUVHQWDVHSDQMDQJEDGDQPDQXVLDWHUKDGDS keseluruhan tubuhnya pada ukuran aslinya.  3DGDVXDWXQHJDUDGLODNXNDQVHQVXVSHQGXGXNWHUQ\DWDGDULSHQGXGXNQ\D PDVLKWHUJRORQJPLVNLQ'DULSHQGXGXN\DQJWHUJRORQJND\DWLGDNVHNRODK sampai tingkat atas. Selain itu, dari keseluruhan penduduk yang sekolah sampai WLQJNDW DWDV  DGDODK SHQGXGXN WHUJRORQJ PLVNLQ %HUDSDNDK SHUEDQGLQJDQ penduduk miskin yang tidak bisa sekolah sampai tingkat menengah atas dengan MXPODKSHQGXGXNNHVHOXUXKDQSDGDQHJDUDWHUVHEXW"  3DGDVXDWXNHODV\DQJWHUGLULVLVZDVHQDQJPDWDSHODMDUDQ0DWHPDWLND VHQDQJPDWDSHODMDUDQ%DKDVD,QGRQHVLDGDQVHQDQJNHGXDGXDQ\D  Dari VLVZD\DQJWLGDNVHQDQJNHGXDPDWDSHODMDUDQWHUVHEXWPDVXNGDODP 14



SHULQJNDWWHUDWDVGDODPVHNRODKWHUVHEXW7HQWXNDQEDQ\DNQ\DVLVZD\DQJWLGDN VHQDQJNHGXDPDWDSHODMDUDQGDQPDVXNGDODPSHULQJNDWWHUDWDV

 6HEXDK PRELO PHODNXNDQ SHUMDODQDQ GDUL NRWD A PHQXMX NRWD B \DQJ EHUMDUDN NP3DGDNPSHUWDPDPRELOWHUVHEXWPHODMXGHQJDQNHFHSDWDQNP MDP  NP VHODQMXWQ\D PRELO WHUVHEXW PHQDLNNDQ NHFHSDWDQQ\D VHEHVDU  GDQ VLVD SHUMDODQDQQ\D GLD PHQXUXQNDQ NHFHSDWDQQ\D VHEHVDU  7HQWXNDQ ODPDQ\DSHUMDODQDQGDULNRWDA dan B. 6. Pada suatu pemilihan umum yang terdiri dari dua kandidat x dan y 7HUQ\DWD VHWHODKGLODNXNDQSHUKLWXQJDQSHQGXGXNPHPLOLKNDQGLGDWxSHQGXGXN memilih kandidat yGDQGDULSHQGXGXNDGDODKJROSXW-LNDV\DUDWPHQMDGL SHPHQDQJDGDODKKDUXVXQJJXOGDULODZDQQ\DGDQSHQJXNXUDQSHUVHQWDVHQ\D

MATEMATIKA

113

GLKLWXQJEHUGDVDUNDQSHQGXGXN\DQJPHODNXNDQSHPLOLKDQXPXPVDMD *ROSXW WLGDNGLKLWXQJ .HPXGLDQWHUQ\DWDNHORPSRNGDULNDQGLGDW\WLGDNVHWXMXGHQJDQ KDVLOWHUVHEXWGDQPHQJDMXNDQSHPLOXXODQJNDUHQDPHQGXJDWHUMDGLNHFXUDQJDQ PHUHND EHUDQJJDSDQ KDVLO \DQJ VHEHQDUQ\D DGDODK  SHQGXGXN PHPLOLK kandidat xSHQGXGXNPHPLOLKNDQGLGDWyGDQGDULSHQGXGXNDGDODK golput. Apakah usulan mereka untuk melakukan pemilu ulang bisa diterima? XVXODQGLWHULPDMLNDSHPHQDQJQ\DEHUXEDK 7. Sebuah mobil xPHODNXNDQSHUMDODQDQGDULNRWDAPHQXMXNRWDB\DQJEHUMDUDN NP3DGDNPSHUWDPDPRELOWHUVHEXWPHODMXGHQJDQNHFHSDWDQNP MDPNPVHODQMXWQ\DPRELOWHUVHEXWPHQDLNNDQNHFHSDWDQQ\DVHEHVDUGDQ VLVDSHUMDODQDQQ\DGLDPHQXUXQNDQNHFHSDWDQQ\DVHEHVDU'LVLVLODLQPRELO \PHODNXNDQSHUMDODQDQGDULNRWDBPHQXMXNRWDA. Pada 80 km pertama mobil WHUVHEXWPHODMXGHQJDQNHFHSDWDQNPMDPNPVHODQMXWQ\DPRELOWHUVHEXW PHQDLNNDQNHFHSDWDQQ\DVHEHVDUGDQVLVDSHUMDODQDQQ\DGLDPHQXUXQNDQ NHFHSDWDQQ\DVHEHVDU-LNDPRELOx berangkat dari kota ASDGDSXNXO dan mobil y berangkat dari kota B pada pukul 08.50 maka tentukan waktu mereka WLEDGLWHPSDWWXMXDQ 8. Andi menabungkan uangnya pada Bank x. Andi mulai menabung pada bulan -DQXDUL \DLWX PHQDEXQJ VHEHVDU 5S 3DGD EXODQ EHULNXWQ\D $QGL 2 menabung  NDOL OLSDW GDUL EXODQ VHEHOXPQ\D %XODQ 0DUHW $QGL PHQDEXQJ 5



VHEHVDUGDULVDOGREXODQVHEHOXPQ\D7HQWXNDQVDOGRWDEXQJDQ$QGLSDGD akhir bulan maret?

 6HRUDQJ SHGDJDQJ PHPEHOL VHEXDK NHPHMD GHQJDQ KDUJD 5S .HPXGLDQ EDUDQJ LQL GLMXDO NHPEDOL 6XSD\D SHODQJJDQ WHUWDULN SHGDJDQJ PHPEHULNDQ WXOLVDQ SDGD EDUDQJ GDJDQJDQQ\D ³'LVNRQ ´ 'HQJDQ KDUJD berapa dia harus melabelkan barang dagangannya supaya dia mendapatkan NHXQWXQJDQGDULKDUJDEHOL" 10. Andi menabungkan uangnya pada Bank x. Andi mulai menabung pada bulan -DQXDUL \DLWX PHQDEXQJ VHEHVDU 5S 3DGD EXODQ EHULNXWQ\D $QGL 5 menabung  NDOL OLSDW GDUL EXODQ VHEHOXPQ\D %XODQ 0DUHW $QGL PHQDEXQJ 8



114

VHEHVDU  GDUL VDOGR EXODQ VHEHOXPQ\D -LND EDQN WHUVHEXW PHPEHUL EXQJD VHEHVDUXQWXNVHWLDSDNKLUEXODQWHQWXNDQVDOGRWDEXQJDQ$QGLSDGDDNKLU bulan maret?

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

 3HUEDQGLQJDQEDQ\DNVLVZDGLUXDQJDXODGDQDXODDGDODK3HUEDQGLQJDQ EDQ\DNVLVZDGLUXDQJDXODGDQDXODDGDODK-LNDEDQ\DNVLVZDGLUXDQJ DXODGDQDXODDGDODKRUDQJEHUDSDEDQ\DNVLVZDGLUXDQJDXOD" 12. Banyak siswa di suatu kelas adalah 40 orang. Perbandingan banyak siswa lakilaki dan perempuan adalah 4 : 1. Kemudian beberapa siswa laki-laki keluar kelas, sehingga perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan adalah 7 : 2. 7HQWXNDQEHUDSDEDQ\DNVLVZDODNLODNL\DQJNHOXDUNHODV  -XPODKGDULWLJDELODQJDQDGDODK-LNDSHUEDQGLQJDQELODQJDQSHUWDPDGDQ NHGXDDGDODKGDQSHUEDQGLQJDQELODQJDQNHGXDGDQNHWLJDDGDODK berapakah bilangan kedua? 14. Perbandingan usia Winda dan ayahnya sekarang adalah 4 : 1. Jumlah usia Winda dan ayahnya adalah 50 tahun. Berapa tahun lagi perbandingan usia Winda dan D\DKQ\DPHQMDGL"  7DKXQLQLSHUEDQGLQJDQXVLD5LRGDQLEXQ\DDGDODKGDQMXPODKXVLDQ\D WDKXQ%HUDSDWDKXQODJLSHUEDQGLQJDQXVLD5LRGDQLEXQ\DPHQMDGL"  3DGDVHEXDKSHUXVDKDDQSHJDZDLDGDODKODNLODNL-LNDSHJDZDLVXGDK PHQLNDKGDQGDULSHJDZDL\DQJVXGDKPHQLNDKDGDODKODNLODNLEHUDSDNDK dari pegawai yang belum menikah adalah pegawai perempuan?  3HUEDQGLQJDQ EDQ\DN SHQJXQMXQJ ODNLODNL GDQ SHUHPSXDQ GDODP VXDWX ED]DU 5 adalah 7 : 4. Setelah  EDJLDQ SHQJXQMXQJ ODNLODNL NHOXDU GDQ  RUDQJ 8



SHQJXQMXQJ SHUHPSXDQ GDWDQJ SHUEDQGLQJDQ SHQJXQMXQJ ODNLODNL GDQ SHUHPSXDQPHQMDGL%HUDSDNDKEDQ\DNSHQJXQMXQJPXODPXOD"

 7DPXVXDWXDFDUDV\XNXUDQWHUGLULRUDQJGHZDVDGDQDQDNDQDN

2 bagian adalah 5

orang dewasa. Jumlah anak-anak 60 orang lebih banyak dari pada orang dewasa. Perbandingan banyak tamu anak laki-laki dan perempuan adalah 4 : 5. Berapa banyak tamu anak laki-laki yang hadir?  )DKULGDQ)DUKDQPDVLQJPDVLQJPDPSXPHQJKDELVNDQVHJHODVMXVMDPEXGDODP waktu 25 detik. Sedangkan Zaki membutuhkan waktu 50 detik untuk melakukan hal yang sama. Jika ketiganya diminta bergabung untuk menghabiskan 4½ gelas MXVMDPEXEHUVDPDVDPDWHWDSL=DNLWLGDNPDXEHUJDEXQJXQWXNJHODVNHHPSDW dan ke lima, berapa lama waktu yang mereka butuhkan untuk menghabiskan 4½ MXVWHUVHEXW"

MATEMATIKA

115

 7DEXQJDQ $QLV OHELK EDQ\DN GDULSDGD MXPODK WDEXQJDQ %HQQ\ GDQ .LQDU 7DEXQJDQ %HQQ\ OHELK EDQ\DN GDULSDGD WDEXQJDQ .LQDU7DEXQJDQ 'LDQ OHELK EDQ\DNGDULSDGDMXPODKWDEXQJDQ$QL%HQQ\GDQ.LQDU0DQDNDKSHUQ\DWDDQ berikut yang benar: 

D 7DEXQJDQ$QLVOHELKEDQ\DNGDULSDGDWDEXQJDQ'LDQ E -XPODK WDEXQJDQ 'LDQ GDQ .LQDU VDPD GHQJDQ MXPODK WDEXQJDQ$QLV GDQ Benny



F 7DEXJDQ'LDQPHUXSDNDQSHQMXPODKDQWDEXQJDQ$QLV%HQQ\GDQ.LQDU



G 7DEXQJDQWHUEDQ\DNDGDODKWDEXQJDQ$QLV e. Kinar mempunyai tabungan paling sedikit.

116

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Bab IV

Kekongruenan dan Kesebangunan

Kata Kunci x x x

.HNRQJUXHQDQ )DNWRU6NDOD 6HEDQJXQ

K ompetensi D asar 1.1 0HQJKDUJDLGDQPHQJKD\DWLDMDUDQ DJDPD\DQJGLDQXWQ\D 2.1 0HQXQMXNNDQVLNDSORJLVNULWLV DQDOLWLNGDQNUHDWLINRQVLVWHQGDQ WHOLWLEHUWDQJJXQJMDZDEUHVSRQVLI GDQWLGDNPXGDKPHQ\HUDKGDODP PHPHFDKNDQPDVDODKVHKDULKDUL \DQJPHUXSDNDQSHQFHUPLQDQVLNDS SRVLWLIGDODPEHUPDWHPDWLND  0HPDKDPLNRQVHSNHNRQJUXHQDQ GDQNHVHEDQJXQDQJHRPHWULPHODOXL SHQJDPDWDQ  0HQ\HOHVDLNDQSHUPDVDODKDQQ\DWD KDVLOSHQJDPDWDQ\DQJWHUNDLW SHQHUDSDQNHNRQJUXHQDQGDQ NHVHEDQJXQDQ

Pengalaman Belajar

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

 0HQJLGHQWL¿NDVL PHQGHVNULSVLNDQ PHQMHODVNDQ VLIDW DWDX NDUDNHWULVWLN EHQGDGHQJDQ SHUPXNDDQ\DQJNRQJUXHQDWDXVHEDQJXQEHUGDVDUNDQKDVLOSHQJDPDWDQ  0HPEXDW PRGHO PHQJJDPEDU DWDX PHOXNLV GDQ PHQHQWXNDQ EDQJXQEDQJXQ GDWDU \DQJ NRQJUXHQDWDXVHEDQJXQGHQJDQEHUEDJDLFDUDGDQSRVLVL  0HQJXMLGXDVHJLWLJDVHEDQJXQGDQGXDVHJLWLJDNRQJUXHQ  0HQHQWXNDQSDQMDQJVLVLEHVDUVXGXWDWDXXQVXUODLQQ\DEHUNDLWDQGHQJDQEDQJXQGDWDU \DQJNRQJUXHQDWDXVHEDQJXQGDQPHQ\HOHVDLNDQSHUPDVDODKDQQ\DWD\DQJWHUNDLWGHQJDQ NRQVHSNHNRQJUXHQDQGDQNHVHEDQJXQDQ

MATEMATIKA

117

Peta Konsep Kekongruenan dan Kesebangunan Bangun Datar

Syarat: Sisi Sisi Sisi

Syarat Kekongruenan Bangun Datar

Syarat Kesebangunan Bangun Datar

Kekongruenan Segitiga

Kesebangunan Segitiga

Syarat Kekongruenan Segitiga

Syarat Kesebangunan Segitiga

Syarat: Sisi Sudut Sisi

Syarat: Sudut Sisi Sudut

Syarat: Sisi Sisi Sisi

1. P e r b a n d i n g a n Sisi-Sisi yang Bersesuai Senilai 2. Dua Pasang Sudut yang Bersesuaian Sama Besar

Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut dari Segitiga-Segitiga Sebangun atau Kongruen

118

Thales PHUXSDNDQ VDODK VHRUDQJ ¿OVXI
¿OVXI\DQJSHUWDPD  Thales 7KDOHV MXJD GLNHQDO VHEDJDL DKOL JHRPHWUL DVWURQRPL GDQ SROLWLN 3DGD ELGDQJ PDWHPDWLND 7KDOHV PHQJXQJNDSNDQVDODKVDWXJDJDVDQ\DQJFXNXSIHQRPHQDO yakni di bidang kesebangunan. Diceritakan bahwa dia dapat menghitung tinggi piramida dengan PHQJJXQDNDQ EDQWXDQ GDUL ED\DQJDQ VXDWX WRQJNDW7KDOHV PHQJJXQDNDQ NHQ\DWDDQ EDKZD segitiga yang dibentuk oleh piramida dan bayangannya sebangun dengan segitiga kecil yang dibentuk oleh tongkat dan bayangannya. Dengan menggunakan perbandingan kesebangunan dua segitiga itu ia dapat memperkirakan tinggi dari piramida tersebut.  6HODLQLWXGLDMXJDGDSDWPHQJXNXUMDXKQ\DNDSDOGLODXWGDULSDQWDL.HPXGLDQ7KDOHV PHQMDGLWHUNHQDOVHWHODKGLDEHUKDVLOPHPSUHGLNVLWHUMDGLQ\DJHUKDQDPDWDKDULSDGDWDQJJDO 0HLDWDX6HSWHPEHUWDKXQ60'LDGDSDWPHODNXNDQSUHGLNVLWHUVHEXWNDUHQDGLD WHODKPHPSHODMDULFDWDWDQFDWDWDQDVWURQRPLV\DQJWHUVLPSDQGL%DELORQLDVHMDNWDKXQ60 7KDOHVWLGDNPHQLQJJDONDQFXNXSEXNWLWHUWXOLVPHQJHQDLSHPLNLUDQ¿OVDIDWQ\D3HPLNLUDQQ\D GLGDSDWNDQPHODOXLWXOLVDQ$ULVWRWHOHVWHQWDQJGLULQ\D$ULVWRWHOHVPHQJDWDNDQEDKZD7KDOHV DGDODKRUDQJ\DQJSHUWDPDNDOLPHPLNLUNDQWHQWDQJDVDOPXODWHUMDGLQ\DDODPVHPHVWD2OHK NDUHQDLWX7KDOHVMXJDGLDQJJDSVHEDJDLSHULQWLV¿OVDIDWDODP QDWXUDOSKLORVRSK\  6XPEHUZZZZLNLSHGLDFRPGDQ(QVLNORSHGLD0DWHPDWLND Hikmah yang bisa diambil  7KDOHV DGDODK RUDQJ \DQJ PHPSXQ\DL UDVD LQJLQ WDKX \DQJ VDQJDW WLQJJL 'LD VHODOX PHPLNLUNDQVHWLDSNHMDGLDQDODP\DQJDGDGLVHNLWDUQ\DGDQPHQFDULWDKXSHQ\HEDEQ\D Ia mencoba memprediksi gerhana matahari dengan menggunakan ilmu pengetahuan \DQJWHODKGLDSHODMDULWDQSDEHUVDQGDUSDGDPLWRV\DQJDGD  7LGDN PXGDK SXDV WHUKDGDS VHVXDWX \DQJ VXGDK GLGDSDWNDQ VHKLQJJD WHUXV EHU¿NLU melakukan inovasi untuk menemukan sesuatu yang baru. Hal ini bisa kita lihat dari gagasannya dalam mengukur tinggi piramida tanpa perlu mengukur secara langsung, tapi dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan dari bayangan suatu tongkat dan konsep kesebangunan yang dikemukakannya.  0DWHPDWLNDDGDODKLOPX\DQJPHQDULNXQWXNNLWDSHODMDULEXNDQLOPX\DQJPHQ\HUDPNDQ VHSHUWL GLNDWDNDQ VHEDJLDQ RUDQJ .DUHQD WHODK EDQ\DN VHMDUDK \DQJ PHQFHULWDNDQ WHQWDQJSHUDQPDWHPDWLNDGDODPPHPDMXNDQSHUDGDEDQPDQXVLDVDODKVDWXQ\DDGDODK NRQVHSNHVHEDQJXQDQGDUL7KDOHV\DQJEHUJXQDGDODPNHKLGXSDQPDQXVLDVDDWLQL

119

A. Kekongruenan Bangun Datar Pertanyaan Penting %DJDLPDQDNDPXGDSDWPHQJLGHQWL¿NDVLGXDEDQJXQGDWDUGLNDWDNDQNRQJUXHQ" 6XSD\DNDPXGDSDWPHQJHWDKXLGDQPHPDKDPLMDZDEDQSHUWDQ\DDQGLDWDVVLODNDQ amati gambar-gambar di bawah ini dengan seksama. Kegiatan 4.1

0HQJLGHQWL¿NDVL'XD%HQGD.RQJUXHQDWDX7LGDN

Kumpulkanlah data tinggi dan berat badan teman sekelasmu. Ayo Kita Amati Coba kamu amati gambar di bawah ini dengan seksama.

D  'XDJDPEDUPRELO\DQJNRQJUXHQ



E  'XDJDPEDUPRELO\DQJWLGDNNRQJUXHQ

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.1 Sepasang mobil kongruen dan tidak kongruen

Perhatikan pula pasangan di bawah ini dengan teliti.

D  'XDJDPEDUPRELO\DQJNRQJUXHQ



E  'XDJDPEDUPRELO\DQJWLGDNNRQJUXHQ

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.2 Sepasang kursi kongruen dan tidak kongruen

120

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

D  /LPDJDPEDUSHQVLO\DQJNRQJUXHQ 



E  'XDJDPEDUSHQVLOWLGDNNRQJUXHQ

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.3 Pensil-pensil yang kongruen dan tidak kongruen

Coba kamu amati pula Gambar 4.4 dan 4.5 di bawah ini.

40 cm

40 cm

60 cm

60 cm 6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.4 Dua pigura lukisan yang kongruen

FP

40 cm

80 cm

40 cm

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.5 Dua pigura lukisan yang tidak kongruen

Ayo Kita Menalar Gunakan Kalimatmu Sendiri Setelah mengamati Gambar 4.1 sampai dengan Gambar 4.5, menurutmu mengapa dua bangun atau lebih dikatakan kongruen? Ayo Kita Berbagi Coba carilah contoh lainnya di sekitarmu. Kemudian diskusikan dengan temanmu dan paparkan hasil Kegiatan 4.1 dari kelompokmu ini kepada teman sekelasmu. MATEMATIKA

121

Kegiatan 4.2

Menemukan Konsep Dua Bangun Kongruen

Perhatikanlah beberapa pasangan bangun berikut ini. FP

FP 

D  'XDSHUVHJLSDQMDQJNRQJUXHQ







E  'XDSHUVHJLNRQJUXHQ



F  7LJDELQWDQJNRQJUXHQ 







G  7LJDWDEXQJNRQJUXHQ



6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.6 Pasangan bangun yang kongruen

Gambar di bawah ini adalah contoh pasangan bangun tidak kongruen. FP

FP 

D  'XDSHUVHJLSDQMDQJWLGDNNRQJUXHQ 



E  'XDVHJLHPSDWWLGDNNRQJUXHQ

F  'XDELQWDQJWLGDNNRQJUXHQ 



G  'XDWDEXQJWLGDNNRQJUXHQ





6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.7 Pasangan bangun yang tidak kongruen

122

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Menalar Diskusikan dengan kelompokmu dan paparkan ke teman sekelasmu.  0HQJDSDEDQJXQEDQJXQSDGD*DPEDUNRQJUXHQVHGDQJNDQEDQJXQEDQJXQ pada Gambar 4.7 tidak kongruen? 2. Syarat apakah yang dipenuhi oleh bangun-bangun pada Gambar 4.6 yang tidak dipenuhi oleh bangun-bangun pada Gambar 4.7? Kegiatan 4.3

Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan Translasi

Ayo Kita Mencoba Perhatikanlah gambar di bawah ini. $

%

(

F

'

C

H

G

Gambar 4.8

 6DOLQODK SHUVHJLSDQMDQJ $%&' pada Gambar 4.8 pada kertas lain kemudian guntinglah.  *HVHU WUDQODVLNDQ SHUVHJLSDQMDQJ$%&' yang kamu buat tadi sehingga titik $ berimpit dengan (, dan titik % berhimpit dengan titik F$SD\DQJWHUMDGLGHQJDQ titik-titik lain?  $SDNDK SHUVHJLSDQMDQJ $%&' WHSDW PHQHPSDWL PHQXWXSL  SHUVHJLSDQMDQJ ()*+?  -LND EHQDU VHWLDS WLWLN SDGD SHUVHJLSDQMDQJ $%&' dapat menempati titik-titik SHUVHJLSDQMDQJ ()*+ PDND GLNDWDNDQ EDKZD SHUVHJLSDQMDQJ $%&' kongruen GHQJDQSHUVHJLSDQMDQJ()*+. Bangun $%&' kongruen dengan ()*+ disimbolkan dengan $%&' # ()*+.

MATEMATIKA

123

Mendapatkan Dua Bangun Kongruen dengan Rotasi

Kegiatan 4.4

Ayo Kita Mencoba Lakukan kegiatan di bawah ini bersama temanmu. Perhatikan gambar di bawah ini. S

5

Q

P

T

W

U

V

Gambar 4.9

1. Jiplaklah bangun trapesium 3456 OLKDW *DPEDU   SDGD NHUWDV ODLQ ODOX guntinglah.  3XWDUODKODK URWDVLNDQ WUDSHVLXP\DQJNDPXEXDWGDQJHVHUODKPHQXMXWUDSHVLXP TUVW. Apakah trapesium 3456 tepat menempati trapesium $%&'? Jika benar, maka 3456 # $%&'. Ayo Kita Berbagi %HUGDVDUNDQ .HJLDWDQ  GDQ   \DQJ VXGDK NDPX NHUMDNDQ EHUVDPD WHPDQPX GLVNXVLNDQ GHQJDQ WHPDQPX DSD KXEXQJDQ WUDQIRUPDVL GHQJDQ EDQJXQ \DQJ kongruen. Silakan paparkan kepada teman sekelasmu.

Syarat Dua Bangun Segibanyak (Poligon) Kongruen

Kegiatan 4.5

Perhatikan gambar di bawah ini. % $

S

5

C '

P

Gambar 4.10

124

Kelas IX SMP/MTs

 8NXUODK SDQMDQJ VLVL GDQ EHVDU VXGXW sudut segiempat $%&' dan segiempat 34567XOLVNDQSDGD*DPEDU  7XOLVNDQ VLVLVLVL \DQJ EHUVHVXDLDQ %DJDLPDQD SDQMDQJ VLVLVLVL \DQJ bersesuaian tersebut?

Q Semester 1

 7XOLVNDQ VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ %DJDLPDQD EHVDU VXGXWVXGXW \DQJ bersesuaian tersebut? 4. Apakah kedua bangun itu kongruen? Jelaskan.  0HQXUXW NDPX DSD VDMD V\DUDWV\DUDW GXD EDQJXQ VHJL EDQ\DN SROLJRQ  kongruen? Jelaskan. 6. Carilah benda-benda di sekitarmu yang permukaannya kongruen. Selidikilah apakah syarat-syarat yang kamu berikan untuk dua bangun kongruen terpenuhi? Ayo Kita Simpulkan Berdasarkan Kegiatan 4.5, kesimpulan yang kamu peroleh adalah: 'XDEDQJXQVHJLEDQ\DN SROLJRQ GLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDW yaitu: 1. ... 2. ...

Ayo Kita Menalar $SDNDK MLND VLVLVLVL \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD SDQMDQJ VXGDK PHQMDPLQ GXD EDQJXQ kongruen? $SDNDK MLND VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD VXGDK PHQMDPLQ GXD EDQJXQ kongruen? Materi Esensi

Syarat Dua Bangun Datar Kongruen

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. 'XDEDQJXQVHJLEDQ\DN SROLJRQ GLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDW yaitu: L  VLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ LL  VXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU

MATEMATIKA

125

sisi $% dan -. sisi yang bersesuaian $

Sudut-sudut yang bersesuaian: ‘$ dan ‘J o ‘$ = ‘J ‘% dan ‘. o ‘% = ‘. ‘C dan ‘L o ‘C = ‘L ‘' dan ‘M o ‘' = ‘M

% .

J '

C M

 dan‘M adalah  sudut   ‘' yang bersesuaian

L 





Sisi-sisi yang bersesuaian: $% dan -. o $% = -. %& dan ./ o %& = ./  &'GDQ/0 o &' = LM '$ dan MJ o '$ = MJ

Jika bangun $%&' dan -./0 memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangun $%&' dan -./0 kongruen, dinotasikan dengan $%&' #-./0 Jika bangun $%&' dan -./0 tidak memenuhi kedua syarat tersebut maka bangun $%&' dan -./0 tidak kongruen, dinotasikan dengan $%&' # -./0. Catatan: Ketika menyatakan dua bangun sebangun sebaiknya dinyatakan berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya: ABCD a JKLM

BADC a KJML

atau

atau

CDAB a LMJK

Menentukan Sisi-sisi dan Sudut-sudut yang Bersesuaian

Contoh 4.1

Segi empat $%&' dan WXYZ pada gambar di bawah kongruen. Sebutkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian $ % W X

'

C

Z

Y

Alternatif Penyelesaian: Sisi-sisi yang bersesuaian: AB dan WX BC dan XY CD dan YZ

DA dan ZW

126

Kelas IX SMP/MTs

Sudut-sudut yang bersesuaian: ‘$ dan ‘W ‘% dan ‘X

‘C dan ‘Y

‘C dan ‘Y Semester 1

0HQJLGHQWL¿NDVL'XD%DQJXQ.RQJUXHQ

Contoh 4.2

9

8 8

8

9

8 D

8

8

8

8

9 9 E

0DQDNDK SHUVHJL GL VDPSLQJ yang kongruen? Jelaskan.

F

Alternatif Penyelesaian: 'XDEDQJXQGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDW\DLWX L  VXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU Setiap persegi mempunyai empat sudut siku-siku, sehingga sudut-sudut yang EHUVHVXDLDQSDGDSHUVHJL D  E GDQ F EHVDUQ\DSDVWLVDPD LL  VLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ 

3HUVHJL D GDQSHUVHJL E 



3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJL D DGDODKFP3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJL E DGDODK FP-DGLVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQSHUVHJL D GDQ E WLGDNVDPDSDQMDQJ

3HUVHJL E GDQSHUVHJL F 



3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJL E DGDODKFP3DQMDQJVHWLDSVLVLSHUVHJL F  DGDODKFP-DGLVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQSHUVHJL E GDQ F WLGDNVDPD SDQMDQJ

3HUVHJL D GDQSHUVHJL F 

3DQMDQJ VHWLDS VLVL SHUVHJL D  DGDODK  FP 3DQMDQJ VHWLDS VLVL SHUVHJL F  DGDODKFP-DGLVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQSHUVHJL D GDQ F VDPDSDQMDQJ

%HUGDVDUNDQ L GDQ LL GLDWDVPDNDSHUVHJL\DQJNRQJUXHQDGDODKSHUVHJL D GDQ F  Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui

Contoh 4.3

Perhatikan gambar trapesium $%&' dan 3456 yang kongruen di bawah ini. 5 16 cm [

%

S

40 cm

$

15 cm '

[ C

21 cm Q

P

MATEMATIKA

127

D -LNDSDQMDQJVLVL$% = 40 cm, %& = 21 cm, 56 = 16 cm, dan PS = 15 cm, tentukan SDQMDQJVLVL$', '&, PQ, dan 45.

b. Jika besar ‘$ = 60o, ‘% = 40o. Berapakah besar ‘5 dan ‘S?   VHODQMXWQ\DEHVDU‘$ ditulis dengan P‘$, seperti yang sudah kamu kenal di NHODVGDQ Alternatif Penyelesaian:

Diketahui: bangun $%&' # 3456, berarti

x VLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ x

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

D 8QWXNPHQHQWXNDQSDQMDQJVLVL$', '&, PQ, dan 45, tentukan terlebih dulu sisisisi yang bersesuaian yaitu: AB dengan PQ o$% 34

BC dengan QR o%& 45 DC dengan SR o'& 65

menentukan sisi-sisi yang bersesuaian

AD dengan PS o$' 36

 

PHQJDSDEXNDQ$% = 65"-HODVNDQ 'HQJDQGHPLNLDQMLND$% = 40 cm, %& = 21 cm, 56 = 16 cm, dan PS = 15 cm maka: $' = PS = 15 cm '& = 65 = 16 cm 45 = %& = 21 cm PQ = $% = 40 cm

b. Untuk menentukan besar ‘5 dan ‘S, tentukan terlebih dulu sudut-sudut yang bersesuaian yaitu: ‘$ = ‘P o P‘$ = P‘P ‘% = ‘Q o P‘% = P‘Q

‘C = ‘5 o P‘C = P‘5

menentukan sudut-sudut yang bersesuaian

‘' = ‘S o P‘'= P‘S



'HQJDQGHPLNLDQMLND‘$ = 60o, ‘% = 40o maka: P‘P = P‘$ = 60oGDQ 



0HQJDSDEXNDQP‘3 P‘%"-HODVNDQ



0HQJDSD",QJDWSHODMDUDQNHODV9,, 

P‘Q = P‘% = 40

0HQJDSDEXNDQP‘4 P‘$"-HODVNDQ

o

P‘5P‘Q = 180o 

128

Kelas IX SMP/MTs



Semester 1

P‘5

= 180o – P‘Q

P‘5

= 180o – 40o

P‘5

= 140o

P‘S

= 180o – P‘P 

P‘S

= 180o – 60o

P‘S

= 120o





0HQJDSD",QJDWSHODMDUDQNHODV9,,

Jadi P‘5 = 140o dan P‘S = 120o. Ayo Kita Tinjau Ulang 7HQWXNDQ PDQD SDVDQJDQ EDQJXQ EHULNXW LQL \DQJ NRQJUXHQ  GDQ WLGDN NRQJUXHQ" Jelaskan. 4 cm

4 cm

4 cm 4 cm

E

D

F

G

Latihan 4.1

Bangun-bangun yang Kongruen

 0DQDNDKGLDQWDUDJDPEDUGLEDZDKLQL\DQJNRQJUXHQ"

D

E

F

G

H

MATEMATIKA

129

K

J

I

L

M

 0DQDNDKGLDQWDUDJDPEDUGLEDZDKLQL\DQJNRQJUXHQ"

 D  E  F  G  H  I  J  K  L  3HQVLOZDUQDSDGDJDPEDUGLVDPSLQJLQLDSDNDKPHQXUXWPX kongruen atau tidak? Jelaskan.  7XOLVNDQSDVDQJDQEDQJXQ\DQJNRQJUXHQ" A

B

C

D

E

F

G

H

,-./012



7XOLVNDQ ODQJNDKPX PHQHQWXNDQ EDQJXQ WHUVHEXW" 'LJHVHU URWDVL  GLSXWDU WUDQVODVL DWDXJDEXQJDQQ\D"

 %HULNXW LQL DGDODK SDVDQJDQ EDQJXQ \DQJ NRQJUXHQ7XOLVNDQ GDQ VXGXWVXGXW yang bersesuaian. $ O N

$

C

M

N

P C

% L

130

' M

%

Kelas IX SMP/MTs

LL

O

Semester 1

$

'

%

$

.

J (

%

'

F

C

C LLL .

N

P

5 L

Q

M

V

J

M

LY

S

Q

L

W

V

T

T

X S

Y

5 Z YL

Y

 0DQDNDKEHODKNHWXSDWGLEDZDKLQL\DQJNRQJUXHQ"-HODVNDQ 50o

5,5 cm

5 cm

5 cm

50o E

D

7. Diketahui trapesium $%&' dan trapesium ()*+ adalah kongruen. 

o

-LND SDQMDQJ VLVL $' = 12 cm, '&   FP GDQ () = 22 cm maka WHQWXNDQSDQMDQJ(+.

F '

FP

C

H

G

12 cm $

%

(

22 cm

F

8. Perhatikan gambar berikut ini. o 80o o 75o

X

Jika dua gambar di samping kongruen, tentukan nilai X dan v pada gambar tersebut.

v

MATEMATIKA

131

9. Perhatikan dua gambar rumah tampak dari depan yang kongruen berikut ini. $ 5m

5m J

(

%

4m

5m

4m

'

C

8m

.

N 4m M

D E F d.

L

7HQWXNDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQ 7HQWXNDQVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQ %HUDSDSDQMDQJ.-, ./, dan LM? Berapa keliling dan luas -./01MLNDMDUDNJ ke LM adalah 7 m?

10. Analisis Kesalahan 6 6

6

6

6

6

6 6

11. Benar atau Salah $ % 140o

Jelaskan dan perbaikilah pernyataan yang salah berikut. “Kedua bangun di samping mempunyai empat sisi dan sisi-sisi yang bersesuaian VDPD SDQMDQJ MDGL NHGXD EDQJXQ tersebut kongruen”

7UDSHVLXPSDGDJDPEDUGLEDZDKLQLNRQJUXHQ 7HQWXNDQSHUQ\DWDDQEHULNXWLQLEHQDUDWDXVDODK Jelaskan. Besar ‘Z =140o

'

C

W

X

Besar ‘C =40o

Sisi WZ bersesuaian dengan sisi &% Keliling bangun $%&' sama dengan keliling WXYZ.

40o

Luas bangun $%&' tidak sama dengan luas WXYZ. Z

132

90o Y

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

12. Bernalar *DPEDUGLVDPSLQJPHQXQMXNNDQGXD cara menggambar satu garis untuk PHPEDJLSHUVHJLSDQMDQJPHQMDGLGXD bangun yang kongruen. Gambarkan tiga cara lainnya. 6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

 Berpikir Kritis



Apakah luas dua bangun yang kongruen pasti sama? Apakah dua bangun dengan luas yang sama pasti kongruen? -HODVNDQGHQJDQJDPEDUGLDJUDPXQWXNPHQGXNXQJMDZDEDQPX

14. Berpikir Kritis Berapa banyak segitiga sama sisi kongruen paling sedikit yang diperlukan untuk PHPEHQWXN VHJLWLJD VDPDVLVL 'HPLNLDQ MXJD EHUDSD SHUVHJL NRQJUXHQ SDOLQJ sedikit yang diperlukan untuk menghasilkan persegi. Dapatkah hasil ini diperluas untuk segi-n beraturan yang lain? Jelaskan alasanmu. Harus ditambah berapa banyak segi-nEHUDWXUDQODJLVXSD\DWHWDSMDGLVHJLn?

B. Kekongruenan Dua Segitiga Pertanyaan Penting  %HUGDVDUNDQ6XE%DE$GXDEDQJXQGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDSDQMDQJVLVLVLVL yang bersesuaian adalah sama dan besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama. 6HKLQJJDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQ\DLWXMLNDNHWLJDSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPD SDQMDQJGDQNHWLJDSDVDQJVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU  $SDNDKSHUOXGLXMLNHHQDPSDVDQJXQVXUWHUVHEXWXQWXNPHQHQWXNDQGXDVHJLWLJD NRQJUXHQ DWDX WLGDN" $WDX DGD DOWHUQDWLI ODLQ XQWXN PHQJXML NHNRQJUXHQDQ GXD segitiga?  8QWXN PHQJHWDKXL MDZDEDQQ\D FRED ODNXNDQ NHJLDWDQNHJLDWDQ EHULNXW LQL dengan teman sekelompokmu.

MATEMATIKA

133

Kegiatan 4.6

Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sisi – Sisi

Sediakan alat dan bahan sebagai berikut: 



 

6HOHPEDUNHUWDV NHUWDVEHUSHWDNDNDQOHELKPHPXGDKNDQ Pensil Batang lidi Penggaris Gunting %XVXUGHUDMDW

Lakukan kegiatan berikut ini.  3RWRQJODKEDWDQJOLGLPHQMDGLSRWRQJGHQJDQXNXUDQXNXUDQ\DQJELVDGLEHQWXN PHQMDGLVHJLWLJD LQJDWNHPEDOLWHQWDQJV\DUDWSDQMDQJVLVLVHJLWLJDGLNHODV9,,  0LVDOQ\D  FP  FP GDQ  FP .HPXGLDQ EHQWXNODK NHWLJD SRWRQJDQ OLGL WHUVHEXWPHQMDGLVHJLWLJD 2. Salinlah segitiga yang terbentuk tersebut pada selembar kertas.  8NXUODKPDVLQJPDVLQJEHVDUVXGXWSDGDVHJLWLJDLWXGHQJDQEXVXU  /DNXNDQODJLODQJNDKVDPSDLROHKDQJJRWD\DQJODLQGLNHORPSRNPX GHQJDQ XNXUDQSRWRQJDQOLGL\DQJVDPDGHQJDQGLODQJNDK  5. Bandingkan dengan segitiga yang dihasilkan temanmu. Apakah kamu mendapatkan pasangan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? 6. Atau gunting salah satu dari gambar segitiga tersebut kemudian tempelkan pada segitiga satunya, apakah kedua segitiga itu tepat saling menutupi?  0HQXUXWPXDSDNDKNHGXDVHJLWLJDWHUVHEXWNRQJUXHQ"-HODVNDQ  7XOLVNDQNHVLPSXODQPX  $OWHUQDWLINHJLDWDQSDGD.HJLDWDQLQLGDSDWMXJDNDPXODNXNDQNHJLDWDQGL bawah ini: Sediakan alat dan bahan sebagai berikut:



 -

Selembar kertas Pensil Penggaris %XVXUGHUDMDW Jangka dan gunting

Lakukan kegiatan berikut ini.

1. Gambarlah '$%& dan ''()GHQJDQSDQMDQJVLVL$% = '(, %& = (), dan $& = ')SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXW OLKDWJDPEDU 134

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

D  *DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas. E  3DGDJDULVN, buatlah segmen garis $% dan '(, dengan $% = '(. F  'HQJDQPHQJJXQDNDQMDQJNDOXNLVODKGXDEXVXUOLQJNDUDQPDVLQJPDVLQJ berpusat di $ dan 'GHQJDQMDULMDULVDPD G  'HQJDQPHQJJXQDNDQMDQJNDOXNLVODKGXDEXVXUOLQJNDUDQPDVLQJPDVLQJ berpusat di % dan (GHQJDQMDULMDULVDPD MDULMDULWLGDNKDUXVVDPDGHQJDQ MDULMDULSDGDODQJNDKF H  %HUL ODEHO WLWLN C dan F pada perpotongan kedua busur lingkaran di atas. Hubungkan titik C dengan $GDQ%PDNDWHUEHQWXNODKǻ$%&. Hubungkan titik F dengan ' dan ( maka terbentuklah ''(). 

$SDNDKNDPXPHPSHUROHKSDQMDQJ$% = '(, %& = (), dan $& = ')? C

F

$

% '

(

N

2. Guntinglah ''()dan tumpukkan di atas '$%&, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.  8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR  XNXUODK VXGXWVXGXW \DQJ bersesuaian. Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? Berikan SHQMHODVDQ Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? 'XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND Kegiatan 4.7

Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sudut – Sisi

Sediakan alat sebagai berikut: - Selembar kertas - Pensil - Penggaris

-

Gunting Busur

MATEMATIKA

135

Lakukan kegiatan berikut ini.  *DPEDUODKǻ$%&GDQǻ'()GHQJDQSDQMDQJVLVL$% = '(, P‘$ = P‘', dan $& = ')SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXW OLKDWJDPEDU D  *DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas. E  3DGDJDULVN, buatlah segmen garis $% dan '(, dengan $% = '(. F  %XDWODKJDULVSPHODOXLWLWLN$ dan buatlah garis n melalui titik ', sedemikian hingga garis SVHMDMDUGHQJDQq. Apakah P‘$ = P‘'? Jelaskan. G  %XDWODKVHJPHQJDULV$& pada garis S, dan segmen garis ') pada garis q, VHGHPLNLDQKLQJJDSDQMDQJ$& = '). H  +XEXQJNDQWLWLN% dengan titik CGDQMXJDKXEXQJNDQWLWLN( dengan titik F sehingga terbentuk '$%& dan ''()GHQJDQSDQMDQJ$% = '(, P‘$ = P‘', dan $& = '). S

q

C

F

$

% '

(

N

2. Guntinglah ''() dan tumpukkan di atas '$%&, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.  8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR  XNXUODK EHVDU VXGXWVXGXW GDQ SDQMDQJ VLVL \DQJ ODLQQ\D$SDNDK VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU" $SDNDKVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ"%HULNDQSHQMHODVDQ Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? 'XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND

Kegiatan 4.8

Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sudut – Sisi – Sudut

Sediakan alat sebagai berikut:

136

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

- Selembar kertas - Gunting - Pensil - Busur - Penggaris Lakukan kegiatan berikut ini. 1. Gambarlah '$%&dan ''() dengan P‘$ = P‘', $% = '(, dan P‘%= P‘( SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXW OLKDWJDPEDU D  *DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas. E  3DGDJDULVN, buatlah segmen garis $% dan '(, dengan $% = '(. F  %XDWODKJDULVU melalui titik $ dan buatlah garis V melalui titik ', sedemikian hingga garis UVHMDMDUGHQJDQV. Apakah P‘$ = P‘'? Jelaskan. G  %XDWODKJDULVS melalui titik % dan buatlah garis q melalui titik (, sedemikian hingga garis SVHMDMDUGHQJDQq. Apakah P‘% = P‘E? Jelaskan. H  7LWLNSHUSRWRQJDQJDULVU dan S beri nama titik C, perpotongan garis V dan q beri nama titik F, sehingga terbentuk '$%& dan ''() dengan P‘$ = P‘', $% = '(, dan P‘% = P‘( . U S

V q F

C

$

% '

(

N

 *XQWLQJODKǻ'()GDQWXPSXNNDQGLDWDVǻ$%&, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.  8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR  XNXUODK EHVDU VXGXWVXGXW GDQ SDQMDQJ VLVL \DQJ ODLQQ\D$SDNDK VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU" $SDNDKVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ"%HULNDQSHQMHODVDQ Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? 'XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND

MATEMATIKA

137

Kegiatan 4.9

Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sudut – Sudut

Sediakan alat sebagai berikut: - Selembar kertas - Penggaris Lakukan kegiatan berikut ini.

-

Gunting Busur

1. Gambarlah '$%& dan ''() dengan P‘$ = P‘', P‘C = P‘F, dan $% = '( SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXW OLKDWJDPEDU D  *DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas. E  %XDWODKJDULVU yang memotong garis N di titik $. F  %XDWODKJDULVV yang memotong garis N di titik 'GDQVHMDMDUGHQJDQJDULVU. G  3DGDJDULVU, buatlah segmen garis $%. Pada garis V, buatlah segmen garis '( dengan '( = $%. H  'DUL WLWLN % buatlah garis S yang memotong garis N. Perpotongan antara garis S dan garis N beri nama titik C.

F

S

V

'

I  'DUL WLWLN ( buatlah garis q yang memotong garis N di titik FGDQVHMDMDU dengan garis S. Perpotongan antara garis q dan garis N beri nama titik F. J  $SDNDKSDVWLP‘$ = P‘' dan P‘C = P‘F? Jelaskan.

N

q

(

C

U $

%

K  7HUEHQWXN'$%&dan ''() dengan $% = '(, P‘$ = P‘', dan P‘C = P‘F NULWHULDVLVL±VXGXW±VXGXW

4. Guntinglah ''()dan tumpukkan di atas '$%&, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.  8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR  XNXUODK EHVDU VXGXWVXGXW GDQ SDQMDQJ VLVL \DQJ ODLQQ\D$SDNDK VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU" $SDNDKVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ"%HULNDQSHQMHODVDQ Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? 'XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND

138

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Menalar Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian VDPDEHVDUSDVWLNRQJUXHQ"-HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX Ayo Kita Gali Informasi Dengan Kegiatan 4.6 sampai dengan 4.9, kamu sudah menemukan syarat-syarat NULWHULD GXDVHJLWLJDNRQJUXHQ&REDFDULODKNULWHULDODLQXQWXNPHQJXMLGXDVHJLWLJD kongruen. Materi Esensi

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. 'XDVHJLWLJDGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDKDQ\DMLNDPHPHQXKLV\DUDWEHULNXWLQL  L  VLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ  LL VXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU ‘%dan ‘( adalah sudut yang bersesuaian

%

$

(

C

'

F

Sisi $& dan ') adalah sisi yang bersesuaian Sisi-sisi yang bersesuaian: $% dan '( o $% = '( %& dan () o %& = () &$ dan )' o &$ = )'

Sudut-sudut yang bersesuaian: ‘$ dan ‘' o ‘$ = ‘' ‘% dan ‘( o ‘% = ‘( ‘C dan ‘F o ‘C = ‘F

MATEMATIKA

139

atau dengan kata lain AB DE

BC EF

AC DF

1

 -LND ¨$%& GDQ ¨'() PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND ¨$%& GDQ ¨'() NRQJUXHQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨$%& #¨'().  -LND¨$%&GDQ¨'()WLGDNPHPHQXKLV\DUDWWHUVHEXWPDNDPDND¨$%& dan ¨'()WLGDNNRQJUXHQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨$%& #¨'(). Catatan: Ketika menyatakan dua segitiga kongruen sebaiknya berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya: 'ABC a 'DEF atau 'BAC a 'EDF atau 'CBA a 'FED

EXNDQǻ$%& #ǻ(')DWDXǻ$%& #ǻ()' atau yang lainnya.  8QWXN PHQJXML DSDNDK GXD VHJLWLJD NRQJUXHQ DWDX WLGDN  WLGDN SHUOX PHQJXML semua pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian. Dua segitiga dikatakan kongruen MLNDPHPHQXKLVDODKVDWXNRQGLVLEHULNXWLQL  .HWLJD SDVDQJDQ VLVL \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD SDQMDQJ %LDVD GLVHEXW GHQJDQ kriteria VLVL±VLVL±VLVL.

 'XDSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJGDQVXGXW\DQJGLDSLWQ\DVDPD besar. Biasa disebut dengan kriteria VLVL±VXGXW ±VLVL.

 %LDVDGLVHEXWGHQJDQNULWHULDVXGXW±VLVL±VXGXW.

140

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

4. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJ%LDVDGLVHEXWGHQJDQNULWHULDVXGXW±VXGXW±VLVL.

5. Khusus untuk segitiga siku-siku, sisi miring dan satu sisi siku yang bersesuaian VDPDSDQMDQJ

Membuktikan Dua Segitiga Kongruen

Contoh 4.4

$

a. Perhatikan gambar di samping.

Buktikan bahwa '$%& # '('&.

% C

Alternatif Penyelesaian: '

Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa:

(

$& = (& 

GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ

P‘$&% = P‘(&' 

NDUHQDVDOLQJEHUWRODNEHODNDQJ

%& = '&



Jadi, '$%& # '('& 

GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ EHUGDVDUNDQNULWHULDVLVL±VXGXW±VLVL 

b. Perhatikan gambar di samping.

P

Buktikan bahwa 'PQS # '546. Alternatif Penyelesaian:

Q

S

Berdasarkan gambar di samping diperoleh bahwa: PQ = 54 

GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ

PS = 56

GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ

5

QS pada 'PQS sama dengan QS pada '546 QSEHULPSLW

Jadi, 'PQS #'546 EHUGDVDUNDQNULWHULDVLVL±VLVL±VLVL 

MATEMATIKA

141

Ayo Kita Tinjau Ulang -HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX 1. Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sisi-sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJSDVWLNRQJUXHQ" 2. Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen?  $SDNDK GXD VHJLWLJD \DQJ PHPSXQ\DL GXD SDVDQJ VLVL \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD SDQMDQJGDQVHSDVDQJVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDUSDVWLNRQJUXHQ" 4. Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sudut yang bersesuaian sama EHVDUGDQVHSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJSDVWLNRQJUXHQ" Latihan 4.2

Kekongruenan Dua Segitiga

Selesaikan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis. 1. Perhatikan gambar di bawah ini. S

P

5

Q

Buktikan bahwa 'PQS dan '546 kongruen. 2. Perhatikan gambar di bawah ini. '

( 3DQMDQJ$% = '( dan $%'(.

Buktikan bahwa '$%& dan '('&kongruen.

C

$

% $

 %

C

'

7LWLN C DGDODK WLWLN SXVDW OLQJNDUDQ 7XQMXNNDQ bahwa dua segitiga pada gambar di samping adalah kongruen.

( 142

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

4. Bangun WXYZ adalah segi empat dengan sisi-sisi  \DQJ EHUKDGDSDQ SDQMDQJQ\D VDPD XY adalah salah satu diagonalnya.

W

X

a. Buktikan bahwa 'WXZ #'ZYX.



E 7XQMXNNDQEDKZDWXYZDGDODKMDMDUJHQMDQJ Z

Y

5. Perhatikan gambar di bawah ini. 7LWLN O adalah pusat lingkaran dalam dan lingkaran luar. $% adalah garis singgung dan titik P adalah titik singgung pada lingkaran kecil.

O

%

Dengan menggunakan kekongruenan segitiga, WXQMXNNDQEDKZDWLWLNP adalah titik tengah $%.

P

$

6. Perhatikan gambar di bawah ini. $ Pada segitiga $%&, %0 tegak lurus dengan $&, CN tegak lurus dengan $%3DQMDQJ%0 = CN.

M

N

7XQMXNNDQEDKZD'%&0 # '&%1

%

C

7. Perhatikan gambar di bawah ini. P

X

Y

Q

5

M

8. Menalar S

5

Diketahui 65PQ, OP = OQ, OS = 25. Ada berapa pasang segitiga yang kongruen? Sebutkan dan buktikan.

O P

7LWLNM adalah titik tengah 45. Garis XM dan YM masing-masing tegak lurus pada PQ dan 353DQMDQJXM = YM. Buktikan bahwa 'QMX # '50<.

Q

MATEMATIKA

143

9. Berpikir Kritis Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian VDPDEHVDUSDVWLNRQJUXHQ"-HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX 10. Berpikir Kritis Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sisi yang bersesuaian sama SDQMDQJ GDQ VHSDVDQJ VXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU SDVWL  NRQJUXHQ" -HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX 11. Membagi Sudut

Gambarlah sebuah sudut dan beri nama ‘$%&, kemudian D 'HQJDQPHQJJXQDNDQMDQJNDEDJLODK‘$%&WHUVHEXWPHQMDGLGXDVDPDEHVDU

b. Gambarlah lagi ‘$%& \DQJ VDPD NHPXGLDQ WDQSD PHQJJXQDNDQ MDQJND PDXSXQ EXVXU GHUDMDW EDJLODK ‘$%& WHUVHEXW PHQMDGL GXD VDPD EHVDU SHWXQMXNJXQDNDQNRQVHSVHJLWLJDNRQJUXHQ 12. Mengukur Panjang Danau 5

Q

P Q'

5



&KDQ LQJLQ PHQJXNXU SDQMDQJ VHEXDK GDQDX tetapi tidak memungkinkan mengukurnya secara langsung. Dia merencanakan suatu cara yaitu ia memilih titik P, Q, 5 dan mengukur MDUDN QP dan 53 OLKDW LOXVWUDVL JDPEDU  .HPXGLDQ PHPSHUSDQMDQJ QP PHQXMX NH Q GDQ53PHQXMXNH5 VHKLQJJDSDQMDQJQP = PQ GDQ53 = 35 

&KDQ PHQ\LPSXONDQ EDKZD GHQJDQ PHQJXNXU SDQMDQJ Q 5  GLD PHQGDSDWNDQ SDQMDQJGDQDXWHUVHEXW$SDNDKPHQXUXWPXVWUDWHJL&KDQEHQDU"-HODVNDQ

C. Kesebangunan Bangun Datar Pertanyaan Penting 

%DJDLPDQDNDPXGDSDWPHQJLGHQWL¿NDVLGXDEDQJXQDWDXOHELKVHEDQJXQ"

 %DJDLPDQD NDPX GDSDW PHQJJXQDNDQ SHUEDQGLQJDQ SURSRUWLRQ  XQWXN PHPEDQWXPXGDODPGHVDLQJUD¿VIRWRJUD¿DWDXPHPEXDWOD\RXWPDMDODK"  .HWLNDNDPXPHQJHGLWIRWRGDODPNRPSXWHUNDPXPHQJHNOLNGDQPHQJJHVHU GUDJ  IRWR SDGD VLVL IRWR NH DWDV  NH EDZDK DWDX NH VDPSLQJ  PDND XNXUDQQ\D WHUKDGDS IRWR DVOL PHQMDGL WLGDN SURSRUVLRQDO 7HWDSL MLND NDPX PHQJHNOLN GDQ

144

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

PHQJJHVHU GUDJ IRWRSDGDVLVLVXGXWIRWRPDNDXNXUDQIRWRSURSRUVLRQDOWHUKDGDS IRWRDVOLQ\D

Foto asli

di GUDJ ke atas

di GUDJ ke samping

di GUDJSDGDVXGXWIRWR

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.10

Kegiatan 4.10

Kesebangunan Bangun Datar

Alat dan bahan yang diperlukan: 

 3DVIRWRXNXUDQuu 4, dan 4 u -

Penggaris



 %XVXUGHUDMDW -

Pensil

Lakukan kegiatan di bawah bersama temanmu.

 6LDSNDQSDVIRWRPXXNXUDQuu 4, dan 4 u 6 masing-masing 1 lembar

L 

LL

LLL

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Gambar 4.11

 8NXUODK NHPEDOL IRWRIRWR LWX GHQJDQ SHQJJDULV XQWXN PHPDVWLNDQ EDKZD ukurannya sesuai.  6HOLGLNLODKPDQDNDKPHQXUXWNDOLDQGLDQWDUDIRWRIRWRWHUVHEXW\DQJVHEDQJXQ manakah yang tidak sebangun.  0HQXUXWPXEDJDLPDQDFDUDPHQHQWXNDQGXDEDQJXQVHEDQJXQDWDXWLGDN"

MATEMATIKA

145

Kegiatan 4.11

Masalah Nyata Sederhana: 2SWLFDO=RRP 2uRSWLFDO]RRP

Coba selesaikan masalah berikut ini bersama temanmu. 2ULJLQDO 2SWLFDO ]RRP DWDX SHUEHVDUDQ RSWLN VHULQJGLMXPSDLSDGDNDPHUD)DVLOLWDV RSWLFDO ]RRP SDGD NDPHUD DGDODK EHUIXQJVLXQWXNPHPSHUEHVDUWDPSLODQ gambar. Jika gambar diperbesar dua 6XPEHUZZZDLSWHNFRPWZ kali disebut 2u ]RRP .DWD RSWLFDO berarti menggunakan lensa kamera bukan menggunakan sistem digital. 0LVDONDQ WHOHSRQ JHQJJDP $\DK memiliki 2u RSWLFDO ]RRP VHGDQJNDQ 4u telepon genggam Ibu memiliki 4u optical RSWLFDO ]RRP EHUDSD XNXUDQ JDPEDU ]RRP EXQJD NULVDQ GL VDPSLQJ MLND XNXUDQ 6XPEHUZZZDPD]RQFRXN gambar awalnya adalah 1,6 cm u 1,4 cm. Berapa pula ukuran gambar orang PDLQVNLGLVDPSLQJMLNDXNXUDQJDPEDUDZDOQ\DDGDODKFPu 1,2 cm a. pada kamera telepon genggam ayah. b. pada kamera telepon genggam ibu. Ayo Kita Gali Informasi &RED FDULODK LQIRUPDVL PHODOXL EXNX PDMDODK LQWHUQHW GDQ ODLQODLQ PHQJHQDL SHUDODWDQDWDXWHNQRORJL\DQJSULQVLSNHUMDQ\DPHQJJXQDNDQNRQVHSNHVHEDQJXQDQ Ayo Kita Berbagi %XDWODKSUHVHQWDVLPHQJHQDLLQIRUPDVL\DQJWHODKNDPXSHUROHKGLDWDVGDQSDSDUNDQ kepada temanmu di kelas. Kegiatan 4.12

Syarat-syarat Dua Bangun Segibanyak (Poligon) Sebangun

Alat yang diperlukan: - Pensil - Penggaris  %XVXUGHUDMDW 146

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

.HUMDNDQODKNHJLDWDQGLEDZDKLQLEHUVDPDWHPDQPX Perhatikan gambar di bawah ini. $

(

%

'

F

C H

G

 8NXUODKSDQMDQJVLVLGDQEHVDUVXGXWEDQJXQSDGDJDPEDUGLDWDV 2. Lengkapilah tabel di bawah ini. 3DQMDQJ6LVL GDODPVDWXDQFP $% = ...

%& = ...

&' = ...

$' = ...

() = ...

FG = ...

GH = ...

(+ = ...

Besar Sudut P‘$ = ... .

P‘% = ... .

P‘C = ... o.

P‘' = ... o.

P‘( = ... o.

P‘F = ... o.

P‘G = ... o.

P‘H = ... o.

o

o

 7XOLVNDQSDVDQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQ Bagaimana perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian?  7XOLVNDQSDVDQJDQVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQ Bagaimana besar sudut-sudut yang bersesuaian? Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? 'XDEDQJXQVHJLEDQ\DN SROLJRQ VHEDQJXQMLNDPHPHQXKLV\DUDW ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... Materi Esensi

Kesebangunan Bangun Datar

 'XDEDQJXQGDWDU\DQJPHPSXQ\DLEHQWXN\DQJVDPDGLVHEXWVHEDQJXQ7LGDN SHUOXXNXUDQQ\DVDPDWHWDSLVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHEDQGLQJ SURSRUWLRQDO GDQ

MATEMATIKA

147

VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU 3HUXEDKDQ EDQJXQ VDWX PHQMDGL EDQJXQ lain yang sebangun melibatkan perbesaran atau pengecilan. 'HQJDQNDWDODLQGXDEDQJXQGLNDWDNDQVHEDQJXQMLNDPHPHQXKLV\DUDW L  SHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL

AB EF

BC FG

CD GH

AD EH

LL  VXGXW\DQJEHUVHVXDLDQEHVDUQ\DVDPD P‘$ = P‘(

G C

P‘% = P‘F

%

'

P‘C = P‘G

F

H

P‘' = P‘H (

$

Jika bangun $%& dan '() memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangun $%&' dan ()*+ sebangun, dinotasikan dengan $%&' a()*+. Jika bangun $%& dan '()tidak memenuhi kedua syarat tersebut maka bangun $%&' dan ()*+ tidak sebangun, dinotasikan dengan $%&' aEFGH. Catatan: Ketika menyatakan dua bangun kongruen sebaiknya dinyatakan berdasarkan titiktitik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya: 'ABCD # 'EFGH atau 'BADC # 'FEHG atau 'CDAB # 'GHEF

Menentukan Sisi-sisi dan Sudut-sudut yang Bersesuaian

Contoh 4.5

Perhatikan gambar dua bangun yang sebangun di bawah ini. Q

P

(

5

U

F

S

G

T J

148

Kelas IX SMP/MTs

H

,

Semester 1

7HQWXNDQ a.

Sisi-sisi yang bersesuaian

b. Sudut-sudut yang bersesuaian Alternatif Penyelesaian: Sisi-sisi yang bersesuaian:

Sudut-sudut yang bersesuaian:

QR o FG

ST o HI

‘P o ‘(

UP o JE

‘Q o ‘F

‘S o ‘H

‘5 o ‘G

‘U o ‘J

PQ o EF

RS o GH

TU o IJ

‘T o ‘,

0HQJLGHQWL¿NDVL'XD%DQJXQ6HEDQJXQ

Contoh 4.6

Perhatikan gambar di bawah ini. 0DQDNDKSDVDQJDQSHUVHJLSDQMDQJ\DQJVHEDQJXQ"-HODVNDQ $

12 cm

%

(

8 cm

F

,

FP

6 cm

8 cm

.

L H '

L

C

G LL

J 4 cm

LLL

Alternatif Penyelesaian: 3HULNVDVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQ .HWLJDJDPEDUWHUVHEXWDGDODKSHUVHJLSDQMDQJPDNDPDVLQJPDVLQJVXGXWQ\DDGDODK 90o. Sehingga, sudut-sudut yang bersesuaian pasti sama besar yaitu 90o. Periksa perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian: 

3HUVHJLSDQMDQJ L GDQ LL

AB DC   = = = EF HG 8 2 AD BC 8 4 = = = EH FG   

7DPSDNEDKZDSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQWLGDNVDPD



-DGLSHUVHJLSDQMDQJ L GDQ LL WLGDNVHEDQJXQ

MATEMATIKA

149



3HUVHJLSDQMDQJ L GDQ LLL

AB DC   = = = JK IL 4 1 AD BC 8 = = JI KL  

7DPSDNEDKZDSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQWLGDNVDPD



-DGLSHUVHJLSDQMDQJ L GDQ LL WLGDNVHEDQJXQ



3HUVHJLSDQMDQJ LL GDQ LLL

EF HG 8 2 = = = JK IL 4 1 EH FG 6 2 = = = JI KL   

7DPSDNEDKZDSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL



-DGLSHUVHJLSDQMDQJ LL GDQ LLL VHEDQJXQ Ingat: EFGH sebangun dengan JKLI, tetapi EFGH tidak sebangun dengan IJKL

-DGL SDVDQJDQ SHUVHJLSDQMDQJ \DQJ VHEDQJXQ DGDODK SHUVHJLSDQMDQJ LL  GDQ LLL  sebangun. Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui Dari Dua Bangun Datar Sebangun

Contoh 4.7 Perhatikan di bawah ini. (

C

15 cm ]o

H

' \o 20 cm

xo F

20 cm

22,6o

G

$

16 m

%

Bangun $%&' dan ()*+ sebangun. 7HQWXNDQ a. nilai x, \ dan ] E SDQMDQJVLVL(), %&, dan HG c. perbandingan luas ()*+ dan $%&'

150

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Alternatif Penyelesaian: Bangun $%&' dan ()*+ sebangun berarti sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai, yaitu: P‘( = P‘$, P‘F = P‘%, P‘G = P‘C, P‘H = P‘',

EF FG GH HE = = = AB BC CD DA a. Bangun $%&' dan ()*+ sebangun dengan sudut-sudut yang bersesuaian P‘( = P‘$, P‘F = P‘%, P‘G = P‘C, dan P‘H = P‘', Sehingga,

P‘G = P‘C œ xo = 22,6o

P‘D = 180o – P‘C œ \o = 180o – xo = 180o – 22,6o = 157,4o 0HQJDSD" P‘H = P‘' œ ]o = \o = 157,4o

Jadi nilai adalah xo = 22,6o, \o = 157,4o dan ]o = 157,4o b. Perbandingan sisi yang bersesuaian adalah

EF FG GH HE = = = AB BC CD DA pada gambar diketahui bahwa

HE   = = DA 20 4 Sehingga,

EF HE  = = AB DA 4 EF  = 16 4 EF = 

 u  = 12 4

6HODQMXWQ\DPHQJKLWXQJSDQMDQJ%& sebagai berikut:

FG  = BC 4   = BC 4 BC =

20 × 4 2 = 26   MATEMATIKA

151

(

15 cm

?

12 cm F 

15 cm O G 5 cm

HO 2  2* 2

2  2

  





-DGLSDQMDQJ() = 12 cm, %& FPGDQHG FP (

c.

FO = (+ = 15 cm, HO = () = 12 cm, OG = FG – FO = 20 – 15 = 5 cm

*XQDNDQWHRUHPD3K\WDJRUDVXQWXNPHQJKLWXQJSDQMDQJHG OLKDWVHJLWLJDHOG HG =



8QWXNPHQFDULSDQMDQJHG, buat garis bantuan HO seperti pada gambar di samping. Sehingga,

H

C

15 cm H ]o

' \o

12 cm x 20 cm

26

20 cm

o

F

22,6o

G

ò EH  FG u EF

$

16 m

2 80 cm = cm  

%

Luas EFGH = ò AD  BC u AB Luas ABCD =

=

=

½    u   80 · § u  4 ½ ¨    ¸¹ ©

 u  140 u4 

 u   u 4 140 4

9 16 Jadi, perbandingan luas ()*+ dan $%&' adalah 9 : 16. =

Ayo Kita Tinjau Ulang Pada Contoh 4.7 di atas, perbandingan luas ()*+ dan $%&' adalah 9 : 16. Apakah kaitannya dengan perbandingan sisi yang bersesuaian bangun ()*+ dan $%&' yaitu

EF FG GH HE  = = = = AB BC CD DA 4

152

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

$SDNDK SDGD GXD EDQJXQ \DQJ VHEDQJXQ MLND SHUEDQGLQJDQ SDQMDQJ VLVL \DQJ bersesuaian adalah x : \ maka apakah pasti perbandingan luasnya adalah x2 : \2? %HULNDQSHQMHODVDQ %DJDLPDQD MLND SDGD GXD EDQJXQ UXDQJ \DQJ VHEDQJXQ DSDNDK MLND SHUEDQGLQJDQ ukuran yang bersesuaian adalah adalah x : \ maka apakah pasti perbandingan volumenya adalah x : \"%HULNDQSHQMHODVDQ Latihan 4.3

Kesebangunan Bangun Datar

Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan benar dan sistematis. 1. Selidikilah apakah dua trapesium di bawah ini sebangun? Jelaskan. S

5

16 cm

' 2 cm C $

P 4 cm O

%

8 cm

2. Carilah pasangan bangun yang sebangun diantara gambar di bawah ini. $

%

6 cm

80o

P

P

P

110 ( o

' 100o

P

P

P

70o

FP

FP

42 cm

4 cm P

C

28 cm

P

50 cm

50 cm

F 70o 110o 50 cm 50 cm

8m G 2 cm

2 cm

4m

80o H 100o

,

4 cm

2 cm

MATEMATIKA

153

 3HUKDWLNDQGXDEDQJXQ\DQJVHEDQJXQSDGDJDPEDUGLEDZDKLQL FP % $ P 24 cm Q 18 cm

48 cm T

(

21 cm '

C

5

S

+LWXQJODKSDQMDQJVLVL$(, (', dan 45. 4. Dua buah bangun di bawah ini sebangun (

16 cm

H

'

127o

]o

C

\o FP

xo F

28 cm

G

$

20 cm

%

Hitunglah: D 3DQMDQJ(), HG, $', dan '&. b. Nilai x, \ dan ].  6HEXDKJDPEDUEHUEHQWXNSHUVHJLSDQMDQJEHUXNXUDQFPu 8,4 cm. Gambar WHUVHEXWGLSHUNHFLOVHKLQJJDXNXUDQQ\DPHQMDGLN cm uFP+LWXQJODKSDQMDQJ N.

2 cm

8,4 cm

N cm 16,8 cm

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

 6HEXDKIRWRGLOHWDNNDQSDGDVHOHPEDUNDUWRQ\DQJEHUXNXUDQFPu 40 cm, VHEHOXP GLSDVDQJ GL SLJXUD 'L EDJLDQ VLVL NLUL  NDQDQ DWDV GDQ  EDZDK IRWR GLEHULMDUDNVHSHUWLQDPSDNSDGDJDPEDU-LNDIRWRGDQNDUWRQWHUVHEXWVHEDQJXQ

154

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

FP

5 cm

5 cm

? 6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG D %HUDSDOHEDUNDUWRQGLEDJLDQEDZDK\DQJWLGDNWHUWXWXSROHKIRWRWHUVHEXW" E 3HUEDQGLQJDQOXDVIRWRGDQOXDVNDUWRQ  6HEXDK EDWDNR EHUXNXUDQ SDQMDQJ  FP OHEDU  FP GDQ WLQJJLQ\D  FP GHQJDQ EHUDW  NJ 7HUGDSDW PLQLDWXU EDWDNR \DQJ VHEDQJXQ GHQJDQ EDWDNR WHUVHEXWGDQWHUEXDWGDULEDKDQ\DQJVDPDGHQJDQEDWDNRDVOLGDQSDQMDQJQ\D cm. Hitunglah: a. Lebar dan tinggi miniatur batako. b. Perbandingan volume batako asli dan batako miniatur. F %HUDWPLQLDWXUEDWDNR GDODPJUDP   3DQMDQJVLVLWHUSHQGHNGDULGXDEXDKVHJLHQDP KH[DJRQ VHEDQJXQDGDODK cm dan 8 cm. Jika luas segi enam yang besar adalah 200 cm2, berapakah luas segi enam yang kecil? 9. Usaha Konveksi Wina mempunyai usaha konveksi. Untuk mengetahui bahan kain yang dibutuhkan, sebelum memproduksi GDODPMXPODKEHVDULDPHPEXDWVDPSHO EDMX XNXUDQ NHFLO GHQJDQ VNDOD ó WHUKDGDS XNXUDQ VHEHQDUQ\D 7HUQ\DWD satu sampel tersebut membutuhkan kain sekitar 0,25 m2. Berapa luas kain yang 6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG GLEXWXKNDQ MLND LD PHQGDSDW SHVDQDQ XQWXNPHPSURGXNVLEDMXWHUVHEXWVHEDQ\DNEDMX"

MATEMATIKA

155

10. Botol Air Mineral Ada dua macam kemasan air mineral yaitu botol ukuran sedang dan besar. Kedua kemasan tersebut sebangun. Botol sedang tingginya 15 cm dan botol EHVDUWLQJJLQ\DFP9ROXPHERWROEHVDUDGDODK 1250 ml. Berapa volume botol kecil? 6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

11. Denah Rumah

Perhatikan gambar denah rumah di bawah ini. Denah di samping menggunakan skala 1 : 200. Hitunglah: a.

Ukuran dan luas garasi sebenarnya

b.

Ukuran dan luas kamar mandi sebenarnya

c.

Luas taman depan sebenarnya

d.

Luas rumah sebenarnya



WDQDKGDQEDQJXQDQ

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

12. Miniatur Kereta Api

6XPEHUZZZNHUHWDDSLFRLG

Sebuah miniatur salah satu gerbong kereta api dibuat dengan material yang sama GHQJDQ NHUHWD DSL VHEHQDUQ\D 3DQMDQJ PLQLDWXU NHUHWD DSL WHUVHEXW DGDODK  FPSDQMDQJVHEHQDUQ\DDGDODKPGDQEHUDWPLQLDWXUDGDODKNJ%HUDSDNDK berat kereta api sebenarnya?

156

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

D. Kesebangunan Dua Segitiga Pertanyaan Penting 7DKXNDK NDPX SDGD VDDW WHNQRORJL PHVLQ IRWRNRSL NDPHUD GDQ NRPSXWHU EHOXP ditemukan bagaimana cara manusia menduplikat, memperbesar atau memperkecil suatu gambar? %DJDLPDQD PHQJLGHQWL¿NDVL GXD VHJLWLJD DWDX OHELK VHEDQJXQ" %DJDLPDQD V\DUDW yang harus dipenuhi sehingga dua segitiga atau lebih dikatakan sebangun? Bagaimana pula cara mengukur tinggi bangunan atau pohon yang tinggi tanpa mengukurnya secara langsung? Kegiatan 4.13

Pantograf

Ada salah satu alat gambar yang diciptakan oleh Christooph Scheiner sekitar WDKXQ  \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW VDOLQDQ JDPEDU GHQJDQ VNDOD \DLWX SDQWRJUDI3ULQVLSNHUMDSDQWRJUDIPHQJJXQDNDQNRQVHSNHVHEDQJXQDQ Ayo Kita Amati $PDWLODKJDPEDUSDQWRJUDIGLEDZDKLQL skrup

pensil

sumbu

titik tetap

Saat pensil pada gambar asli digerakkan, pensil pada sisi kanan secara otomatis akan membuat salinannya. Ukuran salinan gambar dapat disesuaikan dengan mengubah posisi sumbu.

gambar asli gambar salinan 'HQJDQ PHQJDPDWL GDQ PHPDKDPL FDUD NHUMD SDQWRJUDI NDPX ELVD PHPEXDW SDQWRJUDIVHQGLULGDQPHPEXDWVDOLQDQJDPEDUGHQJDQVNDODWHUWHQWX %HUGDVDUNDQ JDPEDU GL DWDV VXPEXVXPEX SDGD JDPEDU SDQWRJUDI WHUVHEXW GDSDW diwakili oleh gambar di bawah ini:

MATEMATIKA

157

%

Pada gambar di samping titik tetapnya adalah $ dan gambar aslinya adalah '. Pensil gambar salinan berada pada titik C. Lengan $% dan %& sama SDQMDQJ)'VHODOXVHMDMDUGHQJDQ%& dan $% selalu VHMDMDUGHQJDQ'(.

( F $

'

C

   0HQXUXW NDPX DSDNDK '$%& dan '$)' VHEDQJXQ"8QWXNPHQMDZDEQ\DFREDNDPXVHOLGLNL besar sudut-sudut dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.

 8QWXN PHQ\HOLGLNL EHVDU VXGXWVXGXWQ\D JXQDNDQ VLIDWVLIDW JDULV VHMDMDU \DQJ dipotong oleh suatu garis. 3HUKDWLNDQǻ$%&GDQǻ$)'. P‘%$& = P‘ NDUHQD P‘$%& = P‘ NDUHQD P‘%&$ = P‘ NDUHQD Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? 0LVDONDQGLEXDWUDQFDQJDQSDQWRJUDIEHUXNXUDQ$) = 10 cm, )% FP(&  cm, %( = 10 cm, $' = 14 cm, dan '& = 42 cm. %HUDSDSDQMDQJ'(GDQ)'" %HUDSDVNDODSHUEHVDUDQSDGDSDQWRJUDIWHUVHEXW" % FP

10 cm ( FP

F

Sekarang coba selidiki perbandingan sisisisi yang bersesuaian yaitu

10 cm $

'

Seperti tampak pada gambar di samping bahwa )' VHMDMDU GHQJDQ %( dan )% VHMDMDU dengan '(DNLEDWQ\DMHODVEDKZD)' = %( = 10 cm dan '( = )% FP

C

AB BC AC , , AF FD AD

AC AB BC ? AD AF FD %HUDSDVNDODSHUEHVDUDQSDQWRJUDIWHUVHEXW"

Apakah

Gambar yang dihasilkan nanti berapa kali ukuran gambar aslinya? Nah, dengan menyelesaikan permasalahan di atas kamu telah menggunakan konsep kesebangunan dua bangun yaitu gambar asli dengan gambar hasil perbesarannya.

158

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Mencoba  %HUVDPD WHPDQPX FRED EXDWODK SDQWRJUDI EXDWDQ NHORPSRNPX \DQJ ELVD menghasilkan salinan gambar lima kali lebih besar.  3UHVHQWDVLNDQ SDQWRJUDI KDVLO NDU\D NHORPSRNPX WHUVHEXW EHVHUWD JDPEDU salinannya.  3DGD6XE%DENDPXWHODKPHPSHODMDULEDKZDGXDEDQJXQGDWDUGLNDWDNDQ VHEDQJXQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDWVHEDJDLEHULNXW D SHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL b. sudut yang bersesuaian besarnya sama  %DJDLPDQDPHQJXMLNHVHEDQJXQDQGXDVHJLWLJDWDQSDKDUXVPHQJXMLNHGXDV\DUDW GLDWDV"0HODOXLNHJLDWDQEHULNXWLQLFREDNDPXWHPXNDQMDZDEDQQ\D Kegiatan 4.14

Syarat Dua Segitiga Sebangun

.HUMDNDQODKNHJLDWDQEHULNXWLQLEHUVDPDNHORPSRNPX

1. Gambarlah '$%&GHQJDQSDQMDQJVLVLVHVXDLNHLQJLQDQPX 

0LVDONDQVHSHUWLJDPEDUEHULNXW



C 6 cm $

5 cm

7 cm

6N cm

5N cm

% $¶



7N cm

2. Gambarlah '$¶%¶&¶GHQJDQSDQMDQJVLVLNNDOLSDQMDQJVLVL'$%& 

EROHKGLSHUEHVDUDWDXGLSHUNHFLO

 8NXUODKPDVLQJPDVLQJVXGXW'$%& dan '$¶%¶&¶dengan menggunakan busur GHUDMDW%DQGLQJNDQVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQGDULGXDVHJLWLJDWHUVHEXW 4. Bandingkan hasilnya dengan temanmu.  'LVNXVLNDQGHQJDQWHPDQPXGDQMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXW D  $SDNDKVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU" E  %HUDSDSHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVL

A'B' B'C' C'A' ? = = AB BC CA

MATEMATIKA

159

F  $SDNDK VHJLWLJD \DQJ GLSHUSHVDU DWDX GLSHUNHFLO GHQJDQ IDNWRU VNDOD \DQJ sama akan sebangun dengan segitiga semula?  'DUL 6XE EDE  NDPX WHODK PHQJHWDKXL EDKZD GXD VHJLWLJD NRQJUXHQ MLND SDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPD NULWHULDVLVLVLVLVLVL Dalam hal ini '$%& dan '$¶%¶&¶NRQJUXHQMLND



A'B' B'C' C'A' = = = 1. AB BC CA

%HUGDVDUNDQ QR  PHQXUXW NDPX DSDNDKǻ$%&  GDQǻ$ % &  VHEDQJXQ MLND A'B' B'C' C'A' = = = N, dengan NWHWDS NRQVWDQ 6HOLGLNLODK AB BC CA

 'DUL6XEEDENDPXWHODKPHQJHWDKXLEDKZDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGXD SDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJGDQVXGXW\DQJGLDSLWQ\DVDPDEHVDU NULWHULDVLVL±VXGXW±VLVL A'B' B'C' = = 1 dan P‘% = AB BC A'B' B'C' = P‘% 0HQXUXWNDPXDSDNDKǻ$%&GDQǻ$¶%¶&¶VHEDQJXQMLND = AB BC



'DODPKDOLQLǻ$%&GDQǻ$ % & NRQJUXHQMLND

N, dengan NWHWDS NRQVWDQ GDQP‘% = P‘%¶. Selidikilah.

 'DUL6XE%DENDPXWHODKPHQJHWDKXLEDKZDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGXD pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJ NULWHULDVXGXW±VXGXW±VLVL A'B' = 1, P‘% = P‘% GDQ AB A'B' = P‘C = P‘C¶0HQXUXWNDPXDSDNDKǻ$%&GDQǻ$¶%¶&¶VHEDQJXQMLND AB



'DODPKDOLQLǻ$%&GDQǻ$ % & NRQJUXHQMLND

N, dengan NWHWDS NRQVWDQ P‘% = P‘% GDQP‘C = P‘C %DJDLPDQDMLND A'B' = NGLDEDLNDQPHQXUXWPXDSDNDKǻ$%&GDQǻ$ % & VHEDQJXQMLNDP‘% AB

= P‘% GDQP‘C = P‘C¶6HOLGLNLODK %HUGDVDUNDQNHJLDWDQGLDWDV NKXVXVQ\DQRPRUGDQ PHQXUXWPXEDJDLPDQD syarat yang lebih sederhana sehingga dua segitiga sebangun? 'XDVHJLWLJDVHEDQJXQMLNDPHPHQXKLVDODKVDWXV\DUDWEHULNXWLQL 1. ............................................................................................................................. 2. .............................................................................................................................   Kegiatan 4.15

Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-siku

Alat dan bahan yang diperlukan: 160

Kertas lipat Pensil Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

 -

Penggaris %XVXUGHUDMDW Gunting

.HUMDNDQODKNHJLDWDQEHULNXWLQLEHUVDPDNHORPSRNPX 1. Gambarlah segitiga siku-siku seperti gambar  GL VDPSLQJ XNXUDQ EROHK EHUEHGD  ODOX guntinglah pada sisi $%, %&, dan $&. Buatlah sekali lagi. Sehingga kamu mempunyai dua buah segitiga $%&.

C

'

%

$

2. Guntinglah salah satu segitiga $%& tersebut pada garis $'. Sehingga kamu sekarang mempunyai tiga buah segitiga yaitu '$%&, ''%$ dan ''$&. C

C

$

'

$

%

 3HUKDWLNDQ'$%& dan ''%$ C

$

'

$

%

$

%

'

%

7XPSXNODK'$%& dan ''%$ tersebut, di mana ‘% saling berhimpit.

Selidikilah apakah '$%& dan ''%$ VHEDQJXQ" JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh dari .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ  Jika '$%& dan ''%$ sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. } } } = = } } }

dan kamu akan memperoleh bahwa:

$%2 = ... u ...

MATEMATIKA

161

4. Perhatikan '$%& dan ''$& C

C $  

%

'

$

7XPSXNODK'$%& dan ǻ'$&tersebut, di mana ‘% pada '$%& dan ‘$ pada ''$& saling berhimpit. 6HOLGLNLODK DSDNDK ǻ$%& GDQ ǻ'$& VHEDQJXQ" JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh '$%& .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ Jika '$%& dan ǻ'$& sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. } } } = = } } }

dan kamu akan memperoleh bahwa:

5. Perhatikan ''%$ dan ''$&

$&2 = ... u ...

$ C ' 

%

'

$

7XPSXNODKǻ'%$GDQǻ'$& tersebut, di mana ‘% pada ''%$ dan ‘$ pada ǻ'$& saling berhimpit.

Selidikilah apakah ''%$ dan ǻ'$& VHEDQJXQ" JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh dari .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ  Jika ''%$ dan ǻ'$& sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. } } } = = } } }

dan kamu akan memperoleh bahwa:

162

Kelas IX SMP/MTs

$'2 = ... u ...

Semester 1

Materi Esensi

Kesebangunan Dua Segitiga

'XDVHJLWLJDGLNDWDNDQVHEDQJXQMLNDKDQ\DMLNDPHPHQXKLV\DUDWEHULNXWLQL  L  3HUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL  LL %HVDUVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPD C 5 cm

$

C' 4 cm

6 cm

5D cm

%

$

L  3HUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJ  bersesuaian senilai

A'B' B'C' A'C' = = =a AB BC AC



4D cm

%

6D cm

LL %HVDUVXGXWVXGXW\DQJ bersesuaian sama ‘$= ‘$

‘%= ‘%

‘C = ‘C

 -LND ¨$%& GDQ ¨'() PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND ¨$%& GDQ ¨$ % &  VHEDQJXQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨$%& a¨$ % &

 -LND ¨$%& GDQ ¨'() WLGDN PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND PDND ¨$%&dan ¨'()WLGDNVHEDQJXQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨$%&a¨$ % & . Catatan: Ketika menyatakan dua segitiga sebangunsebaiknya berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya: 'ABC # 'A'B'C' atau 'BAC # 'B'A'C' atau 'CBA # 'C'B'A' EXNDQǻ$%& #ǻ% & $ DWDXǻ$%& #ǻ& $ % atau yang lainnya. Syarat Dua Segitiga Sebangun Untuk lebih sederhana, berdasarkan Kegiatan 4.14,dua segitiga dikatakan VHEDQJXQ PLVDO¨$%& a¨$ % & MLNDPHPHQXKLVDODKVDWXNRQGLVLEHULNXWLQL

MATEMATIKA

163

1. Perbandingannya ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama, yaitu:

A'B' B'C' A'C' = = =a AB BC AC C' C D[ cm

$

D\ cm

\ cm

x cm

%

] cm

D] cm

$

%

2. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar. Contoh: ‘$ = ‘$ GDQ‘% = ‘%

C' C

$

%

$

%

 Perbandingan dua pasang sisi yang bersesuaian sama dan sudut yang diapitnya sama besar. Contoh: C'

A'B' A'C' = =a AB AC C

dan ‘A = ‘$ 

$

%

$

%

Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku 3HUKDWLNDQJDPEDU%HUGDVDUNDQ.HJLDWDQGHQJDQPHPSHUKDWLNDQEDKZDǻ$%& a ǻ'%$ǻ$%& aǻ'$&GDQǻ'%$ aǻ'$&, diperoleh:

164

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

C

$%2 = %' u %&

'

$&2 = &' u &%

$'2 = '% u '&

$

%

Membuktikan Dua Segitiga Sebangun

Contoh 4.8

Perhatikan gambar di bawah ini. $ Alternatif Penyelesaian: %

Pada '$%&dan '$'(dapat diketahui bahwa:

C

P‘$%& = P‘$'(

'

(

Buktikan bahwa '$%& a'$'( 

 NDUHQD%&'(, sehingga ‘$%& dan ‘$'( adalah pasangan sudut yang sehadap, besarnya SDVWLVDPD

P‘%$& = P‘'$& 



















NDUHQD‘%$&dan ‘'$&EHUKLPSLW 

Karena dua pasang sudut yang bersesuaian sama EHVDUMDGL'$%&a '$'( WHUEXNWL Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga Sebangun

Contoh 4.9

Perhatikan gambar di bawah ini. $ 4 cm

6 cm '

o % 70 5 cm

7HQWXNDQ D b.

C

SDQMDQJVLVL'( dan

%$besar ‘$&%, ‘$'( dan ‘'$(

8 cm 45o (

Alternatif Penyelesaian:

Pada Contoh 4.8, sudah dibuktikan bahwa '$%& dan '$'(sebangun.

MATEMATIKA

165

a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah AB BC AC = = AD DE AE

Diketahui: 

SDQMDQJ$& = 4 cm, $( = $&&(  FPPDND AC 4 1 = = AE  



SDQMDQJ%& = 5 cm, maka BC AC = DE AE 5 1 = DE 

'( = 5 u '( = 15 

SDQMDQJ%' = 5 cm, maka AB AC = AD AE AB 1 = AB  BD  AB 1 = AB   

$%  $% $% = $% $% – $% = 5 2$% = 5

2 AB 5 = 2 2 

$% = 2,5 -DGLSDQMDQJ'( = 15 cm dan $% = 2,5 cm

$

b. Sudut-sudut yang bersesuaianan besarnya sama

166

P‘$%& = P‘$'( 

0HQJDSD"  

P‘$&% = P‘$('



0HQJDSD" 

P‘%$& = P‘'$(



0HQJDSD" 

Kelas IX SMP/MTs

4 cm

6 cm '

o %  5 cm

C 8 cm o ( Semester 1

Sehingga, P‘$&% = P‘$(' o P‘$'( = P‘$%& o P‘'$( = 180o± P‘$'(P‘$('  

0HQJDSD"

= 180o± oo = 180o – 90o = 90o

Jadi, besar ‘$&% o, ‘$'( o dan ‘'$( = 90o. Contoh 4.10

Penerapan Sederhana dari Kesebangunan Segitiga

Diketahui seorang siswa dengan tinggi badan 150 cm berdiri di lapangan pada pagi hari yang FHUDKGDQSDQMDQJED\DQJDQQ\DDGDODKP6DDW itu di sebelahnya terdapat tiang bendera dengan SDQMDQJED\DQJDQPPDNDWHQWXNDQWLQJJLWLDQJ bendera tersebut. Alternatif Penyelesaian: Diketahui: 7LQJJLEDGDQVLVZD FP 3DQMDQJED\DQJDQVLVZD P FP 3DQMDQJED\DQJDQWLDQJEHQGHUD P FP 0LVDOWLQJJLWLDQJEHQGHUD t

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Permasalahan di atas dapat dibuat model atau sketsa sebangai berikut:  '$%& a ''(&, sehingga

$

AB CE = DE CB

'

t 150 cm %

C 2,5 m = 250 cm 6 m = 600 cm

t 600 = 150 250

250 t = 150 u 600 t=

150 u 600 250

t 

-DGLWLQJJLWLDQJEHQGHUDWHUVHEXWDGDODKFPDWDXP

MATEMATIKA

167

Ayo Silakan Bertanya 6HWHODK PHPSHODMDUL FRQWRKFRQWRK GL DWDV SHUWDQ\DDQ DSDNDK \DQJ PXQFXO GL benakmu. Silakan tanyakan pada guru dan temanmu. Ayo Kita Menalar &REDSLNLUNDQDOWHUQDWLIFDUDODLQEDJDLPDQDPHQ\HOHVDLDNDQSHUPDVDODK\DQJVHUXSD GHQJDQ&RQWRKGLDWDVMLNDWDQSDPHQJJXQDNDQED\DQJDQREMHN\DQJGLDPDWL Ayo Kita Gali Informasi &REDNDPXFDULLQIRUPDVLGDULEXNXLQWHUQHWDWDXODLQQ\DPHQJHQDLEHUEDJDLFDUD memperkirakan tinggi pohon, tinggi gedung, tinggi bukit, atau lebar sungai secara tidak langsung dengan alat bantu seadanya. &DULODKSXODDODWXNXUPRGHUQDSDVDMD\DQJELVDGLJXQDNDQXQWXNLWXGDQMHODVNDQ FDUDNHUMDQ\D Ayo Kita Tinjau Ulang Diskusikan dengan temanmu masalah berikut ini.  7HQWXNDQSDVDQJDQVHJLWLJD\DQJVHEDQJXQSDGDJDPEDUGLEDZDKLQL%XNWLNDQ  +LWXQJODKSDQMDQJVLVLVLVL\DQJEHOXPGLNHWDKXL C 5 cm 5

8 cm

Q 4 cm

P

6 cm

C

(

F

6 cm

( 8 cm

9 cm S

T L

168

Kelas IX SMP/MTs

$

'

12 cm LL

%

14 cm 4 cm ' $

8 cm %

12 cm

LLL

Semester 1

Latihan 4.4

Kesebangunan Dua Segitiga

Selesaiakan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis. 1. Pada gambar di samping, 45ST.

a. Buktikan bahwa '453 dan 'TPS sebangun

P

E 7XOLVNDQSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQ" 2. Perhatikan gambar berikut. C

$

T

E 7XOLVNDQSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJ bersesuaian?

20 cm

FP

S

a. Buktikan bahwa '$%& dan '345 sebangun.

Q

4 cm

5

Q

% 16 cm

P

 3HUKDWLNDQJDPEDUEHULNXW O . N

5

Apakah './1 sebangun dengan 'OMN? Buktikan.

L M

4. Pada '$%& dan '345 diketahui P‘$ = 105o, P‘% = 45o, P‘P = 45o dan P‘Q = 105o. a. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun? Jelaskan. E 7XOLVODKSDVDQJDQVLVL\DQJPHPSXQ\DLSHUEDQGLQJDQ\DQJVDPD %

5. Perhatikan gambar. Diketahui P‘$%& = 90 , siku-siku di B. o

D 7XQMXNNDQ EDKZD '$'% dan '$%& sebangun.

E 7XQMXNNDQEDKZD'%'&and '$%& sebangun.

D

F $

t S

q

'

C

E

MATEMATIKA

169

C

6. Perhatikan gambar.

D 7XQMXNNDQEDKZD')&( a '$&%

4 cm

E 7XQMXNNDQEDKZD')&( a ''(%

5 cm (

F

F 7XQMXNNDQEDKZD'$&%a ''(%

10 cm

G 7HQWXNDQSDQMDQJ)(dan $) $

7. Perhatikan gambar. 

D +LWXQJODKSDQMDQJ(% 





'

E +LWXQJODKSDQMDQJ&( C

C

(

6 cm ' $

12 cm %

4 cm

( 5 cm

2 cm ' $

%

7 cm

%

6 cm

8. Perhatikan gambar. 

+LWXQJODKSDQMDQJ01SDGDJDPEDUGLEDZDKLQL S

12 cm

5

5 cm M FP

N

P

Q 20 cm

9. Perhatikan gambar. C

7HQWXNDQ

18 cm ' FP

%

$

a.

Pasangan segitiga yang sebangun.

b.

Pasangan sudut yang sama besar dari masingmasing pasangn segitiga yang sebangun tersebut..

c.

Pasangan sisi bersesuaian dari masing-masing pasangan segitiga yang sebangun tersebut.

G  3DQMDQJVLVL%$, %&, dan %'.

170

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

10. Perhatikan gambar. 

2

Q  











T

U

Diketahui 35 = 15 cm dan QU = UP.  7HQWXNDQSDQMDQJTS.

 S

5

P 11. Perhatikan gambar.

Diketahui ./ = 10 cm dan MN = 14 cm. P dan Q berturut-turut adalah titik tengah LN dan .07HQWXNDQSDQMDQJPQ. . L

Q

P

N

M

12. Perhatikan gambar. $

Segitiga $%& adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika $% = 10 cm dan &' garis bagi sudut C, 7HQWXNDQSDQMDQJ%'.

( '

%

o o

C

 Memperkirakan Tinggi Rumah  3DGDVXDWXVRUHVHEXDKUXPDKGDQSRKRQ\DQJEHUVHEHODKDQPHPLOLNLSDQMDQJ bayangan berturut-turut 10 m dan 4 m. Jika tenyata tinggi pohon sebenarnya adalah 10 m, tentukan tinggi rumah tersebut sebenarnya. 14. Memperkirakan Tinggi Pohon Untuk menentukan tinggi sebuah pohon, Ahmad menempatkan cermin di atas WDQDK GLWLWLN( VHSHUWLJDPEDUGLEDZDKLQL'DULWLWLN($KPDGEHUMDODQPXQGXU NH WLWLN '  VHGHPLNLDQ KLQJJD GLD GDSDW PHOLKDW XMXQJ SRKRQ SDGD FHUPLQ $KPDGPHQJXNXUSDQMDQJ%( = 18 m, (' FPGDQNHWLNDEHUGLULMDUDNPDWD $KPDGNHWDQDK &' DGDODKP3HUNLUDNDQWLQJJLSRKRQWHUVHEXW

MATEMATIKA

171

$

C

(

'

%

15. Memperkirakan Tinggi Bukit  'XD PDKDVLVLZD 7HNQLN 6LSLO $JXQJ GDQ $OL LQJLQ PHPSHUNLUDNDQ WLQJJL VXDWX EXNLW WHUKDGDS SRVLVLQ\D EHUGLUL \DQJ WLGDN MDXK GDUL EXNLW LWX  0HUHND menggunakan bantuan peralatan laser yang dipasang pada sebuah tongkat SHQ\DQJJDVHWLQJJLPGDULSHUPXNDDQWDQDK$JXQJPHQJDPDWLSXQFDNEXNLW melalui alat tersebut dan diperoleh garis pandang ke puncak bukit adalah 1540 m. $OLEHUEDULQJGLWDQDKPHPDQGDQJNHDUDKXMXQJSHUDODWDQWHUVHEXWGDQSXQFDN EXNLWVHKLQJJDWDPSDNVHEDJDLJDULVOXUXV3RVLVLNHSDOD$OLEHUMDUDNPGDUL tongkat penyangga. Perkirakan tinggi bukit tersebut.  SHUKDWLNDQJDPEDU 1.540 m t P 4m 16. Analisis Kesalahan  *DPEDU D PHQXQMXNNDQSHUVHJLGHQJDQSDQMDQJVLVLVDWXDQ3HUVHJLLWXGLEDJL PHQMDGLEDJLDQ\DLWXGXDVHJLWLJD P dan Q VHUWDGXDWUDSHVLXP 5 dan S  *DPEDU E PHQXQMXNNDQSHUVHJLSDQMDQJEHUXNXUDQVDWXDQ[VDWXDQ3HUVHJL LWXGLEDJLPHQMDGLEDJLDQ\DLWXGXDVHJLWLJD 3¶ dan 4¶ VHUWDGXDWUDSHVLXP 5¶ dan 6¶ $SDNDKu 8 = 5 u"-LNDWLGDNEDJDLPDQDNDPXPHQMHODVNDQKDO ini? Di mana letak kesalahannya? P

Q

5

S

P'

D

172

Kelas IX SMP/MTs

5

S'

Q' E

Semester 1

17. Analisis Kesalahan  3HUKDWLNDQJDPEDUGLEDZDKLQL-HODVNDQGLPDQDNDKOHWDNNHVDODKDQQ\D" L

LL

Jelaskan dari manakah lubang satu kotak ini berasal?

Proyek 4 Kerjakan proyek di bawah ini bersama kelompokmu.  3HUKDWLNDQJDPEDUMHPEDWDQ6XUDPDGXGDQMHPEDWDQ%DULWRGLEDZDKLQL

L -HPEDWDQ6XUDPDGX 

 LL -HPEDWDQ%DULWR

6XPEHUZZZMDODQFRP

a. Berdasarkan gambar di atas, susunlah strategi bagaimana kamu dapat PHPSHUNLUDNDQWLQJJLWLDQJMHPEDWDQ6XUDPDGXGDQMHPEDWDQ%DULWR"

MATEMATIKA

173

E %HUGDVDUNDQ VWUDWHJL WHUVHEXW NLUDNLUD EHUDSD WLQJJL WLDQJ MHPEDWDQ Suramadu tersebut? F 3UHVHQWDVLNDQKDVLONHUMDNHORPSRNPXGLNHODV 2. Coba carilah gedung, pohon, tiang listrik atau tiang bendera yang ada di sekitar sekolahmu. Bersama temanmu, a. Buat strategi untuk memperkirakan tinggi gedung, pohon, tiang listik atau tiang bendera tersebut dengan menggunakan konsep kesebangunan dua VHJLWLJD PLQLPDOGXDVWUDWHJL\DQJEHUEHGD  b. Berdasarkan strategi yang kamu buat, perkirakan berapa gedung, pohon, tiang listrik atau tiang bendera tersebut? F 3UHVHQWDVLNDQKDVLONHUMDNHORPSRNPXGLNHODV  &REDFDULODKVXQJDLDWDXGDQDX\DQJDGDGLVHNLWDUVHNRODKDWDXUXPDKPX Bersama temanmu, a. Buatlah strategi untuk memperkirakan lebar sungai atau danau tersebut dengan menggunakan konsep kesebangunan atau kekongruenan dua segitiga. b. Berdasarkan strategi yang kamu buat, perkirakan berapa gedung, pohon, tiang listrik atau tiang bendera tersebut? F 3UHVHQWDVLNDQKDVLONHUMDNHORPSRNPXGLNHODV  %HUVDPD WHPDQPX EXDWODK SDQWRJUDI EXDWDQ NHORPSRNPX \DQJ ELVD PHQJKDVLONDQVDOLQDQJDPEDUNNDOLOHELKEHVDU EROHKN DWDXOHELK  'RNXPQWDVLNDQSURVHVQ\D3UHVHQWDVLNDQSDQWRJUDIKDVLONDU\DNHORPSRNPX tersebut beserta gambar salinannya.

174

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Uji Kompetensi 4

Kekongruenan dan Kesebangunan

Selesaikan soal-soal berikut dengan benar dan sistematis.  3HUKDWLNDQJDPEDUGLEDZDKLQL7XOLVODKSDVDQJDQEDQJXQ\DQJNRQJUXHQ

2. Perhatikan gambar. S

5

V

Jika 3456 kongruen dengan 7895 dan 57 =  547HQWXNDQSDQMDQJPQ. 5

8 cm T P

U

Q

 3HUKDWLNDQJDPEDU         3HUVHJLSDQMDQJ $%&' GLEHQWXN GDUL  SHUVHJLSDQMDQJ \DQJ NRQJUXHQ -LND NHOLOLQJ VHWLDS SHUVHJLSDQMDQJ kecil adalah 10 cm, maka tentukan keliling $%&'.

$

%

'

C

4. Diketahui trapesium $%&' dan trapesium ()*+ pada gambar di bawah ini DGDODKNRQJUXHQ-LNDSDQMDQJ$' = 12 cm, '& = 9 cm dan () FP7HQWXNDQ SDQMDQJ&%. ' 9 cm C H G 12 cm $

%

(

18 cm

F MATEMATIKA

175

5. Pasangan bangun di bawah ini kongruen, tentukan nilai x dan \ pada gambar.

xo

110o

125o

o

110

xo

70o

\

128o

o

\o

85o

L

LL

6. Perhatikan gambar di bawah ini. ' D $

E

,

H J

(

C G

F % F M

N

G

O . 

5

S T

L

P

Q

%HUDSDEDQ\DNSDVDQJDQVHJLWLJDNRQJUXHQSDGDVHWLDSEDQJXQGLDWDV"7XOLVNDQ semua pasangan segitiga kongruen tersebut.

7. Apakah pasangan segitiga berikut ini pasti kongruen? Jika ya, kriteria apakah \DQJPHQMDPLQSDVDQJDQVHJLWLJDEHULNXWLQLNRQJUXHQ" C 5

C a.

$

176

b.

%

Kelas IX SMP/MTs

'

$

% P

Q

Semester 1

Q

c.

d.

$

%

C C

$

P

% e.

P

Q

I

%

C

$

5

Q

C $

'

%

P

 7XOLVNDQVDWXSDVDQJDQVHJLWLJDNRQJUXHQSDGDVHWLDSEDQJXQEHULNXWGDQEXNWLNDQ P a. b. c. P $ % F

S

(

X M

N

Q

'

5

L

C

Q 5

PM = PN dan PQ = 35 9. Perhatikan gambar.

PX = 65 dan '345 segitiga sama sisi

Diketahui '345 #'./0 dan P‘345 = 60o. 7HQWXNDQODK a. besar P‘354

b. besar P‘/.0

5

M

FP Q

12 cm P

.

L

c. besar P‘.0/ G SDQMDQJ./ H 3DQMDQJ.0

MATEMATIKA

177

$

10. Perhatikan gambar di samping. Diketahui $& = $( dan P‘%$& = m‘'$(

a. Buktikan bahwa '$%& #'$'(.

b. Jika &' = 2 cm dan $( = 10 cm,

%

F 7HQWXNDQODKSDQMDQJ%& dan

%$'

(

C 11. Perhatikan gambar di samping. 'LNHWDKXLSDQMDQJ$% FPGDQ() = 5 cm.

(

C

a. Buktikan bahwa '$)(#'')(

b. Buktikan bahwa ''&% #'')(

F $

F +LWXQJODKSDQMDQJ$&

' %

G +LWXQJODKSDQMDQJ$( 12. Apakah bangun di bawah ini pasti sebangun? Jelaskan. a. dua persegi b. dua lingkaran c. dua segitiga sama sisi d. dua belahketupat  7UDSHVLXP$%&' sebangun dengan trapesium 3456, tentukan nilai x dan \ pada gambar di bawah. S 15 cm 5 ' x C \

12 cm $ 10 cm %

21 cm

P

Q

14. Perhatikan gambar berikut ini. S 12 cm U

8 cm q L

178

Kelas IX SMP/MTs

V

12 cm 27 cm LL

Semester 1

D -LNDWUDSHVLXP L GDQ LL VHEDQJXQWHQWXNDQQLODLSTUGDQV E 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQNHOLOLQJWUDSHVLXP L GDQ LL  F 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQOXDVWUDSHVLXP L GDQ LL   +LWXQJODKSDQMDQJVLVL\DQJGLWDQ\DNDQSDGDJDPEDUEHULNXWLQL C C a. b. 4 cm 6 cm (

F

$

(

4 cm

%

() = ... cm c.

$% = ... cm

(

(

F

$

%

6 cm $( = ... cm

(

'



14 cm

% 7 cm

5 cm

4 cm

7 cm

%

CF = ... cm 



I

' 6 cm

2 cm

C (

F FP

6 cm $

F

2 cm

$

e.

C

d.

C 9 cm

FP

$

%

8 cm

F 6 cm

C

$

8 cm

%

() = ... cm

CF = ... cm

16. Diketahui trapesium samakaki 3456SDGDJDPEDUGLEDZDKLQLGHQJDQSDQMDQJ 65 = 4 cm, PQ = 12 cm dan QS FP7HQWXNDQSDQMDQJSO. 5

S O P

Q

MATEMATIKA

179

17. Perhatikan gambar. D 7XOLVNDQ SDVDQJDQ VHJLWLJD VHEDQJXQ SDGD JDPEDU tersebut.

M 16 cm

b.

Dari tiap-tiap pasangan segitiga sebangun tersebut, tentukan pasangan sisi yang bersesuaian dan buat perbandingannya.

N 9 cm .

F 7HQWXNDQSDQMDQJ1., ./ dan 0..

L '

18. $%&' adalah persegi. Jika '( = CFPDNDWHQWXNDQODKSDQMDQJ a. '( b. 2( c. 2' d. OC e. OF

C O

8 cm

(

$

%

F

2 cm

 +LWXQJODKSDQMDQJVLVL\DQJGLEHULODEHOSDGDJDPEDUGLEDZDKLQL  VHPXDGDODPVDWXDQVHQWLPHWHU N P D 15 S

T

E

5Q

I

12 5



Q

14

5

9

e F

L

12

d

5 7

P

M P 12

8 ( $

180

6 9

S 16 T 10 14 O

'

24

C

] F q S %

Kelas IX SMP/MTs

18

x

G Q

\

Semester 1

5

20. Dua belas tusuk gigi disusun seperti pada gambar di samping. Dengan memindahkan hanya dua tusuk gigi bagaimana kamu PHPEHQWXNHQDPSHUVHJLDWDXWXMXKSHUVHJL"

21. Enam belas tusuk gigi disusun seperti gambar di samping. Dengan memindahkan hanya dua tusuk gigi bagaimana kamu membentuk empat persegi?  3DGD JDPEDU GL EDZDK LQL PHQXQMXNNDQ SHUVHJL \DQJ dibentuk dengan 20 tusuk gigi. Di tengahnya terdapat 1 lubang kotak dengan luas luas seluruhnya. Dengan 25 menggunakan 18 tusuk gigi, bagilah luasan di antara SHUVHJLOXDUGDQSHUVHJLGLWHQJDKPHQMDGLGDHUDK\DQJ sebangun.  3HUKDWLNDQJDPEDU     Bangun 3,1., 127(, dan %/8( adalah SHUVHJL3DQMDQJ.1 = 5 cm, 1( = 9 cm, 7LWLNP – O – % terletak dalam satu garis OXUXV 7HQWXNDQ SDQMDQJ VLVL GDQ OXDV bangun %/8(.

% O

L T

,

P

. 5 N

9

(

U

24. Pada gambar di bawah ini, tinggi tongkat PQ sesungguhnya adalah 4 m dan SDQMDQJED\DQJDQQ\DP-LNDSDQMDQJED\DQJDQSRKRQDGDODKPWHQWXNDQ tinggi pohon. S

P 4m O

15 m

Q P

5

MATEMATIKA

181

 6HNHORPSRN SHVHUWD MHODMDK DODP PHQGDSDW tugas untuk menaksir lebar suatu sungai WDQSD PHQJXNXUQ\D VHFDUD ODQJVXQJ 0HUHND menentukan titik acuan di seberang sungai yaitu titik $. Satu peserta lain berdiri di titik C. Peserta yang lain berdiri di titik % tepat di depan $ .HPXGLDQ EHUMDODQ PHQXMX NH WLWLN F dengan MDUDN% ke FDGDODKGXDNDOLMDUDN% ke C. Dari titik FLDEHUMDODQPHQXMXWLWLN', di mana dengan SDQGDQJDQQ\DREMHNGLWLWLN$&' terletak pada satu garis lurus. Sehingga lebar sungai dapat GLNHWDKXLGHQJDQPHQJXNXUMDUDNF ke '. Apakah cara tersebut tepat utuk menaksir lebar sungai? Jelaskan.

182

Kelas IX SMP/MTs

6XPEHU'RNXPHQ.HPGLNEXG

Semester 1

Bab V

Bangun Ruang Sisi Lengkung

Kata Kunci x x x

Tabung Kerucut Bola

x x x

Jaring-jaring Luas Permukaan Volume

K ompetensi D asar 1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan ketertarikan pada matematika sertamemiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 3.7 Menentukan luas selimut dan volume tabung, kerucut, dan bola. 3.8 Menaksir dan mengitung luas permukaan bangun datar dan bangun ruang yang tidak beraturan dengan menerapkan kombinasi geometri dasarnya.

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Bangun ruang sisi lengkung merupakan bangun ruang yang memiliki minimal satu sisi lengkung. Tong sampah, cone eskrim, topi ulang tahun dan bola basket merupakan model bangun ruang sisi lengkung dalam kehidupan sehari-hari.

Pengalaman Belajar 1. 2.  4.  6.

Mengenali bangun tabung, kerucut dan bola beserta unsur-unsurnya. Menentukan jaring-jaring tabung, kerucut dan bola. 0HQJLGHQWL¿NDVLOXDVSHUPXNDDQ tabung, kerucut dan bola. Menentukan hubungan antara luas alas dan tinggi dengan volume. 0HQJLGHQWL¿NDVLYROXPHWDEXQJNHUXFXWGDQEROD Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan bangun ruang sisi lengkung.

MATEMATIKA

183

Peta Konsep Bangun Ruang Sisi Lengkung

Tabung

Kerucut

Bola

Menentukan jaring-jaring tabung

Menentukan jaring-jaring kerucut

Menentukan luas permukaan dan volume bola

Menentukan luas permukaan dan volume tabung

Menentukan luas permukaan dan volume kerucut

Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan bangun bola

Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan bangun tabung

184

Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan bangun kerucut

Archimedes VHNLWDU  60   60  merupakan ahli matematika dan ilmuwan yang sangat WHUNHQDO GDUL
 kali luas permukaan bola. 2

Sumber: www.edulens.org

Hikmah yang bisa diambil 1. Archimedes adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi. Ia PHQFREDPHQFDULSHQ\HEDESDGDWLDSNHMDGLDQ\DQJDGDGLVHNLWDUQ\D+DOLQLGDSDW GLOLKDWGDULNLVDKVDDWLDGLPLQWDXQWXNPHPHULNVDPDKNRWD5DMD+LHURQ,,VDPSDL akhirnya ia menemukan Hukum Archimedes. 2. Archimedes selalu berusaha untuk berinovasi dan menemukan sesuatu yang baru. Kita dapat perhatikan inovasi yang telah ia lakukan dalam penentuan besaran nilai pi S \DQJOHELKDNXUDWGDULSDGDQLODLSL\DQJWHODKGLWHPXNDQVHEHOXPQ\D  3HUDQPDWHPDWLNDGDODPNHKLGXSDQPDQXVLDVDQJDWEDQ\DNVDODKVDWXQ\DDGDODK besaran nilai pi yang dikemukakan Archimedes serta penemuan Archimedes dalam bukunya “On Spheres and Cylinder”.

185

A. Tabung Pertanyaan Penting 7DKXNDK NDPX EDQJXQ WDEXQJ" 7DKXNDK NDPX UXPXV XQWXN PHQJKLWXQJ OXDV permukaan dan volume tabung? .HUMDNDQ EHEHUDSD NHJLDWDQ EHULNXW DJDU NDPX GDSDW PHQJHWDKXL GDQ PHPDKDPL MDZDEDQSHUWDQ\DDQSHUWDQ\DDQGLDWDV Kegiatan 5.1

Membuat Jaring-jaring Tabung

Siapkan beberapa alat berikut:



1. 2.  4. 5.

Kaleng susu yang masih ada labelnya Alat tulis 3HQJJDULV Kertas karton Cutter atau gunting

.HUMDNDQVHFDUDEHUNHORPSRN VLVZD  1. Dengan menggunakan cutter dan penggaris, potong label kaleng susu secara YHUWLNDO MDQJDQVDPSDLVREHN 'LGDSDWNDQODEHO\DQJEHUEHQWXNSHUVHJLSDQMDQJ  *DPEDUODKSHUVHJLSDQMDQJSDGDNHUWDVNDUWRQ\DQJVXGDKGLVLDSNDQVHVXDLXNXUDQ SHUVHJLSDQMDQJ\DQJGLSHUROHK/DQJNDKGDQWDQGDLWLWLNVXGXWQ\DGHQJDQKXUXI A, B, C dan D.  +LWXQJSDQMDQJAB dan BC menggunakan penggaris.  3DQMDQJ%&PHUXSDNDQWLQJJLNDOHQJWHUVHEXWVHGDQJNDQSDQMDQJAB merupakan NHOLOLQJGDULOLQJNDUDQEDZDK DODV GDQOLQJNDUDQDWDV WXWXS   +LWXQJMDULMDULOLQJNDUDQSDGDNDOHQJWHUVHEXW  'DUL SDQMDQJ AB NDPX GDSDW PHQJKLWXQJ MDULMDUL OLQJNDUDQ \DNQL GHQJDQ PHPEDJLSDQMDQJAB dengan 2S.  *DPEDUODKGXDEXDKOLQJNDUDQGHQJDQMDULMDUL\DQJGLSHUROHKGDUL/DQJNDK .HGXDOLQJNDUDQWHUVHEXWPHQ\LQJJXQJPHQHPSHOSHUVHJLSDQMDQJABCD pada sisi AB dan CD. 6. Gunting gambar yang diperoleh dari Langkah 5. Apakah dari gambar yang telah digunting kamu dapat membuat tabung? Cobalah untuk menempelkan kedua OLQJNDUDQGHQJDQSHUVHJLSDQMDQJ

186

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

D

C

A

B

Gambar 5.1 7DEXQJGDQMDULQJ±MDULQJWDEXQJ

Ayo Kita Amati Unsur-unsur tabung. Lingkaran L2 r2

D

C

A

B

r1 Lingkaran L1 x Daerah lingkaran L1PHUXSDNDQDODVWDEXQJGHQJDQMDULMDULr1. x Daerah lingkaran L2PHUXSDNDQWXWXSWDEXQJGHQJDQMDULMDULr2. x 'DHUDKSHUVHJLSDQMDQJABCD merupakan selimut tabung. x r1 dan r2PHUXSDNDQMDUL±MDULWDEXQJ r1 = r2 = r  xJarak titik pusat lingkaran L1 dengan titik pusat lingkaran L2 merupakan tinggi WDEXQJ GLVLPERONDQGHQJDQW  x AB = CD = Keliling daerah lingkaran L1= Keliling daerah lingkaran L2. x AD = BC = t. x Permukaan tabung terdiri atas dua daerah lingkaran dan sebuah daerah persegi.

Ayo Bertanya

Dari pengamatanmu terhadap unsur-unsur tabung buatlah beberapa pertanyaan. Contoh:

MATEMATIKA

187



 $SDNDKMDULMDULWDEXQJVHODOXOHELKSHQGHNGDULSDGDWLQJJLWDEXQJ" 2. Bagaimana bentuk selimut tabung? Kegiatan 5.2

Menendapatkan Rumus Luas Permukaan Tabung

 .DPX WHODK PHQJHWDKXL MDULQJ±MDULQJ WDEXQJ PHODOXL .HJLDDQ  'HQJDQ PHQJJXQDNDQNDOLPDWPXVHQGLULMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXW" 1. Bagaimana bentuk muka atau sisi tabung? Berapa banyak sisi tabung tabung?  $SDNDKKXEXQJDQDQWDUDMDULQJMDULQJWDEXQJGHQJDQOXDVSHUPXNDDQWDEXQJ" Permukaan tabung adalah bangun-bangun yang membatasi tabung tersebut. Berdasarkan Kegiatan 5.1 kamu sudah mengetahui bahwa permukaan tabung terdiri dari dua daerah lingkaran dan sebuah daerah SHUVHJLSDQMDQJ/XDV SHUPXNDDQ WDEXQJ PHUXSDNDQ MXPODK OXDV PXND atau sisi-sisi tabung.

 .DPX MXJD PHQJHWDKXL EDKZD MDULQJMDULQJ WDEXQJ WHUGLUL DWDVSHUVHJLSDQMDQJGDQGXDOLQJNDUDQ\DQJLGHQWLN.HPXGLDQ GDULMDULQJMDULQJWDEXQJWHUVHEXWNDPXGDSDWPHPEXDWWDEXQJ Sehingga dapat disimpulkan bahwa luas permukaan tabung VDPDGHQJDQOXDVMDULQJMDULQJWDEXQJWHUVHEXW

Ayo Kita Simpulkan *DPEDU GL VDPSLQJ PHUXSDNDQ MDULQJMDULQJ WDEXQJ GHQJDQMDULMDULr dan tinggi t. Karena luas permukaan tabung VDPDGHQJDQOXDVMDULQJMDULQJWDEXQJPDND L = Luas permukaan tabung  /XDVMDULQJMDULQJWDEXQJ

r D

C

A

B

t

 î/XDVOLQJNDUDQ/XDVABCD   = ...

188

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Menentukan Volume Tabung Melalui Eksperimen

Kegiatan 5.3

.XPSXONDQXDQJNRLQ5SVHEDQ\DNEXDK .HUMDNDQNHJLDWDQLQLGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPX a. Ambil salah satu uang koin dan ukurlah diameternya. Hitunglah luas permukaan koin tersebut. E .HPXGLDQ WXPSXN  XDQJ NRLQ PHQMDGL VDWX 7XPSXNDQ XDQJ NRLQ WHUVHEXW PHPEHQWXN tabung. Perkirakan volume tabung yang terbentuk dari tumpukan uang koin tersebut. Sumber: Dokumen Kemdikbud

c. Berdasarkan butir b, tentukan rumus untuk menghitung volume tabung. Kegiatan 5.4

Gambar 5.2 Uang

Membandingkan Tabung Dengan Bangun Ruang Lainnya

Pada gambar di bawah ini terdapat prisma segitiga, balok dan tabung dengan tinggi yang sama. t

t a

t

... b

r p

l

D 0HQXUXWNDPXEDJLPDQDKXEXQJDQDQWDUDSULVPDEDORNGDQWDEXQJ"

E 7HQWXNDQUXPXVYROXPHSULVPDGDQEDORN 

9ROXPHSULVPD    = ...





9ROXPHEDORN  = ...

F 'DULMDZDEDQEXWLUDGDQENDPXGDSDWPHQGDSDWNDQUXPXVYROXPHWDEXQJ 

9ROXPHWDEXQJ   = ...

MATEMATIKA

189

Kegiatan 5.5

Membandingkan Volume Dua Tabung

.DPX VXGDK PHQJHWDKXL UXPXV YROXPH WDEXQJ PHODOXL .HJLDWDQ  GDQ  Perhatikan dua tabung di samping. a. Hanya dengan memperhatikan kedua tabung, manakah yang memiliki volume lebih besar? b. Hitung volume kedua tabung, apakah WHEDNDQ NDPX GL SHUWDQ\DDQ EDJLDQ D  benar?

2  9 4

Ayo Kita Simpulkan a. Gunakan kalimatmu sendiri. Bagaimana cara kamu menentukan volume tabung?

E 'DUL KDVLO D  GLSHUROHK EDKZD YROXPH WDEXQJ GHQJDQ MDULMDUL  r dan tinggi t adalah V = ...

Catatan: Bilangan S sering dituliskan S DWDXS=

22 , namun keduanya masih 7

nilai pendekatan. Jika pada soal tidak diperintahkan menggunakan S   22 maka cukup gunakan SVDMD atau S= 7

190

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Materi Esensi

Tabung

'H¿QLVL 7DEXQJ DGDODK EDQJXQ UXDQJ VLVL OHQJNXQJ \DQJ GLEHQWXN ROHK GXD EXDK OLQJNDUDQ LGHQWLN \DQJ VHMDMDU GDQ VHEXDK SHUVHJL SDQMDQJ\DQJPHQJHOLOLQJLNHGXDOLQJNDUDQWHUVHEXW7DEXQJPHPLOLNL tiga sisi yakni dua sisi datar dan satu sisi lengkung. Benda-benda dalam kehidupan sehari-hari yang menyerupai tabung adalah tong sampah, kaleng susu, lilin dan pipa.

Luas Tabung: /XDV WDEXQJ HNXLYDOHQ GHQJDQ MXPODKDQ VHPXD OXDV EDQJXQ SHQ\XVXQ GDUL MDULQJMDULQJ WDEXQJ -DULQJMDULQJ WDEXQJ WHUGLUL DWDV GXD OLQJNDUDQ GDQ VDWX SHUVHJLSDQMDQJ 0LVDONDQWHUGDSDWWDEXQJGHQJDQMDULMDULr dan tinggi t, maka: L /XDVMDULQJMDULQJWDEXQJ = 2 u/XDV/LQJNDUDQ/XDVABCD = 2Sr2 AB u BC = 2Sr2ʌr u t = 2Sr rt

r D

C

A

B

t

,QJDWSDQMDQJAB = Keliling lingkaran, SDQMDQJBC = tinggi tabung.

Volume Tabung: 9ROXPH WDEXQJ DGDODK KDVLO GDUL OXDV DODV WDEXQJ dengan tinggi tabung atau dapat dirumuskan sebagai berikut: V = La u t = Sr2 u t

7LQJJLt

Luas alas = La

MATEMATIKA

191

Contoh 5.1

Menghitung Luas Permukaan Tabung

Hitung luas permukaan tabung di samping.

FP

Alternatif Penyelesaian: 7DEXQJ GL VDPSLQJ PHPLOLNL MDULMDUL r   FP GDQ WLQJJL t = 7 cm, maka luas permukaannya adalah L = 2Sr rt   UXPXVOXDVSHUPXNDDQWDEXQJ = 2Suu   VXEVWLWXVLQLODLr dan t = 60S Jadi, luas permukaan tabung adalah 60S cm2. Contoh 5.2

7 cm

Menghitung Jari-jari Tabung Jika Diketahui Luas

+LWXQJMDULMDULWDEXQJGLVDPSLQJ









Alternatif Penyelesaian: 7DEXQJGLVDPSLQJPHPLOLNLWLQJJLFPGDQOXDVFP2. 22 . Gunakan S = 7 L = 2Sr rt   UXPXVOXDVSHUPXNDDQWDEXQJ 22   r r  VXEVWLWXVLQLODLL dan t 7 7 84 = r r    NHGXDUXDVGLNDOLNDQGHQJDQ 44 6HODQMXWQ\DSHUKDWLNDQWDEHOGLVDPSLQJ 







Diperoleh r VHKLQJJDMDULMDULWDEXQJDGDODKFP

Contoh 5.3

8 cm

L = 528 cm2 84 = 1 u 84 = 4 u 21

= 2 u 42 = 6 u 14

  u 28 = 7 u 12

Menghitung Volume Tabung

Hitung volume tabung di samping.

2m

Alternatif Penyelesaian: 7DEXQJGLVDPSLQJPHPLOLNLMDULMDULr = 2 m dan tinggi t = 6 m. V = Sr2t rumus volume tabung = S  2 u 6 substitusi nilai r dan t = 24S Jadi, volume tabung adalah 24Sm. 192

Kelas IX SMP/MTs

6m

Semester 1

Contoh 5.4

Menghitung Tinggi Tabung Jika Diketahui Volume

Hitung tinggi tabung di samping.

10 cm

Alternatif Penyelesaian: 'LDPHWHUWDEXQJDGDODKFPPDNDMDULMDULWDEXQJDGDODK r FPGDQYROXPHQ\DDGDODKS cm. 9  Sr2t

rumus volume tabung

S= S  u t substitusi nilai r dan t

V S cm

S = 25Su t 12 = t

kedua ruas dibagi dengan 25S

Jadi, tinggi tabung adalah 12 cm. Contoh 5.5

Menghitung Jari-jari Tabung Jika Diketahui Volume

+LWXQJMDULMDULWDEXQJGLVDPSLQJ







Alternatif Penyelesaian: 9ROXPHWDEXQJGLVDPSLQJDGDODKS mdan tinggi t = 10 m. V = Sr2t

600S= Sr2 u 10 60 = r   2



V = 600S m

10 m

rumus volume tabung substitusi nilai V dan t NHGXDUXDVGLEDJLGHQJDQʌ

60 = r -DGLMDULMDULWDEXQJDGDODK 60 m. Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Perhatikan kembali soal pada Contoh 5.1, D -LNDMDULMDULGLMDGLNDQPHQMDGLGXDNDOLOLSDWGDQWLQJJLGLMDGLNDQòNDOLOLSDW berapakah luas permukaan tabung? E -LNDMDULMDULGLMDGLNDQPHQMDGLòNDOLOLSDWGDQWLQJJLGLMDGLNDQGXDNDOLOLSDW berapakah luas permukaan tabung? F 'DULVRDODEDSDNDKWHUMDGLSHUXEDKDQOXDVSHUPXNDDQWDEXQJ" Jelaskan analisismu.

MATEMATIKA

193

 3HUKDWLNDQNHPEDOLVRDOSDGD&RQWRK D -LNDMDULMDULGLMDGLNDQPHQMDGLGXDNDOLOLSDWGDQWLQJJLGLMDGLNDQòNDOLOLSDW berapakah volume tabung? E -LNDMDULMDULGLMDGLNDQPHQMDGLòNDOLOLSDWGDQWLQJJLGLMDGLNDQGXDNDOLOLSDW berapakah volume tabung? F 'DULVRDODEDSDNDKWHUMDGLSHUXEDKDQOXDVSHUPXNDDQWDEXQJ" Jelaskan analisismu. Latihan 5.1

Tabung

1. Hitung luas permukaan dan volume dari bangun tabung berikut ini: 4 cm 4 cm 7 cm 10 cm

12 cm

6 cm

a.

b.

c.

2m

7 dm 4m 8m 20 dm 10 m e.

d.

I

 7HQWXNDQSDQMDQJGDULXQVXUWDEXQJ\DQJGLWDQ\DNDQ 20 cm V = 600Scm

5 cm t=?

a. 194

Kelas IX SMP/MTs

L = 120S cm2

b.

V = 224Sm t=?

8m t=? c. Semester 1

t FP

r=?

r=? r=? L = 450S cm2

L = 528S cm2 d.

t = 15 cm

V = 294S m

e.

t = 6 cm

I

Ket: V = volume tabung, L = luas permukaan tabung, r MDULMDULWDEXQJ t = tinggi tabung.  Berpikir Kritis7HUGDSDWVXDWXWDEXQJGHQJDQMDULMDULr cm dan tinggi tabung t cm, dimana r < t0LVDONDQWDEXQJWHUVHEXWPHPLOLNLYROXPHV cm dan luas permukaan L cm2. Apakah mungkin V = L?

1 1  . r t 4. Tantangan. Gambar disamping merupakan suatu magnet silinder. Alas dari magnet tersebut dibentuk dari dua lingkaran yang sepusat. Lingkaran yang lebih kecil PHPLOLNL MDULMDUL r1 = 4 cm, sedangkan lingkaran yang OHELK EHVDU PHPLOLNL MDULMDUL r2   FP 7LQJJL GDUL magnet adalah t = 10 cm. Jika ya, tentukan nilai



7HQWXNDQ D /XDVSHUPXNDDQPDJQHW









r2

r1

t

E 9ROXPHPDJQHW

5. Irisan Tabung 0LVDONDQ WHUGDSDW VXDWX WDEXQJ GHQJDQ  MDULMDUL r FP GDQ SDQMDQJ t cm. Kemudian tabung tersebut GLMDGLNDQ LULVDQ WDEXQJ GHQJDQ PHPRWRQJ WDEXQJ WHUVHEXW PHQMDGL GXD EDJLDQ \DQJ VDPD SHUVLV GDUL DWDV NH EDZDK t 7HQWXNDQUXPXVXQWXNPHQJKLWXQJOXDVLULVDQWDEXQJWHUVHEXW

r

6. Tandon Bocor7HUGDSDWVXDWXWDQGRQ\DQJEHUEHQWXNWDEXQJGHQJDQMDULMDUL FPWLQJJLP7DQGRQWHUVHEXWEHULVLDLUVHEDQ\DNôGDULYROXPHWRWDO7HUGDSDW lubang kecil di dasar tendon tersebut yang menyebabkan air mengalir keluar dengan kecepatan 50 cmGHWLN$LUSDGDWDQGRQWHUVHEXWDNDQKDELVVHWHODK GHWLN" DQJJDSS  

MATEMATIKA

195

20 cm

7. Pondasi rumah. Alas dari pondasi rumah pak Ahmad berbentuk seperti gambar di samping. Jika tinggi pondasi adalah 2 m maka: 

D 7HQWXNDQOXDVSHUPXNDDQSRQGDVL



E 7HQWXNDQYROXPHSRQGDVL 5 cm 5 cm

8. Analisis Kesalahan 5XGL PHQJKLWXQJ YROXPH WDEXQJ GHQJDQ GLDPHWHU  FP GDQWLQJJLFP5XGLPHQJKLWXQJ V   2    Sehingga diperoleh volume tabung adalah 720 cm 7HQWXNDQ NHVDODKDQ \DQJ dilakukan Budi. 9. Tabung miring. Pada gambar di bawah terdapat dua buah bangun sisi lengkung. 6HEHODK NLUL PHUXSDNDQ WDEXQJ GHQJDQ MDULMDUL r dan tinggi t. Sebelah kanan merupakan bangun ruang sisi lengkung yang diperoleh dari tabung sebelah kiri GHQJDQPHQJJHVHUWXWXSNHVHEHODKNDQDQVHODQMXWQ\DGLVHEXWdengan tabung PLULQJ7DEXQJPLULQJWHUVHEXWPHPLOLNLMDULMDULr dan tinggi t.

t

t r

r

D 7HQWXNDQVXDWXPHWRGHXQWXNPHQGDSDWNDQUXPXVGDULYROXPHWDEXQJPLULQJ tersebut. b. Apakah volume rumus tabung miring sama dengan volume tabung? Jelaskan analisismu.

10. Kaleng susu. Suatu perusahaan susu memiliki kotak susu ukuran 40 cm u 60 cm u 20 cm. Kapasitas maksimal kotak tersebut adalah 48 kaleng susu. JariMDULNDOHQJVXVXDGDODKr cm dan tingginya t cm. Perusahaan tersebut membuat peraturan:



196

i. Nilai r dan t harus bilangan bulat. ii. Luas permukaan kaleng tersebut harus seminimal mungkin. 7HQWXNDQQLODLr dan t.

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

B. Kerucut Pertanyaan Penting 7DKXNDKNDPXUXPXVXQWXNPHQJKLWXQJOXDVSHUPXNDDQGDQYROXPHNHUXFXW" .HUMDNDQEHEHUDSD.HJLDWDQEHULNXWDJDUNDPXGDSDWPHQJHWDKXLGDQPHPDKDPL MDZDEDQSHUWDQ\DDQGLDWDV Kegiatan 5.6

Membuat Jaring-jaring Kerucut

Siapkan beberapa alat berikut:  7RSLEHUEHQWXNNHUXFXW  2. Alat tulis dan spidol merah.  3HQJJDULV





 *XQWLQJ 5. Kertas karton.

Langkah – langkah dalam Kegiatan 5.6: 1. Buat garis lurus vertikal dari titik puncak dengan menggunakan spidol merah. 2. Dengan menggunakan gunting, potong topi sesuai garis merah.  'DUL/DQJNDKGLSHUROHKEDQJXQ\DQJEHUEHQWXNMXULQJ  *DPEDUODKMLSODN MXULQJ \DQJ GLSHUROHK GDUL /DQJNDK   SDGD NHUWDV NDUWRQ NHPXGLDQWDQGDLWLWLNSXQFDNGHQJDQKXUXIAWLWLN±WLWLNXMXQJEXVXUQ\DGHQJDQ titik B dan C.

฀ NHOLOLQJDODVNHUXFXW6HKLQJJDGDSDWGLSHUROHKMDUL±MDUL  3DQMDQJEXVXU BC ฀ S. kerucut, yaitu r = BC  *DPEDUODKOLQJNDUDQGHQJDQMDULMDUL\DQJGLSHUROHKGDUL/DQJNDK/LQJNDUDQ ฀ . tersebut menyinggung busur BC 7. Gunting gambar yang diperoleh dari Langkah 6. Apakah dari gambar yang telah digunting kamu dapat membuat kerucut? A

t r

B

C r

Gambar 5.3 .HUXFXWGDQMDULQJ±MDULQJNHUXFXW

MATEMATIKA

197

Ayo Kita Amati Unsur-unsur dari kerucut. A

t

s

s r

r

Lingkaran L

s t r

B

C

Juring ABC x Daerah lingkaran L merupakan alas kerucut. x Juring ABC merupakan selimut kerucut. x 7LWLNA merupakan titik puncak kerucut. x rPHUXSDNDQMDULMDULNHUXFXW x t merupakan tinggi kerucut. x 3DQMDQJEXVXUBCVDPDGHQJDQNHOLOLQJOLQJNDUDQGHQJDQMDULMDULr. x AB dan AC disebut garis lukis kerucut. xAB = AC = s, dimana s2 = r2t2 LQJDW7HRUHPD3K\WDJRUDV  Ayo Silakan Bertanya Dari pengamatanmu terhadap unsur-unsur kerucut buatlah beberapa pertanyaan . Contoh:  $SDNDKMDULMDULNHUXFXWVHODOXOHELKSHQGHNGDULSDGDWLQJJLNHUXFXW" 2. Bagaimana bentuk selimut kerucut?

Diskusi .DPX VXGDK PHQJHWDKXL MDULQJMDULQJ NHUXFXW PHODOXL .HJLDWDQ  'LVNXVLNDQ pertanyaan berikut bersama teman sebangkumu. 1. Apakah untuk menghitung luas permukaan permukaan tabung dapat melalui PHQJKLWXQJOXDVMDULQJMDULQJNHUXFXW  %DJDLPDQDFDUDQ\DPHQJKLWXQJOXDVMDULQJMDULQJNHUXFXW" 198

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Sama seperti menghitung luas permukaan tabung, untuk menghitung luas SHUPXNDDQ NHUXFXW GDSDW GLODNXNDQ GHQJDQ PHQJKLWXQJ OXDV GDUL MDULQJMDULQJ NHUXFXW-DULQJ±MDULQJNHUXFXWWHUGLULDWDVVHEXDKOLQJNDUDQGDQVHEXDKMXULQJ OLKDW *DPEDU 0DNDOXDVSHUPXNDDQNHUXFXWDGDODKOXDVOLQJNDUDQL ditambah dengan OXDVMXULQJABC. Kamu pasti sudah bisa menghitung luas lingkaran L NDUHQD MDUL±MDULQ\D VXGDK GLNHWDKXLQDPXQEDJDLPDQDPHQJKLWXQJOXDVMXULQJABCMLND\DQJGLNHWDKXLDGDODK ฀ GDQSDQMDQJAB".HUMDNDQ.HJLDWDQXQWXNPHQGDSDWNDQOXDV SDQMDQJEXVXU BC MXULQJABCSDGDMDULQJMDULQJNHUXFXW

Menentukan Luas Selimut Kerucut

Kegiatan 5.7

.HUMDNDQNHJLDWDQLQLVHFDUDLQGLYLGX     3HUKDWLNDQJDPEDUGLVDPSLQJ'LNHWDKXLSDQMDQJAB = ฀ = 2Sr. Ingat bahwa SDQMDQJAC = sVHUWDSDQMDQJ BC MXULQJ ABC merupakan bagian dari lingkaran dengan MDULMDULs. Kita beri nama dengan lingkaran S. 1. Ingatkah kamu mengenai perbandingan antara luas MXULQJGHQJDQOXDVOLQJNDUDQ" Jika diketahui ‘BAC maka

A

s

s Juring ABC

B

C

Luas Juring ABC m‘ABC = Luas Lingkaran S ...

Namun sudut ‘BACWLGDNGLNHWDKXLPDNDGLSHUOXNDQDQDOLVLVOHELKODQMXW  ,QJDWNDK NDPX PHQJHQDL SHUEDQGLQJDQ DQWDUD SDQMDQJ EXVXU GHQJDQ NHOLOLQJ lingkaran?

฀ ฀ BC BC m‘ABC = Keliling Lingkaran Lingkaran SS ...

฀ = 2Sr, sehingga Namun diketahui BC

2S r ‘BAC = Keliling Lingkaran S

 'DULKDVLO  GDQ  GLSHUROHK

Luas Juring ABC 2S r = Keliling Lingkaran S Luas Lingkaran S

Sehingga, Luas Juring ABC =

2S r u Luas Lingkaran S Keliling Lingkaran S MATEMATIKA

199

Dengan mensubstitusi luas lingkaran S = Ss2 dan keliling lingkaran S = 2Ss, diperoleh

2S r u Ss2 2S s = ...

Luas Juring ABC =

Ayo Kita Simpulkan A

*DPEDUGLVDPSLQJPHUXSDNDQMDULQJMDULQJNHUXFXWGHQJDQ MDULMDUL r dan tinggi t. Karena luas permukaan kerucut HNXLYDOHQGHQJDQOXDVMDULQJMDULQJNHUXFXWPDND /XDV3HUPXNDDQ.HUXFXW /XDV/LQJNDUDQ//XDV-XULQJ$%&   = ...

Kegiatan 5.8

t r

B r

Menentukan Volume Kerucut Melalui Eksperimen

.HUMDNDQNHJLDWDQLQLVHFDUDNHORPSRN Siapkan beberapa alat perikut: 1. Kertas karton 2. Gunting  %HUDVDWDXSDVLU 4. Double tape Langkah-langkah dari Kegiatan 5.8 adalah sebagai berikut: D %XDWODK NHUXFXW WDQSD WXWXS GHQJDQ MDULMDUL GDQ WLQJJL sesuka kamu. Kemudian buatlah tabung tanpa tutup GHQJDQMDULMDULGDQWLQJJL\DQJVDPDGHQJDQMDULMDULGDQ tinggi kerucut tersebut. b. Isi kerucut dengan beras atau pasir sampai penuh kemudian pindahkan semuanya ke tabung. Ulangi langkah ini sampai tabung terisi penuh. c. Berapa kali kamu mengisi tabung sampai penuh dengan menggunakan kerucut? d. Gunakan hasil d untuk menentukan hubungan antara volume tabung dan volume kerucut. 200

C

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

H 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQYROXPHNHUXFXWGHQJDQYROXPHWDEXQJ I 'DULMDZDEDQEXWLUHGDSDWGLVLPSXONDQ 9ROXPHNHUXFXW 

... 9ROXPHWDEXQJ ...

Membandingkan Kerucut dengan Limas

Kegiatan 5.9

Pada gambar di bawah ini terdapat limas segitiga, limas segiempat, dan kerucut dengan tinggi yang sama.

...

r b a D 0HQXUXW NDPX DSDNDK NHVDPDDQ DQWDUD OLPDV VHJLWLJD OLPDV VHJLHPSDW GDQ kerucut?

E 7HQWXNDQUXPXVYROXPHOLPDVVHJLHPSDW 





Limas di samping memiliki alas segiempat dengan SDQMDQJVLVLb serta tinggi t. 9ROXPHOLPDV  = ... b

MATEMATIKA

201

F 'DULKDVLO D GDQ E NDPXGDSDWPHQHQWXNDQUXPXVYROXPH kerucut.  /LPDV GL VDPSLQJ PHPLOLNL DODV OLQJNDUDQ GHQJDQ MDULMDUL r serta tinggi t. 9ROXPHOLPDV  = ...

r

Ayo Kita Simpulkan a. Gunakan kalimatmu sendiri. Bagaimana caramu menentukan volume kerucut?

E 'DUL.HJLDWDQGDQGLSHUROHKEDKZDUXPXVYROXPHNHUXFXWGHQJDQMDUL MDULGDQWLQJJLt adalah V = ...

Contoh 5.6

Menghitung Luas Permukaan Kerucut

Hitung luas permukaan kerucut di samping. 'LDPHWHU NHUXFXW DGDODK  FP PDND MDULMDUL NHUXFXW adalah r = 8 cm, sedangkan tinggi kerucut adalah t =15 FP3DQMDQJJDULVOXNLVDGDODK Sehingga diperoleh L = Sr r s  

UXPXVOXDVSHUPXNDDQWDEXQJ

15 cm

16 cm

= S    VXEVWLWXVLQLODLr dan t = 200S

Jadi, luas permukaan kerucut adalah 200Scm2. Contoh 5.7

Menghitung Jari-jari Kerucut Jika Diketahui Luas

+LWXQJMDULMDULNHUXFXWGLVDPSLQJ 3DQMDQJJDULVOXNLVDGDODKs =12 m dan luas permukaan kerucut adalah L = 90S m2.

202

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

= Sr r s 

L

90S = Sr r   90 = r r  



UXPXVOXDVSHUPXNDDQWDEXQJ



VXEVWLWXVLQLODL dan s



NHGXDUXDVGLEDJLGHQJDQʌ

Perhatikan tabel di samping.

 P

90 = 1 u 90 = 5 u 18 = 2 u 45 = 6 u 15

L = 90S m2

 u u 10 Diperoleh r VHKLQJJDMDULMDULNHUXFXWDGDODKP

Menghitung Tinggi Kerucut Jika Diketahui Luas

Contoh 5.8

Hitung tinggi kerucut di samping. -DULMDULNHUXFXWDGDODKr = 12 dm dan luasnya adalah L GP2.

L = Sr rs  



UXPXVOXDVSHUPXNDDQWDEXQJ

S = S  s  

VXEVWLWXVLQLOD/GDQU

  s 

NHGXDUXDVGLEDJLGHQJDQʌ





12 dm L GP2

  s Kemudian berdasarkan teorema phytagoras t=

s2  r

2  2





Diperoleh t = 5, sehingga tinggi kerucut adalah 5 dm. Contoh 5.9

Menghitung Tinggi Kerucut Jika Diketahui Luas

Hitung volume kerucut di samping. 'LDPHWHUNHUXFXWDGDODKFPPDNDMDULMDULNHUXFXWDGDODK r FP6HGDQJNDQSDQMDQJJDULVOXNLVDGDODKs = 20 cm, maka t=

20 cm

202  122 = 400  144 = 256 = 16

24 cm

MATEMATIKA

203

Sehingga volumenya adalah

1 2 Sr t  1 = S  2 u 16  = 768S

V =

rumus luas permukaan tabung substitusi nilai r dan t

9ROXPHGDULNHUXFXWDGDODKS m. Contoh 5.10

Menghitung Jari-jari Kerucut Jika Diketahui Volume

+LWXQJMDULMDULNHUXFXWGLVDPSLQJ









7LQJJL NHUXFXW DGDODK t = 12 m dan volumenya adalah V = 196S m.

1 V = Sr2t  1 2 196 S = ʌr u 12  196S = 4Sr2 49 = r2

12 cm

rumus luas permukaan kerucut substitusi nilai r dan t

9 ʌP

kedua ruas dibagi dengan 4S

7 =r -DULMDULNHUXFXWDGDODKP Ayo Kita Tinjau Ulang  3HUKDWLNDQNHPEDOLVRDOSDGD&RQWRK-LNDMDULMDULGLMDGLNDQPHQMDGLòNDOL OLSDW GDQ WLQJJL GLMDGLNDQ GXD NDOL OLSDW EHUDSDNDK OXDV SHUPXNDDQ NHUXFXW " Apakah luas permukaannya semakin besar ? 2. Perhatikan kembali soal pada Contoh 5.9, D -LNDMDULMDULGLMDGLNDQPHQMDGLGXDNDOLOLSDWGDQWLQJJLGLMDGLNDQòNDOLOLSDW berapakah volume kerucut? E -LNDMDULMDULGLMDGLNDQPHQMDGLòNDOLOLSDWGDQWLQJJLGLMDGLNDQGXDNDOLOLSDW berapakah volume kerucut? F 'DULVRDODEDSDNDKWHUMDGLSHUXEDKDQYROXPHNHUXFXW" Jelaskan analisismu.

204

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Latihan 5.2

Kerucut

 7HQWXNDQOXDVSHUPXNDDQGDQYROXPHGDULEDQJXQWDEXQJEHULNXW 12 cm 10 cm

12 cm 10 cm 6 cm

4 cm a.

b.

c.

7m 12 cm FP

4 cm FP

25 m

d.

10 cm I

e.

 7HQWXNDQSDQMDQJGDULXQVXUNHUXFXW\DQJGLWDQ\DNDQ r=? t=?

t=?

t = 10 m 16 cm

10 m V S m a.

V = 120S m2 b.

L = 180S cm2 c.

r=?

15 cm 16 cm

15 dm

12 dm

d.

t=?

L = 225S cm2 e.

t=?

V = 150S cm I

MATEMATIKA

205

 Tumpeng. Pada suatu hari Pak Budi melakukan syukuran rumah baru. Pak Budi memesan suatu WXPSHQJ 7XPSHQJ WHUVHEXW PHPLOLNL GLDPHWHU  FP GDQ WLQJJL  FP 1DPXQ GLDZDO DFDUD 3DN Budi memotong bagian atas tumpeng tersebut secara mendatar setinggi 8 cm.

8 cm

Berapakah luas permukaan dan volume dari tumpeng yang tersisa?

 6XDWXNHUXFXWPHPLOLNLMDULMDULFPGDQWLQJJLWFP-LNDOXDVSHUPXNDDQNHUXFXW adalah A cm2 dan volume kerucut adalah A cm maka tentukan: a. Nilai dari t. b. Nilai dari A.  7HUGDSDW VXDWX EDQJXQ UXDQJ \DQJ GLSHUROHK GDUL GXD NHUXFXW \DQJ VHSXVDW .HUXFXW \DQJ OHELK EHVDU PHPLOLNL MDULMDUL  FP GDQ WLQJJL  FP -DULMDUL NHUXFXW NHFLO DGDODK ò MDUL NHUXFXW EHVDU WLQJJL NHUXFXW NHFLO DGDODK ò WLQJJL NHUXFXWEHVDU OLKDWJDPEDUGLEDZDK 10 cm

24 cm



7HQWXNDQ D/XDVSHUPXNDDQ









E 9ROXPH

6. Irisan Kerucut 0LVDONDQ WHUGDSDW VXDWX NHUXFXW GHQJDQ  GHQJDQ MDULMDUL r FP GDQ SDQMDQJ t cm. Kemudian kerucut WHUVHEXW GLMDGLNDQ LULVDQ NHUXFXW GHQJDQ PHPRWRQJ NHUXFXW WHUVHEXWPHQMDGLGXDEDJLDQGDULDWDVNHEDZDK OLKDWJDPEDU GL VDPSLQJ  7HQWXNDQ UXPXV XQWXN PHQJKLWXQJ OXDV LULVDQ tabung tersebut.

206

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

7. Analisis Kesalahan. Budi menghitung volume kerucut dengan diameter 10 cm dan tinggi 12 cm. Budi menghitung

1 12 2 10  480  Sehingga diperoleh volume kerucut adalah 480 cm7HQWXNDQ NHVDODKDQ \DQJ dilakukan Budi. V=

8. Dari kertas karton ukuran 1 m u  P /LVD DNDQ PHPXDW MDULQJMDULQJ NHUXFXW GHQJDQMDULMDULr cm dan tinggi t cm.

D $SDNDK/LVDELVDPHPEXDWMDULQJMDULQJWHUVHEXWMLNDr = 40 cm dan t FP" Kemukakan alasanmu. E $SDNDK/LVDELVDPHPEXDWMDULQJMDULQJWHUVHEXWMLNDr FPGDQt = 40 cm? Kemukakan alasanmu.

9. Kerucut miring. Padagambar di bawahterdapat dua buah bangun sisi lengkung. 6HEHODK NLUL PHUXSDNDQ NHUXFXW GHQJDQ MDULMDUL r dan tinggi t. Sebelah kanan merupakan bangun ruang sisi lengkung yang diperoleh dari kerucut sebelah kiri GHQJDQPHQJJHVHUDODVQ\DNHVHEHODKNDQDQVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQkerucut miring.HUXFXWPLULQJWHUVHEXWPHPLOLNLMDULMDULr dan tinggi t.

t

t r

r

D 7HQWXNDQ VXDWX PHWRGH XQWXN PHQGDSDWNDQ UXPXV GDUL YROXPH NHUXFXW miring tersebut. b. Apakah volume rumus kerucut miring sama dengan volume kerucut? Jelaskan analisismu. A 10. Perhatikan kerucut di samping. Jika segitiga ABC  PHUXSDNDQVHJLWLJDVDPDVLVLGHQJDQSDQMDQJVLVLd cm. 7HQWXNDQOXDVSHUPXNDDQGDQYROXPHNHUXFXW B

d

MATEMATIKA

C

207

C. Bola Pertanyaan Penting 7DKXNDKNDPXUXPXVPHQJKLWXQJOXDVSHUPXNDDQGDQYROXPHEROD" .HUMDNDQ EHEHUDSD NHJLDWDQ EHULNXW DJDU NDPX GDSDW PHQJHWDKXL GDQ PHPDKDPL MDZDEDQSHUWDQ\DDQGLDWDV Kegiatan 5.10

Menentukan Luas Bola Melalui Eksperimen

.HUMDNDQNHJLDWDQLQLVHFDUDNHORPSRNVHEDQ\DNVDPSDLVLVZD%HQGDDWDXDODW yang perlu disiapkan: 1. 2.  4. 5. 6.

Bola plastik ukuran kecil sebanyak tiga Gunting %HQDQJ Pensil dan penggaris Kertas karton Lem

Langkah-langkah dari kegiatan ini adalah 1. Ambil salah satu bola. Dengan menggunakan penggaris, hitunglah keliling bola \DQJNDPXVLDSNDQ'DULNHOLOLQJGDSDWGLSHUROHKMDULMDULEROD  %XDWODK EHEHUDSD OLQJNDUDQ GL NDUWRQ GHQJDQ MDULMDUL \DQJ NDPX SHUROHK GDUL Langkah 1.  *XQWLQJODKVHPXDOLQJNDUDQ\DQJVXGDKGLEXDW  *XQWLQJODKEROD\DQJVXGDKGLVLDSNDQGDQMDGLNDQPHQMDGLSRWRQJDQNHFLONHFLO 5. Ambil salah satu lingkaran dan tempelkan dengan menggunakan lem potonganSRWRQJDQ EROD SDGD OLQJNDUDQ XVDKDNDQ SRWRQJDQSRWRQJDQ EROD WLGDN VDOLQJ WLQGLK -LNDVXGDKSHQXKDPELOOLQJNDUDQ\DQJODLQGDQWHPSHONDQSRWRQJDQ potongan bola pada lingkaran kedua. Ulangi terus sampai potongan-potongan bola sudah habis. 6. Dari Langkah 5, dapat disimpulkan bahwa luas permukaan bola sama dengan ... NDOLOXDVOLQJNDUDQGHQJDQMDULMDUL\DQJVDPD 7. Untuk lebih meyakinkan, ulangi Langkah 1 sampai dengan Langkah 6 dengan menggunakan bola kedua dan ketiga.

208

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Mendapatkan Rumus Luas Permukaan Bola

Kegiatan 5.11

Diskusi Diskusikan dengan teman sebangkumu beberapa pertanyaan berikut: D $SDNDKERODPHPLOLNLMDULQJMDULQJ" b. Bagaimana cara menentukan luas permukaan bola? .HPXGLDQEDFDGDQSDKDPLLQIRUPDVLGLEDZDKLQL

Tahukah Kamu? 'DODPNDU\DQ\D\DQJEHUMXGXO³On Spheres and Cylinder”, Archimedes menyatakan EDKZD³6HEDUDQJWDEXQJ\DQJPHPLOLNLMDULMDUL\DQJVDPDGHQJDQMDULMDULEROD dan tingginya sama dengan diameter bola, maka luas permukaan tabung sama GHQJDQNDOLOXDVSHUPXNDDQEROD´

r r

r

2r r

'HQJDQ NDWD ODLQ SHUEDQGLQJDQ OXDV SHUPXNDDQ EROD \DQJ PHPLOLNL MDULMDUL r GHQJDQOXDVSHUPXNDDQWDEXQJ\DQJPHPLOLNLMDULMDULr dan tinggi 2rDGDODK 6HODQMXWQ\DMDZDESHUWDQ\DDQGLEDZDKLQL F %DJDLPDQDFDUDPHQHQWXNDQOXDVSHUPXNDDQERODEHUGDVDUNDQLQIRUPDVLGLDWDV" Pada kegiatan ini kamu akan mendapatkan rumus menghitung luas bola dengan menggunakan perbandingan dengan luas tabung. 7HUGDSDWGXDEDQJXQ D 7DEXQJGHQJDQMDULMDULr dan tinggi 2r. E %RODGHQJDQMDULMDULr. Sekarang ikuti langkah-langkah berikut. 1. Hitung luas tabung. Kamu pasti masih ingat rumus untuk menghitung luas WDEXQJ7XOLVNDQKDVLOQ\DGLEDZDKLQL Ltabung = ...

MATEMATIKA

209

 6HODQMXWQ\DEHUGDVDUNDQSHUQ\DWDDQ$UFKLPHGHVNDPXELVDPHQGDSDWNDQUXPXV untuk menghitung luas bola.

2 uLtabung  = ... = ...

Lbola =

Menentukan Volume Bola Melalui Eksperimen

Kegiatan 5.12

.HUMDNDQNHJLDWDQLQLVHFDUDNHORPSRN6LDSNDQERODSODVWLNDODWWXOLVSHQJJDULV kertas karton dan pasir. D +LWXQJMDULMDULERODSODVWLNGHQJDQSHQJJDULV





b. Buatlah dua tabung terbuka dari kertas karton yang telah GLVLDSNDQ -DULMDUL WDEXQJ WHUEXND VDPD GHQJDQ MDULMDUL bola plastik, sedangkan tinggi tabung terbuka sama dengan diameter bola plastik. c. Lubangi bola plastik dengan menggunakan cutter. d. Isi bola plastik yang sudah berlubang dengan pasir sampai penuh. e. Kemudian pindahkan semua pasir pada bola ke tabung terbuka. Ulangi langkah ini sampai kedua tabung terisi penuh. I %HUDSDNDOLNDPXPHQJLVLGXDWDEXQJVDPSDLSHQXKGHQJDQPHQJJXQDNDQEROD" J *XQDNDQKDVLO I XQWXNPHQHQWXNDQSHUEDQGLQJDQYROXPHERODGHQJDQYROXPH tabung.

Mendapatkan Rumus Volume Bola

Kegiatan 5.13

 .HUMDNDQ NHJLDWDQ LQL VHFDUD LQGLYLGXDO 7DEXQJ SDGD .HJLDWDQ  PHPLOLNL MDULMDULr dan tinggi 2r. Hitung volume dari tabung tersebut dan gunakan hasil dari .HJLDWDQXQWXNPHQHQWXNDQUXPXVPHQJKLWXQJYROXPHEROD Vbola =

... V ... tabung

= ... = ...

210

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Contoh 5.11

Menghitung Luas Permukaan Bola

Hitung luas bola di samping. Alternaif Penyelesaian: 10 cm

'LDPHWHUERODGLVDPSLQJDGDODKFPPDNDMDULMDULQ\D adalah r = 5 cm. L = 4Sr2

rumus luas permukaan bola

= 4S  

VXEVWLWXVLQLODLr

= 100S Jadi, luas bola adalah 100S cm2. Contoh 5.12

Menghitung Jari-jari Bola Jika Diketahui Luas

+LWXQJMDULMDULERODGLVDPSLQJ 















Alternaif Penyelesaian: Luas permukaan bola di samping adalah L = 441 m2. = 4Sr2

L

441S = 4Sr

2

441 = 4r2 21

rumus luas permukaan bola substitusi nilai L

kedua ruas dibagi dengan S

L = 441 m2

= 2r

-DGLMDULMDULERODDGDODKFP Contoh 5.13

Menghitung Volume Bola

Hitung volume bola di samping.

r = 12 m

Alternaif Penyelesaian: -DULMDULERODGLVDPSLQJDGDODKr = 12 m.

4  Sr rumus volume bola  4 = S   substitusi nilai r  4 S  =   S /XDVERODDGDODKS m. V =

MATEMATIKA

211

Contoh 5.14

Menghitung Jari-jari Bola Jika Diketahui Volume

+LWXQJMDULMDULERODGLVDPSLQJ 















Alternaif Penyelesaian: 9ROXPHERODGLVDPSLQJDGDODKV = 288 m 4  V = Sr rumus volume bola  4  288S = Sr substitusi nilai V   216 = r kedua ruas dikali dengan S 4 6 =r -DULMDULERODDGDODKP

L = 288 m

Ayo Kita Tinjau Ulang  3HUKDWLNDQNHPEDOLVRDOSDGD&RQWRK-LNDMDULMDULGLXEDKPHQMDGLNDOL OLSDWQ\DEHUDSDNDOLOLSDWOXDVQ\D"6HFDUDXPXPMLNDMDULMDULGLXEDKPHQMDGLa NDOLOLSDWQ\D a! EHUDSDNDOLOLSDWOXDVQ\D"  3HUKDWLNDQNHPEDOLVRDOSDGD&RQWRK-LNDOXDVQ\DGLXEDKPHQMDGLNDOL OLSDWQ\DEHUDSDNDOLOLSDWMDULMDULQ\D"6HFDUDXPXPMLNDOXDVQ\DGLXEDKPHQMDGL aNDOLOLSDWQ\D a! EHUDSDNDOLOLSDWMDULMDULQ\D"  3HUKDWLNDQNHPEDOLVRDOSDGD&RQWRK-LNDMDULMDULGLXEDKPHQMDGLNDOL OLSDWQ\DEHUDSDNDOLOLSDWYROXPHQ\D"6HFDUDXPXPMLNDMDULMDULGLXEDKPHQMDGL aNDOLOLSDWQ\D a! EHUDSDNDOLOLSDWYROXPHQ\D"  3HUKDWLNDQ NHPEDOL VRDO SDGD &RQWRK  -LND YROXPHQ\D GLXEDK PHQMDGL  NDOLOLSDWQ\DEHUDSDNDOLOLSDWMDULMDULQ\D"6HFDUDXPXPMLNDYROXPHQ\DGLXEDK PHQMDGLaNDOLOLSDWQ\D a! EHUDSDNDOLOLSDWMDULMDULQ\D" Latihan 5.3

Bola

 7HQWXNDQOXDVSHUPXNDDQGDQYROXPHEDQJXQERODEHULNXW

r = 12 m

a. 212

Kelas IX SMP/MTs

d = 10 cm

b.

d = 12 dm

c. Semester 1

r = 4,5 cm

r = 15 m

d = 20 m

I

e.

d.

2. Berapakah luas permukaan bangun setengah bola tertutup berikut: 12 cm

8 cm

12 cm

a.

b.

c. 15 m 11 dm

8m I

e.

d.

 'DUL VRDOVRDO QRPRU  WHQWXNDQ UXPXV XQWXN PHQJKLWXQJ OXDV SHUPXNDDQ setengah bola tertutup.  7HQWXNDQMDULMDULGDULERODGDQVHWHQJDKERODWHUWXWXSEHULNXW

V Scm2

V Scm2

a.

b.

c.

L = 27Sm2

L = 45Sm2

d.

e.

L = 729Scm2

V=

128 Sm2 

I MATEMATIKA

213

5. Berpikir kritis7HUGDSDWVXDWXERODGHQJDQMDULMDULr cm. Jika luas permukaan bola tersebut adalah A cm2 dan volume bola tersebut adalah A cm,tentukan: a. Nilai r b. Nilai A 6. Bangun di samping dibentuk dari dua setengah bola yang sepusat. Setengah bola yang lebih NHFLO PHPLOLNL MDULMDUL r1 = 4 cm sedangkan \DQJOHELKEHVDUPHPLOLNLMDULMDULr2 = 8 cm.

r2

r1

7HQWXNDQ a. Luas permukaan bangun tersebut E 9ROXPHEDQJXQWHUVHEXW 7. Analisis kesalahan. Lia menghitung luas permukaan bola dengan cara membagi V YROXPHEROD GHQJDQ MDULMDULEROD WHUVHEXW L = 7HQWXNDQNHVDODKDQ\DQJ r dilakukan oleh Lia. 8. Bola di dalam kubus7HUGDSDWVXDWXNXEXVGHQJDQ  SDQMDQJ VLVL V FP 'DODP NXEXV WHUVHEXW WHUGDSDW bola dengan kondisi semua sisi kubus menyentuh EROD OLKDWJDPEDUGLVDPSLQJ  D 7HQWXNDQOXDVSHUPXNDDQERODWHUVHEXW E 7HQWXNDQYROXPHERODWHUVHEXW Petunjuk: WHQWXNDQMDULMDULERODWHUOHELKGDKXOX

S

9. Kubus di dalam bola 7HUGDSDW VXDWX NXEXV  GHQJDQSDQMDQJVLVLVFP.XEXVWHUVHEXWEHUDGDGL dalam bola dengan kondisi semua titik sudut kubus menyentuh bola.

S

D 7HQWXNDQOXDVSHUPXNDDQERODWHUVHEXW E 7HQWXNDQYROXPHERODWHUVHEXW Petunjuk: WHQWXNDQMDULMDULERODWHUOHELKGDKXOX

10. Timbangan dan kelereng. Andi punya dua macam kelereng. Kelereng tipe I EHUMDULMDULFPVHGDQJNDQWLSH,,EHUMDULMDULFP$QGLPHODNXNDQHNVSHULPHQ GHQJDQPHQJJXQDNDQWLPEDQJDQ7LPEDQJDQVLVLNLULGLLVLGHQJDQNHOHUHQJWLSH , VHGDQJNDQ VLVL NDQDQ GLLVL GHQJDQ NHOHUHQJ WLSH  7HQWXNDQ SHUEDQGLQJDQ banyaknya kelereng pada sisi kiri dengan banyaknya kelereng pada sisi kanan agar timbangan tersebut seimbang. 214

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Proyek 5

Kerjakan secara kelompok beranggotakan 5 siswa. D 7LDSWLDSVLVZDPHPEDZDERWRO ELVDERWROPLQXPDQNHFDSGDQODLQODLQ  b. Isi tiap-tiap botol dengan air dan hitung volumenya. F +LWXQJ YROXPH WLDSWLDS ERWRO NDPX ELVD PHQJKLWXQJ MDULMDUL GDQ WLQJJL WHUOHELKGDKXOX  G %DQGLQJNDQKDVLO E GHQJDQ D GDQLVLWDEHOGLEDZDKLQL Volume Asli Volume Hitungan (Va) (Vh)

Selisih |Va - Vb|

Persentase*

Botol 1 Botol 2 %RWRO Botol 4 Botol 5 e. Presentasikan hasilnya didepan kelas.

Selisih u Va Catatan:  8EDKVHPXDVDWXDQPHQMDGLµFP¶ - 1 Liter = 1.000 cm Keterangan: Persentase =

MATEMATIKA

215

Uji Kompetensi 5

Kekongruenan dan Kesebangunan

Untuk Soal 1 - 2 perhatikan gambar-gambar di bawah ini. 24 dm 5 cm

1m

14 cm

a.

40 dm

2m

c.

b.

2m

15 cm 12 cm

15 dm 2m 16 dm

d.

I

e.

5m

8 dm

24 cm

g.

h.

12 m

M 216

6 dm

9 dm

15 m

Kelas IX SMP/MTs

i.

16 cm

k.

l.

Semester 1

 7HQWXNDQOXDVSHUPXNDDQWLDSWLDSEDQJXQ  7HQWXNDQYROXPHWLDSWLDSEDQJXQ Untuk Soal 3 - 6 perhatikan tabel dibawah ini. Tabung

/XDV3HUPXNDDQ ʌr rt 9ROXPH ʌr2t Kerucut

/XDV3HUPXNDDQ ʌr rt 9ROXPH ʌr2t Bola

/XDV3HUPXNDDQ ʌr rt 9ROXPH ʌr2t

Setengah Tabung

Luas Permukaan = ...? 9ROXPH "

Setengah Kerucut

Luas Permukaan = ...? 9ROXPH " Setengah Bola

Luas Permukaan = ...? 9ROXPH "

MATEMATIKA

217

 7HQWXNDQUXPXVOXDVSHUPXNDDQEDQJXQEDQJXQSDGDWDEHOGLDWDV  'DUL MDZDEDQ 6RDO QRPRU  EDQGLQJNDQ GHQJDQ UXPXV EDQJXQEDQJXQ SDGD sebelah kiri. a. Apakah luas permukaan bangun sebelah kanan selalu sama dengan setengah kali luas permukaan bangun sebelah kiri ? E .HVLPSXODQDSD\DQJGDSDWNDPXSHUROHKGDULMDEDZDQD"  7HQWXNDQUXPXVYROXPHEDQJXQEDQJXQSDGDWDEHOGLDWDV  .HPXGLDQ EDQGLQJNDQ MDZDEDQPX GHQJDQ UXPXV EDQJXQEDQJXQ SDGD VHEHODK kiri. a. Apakah volume bangun sebelah kanan selalu sama dengan setengah kali volume bangun sebelah kiri? E .HVLPSXODQDSD\DQJGDSDWNDPXSHUROHKGDULMDEDZDQD" Untuk Soal nomor 7 perhatikan bangun-bangun di bawah ini.

t t

r

r

t

t t t

r a.

b.

c.

t r t

t

r d.

218

Kelas IX SMP/MTs

t

r e.

r I

Semester 1

 7HQWXNDQOXDVSHUPXNDDQGDQYROXPHWLDSWLDSEDQJXQ Untuk Soal nomor 8-11 perhatikan kalimat di bawah ini. Bernalar. Suatu perusahaan coklat memproduksi tiga macam coklat yang EHUEHQWXNWDEXQJNHUXFXWGDQEROD0LVDONDQMDULMDULQ\DDGDODKr dan tinggi t. Perusahaan tersebut menginginkan kertas pembungkus coklat tersebut memiliki OXDV\DQJVDPDVDWXGHQJDQ\DQJODLQQ\D0LVDONDQ T = Luas kertas pembungkus coklat bentuk tabung. K = Luas kertas pembungkus coklat bentuk kerucut. B = Luas kertas pembungkus coklat bentuk bola. 8. Apakah mungkin T = K? Jika ya, tentukan perbandingan r : t. 9. Apakah mungkin T = B? Jika ya, tentukan perbandingan r : t. 10. Apakah mungkin K = B? Jika ya, tentukan perbandingan r : t. 11. Apakah mungkin T = K = B. Kemukakan alasanmu. 12. Gambar di samping merupakan cokelat  EHUEHQWXNNHUXFXW\DQJGLEDJLPHQMDGLHPSDW bagian, A, B, C dan D7LQJJLWLDSWLDSEDJLDQ adalah x. D 7HQWXNDQ SHUEDQGLQJDQ OXDV SHUPXNDDQ A dengan luas permukaan B. E 7HQWXNDQ SHUEDQGLQJDQ OXDV SHUPXNDDQ B dengan luas permukaan C. F 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQOXDVSHUPXNDDQC dengan luas permukaan D. 



D

x x

C x B x A

Catatan:*XQDNDQSULQVLSNHVHEDQJXQDQ

 3HUKDWLNDQNHPEDOLJDPEDUSDGD6RDOQRPRU  D 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQYROXPHA dengan volume B.  E 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQYROXPHB dengan volume C.  F 7HQWXNDQSHUEDQGLQJDQYROXPHC dengan volume D. Kesebangunan bangun ruang 'XD EDQJXQ UXDQJ GLNDWDNDQ VHEDQJXQ MLND SHUEDQGLQJDQSDQMDQJVHWLDSSDUDPHWHUQ\DDGDODKVDPD6HEDJDLFRQWRKGXDEDORN GLEDZDKDGDODKVHEDQJXQMLNDPHPHQXKL

p1 l1 t1 = = p2 l2 t2

MATEMATIKA

219

t2

t1 l1

p1 

l2

p2

'XD NHUXFXW GLNDWDNDQ VHEDQJXQ MLND SHUEDQGLQJDQ MDULMDUL VDPD GHQJDQ SHUEDQGLQJDQWLQJJL%HJLWXMXJDGHQJDQGXDWDEXQJ

r t1 = r2 t2

r2

r1

t2

t1 

.DUHQDERODKDQ\DPHPSXQ\DLVDWXSDUDPHWHU\DNQLMDULMDULsetiap dua bola adalah sebangun.

14. Untuk tiap pasangan bangun ruang yang sebangun, hitung volumeyang belum diketahui a. 15cm 5cm

V = 12Scm

b.

10 cm 5 cm L = 200S cm

220

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1



F 'DULMDZDEDQDGDQENHVLPSXODQDSD\DQJGDSDWGLSHUROHK"

 8QWXN WLDS SDVDQJDQ EDQJXQ UXDQJ \DQJ VHEDQJXQ KLWXQJ SDQMDQJ \DQJ ditanyakan a.

L = 96S cm2

12 cm L = 12S cm2 r=?

b. s=? V = 12Sm

V Sm

8m F 'DULMDZDEDQDGDQENHVLPSXODQDSD\DQJGDSDWGLSHUROHK"

MATEMATIKA

221

16. Bola di dalam kerucut. Gambar di samping merupakan suatu kerucut dengan AB = AC = BC = d. Dalam kerucut tersebut terdapat suatu bola yang menyinggung selimut dan alas kerucut. 7HQWXNDQYROXPHERODWHUVHEXW Petunjuk: WHQWXNDQ MDULMDUL EROD WHUOHELK dahulu.

A

B

17. Kerucut di dalam bola. Gambar di samping merupakan suatu kerucut dengan AB = AC = BC = d. Kerucut tersebut di GDODPEROD7LWLNSXQFDNGDQDODVNHUXFXWWHUVHEXW PHQ\HQWXKEROD7HQWXNDQYROXPHERODWHUVHEXW Petunjuk:WHQWXNDQMDULMDULERODWHUOHELKGDKXOX

C

d A

B

d

C

 %XGLPHQJHFDWWRQJVHEDQ\DNEXDK7RQJWHUVHEXWEHUEHQWXNWDEXQJWHUEXND GHQJDQ MDULMDUL  FP GDQ WLQJJL  P 6DWX NDOHQJ FDW \DQJ GLJXQDNDQ KDQ\D cukup mengecat seluas 1 m27HQWXNDQEHUDSDEDQ\DNNDOHQJFDW\DQJGLEXWXKNDQ 22 untuk mengecat semua tong. Gunakan S = . 7  *DPEDU GL EDZDK LQL PHUXSDNDQ  PDFDP GHVDLQ NRODP UHQDQJ 6NDOD \DQJ digunakan adalah 1 : 200.

FP

25 cm D 3HUNLUDNDQWDNVLU OXDV EDQJXQ SDGD WLDSWLDS GHVDLQ 1\DWDNDQ MDZDEDQPX dalam satuan cm2. b. Jika ketinggian kolam renang adalah 2 m, maka tentukan volume tiap-tiap GHVDLQNRODPUHQDQJ1\DWDNDQMDZDEDQPXGDODQVDWXDQP. 20. Globe*OREHPHUXSDNDQWLUXDQEXPL\DQJEHUEHQWXNEROD7HUGDSDWVXDWXJOREH GHQJDQ GLDPHWHU  FP -LND VNDOD SDGD JOREH WHUVHEXWDGDODK    tentukan luas permukaan bumi. Gunakan S GDQQ\DWDNDQMDZDEDQPXGDODPVDWXDQNP2.

222

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Bab VI Statistika

Kata Kunci x x

Diagram garis, batang, dan lingkaran Mean, Median, Modus

K ompetensi D asar 1.1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 3.10 Menerapkan pola dan generalisasi untuk membuat prediksi. 3.11 Menentukan nilai rata-rata, median, dan modus dari berbagai jenis data. 3.12 Memilih teknik penyajian data dua variabel dan mengevaluasi keefektifannya, serta menentukan hubungan antar variabel berdasarkan data untuk mengambil kesimpulan. 4.6 Mengumpulkan, mengolah, menginterpretasi, dan menampilkan data hasil pengamatan dalam bentuk WDEHOGDQEHUEDJDLJUD¿NVHUWD PHQJLGHQWL¿NDVLKXEXQJDQDQWDU variabel serta mengambil kesimpulan.

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Informasi merupakan kebutuhan mendasar dalam kehidupan. Tabel keberangkatan kereta api, pesawat terbang, kapal laut, busway merupakan contoh informasi yang sangat bermanfaat dalam merencanakan kegiatan dalam kehidupan seharihari. Untuk membuat tabel keberangkatan diperlukan data sebagai dasar pembuatan.

Pengalaman Belajar 1. 2. 3.

Menentukan dengan tepat dalam menyajikan data dengan diagram garis, batang atau lingkaran. Mengambil kesimpulan dari suatu data. Menentukan nilai mean, median dan modus dari hasil survei, tabel, dan diagram.

MATEMATIKA

223

Peta Konsep Statistika

Pengumpulan data

Pengolahan data

Ukuran Pemustaan

Penyajian data

Mean, Median, Modus Diagram

Batang

224

Garis

Tabel

Lingkaran

Karl Friedrich Gauss lahir di Brunswick, Jerman pada tahun 1777 dan meninggal pada )HEUXDUL  'DUL  *DXVV EHODMDU 0DWHPDWLND GL 8QLYHUVLWDV *RWWLQJHQ *DXVV adalah seorang ahli matematika Jerman, yang PHPEHULNDQ NRQWULEXVL VLJQL¿NDQ WHUKDGDS berbagai bidang, diantaranya teori bilangan, DOMDEDU VWDWLVWLN DQDOLVLV JHRPHWUL GLIHUHQVLDO JHRGHVLJHR¿VLNDHOHNWURVWDWLNDDVWURQRPLGDQ optik. Gauss memiliki pengaruh yang luar biasa di berbagai bidang. Seringkali, ia disebut sebagai “Prince of Mathematics´.HWLNDLDEHUXVLDWDKXQ ia mengoreksi kesalahan di salah satu perhitungan Karl Friedrich Gauss JDMLD\DKQ\D3DGDXVLDWDKXQNHWLNDJXUXQ\D PHPEHULNDQ WXJDV GLNHODV XQWXN PHQMXPODKNDQ semua bilangan bulat dari 1 sampai 100, Gauss segera menuliskan 5.050 sebagai MDZDEDQQ\D 'LD WHODK PHQHPXNDQ EDKZD DQJNDDQJND GDSDW EHUSDVDQJDQ VHEDJDL    GDQODLQODLQQ\D%HQWXNSHQMXPODKDQLQLVHODQMXWQ\D GLNHQDO VHEDJDL GHUHW DULWPHWLND *DXVV MXJD PHPEHUL NRQWULEXVL \DQJ VDQJDW penting untuk teori bilangan pada bukunya Disquisitiones Arithmeticae. Dalam bidang statistika Gauss menemukan distribusi Gauss. Sumber: www.edulens.org

Sumber: www.edulens.org

Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil beberapa hikmah, antara lain: 1. Gauss adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi. 6HMDN NHFLO *DXVV PHPLOLNL PLQDW \DQJ EHVDU SDGD SHUKLWXQJDQ KDO LQL WHUOLKDWGDULNHPDPSXDQQ\DGDODPPHQJRUHNVLNHVDODKDQJDMLD\DKQ\DGDQ menghitung bilangan bulat dari 1 sampai 100 secara tepat dan akurat. 2. 7LGDNPXGDKSXDVWHUKDGDSVHVXDWX\DQJVXGDKGLGDSDWNDQVHKLQJJD*DXVV terus mengembangkan kemampuannya pada berbagai bidang sehingga berhasil menguasai berbagai bidang keilmuan.  7HUXVPHODNXNDQLQRYDVLXQWXNPHQHPXNDQVHVXDWX\DQJEDUXVHKLQJJDLD berhasilkan menemukan distribusi Gauss yang sangat berguna pada bidang statistika modern.

225

A. Penyajian Data Pertanyaan Penting %DJDLPDQD NDPX GDSDW PHQ\DMLNDQ GDWD VHFDUD HIHNWLI" $SDNDK NDPX GDSDW PHQJDQDOLVDEHQWXNVDMLDQGDWDVHUWDPHPEXDWVXDWXNHVLPSXODQWHUNDLWGDWDWHUVHEXW" 8QWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWODNXNDQEHEHUDSDNHJLDWDQGLEDZDKLQL

Penyajian Data Dalam Beberapa Jenis Diagram

Kegiatan 6.1

Ayo Kita Amati 7DEHOEHULNXWPHQXQMXNNDQGDWDEDQ\DNVLVZDODNLODNLGDQSHUHPSXDQSDGDWLDSWLDS NHODV,;603&HULD Banyak Siswa Kelas Laki-laki Perempuan ,;$ 15 15 ,;%



18

,;&

20

12

,;'

17

14

,;(

18



 6HODQMXWQ\D GDWD \DQJ WHUGDSDW SDGD WDEHO GL DWDV DNDQ GLWDPSLONDQ GDODP beberapa bentuk diagram, yaitu diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. Perhatikan diagram hasil pengolahan data banyak siswa di bawah ini.

Data Siswa Kelas IX SMP Ceria 25

Banyak Siswa

20 15 10

Laki-Laki

5

Perempuan

0 ,;$

,;%

,;&

,;'

,;(

Kelas

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.1 6DMLDQ'DWD%DQ\DN6LVZD.HODV,;603&HULDGDODP Bentuk Diagram Batang

226

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Data Siswa Kelas IX SMP Ceria

Banyak Siswa

25 20 15 Laki-Laki

10

Perempuan

5 0 ,;%

,;$

,;&

,;'

,;(

Kelas Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.2 6DMLDQ'DWD%DQ\DN6LVZD.HODV,;603&HULDGDODP%HQWXN'LDJUDP*DULV

Data Siswa Laki-Laki ,;$

,;%  

,;&

,;'

  

,;(

Data Siswa Perempuan    

,;$ ,;% ,;&



,;' ,;(

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.3 6DMLDQ'DWD%DQ\DN6LVZD.HODV,;603&HULDGDODP%HQWXN Diagram Lingkaran Ayo Kita Menalar 1. 'DULGDWD\DQJWHUGDSDWGLDWDVNHODVPDQDNDK\DQJPHPLOLNLMXPODKVLVZDODNL ODNLWHUEDQ\DN".HODVPDQD\DQJPHPLONLMXPODKVLVZDSHUHPSXDQWHUEDQ\DN" 2. 0HQXUXWPXGLDJUDPPDQDNDK\DQJSDOLQJHIHNWLIXQWXNPHQ\DMLNDQGDWDEDQ\DN VLVZD ODNLODNL GDQ SHUHPSXDQ SDGD WLDSWLDS NHODV ,; 603 &HULD" -HODVNDQ MDZDEDQPX MATEMATIKA

227

Ayo Kita Amati 6HWHODKNDPXPHQJDPDWLGDWDMXPODKVLVZDNHODV,;603&HULDGLDWDVVHNDUDQJ coba kamu amati tabel data pertumbuhan tanaman dalam kurun waktu 12 bulan di bawah ini. Bulan ke-

Tinggi Tanaman (dalam cm)

1

25

2





46

4

57

5

65

6



7

82

8

90

9

99

10

110

11

117

12

128

6HODQMXWQ\DGDWD\DQJWHUGDSDWSDGDWDEHOGLDWDVDNDQGLWDPSLONDQGDODPEHEHUDSD bentuk diagram, yaitu diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. Perhatikan diagram hasil pengolahan data pertumbuhan tanaman di bawah ini.

7LQJJL7DQDPDQ FP

Pertumbuhan Tanaman 150 100 50 0 1

2



4

5

6

7

8

9

10

11

12

Bulan Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.4 6DMLDQ'DWD3HUWXPEXKDQ7DQDPDQGDODP%HQWXN'LDJUDP%DWDQJ

228

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

7LQJJL7DQDPDQ FP

Pertumbuhan Tanaman 150 100 50 0 1



2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Bulan

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.5 6DMLDQ'DWD3HUWXPEXKDQ7DQDPDQGDODP%HQWXN'LDJUDP*DULV

Pertumbuhan Tanaman   



 





 



1 2  4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.6 6DMLDQ'DWD3HUWXPEXKDQ7DQDPDQGDODP%HQWXN'LDJUDP/LQJNDUDQ

Ayo Kita Menalar 0HQXUXWPX GLDJUDP PDQDNDK \DQJ SDOLQJ HIHNWLI XQWXN PHQ\DMLNDQ GDWD pertumbuhan tanaman dalam kurun waktu 12 bulan? Jelaskan alasanmu.

MATEMATIKA

229

Ayo Kita Amati &REDNDPXDPDWLWDEHOPDWDSHODMDUDQIDYRULWVLVZDNHODV,;%603&HULDGLEDZDK ini. Mata Pelajaran

Banyak Peminat

Persentase Banyak Peminat

0DWHPDWLND

12



IPA

6



IPS

7



Bahasa Indonesia

5



Bahasa Inggris

9



2ODKUDJD

8



6HODQMXWQ\DGDWD\DQJWHUGDSDWSDGDWDEHOGLDWDVDNDQGLWDPSLONDQGDODPEHEHUDSD bentuk diagram, yaitu diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. 3HUKDWLNDQGLDJUDPKDVLOSHQJRODKDQGDWDPDWDSHODMDUDQIDYRULWVLVZDNHODV,;% 603&HULDGLEDZDKLQL

ris DJ D OD KU

sa Ba

ha

In sa

2

IIn

gg

ne sia do

IP S Ba

ha

DW LN 0 DW HP

IP A

14 12 10 8 6 4 2 0

D

Banyak Peminat

Mata Pelajaran Favorit

0DWD3HODMDUDQ Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.7 6DMLDQ'DWD0DWD3HODMDUDQ)DYRULW6LVZD.HODV,;%603&HULDGDODP Bentuk Diagram Batang

230

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

In g

D 2

OD KU DJ

gr is

sia Ba ha sa

Ba ha sa

In d

on e

IP

0 DW HP

DW LN

S

IP A

14 12 10 8 6 4 2 0

D

Banyak Peminat

Mata Pelajaran Favorit

0DWD3HODMDUDQ

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.8 6DMLDQ'DWD0DWD3HODMDUDQ)DYRULW6LVZD.HODV,;%603&HULDGDODP Bentuk Diagram Garis

Mata Pelajaran Favorit 0DWHPDWLND  



IPA IPS



 

Bahasa Indonesia Bahasa Inggris 2ODKUDJD

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.9 6DMLDQ'DWD0DWD3HODMDUDQ)DYRULW6LVZD.HODV,;%603&HULDGDODP Bentuk Diagram Lingkaran

MATEMATIKA

231

Ayo Kita Menalar  %HUGDVDUNDQGDWDWHUVHEXWDSDNDKPDWDSHODMDUDQIDYRULWVLVZDNHODV,;%603 Ceria?  0HQXUXWPX GLDJUDP PDQDNDK \DQJ SDOLQJ HIHNWLI XQWXN PHQ\DMLNDQ GDWD SHUVHQWDVHPDWDSHODMDUDQIDYRULWVLVZDNHODV,;%603&HULD"-HODVNDQDODVDQPX Ayo Kita Menanya 6HWHODKNDPXPHQJDPDWLWLJDMHQLVGDWD\DQJ DGDSDGD.HJLDWDQ GL DWDVFRED buatlah beberapa pertanyaan dengan menggunakan kata “diagram yang paling HIHNWLI´ ³GLDJUDP EDWDQJ´ ³GLDJUDP JDULV´ GDQ ³GLDJUDP OLQJNDUDQ´ 7XOLVODK pertanyaanmu di buku tulis. Kegiatan 6.2

Ukuran Sepatu

Ayo Kita Mencoba &REDODK NDPX EHNHUMD VHFDUD PDQGLUL XQWXN PHQJXPSXONDQ GDWD PHQJRODK GDWD GDQPHQ\DMLNDQGDWDGDODPEHQWXNGLDJUDP,NXWLODQJNDKODQJNDKGLEDZDKLQL 1. Coba kamu kumpulkan data ukuran sepatu teman-teman sekelasmu. 2. Buatlah dalam bentuk tabel yang menyatakan ukuran sepatu serta banyak siswa dalam satu kelas yang memiliki ukuran sepatu tersebut.  6DMLNDQGDWDSDGDWDEHOGDODPEHQWXNGLDJUDPEDWDQJGLDJUDPJDULVGDQGLDJUDP lingkaran. 4. *XQDNDQNRPSXWHUXQWXNPHQ\DMLNDQGDWDGDODPEHQWXNGLDJUDP Diskusi dan Berbagi 'LVNXVLNDQGHQJDQWHPDQVHEDQJNXPXGLDJUDPPDQDNDK\DQJSDOLQJHIHNWLIXQWXN PHQ\DMLNDQ GDWD XNXUDQ VHSDWX WHPDQ VHNHODVPX" 'LDJUDP PDQDNDK \DQJ SDOLQJ WLGDNVHVXDLXQWXNPHQ\DMLNDQGDWDWHUVHEXW"-HODVNDQDODVDQPX7XOLVNDQVHFDUDUDSL MDZDEDQPX3DSDUNDQGLGHSDQWHPDQVHNHODVPX

232

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Menalar Dari Kegiatan 6.1 dan 6.2 yang telah kamu lakukan, kamu telah mengetahui cara PHQ\DMLNDQ GDWD GDODP EHQWXN GLDJUDP \DQJ SDOLQJ HIHNWLI 6HNDUDQJ SHUKDWLNDQ EHEHUDSDMHQLVGDWD\DQJWHUGDSDWSDGDWDEHOGLEDZDKLQL0DQDNDKGLDQWDUDMHQLV GDWDGLEDZDKLQL\DQJGDSDWGLVDMLNDQVHFDUDHIHNWLIGDODPEHQWXNGLDJUDPEDWDQJ GLDJUDPJDULVDWDXGLDJUDPOLQJNDUDQ" %HULNDQWDQGD¥ No.

Data

1.

3HUWXPEXKDQ SHQGXGXN .RWD ; tahun 2000-2010 Banyaknya karyawan laki-laki dan perempuan dalam satu kantor Nilai ulangan harian ke-1 PDWHPDWLNDVLVZDNHODV,;GDODP satu kelas Hasil pemilihan umum presiden 5HSXEOLN,QGRQHVLD -HQLVEXNXIDYRULWVLVZDNHODV,; 603&HULD Nilai tukar rupiah terhadap dollar dalam kurun waktu 1 minggu -XPODK VLVZD \DQJ PHQGDIWDU GL 603&HULDWDKXQ

2. 

4. 5. 6. 7.

Diagram Batang

Diagram Garis

Diagram Lingkaran

 .DPX WHODK PHQGDSDWNDQ EHEHUDSD LQIRUPDVL GDUL .HJLDWDQ  GDQ  VHUWD WDEHOGLDWDV$SDNDKNDPXGDSDWPHQHQWXNDQMHQLVGDWDDSDVDMD\DQJSDOLQJHIHNWLI XQWXN GLVDMLNDQ GDODP EHQWXN GLDJUDP EDWDQJ" %DJDLPDQD FLULFLULQ\D" -HQLV GDWD \DQJ VHSHUWL DSD \DQJ SDOLQJ HIHNWLI XQWXN GLVDMLNDQ GDODP EHQWXN GLDJUDP JDULV dan lingkaran? Bagaimana ciri-ciri dari masing-masing diagram tersebut? Berikan SHQMHODVDQVHFDUDGHWDLO Kegiatan 6.3

Data Peminat Ekstrakurikuler

Ayo Kita Amati %HULNXWLQLDGDODKGLDJUDP\DQJPHQXQMXNNDQGDWDSHPLQDWWLDSWLDSHNVWUDNXULNXOHU VLVZDNHODV,;603&HULD

MATEMATIKA

233

Jumlah Peminat

25 20 15 10 5 0 Pramuka

Sepak Bola

Basket

Karya Ilmiah

)RWRJUD¿

9ROL

)RWRJUD¿

9ROL

Jenis Ekstrakulikuler

Jumlah Peminat

25 20 15 10 5 0 Pramuka

Sepak Bola

Basket

Karya Ilmiah

Jenis Ekstrakulikuler





Pramuka Sepak Bola



Basket 



Karya Ilmiah )RWRJUD¿



9ROL

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.106DMLDQ'DWD.HJLDWDQ(NWUDNXULNXOHU6LVZD

Diskusi dan Berbagi .HUMDNDQEHUVDPDWHPDQPX%HUGDVDUGLDJUDPGLVDPSLQJWHQWXNDQ 1. 0DQDNDKNHJLDWDQHNVWUDNXULNXOHU\DQJSDOLQJGLPLQDWLVLVZDNHODV;" 234

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

2. Berapa banyak siswa yang memilih ekstrakurikuler pramuka, sepak bola, dan voli?  Berdasarkan pertanyaan nomor 1 dan 2, diagram manakah yang menurutmu SDOLQJPHPEDQWXGDODPPHQHQWXNDQMDZDEDQ"0HQJDSD"-HODVNDQMDZDEDQPX Kegiatan 6.4

Data Penjualan Mobil

Ayo Kita Amati Kota A merupakan salah satu kota pusat industri yang sedang berkembang, Dengan semakin meningkatnya penghasilan warga kotanya, maka banyak diantara mereka yang membeli alat transportasi baru tiap tahunnya. Berikut ini dalah data SHQMXDODQPRELOGDULEHEHUDSDGHDOHU\DQJWHUGDSDWGLNRWD$WDKXQ Tahun

Jumlah Mobil yang Terjual

2005



2006

2.541

2007

2.679

2008

2.842

2009



2010



2011



2012







Ayo Kita Mencoba  %XDWODK GLDJUDP \DQJ PHQXUXWPX SDOLQJ HIHNWLI XQWXN PHQJJDPEDUNDQ GDWD SHQMXDODQ PRELO GL NRWD $ SDGD WDKXQ  WDQSD PHOLEDWNDQ GDWD MXPODK PRELO\DQJWHUMXDOSDGDWDKXQGDQ  Ayo Kita Menalar 1. &REDNDPXDPDWLSRODELODQJDQ\DQJPHQ\DWDNDQMXPODKPRELO\DQJWHUMXDOGL NRWD$EHUGDVDUNDQWDEHOGLDWDVSHUNLUDNDQEHUDSDMXPODKPRELO\DQJWHUMXDOGL tahun 2010 dan 2012. Berikan alasanmu. MATEMATIKA

235

2. %DJDLPDQD KXEXQJDQ DQWDUD WDKXQ GHQJDQ MXPODK PRELO \DQJ WHUMXDO WLDS tahunnya?  .HVLPSXODQ DSD \DQJ GDSDW NDPX WDULN GDUL GDWD SHQMXDODQ PRELO GL .RWD $ berdasarkan tabel di atas? 4. -LND MXPODK PRELO \DQJ GLMXDO GL NRWD$ WHUXV PHQLQJNDW WLDS WDKXQQ\D PDND GLSHUNLUDNDQ SDGD WDKXQ  DNDQ WHUMDGL NHPDFHWDQ \DQJ FXNXS SDUDK MLND WLGDN WHUGDSDW SHQDPEDKDQ MXPODK UXDV MDODQ 0HQXUXWPX NHELMDNDQ DSD \DQJ KDUXV GLDPELO ROHK 3HPHULQWDK .RWD$ DJDU WLGDN VDPSDL WHUMDGL NHPDFHWDQ GL tahun tersebut? Materi Esensi

Penyajian Data

 $GDEHEHUDSDEHQWXNSHQ\DMLDQGDWDVDODKVDWXQ\DDGDODKGHQJDQPHQJJXQDNDQ GLDJUDP3DGDEDELQLNDPXPHPSHODMDULFDUDPHQ\DMLNDQGDWDGDODPEHQWXNGLDJUDP batang, garis, serta lingkaran. Diagram batang merupakan diagram paling sederhana GDQXPXP'LDJUDPEDWDQJELDVDQ\DGLJXQDNDQXQWXNPHQ\DMLNDQGDWDWHQWDQJQLODL VXDWX RE\HN GDODP VXDWX ZDNWX WHUWHQWX6DODK VDWX PDQIDDWSHQ\DMLDQGDWD GDODP diagram batang adalah memudahkanmu dalam membaca data dan menentukan IUHNXHQVLGDULVXDWXGDWDGHQJDQFHSDWGDQDNXUDW'LDJUDPJDULVELDVDQ\DGLJXQDNDQ XQWXN PHQ\DMLNDQ GDWD GDODP ZDNWX EHUNDOD DWDX EHUNHVLQDPEXQJDQ 'LDJUDP OLQJNDUDQELDVDQ\DGLJXQDNDQXQWXNPHQ\DMLNDQGDWDGDODPEHQWXNSHUVHQWDVH

Data Hasil Panen Jagung

Contoh 6.1

7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQGDWDWHQWDQJKDVLOSDQHQMDJXQJGL.RWD; Tahun ke-

Hasil Panen Jagung (dalam ton)

1

250

2

240



210

4

200

5

260

6

270

7

290

8



9



1. 3DGDWDKXQNHEHUDSDKDVLOSDQHQMDJXQJGL.RWD;SDOLQJUHQGDK" 2. %XDWODKVDMLDQGLDJUDP\DQJSDOLQJHIHNWLIXQWXNPHQDPSLONDQGDWDSDGDWDEHO di atas. 236

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

 3DGDWDKXQNHEHUDSDKDVLOSDQHQMDJXQJGLNRWD;PHQJDODPLNHQDLNDQSDOLQJ tinggi? Alternatif Penyelesaian: 1. +DVLO SDQHQ MDJXQJ SDOLQJ UHQGDK GL .RWD ; DGDODK SDGD WDKXQ NH GHQJDQ MXPODKVHEDQ\DNWRQ 2. 'DWDGLDWDVWHUPDVXNMHQLVGDWDGDODPZDNWXEHUNDODDWDXEHUNHVLQDPEXQJDQ 'LDJUDP \DQJ SDOLQJ HIHNWLI XQWXN PHQ\DMLNDQ GDWD WHUVHEXW DGDODK GLDJUDP garis. Berikut adalah diagram garis dari data tersebut

Data Hasil Panen Jagung Kota X (dalam ton) Hasil Panen (dalam ton)

  250 200 150 100 50 0 1

2



4

5

6

7

8

9

7DKXQ.H Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.116DMLDQ'DWD+DVLO3DQHQ-DJXQJ.RWD;

 Berdasarkan diagram garis yang telah kita buat di atas, dapat diperhatikan bahwa kenaikan panen paling tinggi terdapat pada tahun ke-5. Pada tahun ke-4 hasil SDQHQMDJXQJGL.RWD;DGDODKWRQVHGDQJNDQSDGDWDKXQNHKDVLOSDQHQ MDJXQJDGDODKVHEDQ\DNWRQ7HUMDGLNHQDLNDQVHEDQ\DNWRQ Contoh 6.2

Penyajian Data yang Efektif

7HQWXNDQVDMLDQGDWD\DQJSDOLQJHIHNWLIXQWXNSHUPDVDODKDQEHULNXWMHODVNDQ D 'DWDSHPLQDW603&HULDGDULWDKXQVDPSDL E 'DWDWLQJJLEDGDQVLVZDNHODV,; c. Data negara tim sepak bola peserta piala dunia 2014 Brasil berdasar benua G 1LODLWXNDU5XSLDKWHUKDGDSGRODU$6GDODPNXUXQZDNWXEXODQ

MATEMATIKA

237

Alternatif Penyelesaian: D 'DWDSHPLQDW603&HULDGDULWDKXQVDPSDL 

'DWDSHUXEDKDQSHPLQDW603&HULDVHSDQMDQJZDNWXOHELKWHSDWGLJDPEDUNDQ dengan diagram garis, karena diagram garis cocok digunakan untuk data dalam waktu berkala atau berkesinambungan. Dari diagram garis akan terlihat SHQXUXQDQSHQLQJNDWDQMXPODKSHPLQDWGL6038QJJXODQWLDSWDKXQQ\D

E 'DWDWLQJJLEDGDQVLVZDNHODV,;  'DWDWLQJJLEDGDQVLVZDNHODV,;OHELKWHSDWGLJDPEDUNDQGHQJDQGLDJUDPEDWDQJ 'DULGLDJUDPEDWDQJNLWDGDSDWPHPSHUROHKLQIRUPDVLWLQJJLEDGDQVLVZDVHUWD IUHNXHQVLMXPODKVLVZD\DQJPHPLOLNLWLQJJLEDGDQWHUVHEXW c. Data negara tim sepak bola peserta piala dunia 2014 Brasil berdasar benua. Data negara tim sepak bola peserta piala dunia 2014 Brasil berdasar benua ELDVDQ\D GLVDMLNDQ GDODP EHQWXN SHUVHQWDVH 'LVLQL GLEDQGLQJNDQ SHUVHQWDVH QHJDUDGDULEHQXD$IULND$PHULND$VLD2FHDQLDGDQ(URSD-DGLGLDJUDP\DQJ SDOLQJWHSDWXQWXNPHQ\DMLNDQGDWDLQLDGDODKGLDJUDPOLQJNDUDQGHQJDQWXMXDQ XQWXNPHQXQMXNNDQNHWHUZDNLODQWLDSEHQXD G 1LODLWXNDU5XSLDKWHUKDGDSGRODU$6GDODPVHEXODQ Perubahan nilai rupiah sebulan sangat tepat digambarkan dengan diagram garis karena diagram garis cocok digunakan untuk data dalam waktu berkala atau EHUNHVLQDPEXQJDQ'DULGLDJUDPJDULVWHUOLKDWQLODLSHQJXWDQSHOHPDKDQQLODL tukar rupiah terhadap dolar AS. Ayo Kita Tinjau Ulang 

7DEHOEHULNXWLQLPHQXQMXNNDQGDWDEDQ\DNSHQGXGXNSDGD.HFDPDWDQ6XNRGDGL Nama Kelurahan 6XNDPDMX

Banyak Penduduk Laki-laki Perempuan 1.200



0DNPXU

2.000

2.200

Indah Permai

1.500

1.700

Sukamakmur

1.400

1.100

6XPEHU5HMHNL

1.800

1.600

Sumbersari

1.600

1.900

a. Buatlah diagram batang, garis, dan lingkaran dari data tersebut? E 'LDJUDPPDQDNDK\DQJSDOLQJHIHNWLIXQWXNPHQ\DMLNDQGDWDWHUVHEXW"

238

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

c. Apa kesimpulanmu tentang banyaknya penduduk laki-laki dan perempuan pada kecamatan tersebut? Latihan 6.1

Penyajian Data

 7HQWXNDQ GLDJUDP DSD \DQJ SDOLQJ WHSDW XQWXN PHQDPSLONDQ GDWD EHULNXW LQL Berikan alasanmu. 

D 'DWDSHQMXDODQPDMDODKµ0DWULNV¶WLDSEXODQSDGDWDKXQ



E 'DWD MXPODK VLVZD NHODV ,; \DQJ PHQJLNXWL NHJLDWDQ HNVWUDNXULNXOHU VHSDNERODIRWRJUD¿WHDWHUEXOXWDQJNLVGDQYROL c. Data persentase partai pemenang pemilu 2014.



G 'DWDMXPODKSHQJXQMXQJWHPSDWZLVDWD*XQXQJ%URPRWLDSEXODQQ\DSDGD WDKXQ

 'LDJUDP GL EDZDK LQL PHQXQMXNNDQ GDWD SHQMXDODQ EHEHUDSD MHQLV WHOHYLVL GL 7RNR(OHNWURQLN:DZDQ-D\D0DNPXUSDGDEXODQ-DQXDUL

Banyak TV yang Terjual

25

20

15

10

5

0 A

B

C

D

E

F

G

Merk TV

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.126DMLDQ'DWD7RNR(OHNWURQLN:DZDQ-D\D0DNPXUSDGD%XODQ-DQXDUL



D $SDNDK SHQ\DMLDQ GDWD GHQJDQ GLDJUDP GL DWDV VXGDK WHSDW"$SDNDK GDWD WHUVHEXWGDSDWGLVDMLNDQGDODPEHQWXNGLDJUDP\DQJODLQ\DQJOHELKHIHNWLI" Jika ada gambarkan lagi data tersebut dalam bentuk diagram lain yang menurutmu lebih tepat.

MATEMATIKA

239



E 3DGD EXODQ WHUVHEXW 79 PHUN DSD \DQJ WHUMXDO SDOLQJ EDQ\DN GDQ SDOLQJ sedikit?



F %HUDSDWRWDO79\DQJWHUMXDOSDGDWRNRWHUVHEXWEHUGDVDUNDQGLDJUDPGLDWDV"



*UD¿NGLEDZDKLQLPHQ\DMLNDQSHQJJXQDDQEDKDQEDNDUWHUKDGDSZDNWX GDODP MDP SDGDSHUMDODQDQVHEXDKPRELOGDULNRWD0NHNRWD1*XQDNDQLQIRUPDVL SDGDJUD¿NGLEDZDKLQLXQWXNPHQMDZDEVRDOQRPRU Liter

80 D

60 40

E F

A B C

20

G 4

5

6

7

8

9

10

11

:DNWX MDP

12

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.136DMLDQ'DWD3HQJJXQDDQ%DKDQ%DNDU7HUKDGDS:DNWX

 %HUDSDOLWHUEDKDQEDNDU\DQJGLKDELVNDQGDODPSHUMDODQDQ a. dari titik A ke titik B b. dari titik C ke titik D c. dari titik D ke titik E d. dari titik E ke titik F e. dari titik F ke titik G  D%HUDSDOLWHUEDKDQEDNDUWRWDO\DQJGLKDELVNDQGDODPSHUMDODQDQWHUVHEXW" 

E%HUDSDODPDSHUMDODQDQGDULNRWDM ke kota N?

5. Coba perhatikan kembali gambar di atas secara baik. a. Berapa banyak bahan bakar yang dihabiskan dari titik B ke titik C? 

E 0HQXUXWPXDSD\DQJNLUDNLUDWHUMDGLSDGDSHUMDODQDQGDULWLWLNB ke titik C? -HODVNDQMDZDEDQPX



F 0HQXUXW DQDOLVLVPX NHMDGLDQ DSD \DQJ WHUMDGL SDGD WLWLN D? Jelaskan MDZDEDQPX

 'LDJUDPGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQGDWDEDQ\DNQ\DVLVZDNHODV,;603&HULD SDGDWDKXQVDPSDLWDKXQ 240

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Data Banyak Siswa Kelas IX SMP Ceria 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

Jumlah Siswa

2007

2008 2009

2010

2011

2012



Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.146DMLDQ'DWD%DQ\DN6LVZD.HODV,;603&HULD



D %HUDSDEDQ\DNVLVZDNHODV,;SDGDWDKXQGDQ"



E -LNDEDQ\DNQ\DVLVZDODNLODNLNHODV,;SDGDWDKXQDGDODKGDULWRWDO VHOXUXKVLVZDEHUDSDEDQ\DNVLVZDSHUHPSXDQGLNHODV,;&"



F %DQ\DNQ\DVLVZDSHUHPSXDQNHODV,;SDGDWDKXQDGDODKVHEDQ\DN dari total siswa pada tahun tersebut, sedangkan banyaknya siswa perempuan NHODV,;SDGDWDKXQDGDODKVHEDQ\DNGDULWRWDOVLVZDSDGDWDKXQ tersebut. Apakah dapat disimpulkan bahwa banyak siswa perempuan pada WDKXQOHELKEDQ\DNGLEDQGLQJNDQSDGDWDKXQ"-HODVNDQMDZDEDQPX

 'LDJUDPOLQJNDUDQGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQ¿OH\DQJWHUGDSDWGLGDODPÀDVKGLVN PLOLN5HWD\DQJEHUNDSDVLWDV*% VHWDUDGHQJDQ0% )ODVKGLVNWHUVHEXW GLLVLGHQJDQ¿OHPXVLNIRWRGDWDEXNXDMDUPDWHPDWLNDGDWDODLQQ\D Kosong 

0XVLN 

Data Lainnya 

Foto  Data Buku $MDU 

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.156DMLDQ'DWD)LOH\DQJ7HUGDSDWGLGDODP)ODVKGLVN0LOLN 5HQWD\DQJ%HUNDSDVLWDV*%

MATEMATIKA

241

 

D -LND5HWDLQJLQPHQDPEDKNDQ¿OHGDWDEXNXDMDUEDUX\DQJEHUNDSDVLWDV 0%DSDNDKNDSDVLWDVÀDVKGLVNPLOLN5HWDPDVLKPHQFXNXSL"-HODVNDQ E -LND5HWDWLGDNLQJLQPHQJKDSXV¿OHIRWR¿OHGDWDEXNXDMDUGDQ¿OHGDWD ODLQQ\DGLÀDVKGLVNQ\DEHUDSDSHUVHQGDULNHVHOXUXKDQ¿OHPXVLN\DQJKDUXV GLKDSXVDJDUGDWDEXNXDMDUEDUXGDSDWGLWDPEDKNDQNHGDODPÀDVKGLVN"

 7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQDOEXPDOEXPSDGD¿OH0XVLNGLGDODPÀDVKGLVN PLOLN5HWD Album Album A Album B Album C Album D Album E Album F Album G Album H Album I



Kapasitas 75MB 85MB 125MB 48MB 152MB 95MB 66MB 85MB 69MB

'LD LQJLQ PHQDPEDKNDQ ¿OH GDWD EXNX DMDU EDUX \DQJ EHUNDSDVLWDV  0% WHUVHEXWDNDQWHWDSLGLDKDQ\DLQJLQPHQJKDSXVEHEHUDSD¿OH0XVLNPLOLNQ\D GHQJDQ V\DUDW PDNVLPDO  DOEXP SDGD ¿OH 0XVLN PLOLNQ\D \DQJ GLKDSXV $SDNDKPXQJNLQEDJL5HWDXQWXNPHPDVXNNDQ¿OHGDWDEXNXDMDUEDUXNHGDODP ÀDVKGLVNQ\D"-HODVNDQMDZDEDQPX

B. Mean, Median, dan Modus Pertanyaan Penting Apakah kamu mengetahui mean, median, dan modus dari suatu data? Bagaimana cara menentukannya? Lakukan beberapa kegiatan di bawah ini agar kamu dapat PHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXW Kegiatan 6.5

Data Tinggi Badan Siswa

Ayo Kita Mencoba Lakukan survei tentang tinggi badan teman-teman sekelasmu. Ikuti langkahlangkah kegiatan di bawah ini. 242

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

1. Coba kamu kumpulkan data tinggi badan seluruh siswa yang terdapat dalam NHODVPX GDODPVDWXDQFP  2. Urutukan data tinggi badan tersebut dari nilai yang terkecil sampai dengan nilai terbesar.  Jumlahkan seluruh bilangan yang menyatakan tinggi badan seluruh siswa dalam NHODVPX&DWDWKDVLOSHQMXPODKDQQ\D 4. 6HWHODKNDPXPHQGDSDWNDQKDVLOGDULODQJNDKEDJLODKQLODLWHUVHEXWGHQJDQ MXPODKVHOXUXKVLVZD\DQJWHUGDSDWGLGDODPNHODVPX Ayo Kita Menalar 1. -LND MXPODK VHOXUXK VLVZD GL NHODVPX PHQ\DWDNDQ EDQ\DNQ\D GDWD EHUDSDNDK banyaknya data tersebut? 2. -LNDELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQWLQJJLEDGDQWLDSWLDSVLVZDGLGDODPNHODVPX PHUXSDNDQQLODLGDULWLDSWLDSGDWDEHUDSDNDKMXPODKVHOXUXKQLODLGDWDWHUVHEXW"  Berapakah nilai yang kamu dapatkan setelah menyelesaikan langkah ke-4 pada Kegiatan 6.5 di atas? 4. -LNDELODQJDQ\DQJNDPXGDSDWNDQSDGDQRPRUGLDWDVGLVHEXWGHQJDQUDWDUDWD mean dari data tinggi badan siswa, bagaimana rumus umum untuk mendapatkan QLODLUDWDUDWDWLQJJLEDGDQVLVZDWHUVHEXW"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDWMDZDEDQPX 5. Jelaskan secara singkat bagaimana rumus umum untuk mendapatkan nilai rataUDWDPHDQGDULVXDWXGDWDXPXP" Ayo Kita Menanya Setelah kamu melakukan percobaan pada Kegiatan 6.5 di atas, coba buatlah EHEHUDSDSHUWDQ\DDQGHQJDQPHQJJXQDNDQNDWD³PHDQ´7XOLVODKSHUWDQ\DDQPXGL buku tulis. Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan yang telah kamu lakukan di atas, apa yang kamu peroleh? ‡

0HDQDGDODK

‡

-LND$PHQ\DWDNDQMXPODKVHOXUXKQLODLGDULVXDWXGDWDXPXPGDQ%PHQ\DWDNDQ banykanya data umum, maka rumus umum dari mean dari adalah ...

MATEMATIKA

243

Kegiatan 6.6

Data Berat Badan Siswa

Ayo Kita Amati  &REDNDPXDPDWLGDWDEHUDWEDGDQVLVZDODNLODNLNHODV,;'603&HULDEHULNXW LQL GDODPNJ   6HWHODKGLXUXWNDQGDWDGLDWDVGDSDWGLWXOLVNDQNHPEDOLPHQMDGL  Ayo Kita Menalar 1. %HUDSDNDKEDQ\DNQ\DGDWDEHUDWEDGDQVLVZDODNLODNLNHODV,;'603&HULDGLDWDV" 2. $SDNDKEDQ\DNQ\DGDWDWHUVHEXWWHUPDVXNNHGDODPELODQJDQJDQMLODWDXELODQJDQ genap?  Setelah data tersebut diurutkan, menurutmu data ke berapa yang terdapat pada SRVLVLXUXWDQSDOLQJWHQJDKGDULVHOXUXKGDWD\DQJDGD" 4. Jika nilai dari data yang terletak pada posisi tengah dari kumpulan data berat badan siswa di atas disebut dengan median, berapakah nilainya? 5. Bagaimana caramu menentukan data yang berada pada posisi tengah dari sekumpulan data yang terurut tersebut? Ayo Kita Mencoba 3HUKDWLNDQNHPEDOLGDWDEHUDWEDGDQVLVZDODNLODNLNHODV,;'603&HULDSDGD Kegiatan 2 di atas. Jika dalam kelas tersebut ditambahkan seorang siswa laki-laki dengan berat badan 51 kg, coba kamu urutkan kembali data berat badan 10 siswa laki-laki pada kelas tersebut. Diskusi dan Berbagi 'LVNXVLNDQ GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNXPX XQWXN PHQMDZDE SHUWDQ\DDQSHUWDQ\DDQ GL bawah ini, kemudian paparkan hasilnya di depan kelas. 1. Berapakah banyaknya data setelah ada penambahan 1 orang siswa yang masuk ke dalam data tersebut? 244

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

2. 6HWHODK GDWD GLXUXWNDQ PHQXUXWPX GDWD NH EHUDSD \DQJ WHUGDSDW SDGD SRVLVL urutan paling tengah dari seluruh data yang ada?  Berapakah nilai median dari data tersebut? 4. $SDNDKEDQ\DNQ\DGDWDWHUVHEXWWHUPDVXNNHGDODPELODQJDQJDQMLODWDXELODQJDQ genap? 5. 0HQXUXWPX DGDNDK SHUEHGDDQ FDUD GDODP PHQHQWXNDQ GDWD \DQJ WHUOHWDN pada posisi tengah dari sekumpulan data berat badan siswa ketika sebelum ada SHQDPEDKDQGDWDGHQJDQVHWHODKDGDSHQDPEDKDQGDWD"-HODVNDQMDZDEDQPX Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan yang telah kamu lakukan di atas, apa yang kamu peroleh? ‡ ‡ ‡

0HGLDQDGDODK %DJDLPDQDPHQHQWXNDQPHGLDQGDULVXDWXNXPSXODQGDWDMLNDEDQ\DNQ\DGDWD DGDODKELODQJDQJDQMLO" %DJDLPDQDPHQHQWXNDQPHGLDQGDULVXDWXNXPSXODQGDWDMLNDEDQ\DNQ\DGDWD adalah bilangan genap? Kegiatan 6.7

Data Jenis Olahraga Favorit Siswa

Ayo Kita Mencoba  /DNXNDQ VXUYHL WHQWDQJ MHQLV RODKUDJD IDYRULW VHOXUXK VLVZD GL NHODVPX ,NXWL langkah-langkah kegiatan di bawah ini. 1. &REDNDPXEXDWVXUYHLMHQLVRODKUDJDIDYRULWVHOXUXKVLVZDGLNHODVPX7LDSWLDS VLVZDKDQ\DGLSHUEROHKNDQPHPLOLKVDWXMHQLVRODKUDJDIDYRULWQ\D 2. %XDWODKWDEHO\DQJPHQ\DWDNDQMHQLVRODKIDYRULWVLVZDVHUWDEDQ\DNQ\DVLVZD yang menyukai tiap-tiap olahraga tersebut.  %XDWODK GLDJUDP EDWDQJ \DQJ PHQ\DWDNDQ MHQLV RODKUDJD IDYRULW WHUKDGDS banyaknya siswa yang menyukai tiap-tiap olahraga tersebut. Ayo Kita Menalar 1. Coba perhatikan diagram batang yang telah kamu buat berdasarkan kegiatan di DWDVMHQLVRODKUDJD\DQJSDOLQJEDQ\DNGLJHPDULROHKVLVZDGLNHODVPX" MATEMATIKA

245

2. -LNDEDQ\DNQ\DVLVZD\DQJPHQ\XNDLRODKUDJDSDOLQJIDYRULWGLNHODVPXWHUVHEXW disebut dengan modus dari data di atas, berapakah nilai modus dari data tersebut? Ayo Kita Menanya Setelah kamu melakukan percobaan pada Kegiatan 6.7 di atas, coba buatlah EHEHUDSDSHUWDQ\DDQGHQJDQPHQJJXQDNDQNDWD³PRGXV´7XOLVODKSHUWDQ\DDQPXGL buku tulis. Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan yang telah kamu lakukan di atas, apa yang kamu peroleh? 0RGXVDGDODKQLODL\DQJSDOLQJGDODPVHNXPSXODQGDWD

Kegiatan 6.8

Kandidat Atlet Lomba Lari

Ayo Kita Amati

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.16 Kandidat Atlet Lomba Lari

 8QWXNSHUVLDSDQORPEDODULPWLQJNDWNRWD603&HULDPHODNXNDQSHODWLKDQ selama 6 bulan dengan tiga kandidat. Berikut adalah data waktu yang diperlukan ROHKWLDSWLDSNDQGLGDWXQWXNPHQHPSXKMDUDNPHWHUSDGDWLDSWLDSDNKLUEXODQ SHODWLKDQ\DQJGLFDWDWROHKWLPSHODWLK GDODPGHWLN 

246

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1





-DQ

)HE 0DU $SU 0HL -XQ

$QGUR       %LVPD       Charlie 14,05 14,10 14,15 14,12 14,25 14,20 Diskusi dan Berbagi  'DUL GDWD ZDNWX \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN PHQHPSXK MDUDN  PHWHU WLDSWLDS kandidat, tim pelatih ditugaskan untuk menentukan satu orang kandidat yang berhak PHZDNLOL VHNRODK GDODP ORPED ODUL WLQJNDW NRWD 0HQXUXWPX EDJDLPDQD FDUD WLP pelatih menentukan pilihannya? Hubungkan dengan materi mean, median, dan modus yang telah kamu dapatkan sebelumnya. Diskusikan dengan teman sebangkumu SHUPDVDODKDQLQL7XOLVNDQKDVLOQ\DVHFDUDUDSLGDQMHODV3DSDUNDQMDZDEDQPXGL depan teman sekelasmu. Materi Esensi

Mean, Median, dan Modus

Mean adalah nilai rata-rata dari suatu kumpulan data. Cara menentukan mean yaitu GHQJDQPHPEDJLMXPODKVHOXUXKQLODLGDULVXDWXNXPSXODQGDWDGHQJDQEDQ\DNQ\DGDWD Modus adalah nilai paling banyak muncul dalam suatu kumpulan data. Median adalah nilai tengah pada suatu kumpulan data yang telah disusun dari nilai WHUNHFLOKLQJJDQLODLWHUEHVDU0LVDONDQEDQ\DNGDWDDGDODKQ-LNDQDGDODKELODQJDQ JDQMLOPDNDPHGLDQDGDODKQLODLGDULGDWD\DQJWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJWHQJDK n 1 yaitu data ke. Jika n adalah bilangan genap, maka median adalah rata-rata dari 2 n dua data yang terletak pada posisi paling tengah, yaitu rata-rata dari data ke- dan 2 n data ke-  1 . 2 Contoh 6.3



Menentukan Mean, Median, Dan Modus Dari Suatu Data

%HULNXWLQLDGDODKGDWDQLODLXMLDQPDWHPDWLNDVLVZDNHODV,;(603&HULD 60 80 90 70 80 80 80 90 100 100 70 60 50 70 90 80 70 60 80 90

1. Urutkan data di atas dari nilai yang terkecil sampai terbesar. Buatlah tabel yang PHQ\DWDNDQQLODLXMLDQGDQIUHNXHQVLVLVZD\DQJPHQGDSDWNDQWLDSWLDSQLODLWHUVHEXW 2. Hitunglah nilai mean, median, dan modus dari data di atas.

MATEMATIKA

247

 Jika nilai minimum kelulusan adalah 75, berapakah persentase siswa yang tidak OXOXVGDODPXMLDQWHUVHEXW" Alternatif Penyelesaian:  %HULNXWLQLDGDODKKDVLOSHQJXUXWDQGDWDQLODLXMLDQPDWHPDWLNDVLVZDNHODV,; (603&HULDGDULGDWDGHQJDQQLODLWHUNHFLOVDPSDLWHUEHVDU 50 60 60 60 70 70 70 70 80 80 80 80 80 80 90 90 90 90 100 100  %HULNXW DGDODK WDEHO \DQJ PHQXQMXNNDQ QLODL XMLDQ PDWHPDWLND GDQ IUHNXHQVL siswa yang mendapatkan tiap-tiap nilai tersebut. Nilai Ujian

Frekuensi

50 60 70 80 90 100

1  4 6 4 2

2. Untuk menghitung mean dari sekelompok data di atas, maka ikuti langkahlangkah di bawah ini. 

   

/DQJNDK.DOLNDQQLODLXMLDQGHQJDQIUHNXHQVLPDVLQJPDVLQJ\DQJEHUVHVXDLDQ Nilai Ujian

Frekuensi

Nilai Ujian x Frekuensi

50 60 70 80 90 100

1  4 6 4 2

50 180 280 480  200

/DQJNDK-XPODKNDQVHOXUXKGDWDGHQJDQFDUDPHQMXPODKNDQVHOXUXKELODQJDQ \DQJWHUGDSDWSDGDNRORPWDEHOGLDWDVGLSHUROHK      /DQJNDK7HQWXNDQEDQ\DNGDWDGDODPKDOLQLDGDODKEDQ\DNQ\DVLVZD\DLWX /DQJNDK7HQWXNDQ QLODL PHDQQLODL UDWDUDWD GLVLPERONDQ GHQJDQ [  \DLWX GHQJDQFDUDPHPEDJLMXPODKNHVHOXUXKDQGDWDGHQJDQEDQ\DNQ\D data keseluruhan 

x

Jumlah nilai seluruh data 1.550 = = 77,5 Banyaknya data 20

Jadi mean untuk data di atas adalah 77,5 248

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Untuk menghitung median adalah dengan cara mencari data yang berada pada SRVLVL SDOLQJ WHQJDK GDUL VXDWX GDWD \DQJ WHODK WHUXUXW 8QWXN GDWD QLODL XMLDQ matematika siswa di atas, maka dari hasil pengurutan akan dicari data yang WHUGDSDW SDGD SRVLVL SDOLQJ WHQJDK 'HQJDQ MXPODK GDWD DGDODK  PDND QLODL mediannya adalah rata-rata dari dua data yang terletak pada posisi paling tengah. Dalam hal ini merupakan rata-rata dari data ke-10 dan ke-11. Ļ 

0DNDPHGLDQQ\DDGDODKUDWDUDWDGDULGDQ-DGL

   2 Jadi median untuk data di atas adalah 80. 0HGLDQ





1LODLPRGXVGDULGDWDGLDWDVGDSDWGLOLKDWGDULQLODLXMLDQ\DQJPHPLOLNLIUHNXHQVL terbanyak. Dalam data tersebut, nilai modusnya adalah 80. Jadi modus untuk data di atas adalah 80.

 -LNDQLODLPLQLPXPNHOXOXVDQDGDODKPDNDWHUGDSDWVLVZD\DQJWLGDNOXOXV yaitu siswa yang memiliki nilai antara 50 sampai dengan 70. Persentase siswa 8 u   . yang tidak lulus adalah 20

Data Hujan Cerah

Contoh 6.4

 'LDJUDPGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQFXUDKKXMDQNRWD$GDQ%7HQWXNDQNRWD \DQJPHPLOLNLUDWDUDWDFXUDKKXMDQOHELKWLQJJL"

&XUDK+XMDQ.RWD$'DQ% ,QFKL 4,5 4   2,5 2 1,5 1 0,5 0

A B

Sep

2NW

Nop

Des

Jan

Feb

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.176DMLDQ'DWD&XUDK+XMDQ.RWD$GDQ%

MATEMATIKA

249

Alternatif Penyelesaian:  5DWDUDWD FXUDK KXMDQ WLDSWLDS NRWD GDSDW GLKLWXQJ GHQJDQ PHUDWDUDWD FXUDK KXMDQDQWDUDEXODQVHSWHPEHUVDPSDLGHQJDQEXODQIHEUXDUL

5DWD  UDWDFXUDKKXMDQ.RWD$ 5DWD  UDWDFXUDKKXMDQ.RWD% 

           6               6

 

-DGL.RWD$PHPSXQ\DLUDWDUDWDFXUDKKXMDQOHELKWLQJJLGDULSDGD.RWD% Contoh 6.5

Data Penjualan TV Dalam Satu Bulan

 %HULNXWLQLDGDODKGDWDSHQMXDODQEHUEDJDLPHUN79EHUZDUQDGL7RNR(OHNWURQLN :DZDQ-D\D0DNPXUVHODPDEXODQ-DQXDUL Merek Jumlah

A 5

B 

C 8

D 4

E 6

F 7

79EHUZDUQDPHUHNDSDNDK\DQJSDOLQJEDQ\DNWHUMXDOGLWRNRWHUVHEXW" Alternatif Penyelesaian :  'DULGDWDSHQMXDODQ79EHUZDUQDGL7RNR(OHNWURQLN:DZDQ-D\D0DNPXUGDSDW GLOLKDWEDKZD79\DQJSDOLQJEDQ\DNWHUMXDODGDODK79PHUHN&GHQJDQMXPODK EXDK$QJND\DQJPHQXQMXNNDQ79\DQJSDOLQJEDQ\DNWHUMXDOGL7RNR(OHNWURQLN :DZDQ-D\D0DNPXUPHQXQMXNNDQPRGXVGDULVHOXUXKGDWDSHQMXDODQ79EHUZDUQD di toko tersebut selama bulan Januari. Ayo Kita Tinjau Ulang  'DWDEHULNXWPHQXQMXNNDQWLQJJLEDGDQVLVZDNHODV,;'603&HULD   a. Urutkan data di atas dari nilai yang terkecil sampai terbesar. b. Hitunglah mean, median, dan modus dari data di atas.  3DGDNHODV,;&603&HULDUDWDUDWDQLODLPDWHPDWLNDVLVZDSHUHPSXDQDGDODK 72 sedangkan rata-rata siswa laki-laki adalah 77. Jika rata-rata nilai matematika seluruh siswa di kelas tersebut adalah 74, tentukan perbandingan banyaknya siswa perempuan terhadap siswa laki-laki di kelas tersebut.

250

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Latihan 6.2

Mean, Median, Modus

 6HEXDKGDWDKDVLOXODQJDQKDULDQ0DWHPDWLNDNHODV,;$PHQXQMXNNDQGHODSDQ siswa mendapat nilai 95, enam siswa mendapat nilai 85, sepuluh siswa mendapat QLODLVHPELODQVLVZDPHQGDSDWQLODLGDQWXMXKVLVZDPHQGDSDWQLODL 7HQWXNDQUDWDUDWDQLODLXODQJDQKDULDQ0DWHPDWLNDGLNHODVWHUVHEXW 2. Perhatikan dua data berikut ini. 

'DWD; Data Y: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 16



D 'DSDWNDQ PHDQ PHGLDQ GDQ PRGXV XQWXN WLDSWLDS GDWD ; GDQ< 8QWXN PHDQEXODWNDQQLODLQ\DVDPSDLGXDWHPSDWGHVLPDO 



E -HODVNDQPHQJDSDPHDQGDULGDWD<OHELKEHVDUGDULPHDQGDULGDWD;



F -HODVNDQPHQJDSDPHGLDQGDULGDWD;VDPDGHQJDQPHGLDQGDULGDWD<

 7DEHOEHULNXWPHQXQMXNNDQGDWDSHQGDSDWDQKDVLOSDQHQVD\XU$GDQ%GL'HVD Sukamakmur. Pendapatan Panen Sayur (ribuan rupiah)

900 800 700 600 500 400

Sayur A



Sayur B

200 900 0 Juli

Agustus

September

2NWREHU

Bulan

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.186DMLDQ3HQGDSDWDQ+DVLO3DQHQ6D\XUDQ$GDQ%GL'HVD Sukamakmur

a. Berapa total pendapatan panen sayur A dan B masing-masing selama 4 bulan? b. Berapa total pendapatan hasil panen seluruhnya dari kedua sayur selama 4 bulan tersebut? c. Pada bulan apa terdapat selisih pendapatan terbesar dari panen sayur A dan B? d. Berapa rata-rata pendapatan dari panen sayur A dan B masing-masing selama 4 bulan?

MATEMATIKA

251



H 0HQJDFXSDGDSHQGDSDWDQUDWDUDWDGDULSDQHQVD\XU$GDQ%VHODPDEXODQ tersebut, menurutmu sayur apa yang sebaiknya disediakan lebih banyak pada Bulan Nopember? Jelaskan.  I %HUDSDPHGLDQGDULSHQGDSDWDQSDQHQVD\XU$GDQ%PDVLQJPDVLQJVHODPD 4 bulan? g. Berapa banyak pendapatan dari panen sayur B yang harus diusahakan pada Bulan Nopember agar rata-rata pendapatan hasil panen sayur B selama Bulan -XOLVDPSDL1RSHPEHUPHQMDGL5S"  1LODLUDWDUDWDXMLDQPDWHPDWLNDGLVXDWXNHODVDGDODK1LODLUDWDUDWDVLVZD putra adalah 75 dan nilai rata-rata siswa putri adalah 70. Jika banyaknya siswa putri 6 lebih banyak dari siswa putra, berapa banyaknya siswa di kelas tersebut?  7DEHOEHULNXWLQLPHQXQMXNNDQGDWDQLODLXMLDQ,3$VLVZDNHODV,;&



Nilai

Frekuensi

5



6

4

7

10

8

7

9

4

10

2

D .HWXD NHODV ,; & PHQJDWDNDQ EDKZD QLODL UDWDUDWD XMLDQ ,3$ NHODV ,; & adalah 7, karena banyak siswa yang mendapatkan nilai tersebut. Apakah SHUQ\DWDDQNHWXDNHODVWHUVHEXWEHQDU"-HODVNDQMDZDEDQPX b. Berapakah median dan modus data tersebut?



F 6HRUDQJVLVZDGLQ\DWDNDQOXOXVGDODPXMLDQWHUVHEXWMLNDPHQGDSDWNDQQLODL lebih dari atau sama dengan 6, berapa persen siswa yang tidak lulus di kelas ,;&"

 $QGL%XGL&KDUOLGDQ'HGLDGDODKWHPDQVHSHUPDLQDQ5DWDUDWDEHUDWEDGDQ $QGLGDQ%XGLDGDODKNJ5DWDUDWDEHUDWEDGDQ%XGLGDQ&KDUOLDGDODK 5DWDUDWDEHUDWEDGDQ&KDUOLGDQ'HGLDGDODK%HUDSDNDKUDWDUDWDEHUDWEDGDQ Andi dan Dedi?  'LDJUDP EHULNXW PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D VHSDWX RODKUDJD \DQJ WHUMXDO SDGD 7RNR6HSDWX0DQWDS-D\DSDGDEXODQ$JXVWXVEHUGDVDUNDQXNXUDQ3HPLOLNWRNR PHQJDWDNDQEDKZDVHSDWXRODKUDJD\DQJWHUMXDOUDWDUDWDDGDODKXNXUDQ

252

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

16

Banyak Sepatu Yang Terjual

14 12 10 8 6 4 2 0 







40

41

42



44

45

Ukuran Sepatu

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.196DMLDQ3HQGDSDWDQ+DVLO3DQHQ6D\XUDQ$GDQ%G,'HVD6XNDPDNPXU



D 'DSDWNDQPHDQPHGLDQGDQPRGXVGDULGDWDGLDWDV XQWXNPHDQEXODWNDQ VDPSDLQLODLVDWXDQWHUGHNDW b. Apakah pernyataan pemilik toko tersebut benar? Jika salah coba kamu betulkan pernyataan pemilik toko tersebut. c. Pada Bulan September, pemilik toko ingin menambah stok sepatu olahraga XNXUDQ WHUWHQWX \DQJ SDOLQJ EDQ\DN WHUMXDO SDGD EXODQ VHEHOXPQ\D DNDQ tetapi ia belum dapat menentukannya. Dengan menggunakan hasil yang WHODKNDPXGDSDWNDQSDGD D SHUKLWXQJDQPDQDNDK\DQJGDSDWPHPEDQWX pemilik toko dalam menyelesaikan permasalahan tersebut? Apakah mean, PHGLDQDWDXPRGXV"-HODVNDQMDZDEDQPX

 5DWDUDWDGDULGXDSXOXKWLJDELODQJDQDVOL\DQJEHUXUXWDQDGDODK%HUDSDNDK UDWDUDWDGDULWXMXKELODQJDQ\DQJSHUWDPD"

MATEMATIKA

253

Proyek Lakukan survei tentang perilaku menonton 79VHOXUXKVLVZDGLNHODVPX,NXWLODQJNDK langkah kegiatan di bawah ini.  &RED NDPX EXDW VXUYHL MHQLVMHQLV SURJUDP 79 IDYRULW VHOXUXK VLVZD GL kelasmu. Sebelum itu tentukan terlebih GDKXOXMHQLVMHQLVSURJUDP79IDYRULW 7LDSWLDS VLVZD KDQ\D GLSHUEROHKNDQ PHPLOLK VDWX MHQLV SURJUDP 79 IDYRULWQ\D 'DWD MHQLV SURJUDP 79 IDYRULWVLVZDGLVHEXWGHQJDQGDWD 2. Berikutnya lakukan survei mengenai berapa lama tiap-tiap siswa menonton Sumber: Dokumen Kemdikbud 79 VHWLDS KDULQ\D GDODP MDP  'DWD Gambar 6.20 ODPDQ\D VLVZD PHQRQWRQ 79 VHWLDS harinya disebut dengan data 2.  6HODQMXWQ\D ODNXNDQ VXUYHL PHQJHQDL EHUDSD ODPD VLVZD EHODMDU PDQGLUL GL OXDU MDP VHNRODK VHWLDS KDULQ\D GDODP MDP  'DWD ODPDQ\D VLVZD EHODMDU PDQGLULGLOXDUKDPVHNRODKVHWLDSKDULQ\DGLVHEXWGHQJDQGDWD  %XDWODKWDEHOXQWXNPHQ\DMLNDQGDWDGDWDGDQPDVLQJPDVLQJ  %XDWODKGLDJUDP\DQJSDOLQJHIHNWLIXQWXNPHQ\DMLNDQGDWDGDWDGDQ masing-masing.  +LWXQJPHDQPHGLDQGDQPRGXVGDWDGDQGDWD  $SD\DQJGDSDWNDPXVLPSXONDQWHUNDLWGHQJDQPHDQGDWDGDQPHDQGDWD" 0DQDNDK\DQJOHELKEHVDUQLODLQ\D" 8. Berikan masukan dan saran kepada teman-teman sekelasmu tentang perilaku PHQRQWRQ79  7XOLVNDQVHFDUDUDSLGDQFHULWDNDQNHSDGDWHPDQWHPDQPXGLGHSDQNHODV

254

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Uji Kompetensi 6

Statistika

 'LDJUDP EDWDQJ GL EDZDK LQL PHQXQMXNNDQ GDWD EDQ\DN DQDN SDGD WLDSWLDS NHOXDUJD GL OLQJNXQJDQ 57  5:  .HOXUDKDQ 6XNDMDGL 6XPEX KRUL]RQWDO PHQXQMXNNDQ GDWD EDQ\DN DQDN SDGD WLDSWLDS NHOXDUJD VHGDQJNDQ VXPEX YHUWLNDO PHQ\DWDNDQ EDQ\DNQ\D NHOXDUJD \DQJ PHPLOLNL DQDN GHQJDQ MXPODK antara 0 sampai dengan 5.

Data Banyak Anak Pada Tiap-Tiap Keluarga Rt 5 Rw 1 Kelurahan Sukajadi Banyak Keluarga

12 10 7 6 4 2 0 0

1

2



4

5

Banyak Anak Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.216DMLDQ'DWDEDQ\DNDQDNSDGDWLDSWLDSNHOXDUJD575:NHOXUDKD VXNDMDGL

 



D 7HQWXNDQ WRWDO EDQ\DNQ\D NHOXDUJD GDQ EDQ\DN DQDN GDODP OLQJNXQJDQ tersebut? E %HUDSDMXPODKNHOXDUJD\DQJPHPSXQ\DLDQDNOHELKGDUL" c. Berapa persentase keluarga yang tidak mempunyai anak? d. Berapa rata-rata banyak anak pada setiap keluarga? e. Berapa median dan modus dari data tersebut? I 'DODPFDWDWDQ3DN57UDWDUDWDEDQ\DNDQDNSDGDWLDSNHOXDUJDPHQMDGL sesudah ada dua puluh keluarga pendatang yang masuk ke dalam lingkungan tersebut. Berapa rata-rata banyak anak pada keduapuluh keluarga pendatang tersebut? g. Jika terdapat lima keluarga pendatang dan setiap keluarga tersebut memiliki 2 anak, apakah ada perubahan pada mean, median, dan modus? Jika ada tentukan mean, median, dan modus yang baru.

MATEMATIKA

255

 'LDJUDPEHULNXWLQLPHQXQMXNNDQMXPODKNHEXWXKDQNHOXDUJD3DN&XNXSGDODP waktu satu bulan.

Diagram Kebutuhan Kelurga Pak Ucup

0DNDQ 7UDQVSRUWDVL 7DEXQJDQ Lain-Lain

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.226DMLDQ'DWD.HEXWXKDQ.HOXDUJD3DN8FXS



-LNDSHQJKDVLODQSDN&XNXSDGDODKMXWDUXSLDKSHUEXODQGDQMXPODKSHQJHOXDUDQ untuk tabungan dan lain-lain adalah sama besar, berapa banyak uang yang digunakan untuk kebutuhan makan? Berapa banyak uang yang digunakan untuk transportasi?

 3DN &XNXS EHUSDUWLVLSDVL GDODP SURJUDP KHPDW HQHUJL VHKLQJJD ELD\D WUDQVSRUWDVL EHUNXUDQJ  GDUL ELDVDQ\D -DGL EHUDSDNDK SHQJHOXDUDQ XQWXN WUDQVSRUWDVL" -LND  SHQJKHPDWDQ WUDQVSRUWDVL WHUVHEXW GLJXQDNDQ XQWXN tabungan, berapakah besar tabungan pak Cukup tiap bulannya? 4. Apakah mungkin mean, median, dan modus dalam suatu kumpulan data memiliki nilai yang sama semua? Jika ya, berikan contohnya.  -XPODKVLVZDODNLODNLNHODV,;$603&HULDDGDODKRUDQJGHQJDQEHUDWEDGDQ rata-rata adalah 50 kg. Jelaskan secara singkat langkah-langkah untuk mengukur berat badan ke-16 siswa tersebut? 6. Perhatikan kembali soal nomor 5 di atas. Apakah tiap-tiap pernyataan di bawah ini benar atau salah? Jelaskan secara ringkas. a. Sebagian besar siswa laki-laki di kelas tersebut memiliki berat badan tepat 50 kg. 

E 7HSDWSHUVHQGDULVLVZDODNLODNLPHPLONLEHUDWEDGDQGLEDZDKNJ



F 0HGLDQGDULGDWDEHUDWEDGDQVLVZDWHUVHEXWDGDODK



G 0RGXVGDULEHUDWEDGDQVLVZDWHUVHEXWDGDODK

256

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

 3DN7RQRPHPLOLNLNHEXQPDQJJDVHEDQ\DNSRKRQUDWDUDWDSDQHQGDULWDKXQ DGDODKNJ7HQWXNDQQLODLx :  

Tahun Jumlah (kg)

2014 

2015 x

2016 

2017 

 7HUGDSDW  ELODQJDQ GHQJDQ UDWDUDWD  (QDP ELODQJDQ GLDQWDUDQ\D  DGDODK      GDQ  6LVD GXD DQJND ELOD GLMXPODKNDQ VDPD GHQJDQ [ Berapakah nilai x ?  :LQGDWHODKPHQJLNXWLEHEHUDSDNDOLXMLDQPDWHPDWLND-LND:LQGDPHPSHUROHK QLODL  SDGD XMLDQ \DQJ DNDQ GDWDQJ PDND QLODL UDWDUDWD VHOXUXK XMLDQ PDWHPDWLNDQ\DDGDODK7HWDSLMLNDLDPHPSHUROHKQLODLPDNDQLODLUDWDUDWD VHOXUXKXMLDQPDWHPDWLNDQ\DDGDODK'DULLQIRUPDVLWHUVHEXWEHUDSDEDQ\DN XMLDQ\DQJWHODKGLLNXWLROHK:LQGDVHEHOXPQ\D"  'LNHWDKXLGDWDQLODLXMLDQDNKLUVHPHVWHUVLVZDNHODV,;$603&HULDGLEDZDK ini 6 4

Nilai Frekuensi 

7 8

8 n

9 2

10 2

-LNDQLODLXMLDQDNKLUVHPHVWHUVLVZDGLNHODVWHUVHEXWPHPLOLNLQLODLUDWDUDWD tentukan nilai median nya.

 .HODV,;$603&HULDPHPLOLNLVLVZDVHEDQ\DNRUDQJ3DGD8MLDQ7HQJDK 6HPHVWHU GLNHWDKXL QLODL UDWDUDWD SDGD PDWD SHODMDUDQ PDWHPDWLND DGDODK  VHGDQJNDQ QLODL UDWDUDWD SDGD PDWD SHODMDUDQ ,3$ DGDODK  3DGD NHODV ,; D, rata-rata nilai matematika yang diperoleh adalah 71,6. Jika nilai rata-rata JDEXQJDQNHODV,;$GDQNHODV,;'XQWXNPDWDSHODMDUDQPDWHPDWLNDGDQ,3$ PDVLQJPDVLQJDGDODKGDQWHQWXNDQQLODLUDWDUDWDPDWDSHODMDUDQ,3$ XQWXNNHODV,;'  'DWD EHULNXW LQL PHQXQMXNNDQ KDVLO 8MLDQ$NKLU 6HPHVWHU PDWD SHODMDUDQ ,3$ NHODV,; Nilai Frekuensi

5 21

6 15

7 20

8 16

9 8

10 5

Jika pihak sekolah memberlakukan aturan bahwa siswa yang memiliki nilai 8MLDQ$NKLU6HPHVWHUOHELKGDULDWDXVDPDGHQJDQQLODLUDWDUDWDDNDQGLOXOXVNDQ sedangkan siswa yang memiliki nilai di bawah nilai rata-rata tidak lulus, tentukan SHUVHQWDVHEDQ\DNVLVZD\DQJWLGDNOXOXVSDGD8MLDQ$NKLU6HNRODKXQWXNPDWD SHODMDUDQ,3$WHUVHEXW %XODWNDQVDPSDLGXDWHPSDWGHVLPDO   $SDELODSHUEDQGLQJDQMXPODKSHUHPSXDQGDQODNLODNLGDODPVDWXNHODVDGDODK GDQMXPODKSHUHPSXDQDGD7HQWXNDQUDWDUDWDEHUDWEDGDQODNLODNLMLND total berat siswa laki-laki adalah 424?

MATEMATIKA

257

 'LDJUDPEHULNXWLQLPHQXQMXNNDQGDWDSHQMXDODQVHSHGDPHUNA, B, C, dan D di NRWD;GDODPEXODQWHUDNKLU

Data Penjualan Sepeda di Kota X 2500 2000 A

1500

B C

1000

D 500 0 Januari

Februari

0DUHW

April

0HL

Juni

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 6.236DMLDQ'DWD3HQMXDODQ6HSHGD0RWRUGL.RWD;



D %HUDSDEDQ\DNVHSHGDPHUN%\DQJWHUMXDOVHODPD%XODQ0DUHW"



E 3DGDEXODQDSDVHSHGDPHUN&WHUMXDOOHELKEDQ\DNGDULSDGDVHSHGDPHUN% untuk pertama kalinya?



F 6HSHGD PHUN DSD \DQJ PHQJDODPL SHQLQJNDWDQ GDQ SHQXUXQDQ SHQMXDODQ SDOLQJWLQJJLSDGD%XODQ0DUHW"-HODVNDQMDZDEDQPX

 0DQDMHPHQ SHUXVDKDDQ VHSHGD PHUN % PHUDVVD NKDZDWLU NDUHQD SHQMXDODQ sepedanya terus mengalami penurunan dari Bulan Februari sampai dengan %XODQ-XQL3HUNLUDNDQEDQ\DNQ\DVHSHGDPHUN%\DQJWHUMXDOSDGD%XODQ-XOL MLNDVHSHGDPHUN%PDVLKPHQJDODPLSHQXUXQDQMXPODKSHQMXDODQSDGDEXODQ tersebut.

258

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Contoh Penilaian Sikap

KUESIONER SIKAP SISWA TERHADAP KOMPONEN DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN 1DPD6HNRODK

 





.HODV6HPHVWHU





0DWD3HODMDUDQ

 





+DULWDQJJDO 





0DWHUL 

 





1DPD 













A. TUJUAN  7XMXDQ SHQJJXQDDQ NXHVLRQHU LQL DGDODK XQWXN PHQMDULQJ GDWD VLNDS VLVZD WHUKDGDS NHJLDWDQ GDQ NRPSRQHQ SHPEHODMDUDQ GDODP SHODNVDQDDQ SHPEHODMDUDQ matematika. B. PETUNJUK 

%HULWDQGDFHN 9 SDGDNRORP\DQJVHVXDLPHQXUXWSHQGDSDWPX No.

Aspek

Senang

Tidak Senang

I

Bagaimana sikapmu terhadap komponen berikut? D 0DWHULSHODMDUDQ b. Buku Siswa F /HPEDU.HUMD6LVZD /.6 G 6XDVDQDEHODMDUGLNHODV H &DUDJXUXPHQJDMDU

...................... ...................... ...................... ...................... ......................

........................... ........................... ........................... ........................... ...........................

%HULNDQDODVDQVHFDUDVLQJNDWDWDVMDZDEDQ\DQJGLEHULNDQ

MATEMATIKA

259

Baru II

Tidak Baru

Bagaimana pendapatmu terhadap komponen berikut? D 0DWHULSHODMDUDQ ...................... ........................... b. Buku Siswa ...................... ........................... F /HPEDU.HUMD6LVZD /.6 ...................... ........................... G 6XDVDQDEHODMDUGLNHODV ...................... ........................... H &DUDJXUXPHQJDMDU ...................... ...........................

%HULNDQDODVDQVHFDUDVLQJNDWDWDVMDZDEDQ\DQJGLEHULNDQ

Tidak Bermanfaat

Bermanfaat III

Apakah kamu berminat mengikuti NHJLDWDQEHODMDUVHODQMXWQ\DVHSHUWL\DQJ ...................... ........................... telah kamu ikuti sekarang?

%HULNDQDODVDQVHFDUDVLQJNDWDWDVMDZDEDQ\DQJGLEHULNDQ

Ya ,9

260

Bagaimana pendapatmu terhadap DNWLYLWDVEHODMDUPDWHPDWLNDGLNHODVGDQ di luar kelas? a. Apakah ananda merasa terbebani ..................... terhadap tugas yang diberikan guru? E $NWLYLWDVEHODMDUPDWHPDWLNDPHQXUXW ..................... saya adalah menarik.

Kelas IX SMP/MTs

Tidak

.......................... ..........................

Semester 1

Bermanfaat 9

Tidak Bermanfaat

Bagaimana menurut pendapatmu, DSDNDK PDWHPDWLND EHUPDQIDDW GDODP ...................... ........................... kehidupan?

Rubrik Penilaian Sikap

Kriteria

Skor

Siswa memberikan respon senang dan baru terhadap komponen SHPEHODMDUDQ PDWHPDWLND berminat, tertarik dan tidak merasa terbebani WHUKDGDS WXJDV GDQ DNWLYLWDV EHODMDU PDWHPDWLND WHWDSL merasakan kebermanfaatan EHODMDUPDWHPDWLND

4

Siswa memberikan respon senang dan baru terhadap komponen SHPEHODMDUDQ PDWHPDWLND berminat, tertarik dan tidak merasa terbebani WHUKDGDS WXJDV GDQ DNWLYLWDV EHODMDU PDWHPDWLND WHWDSL tidak merasakan kebermanfaatanEHODMDUPDWHPDWLND

3

Siswa memberikan respon senang dan baru terhadap komponen SHPEHODMDUDQPDWHPDWLNDWHWDSLtidak berminat, tidak tertarik dan merasa terbebaniWHUKDGDSWXJDVGDQDNWLYLWDVEHODMDUPDWHPDWLND serta tidak merasakan kebermanfaatanEHODMDUPDWHPDWLND

2

Siswa memberikan respon tidak senang terhadap komponen SHPEHODMDUDQ PDWHPDWLND tidak berminat, tidak tertarik dan merasa terbebani WHUKDGDSWXJDVGDQDNWLYLWDVEHODMDUPDWHPDWLND serta tidak merasakan kebermanfaatanEHODMDUPDWHPDWLND

1

MATEMATIKA

261

Contoh Penilaian Diri

PENILAIAN DIRI DALA KELOMPOK (SELF-ASSESSMENT IN GROUP) Nama : ........................................................................... Anggota Kelompok : ........................................................................... Kegiatan Kelompok : ........................................................................... 8QWXN SHUWDQ\DDQ  VDPSDL GHQJDQ  WXOLV PDVLQJPDVLQJ KXUXI VHVXDL GHQJDQ pendapatmu x x x x

A = Selalu B = Jarang C = Jarang Sekali ' 7LGDNSHUQDK

1

____Selama diskusi saya memberikan saran kepada kelompok untuk didiskusikan.

2

____Ketika Kami berdiskusi, setiap anggota memberikan masukan untuk didiskusikan.

 BBBB6HPXD DQJJRWD NHORPSRN KDUXV PHODNXNDQ VHVXDWX GDODP NHJLDWDQ kelompok.  BBBB6HWLDS DQJJRWD NHORPSRN PHQJHUMDNDQ NHJLDWDQQ\D VHQGLUL GDODP kegiatan kelompok. Selama kegiatan, saya .... BBBB0HQGHQJDUNDQBBBB0HQJHQGDOLNDQNHORPSRN BBBB%HUWDQ\D BBBB0HQJJDQJJXNHORPSRN BBBB0HUDQFDQJJDJDVDQBBBB7LGXU 5 Selama kegiatan kelompok, tugas apa yang kamu lakukan?

262

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Contoh Penilaian Partisipasi Siswa

LEMBAR PENILAIAN PARTISIPASI Nama : ____________________________________________ Kelas : ____________________________________________ Hari/Tanggal : ____________________________________________ .DPXWHODKPHQJLNXWLSHODMDUDQPDWHPDWLNDKDULLQL,QJDWODKNHPEDOLEDJDLPDQD partisipasi kamu dalam kelas matematika hari ini. -DZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXWVHMXMXUQ\D x Apakah kamu berpartisipasi dalam diskusi? x Apakah kamu telah mempersiapkan diri sebelum masuk kelas, atau telah PHQJHUMDNDQ35VHKLQJJDNDPXGDSDWPHQMDZDESHUWDQ\DDQGLNHODV" x Apakah kamu bertanya ketika kamu tidak paham? x -LNDDGDWHPDQEHUWDQ\D NHSDGDJXUXNHSDGDPXNHSDGDWHPDQODLQ DSDNDK kamu menyimaknya? Berikan skor atas partisipasi kamu, menurut ketentuan berikut ini. ¾ -LNDNDPXPHQMDZDE³ya” pada semua pertanyaan di atas, bagus …, kamu telah melakukan partisipasi yang sempurna. Berikan nilai untuk dirimu 5. ¾ -LNDNDPXPHQMDZDE³ya” pada tiga pertanyaan di atas, berikan nilai untuk dirimu 4. ¾ -LNDNDPXPHQMDZDE³ya” pada dua pertanyaan di atas, berikan nilai untuk dirimu 3. ¾ -LNDNDPXKDQ\DPHQMDZDE³ya” paling banyak pada satu pertanyaan di atas berikan nilai untuk dirimu 2, dan upayakan untuk meningkatkan partisipasimu GDODPSHODMDUDQPDWHPDWLND Nilai partisipasi saya hari ini adalah : ____________.

7DQGDWDQJDQBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

MATEMATIKA

263

Lembar Partisipasi

(Lembar ini diisi setiap jam belajar matematika) Tulislah dengan jujur, partisipasi anda dalam belajar matematika di kelas hari ini. Partisipasi yang dimaksud adalah: x Bertanya kepada teman di dalam kelas. x Bertanya kepada guru di dalam kelas. x Menyelesaikan tugas belajar dalam kelompok. x Mempresentasikan hasil kerja di depan kelas. x Menawarkan ide/menjawab pertanyaan teman di dalam kelas. x Menawarkan ide/menjawab pertanyaan guru di dalam kelas. x Membantu teman dalam belajar. Pertanyaan utama yang harus dijawab pada tabel berikut adalah: Partisipasi apa yang kamu lakukan dalam belajar Matematika hari ini?

Hari/Tanggal

264

Kelas IX SMP/MTs

Partisipasi apa yang kamu lakukan?

Semester 1

Contoh Pengolahan Laporan Pencapaian Kompetensi Matematika a. Pengelolan Skor Kompetensi Pengetahuan  6HWHODK SHODNVDQDDQ XML NRPSHWHQVL SHQJHWDKXDQ PDWHPDWLND PHODOXL WHV GDQ SHQXJDVDQ GHQJDQ FRQWRK LQVWUXPHQ GDQ SHGRPDQ SHQVNRUDQ \DQJ WHODK GLVDMLNDQ di atas maka diperoleh skor. Dari beberapa kali pemberian tes dan penugasan dalam mengukur kompetensi pengetahuan, perlu pengelolaan skor untuk laporan pencapaian kompetensi. Berikut contoh untuk dipedomani guru. Skor

Skor Akhir

KD Tes

Penugasan

Skala 1-100

Skala 1-4

3.1

84

90

86

3.44

3.2

76

84

79

3.16

3.3

80

70

77

3.08

3.4

84

87

85

3.40

Rata-Rata Skor Akhir

3.22

Cara konvensi ke skala 1-4 adalah

Skor yang diperoleh × 4 = Skor akhir Skor maksimal b. Pengelolaan Skor ompetensi Keterampilan  6HWHODKSHODNVDQDDQXMLNRPSHWHQVLNHWHUDPSLODQPDWHPDWLNDPHODOXLSHQLODLDQ XQMXNNHUMDSURMHNGDQSRUWRIROLRGHQJDQFRQWRKLQVWUXPHQGDQUXEULN\DQJWHODK GLVDMLNDQGLDWDVPDNDGLSHUROHKVNRU'DULEHEHUDSDNDOLSHPEHULDQWHVGDQSHQXJDVDQ dalam mengukur kompetensi pengetahuan, perlu pengelolaan skor untuk laporan pencapaian kompetensi. Berikut contoh untuk dipedomani guru.

MATEMATIKA

265

Skor

Skor Akhir

KD Tes Praktik Projek

Portofolio

Skala 1-100

Skala 1-4

4.1

84

90

-

87

3.48

4.2

76

84

-

80

3.20

4.3

65

60

70

65

2.60

Rata-Rata Skor Akhir

3.09

Cara konvensi ke skala 1-4 adalah

Skor yang diperoleh × 4 = Skor akhir Skor maksimal Petunjuk  3HQLODLDQ VHWLDS PDWD SHODMDUDQ PHOLSXWL NRPSHWHQVL SHQJHWDKXDQ NRPSHWHQVL keterampilan, dan kompetensi sikap. 2. Kompetensi pengetahuan dan kompetensi keterampilan menggunakan skala 1–4 NHOLSDWDQ VHGDQJNDQNRPSHWHQVLVLNDSPHQJJXQDNDQVNDOD6DQJDW%DLN 6%  %DLN %  &XNXS &  GDQ .XUDQJ .  \DQJ GDSDW GLNRQYHUVL NH GDODP predikat A - D seperti pada tabel di bawah ini. 

7DEHO.RQYHUVL.RPSHWHQVL3HQJHWDKXDQ.HWHUDPSLODQGDQ6LNDS Nilai Kompetensi Predikat Pengetahuan

Keterampilan

A

4

4

A-





%





B





B-

2,66

2,66

Sikap

SB

266

Kelas IX SMP/MTs

B

Semester 1

&





C

2

2

C-

1,66

1,66

'





D-

1

1

C

K  .HWXQWDVDQ PLQLPDO XQWXN VHOXUXK NRPSHWHQVL GDVDU SDGD NRPSHWHQVL SHQJHWDKXDQGDQNRPSHWHQVLNHWHUDPSLODQ\DLWX %  4. Pencapaian minimal untuk kompetensi sikap adalah B. Untuk kompetensi yang EHOXP WXQWDV NRPSHWHQVL WHUVHEXW GLWXQWDVNDQ PHODOXL SHPEHODMDUDQ UHPHGLDO VHEHOXPPHODQMXWNDQSDGDNRPSHWHQVLEHULNXWQ\D8QWXNPDWDSHODMDUDQ\DQJ EHOXPWXQWDVSDGDVHPHVWHUEHUMDODQGLWXQWDVNDQPHODOXLSHPEHODMDUDQUHPHGLDO sebelum memasuki semester berikutnya. B. Petunjuk Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan  .XULNXOXP 0DWHPDWLND  DGDODK NXULNXOXP EHUEDVLV NRPSHWHQVL GHQJDQ SHQGHNDWDQ SHPEHODMDUDQ WXQWDV 3HPEHODMDUDQ WXQWDV mastery learning  GDODP SURVHV SHPEHODMDUDQ EHUEDVLV NRPSHWHQVL GLPDNVXGNDQ DGDODK SHQGHNDWDQ GDODP SHPEHODMDUDQ\DQJPHPSHUV\DUDWNDQSHVHUWDGLGLNPHQJXDVDLVHFDUDWXQWDVVHOXUXK NRPSHWHQVLGDVDUSRNRNEDKDVDQDWDXPDWDSHODMDUDQWHUWHQWX3HVHUWDGLGLNGLNDWDNDQ menguasai secara tuntas seluruh kompetensi dasar pada pokok bahasan atau mata SHODMDUDQPDWHPDWLNDSDGDNHODVWHUWHQWXDSDELODSHVHUWDGLGLNWHUVHEXWPHPSHUROHK KDVLOSHQLODLDQXMLNRPSHWHQVLOHELKEHVDUDWDXVDPDGHQJDQGDUL.HWXQWDVDQ%HODMDU .%  \DQJ GLWHWDSNDQ GDODP NXULNXOXP 6HEDOLNQ\D SHVHUWD GLGLN GLNDWDNDQ WLGDN tuntas.  %DJLSHVHUWDGLGLN\DQJPHPSHUROHKKDVLOSHQLODLDQXMLNRPSHWHQVLSDGDSRNRN EDKDVDQ PDWD SHODMDUDQ PDWHPDWLND NXUDQJ GDUL .% ZDMLE GLEHUL SHPEHODMDUDQ UHPHGLDO 3HPEHODMDUDQ UHPHGLDO SDGD KDNLNDWQ\D DGDODK SHPEHULDQ EDQWXDQ EDJL SHVHUWD GLGLN \DQJ PHQJDODPL NHVXOLWDQ DWDX NHODPEDWDQ EHODMDU %DQWXDQ GDODP SHPEHODMDUDQUHPHGLDOPHQFDNXS  PHQJNDMLXODQJPDWHULSDGDNRPSHWHQVLGDVDU \DQJ EHOXP GLFDSDL SHVHUWD GLGLN   SHPEHULDQ WXJDV WHUVUWXNWXU \DQJ GLODNXNDQ VHFDUDPDQGLULGDQSHPEHULDQIHHGEDFNDWDVKDVLONHUMDSHVHUWDGLGLN  WXWRUVHED\D GDODPLPSOHPHQWDVLPRGHOSHPEHODMDUDQNRSHUDWLIWLSHMLJVDZGDQ  NHUMDVDPDQ VHNRODK GHQJDQ RUDQJ WXDZDOL SHVHUWD GLGLN PHQJDWDVL PDVDODK EHODMDU SHVHUWD GLGLN3HPEHULDQSHPEHODMDUDQUHPHGLDOPHOLSXWLGXDODQJNDKSRNRN\DLWXSHUWDPD

MATEMATIKA

267

PHQGLDJQRVLV NHVXOLWDQ EHODMDU GDQ NHGXD PHPEHULNDQ SHUODNXDQ treatment  SHPEHODMDUDQUHPHGLDO  %DJLSHVHUWDGLGLN\DQJPHPSHUROHKKDVLOSHQLODLDQXMLNRPSHWHQVLSDGDSRNRN EDKDVDQ PDWD SHODMDUDQ PDWHPDWLND NXUDQJ GDUL .% ZDMLE GLEHUL SHPEHODMDUDQ SHQJD\DDQ 3HPEHODMDUDQ SHQJD\DDQ DGDODK SHPEHODMDUDQ \DQJ PHPEHULNDQ SHQJDODPDQ PHPEDQJXQ EHUSLNLU WLQJNDW WLQJJL \DLWX EHUSLNLU NULWLV GDQ NUHDWLI  lebih mendalami materi terkait kompetensi atau kegiatan peserta didik yang melampaui persyaratan minimal yang ditentukan oleh kurikulum dan tidak semua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

268

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

DAFTAR PUSTAKA )DWKDQL$+Ensiklopedi Matematika-RJMDNDUWD$U5X]]0HGLD +DHVH 5 GNN  Mathematics for Year 9 Sixth Edition, Australia: Haese and Harris Publications. +DHVH 5 GNN  Mathematics for Year 8 Sixth Edition, Australia: Haese and Harris Publications. +ROODQGV5R\Kamus Matematika (A Dictionary of Mathematics), Alih Bahasa Naipospos Hutauruk, Jakarta: Erlangga. +RRQ73GNNMath Insights Secondary 3A Normal (Academic), Singapore: Pearson Education South Asia Pte Ltd. +RRQ73GNNMath Insights Secondary 3B Normal (Academic), Singapore: Pearson Education South Asia Pte Ltd. .HPGLNEXGMatematika Kelas VII SMP/MTs: Buku Siswa Semester 1, Jakarta: Puskurbuk. .HPGLNEXGMatematika Kelas VII SMP/MTs: Buku Siswa Semester 2, Jakarta: Puskurbuk. .HPGLNEXG  Matematika Kelas VIII SMP/MTs: Buku Siswa Semester 1, Jakarta: Puskurbuk. .HPGLNEXG  Matematika Kelas VIII SMP/MTs: Buku Siswa Semester 2, Jakarta: Puskurbuk. Keung, C. W., 2010, Discovering Mathematics 2A, Singapore: Star Pubilshing Pte Ltd. /DUVRQ 5 GDQ %RVZHOO /  Big Ideas Math Advanced 1 A Common Core Curriculum California Edition. /DUVRQ 5 GDQ %RVZHOO /  Big Ideas Math Advanced 2 A Common Core Curriculum California Edition. Lynch, B., 2009, Ensiklopedia Matematika Terapan MATEMATIKA DALAM SAINS (Math in SCIENCE), Alih Bahasa Didik Hari Pambudi, Jakarta: Cempaka Putih. Lynch, B., 2009, Ensiklopedia Matematika Terapan MATEMATIKA DALAM TEKONOLOGI (Math in TECHNOLOGY) $OLK %DKDVD 5L]ND
MATEMATIKA

269

PISA 2012 Released Mathematics Items, KWWSZZZRHFGRUJSLVDSLVDSURGXFWV SLVDUHOLWHPVPDWKV(1*SGIGLXQGXKWDQJJDO0HL Pulgies, S. dkk, 2007, Mathematics for Year 7 Second Edition, Australia: Haese and Harris Publications. 6HQJ 7 . GDQ
270

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

KWWSEDQ\DNLOPXQ\DEORJVSRWFRPVDPXGHUDSDVL¿NKWPOGLXQGXKWDQJJDO 5 Juli 2014. KWWSZZZMSQQFRPUHDG$VWURQRP0HQGXJD$OLHQ$GDGL Galaksi-Bimasakti, diunduh tanggal 5 Juli 2014. KWWSVWULZLGRGRZRUGSUHVVFRPEXNDQPHQ\HPEDKPDWDKDULWHWDSL EHUPHGLWDVLNHSDGDVDQJSHPEHULNHNXDWDQPDWDKDULGLXQGXKWDQJJDO-XOL ZZZKWWSJHRVSDVLDOEQSEJRLGGLXQGXKWDQJJDO-XOL ZZZVWXGHQWFDOFXODWRUVFRXNDFDWDORJ6FLHQWL¿FB&DOFXODWRUVKWPO KWWSIRRGGHWLNFRPUHDGPHQJKDOXVNDQELVNXLW KWWSWHNQRORJLQHZVYLYDFRLGQHZVUHDGGLWHPXNDQSODQHWVXSHUEHVDU di-tata-surya-terluar, diunduh tanggal 5 Juli 2014. KWWSLQGRQHVLDLQGRQHVLDFRPISODQHWEXPLGLXQGXKWDQJJDO-XOL www.edulens.org, diunduh tanggal 6 Juli 2014. KWWSZZZUXPDKNXFRPEHULWDUHDGWLQJJDOGLSHUXPDKDQDWDXDUHD perkampungan-408418, diunduh tanggal 6 Juli 2014. KWWSVDO\HQMR\EORJVSRWFRPSHUWXPEXKDQSHQGXGXN\DQJPDNLQFHSDW html, diunduh tanggal 6 Juli 2014. KWWSZZZDUWLNHOELRORJLFRPSHUNHPEDQJELDNDQYLUXVUHSOLNDVLYLUXV KWPOGLXQGXKWDQJJDO1RYHPEHU KWWSZZZMREVWUHHWFRLGFDUHHUUHVRXUFHVPHQ\HODPDWNDQNDU\DZDQGLKDUL SHUWDPDGLXQGXKWDQJJDO-XOL KWWSVWGLLVDFLG]DNDWWDEXQJDQGLXQGXKWDQJJDO-XOLGLXQGXKWDQJJDO-XOL 2014. KWWSZZZELPELQJDQRUJEXDWNHOHUHQJMDGLFHSDWGLOLQWDVDQMSJGLXQGXKWDQJJDO 6 Juli 2014. KWWSWHNQRORJLLQLODKFRPUHDGGHWDLOSHQMXDODQPRELOULELVD WHPEXVMXWDXQLWGLXQGXKWDQJJDO-XOL KWWSOLULNODJXDQDNFRPWXNDQJND\XOLULNGLXQGXKWDQJJDO-XOL KWWSGLNHWLNQHZVEORJVSRWFRPFDUDDMDULDQDNPHQDEXQJVHMDNGLQLKWPO diunduh tanggal 6 Juli 2014. KWWSZZZSRUWDONEUFRPEHULWDRODKUDJDBKWPO GLXQGXK WDQJJDO  Juli 2014. KWWSQLELUXZRUOGEORJVSRWFRPJHQHUDVLPRELOFHUGDVGHQJDQURERW html, diunduh tanggal 6 Juli 2014. ZZZNHUHWDDSLFRLGSUHWW\3KRWRGLXQGXKWDQJJDO-XQL ZZZMDODQFRPIRUXPWRSLFMHPEDWDQEDULWRGLXQGXKWDQJJDO-XQL

MATEMATIKA

271

A... B... C...

Glosarium

%DQJXQUXDQJ %DQJXQUXDQJVLVLOHQJNXQJ Barisan bilangan %LGDQJNRRUGLQDW

Busur 'DWD

'HUHWELODQJDQ 'LDJUDPEDWDQJ 'LDJUDPJDULV Diagram lingkaran

'LDJUDPSRKRQ Diameter *UD¿N Fungsi

-DUDN

272

Kelas IX SMP/MTs

2EMHN\DQJPHPLOLNLGLPHQVLSDQMDQJOHEDUWLQJJL 0LVDOQ\DSULVPDOLPDVNXEXV %DQJXQUXDQJ\DQJPHPLOLNLVLVLOHQJNXQJ0LVDOQ\D tabung, kerucut dan bola. Susunan bilangan yang membentuk suatu pola atau aturan tertentu. %LGDQJ \DQJ GLEHQWXN ROHK VXPEX KRUL]RQWDO GDQ sumbu vertikal, seringkali sumbu-X untuk garis KRUL]RQWDOGDQVXPEXY untuk garis vertikal; terdiri atas kuadran 1 sampai 4 yang ditandai dengan angka URPDZL,,,,,,GDQ,9 Kurva lengkung yang berimpit dengan suatu lingkaran. ,QIRUPDVL \DQJ GLNXPSXONDQ 'DWD ELDVDQ\D GDODP bentuk bilangan, dikumpulkan dalam bentuk tabel, diolah dalam bentuk diagram. 3HQMXPODKDQGDULVXNXVXNXSDGDEDULVDQELODQJDQ *DPEDU\DQJPHQJJXQDNDQEDWDQJVHFDUDKRUL]RQWDO DWDXYHUWLNDOXQWXNPHQXQMXNNDQVXDWXGDWD *UD¿N \DQJ PHQJJXQDNDQ VHJPHQ JDULV XQWXN PHQXQMXNNDQSHUXEDKDQGDWD Bagan lingkaran dengan membagi luas lingkaran ROHK MXULQJ \DQJ PHZDNLOL VXDWX GDWD MXPODK GDWD SDGDVHWLDSMXULQJKDUXV 'LDJUDP \DQJ PHQXQMXNNDQ KDVLO \DQJ PXQJNLQ GDODPVXDWXHNVSHULPHQ SHOXDQJWHRULWLN  Segmen garis pada lingkaran yang melalui pusat lingkaran. 5HSUHVHQWDVL YLVXDO \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHQXQMXNNDQKXEXQJDQQXPHULN Pemetaan setiap anggota sebuah himpunan GLQDPDNDQ VHEDJDL GRPDLQ  NHSDGD DQJRWD KLPSXQDQ\DQJODLQ GLQDPDNDQVHEDJDLNRGRPDLQ  $QJND\DQJPHQXQMXNNDQVHEHUDSDMDXKVXDWXEHQGD berupa posisi melalui suatu lintasan tertentu.

Semester 1

-DULMDUL

5XDV JDULV \DQJ GLWDULN GDUL SXVDW OLQJNDUDQ NH sebarang titik pada lingkaran; sama dengan setengah diameter. -DULQJMDULQJ 3HUSDGXDQ EHEHUDSD SRO\JRQ \DQJ GDSDW GLEXDW bangun ruang. .HMDGLDQ %DJLDQGDULUXDQJVDPSHO .HOLOLQJOLQJNDUDQ 3DQMDQJNXUYDOHQJNXQJWHUWXWXS\DQJEHULPSLWSDGD suatu lingkaran. Konstanta Lambang yang mewakili suatu nilai tertentu. Koordinat Pasangan terurut suatu bilangan yang digunakan untuk menentukan titik pada bidang koordinat, GLWXOLV x, y  Kuadran Satu dari empat bagian bidang koordinat yang dipisahkan oleh sumbu-X dan sumbu-Y. Kuadran GLEHULQDPD.XDGUDQ,,,,,,GDQ,9\DQJGLPXODL GDULEDJLDQNDQDQDWDVEHUODZDQDQDUDKMDUXPMDP Luas permukaan Jumlah luas semua sisi-sisi pada bangun ruang. 0HDQ 1LODLUDWDUDWDGDULNXPSXODQGDWD 0HGLDQ 1LODLGDWD \DQJ WHUOHWDN GL WHQJDK VHWHODK NXPSXODQ data tersebut diurutkan dari yang kecil hingga terbesar. 0RGXV 1LODLGDWD \DQJ SDOLQJ VHULQJ PXQFXO SDGD sekumpulan data. 3HOXDQJ 3HUEDQGLQJDQ DQWDUD NHMDGLDQ \DQJ VXGDK WHUMDGL GHQJDQ VHPXD NHMDGLDQ \DQJ PXQJNLQ WHUMDGL nilainya sama dengan atau lebih dari 0 dan kurang dari atau sama dengan 1. Persamaan garis lurus Pernyataan matematika yang menyatakan dua HNVSUHVL DOMDEDU DGDODK VDPD 3HUQ\DWDDQ \DQJ EHULVLWDQGDVDPDGHQJDQ 0LVDOQ\Dy = axb; dinyatakan oleh garis lurus pada bidang koordinat. Persamaan linear dua variabel Kalimat matematika yang dinyatakan dalam bentuk axby = c, dengan a, b z 0. Pola Sebuah susunan yang mempunyai bentuk yang teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya. 5XDQJVDPSHO +LPSXQDQ VHPXD KDVLO \DQJ PXQJNLQ GLSHUROHK pada suatu percobaan. Suku Setiap anggota bilangan dari suatu barisan bilangan. 6XPEX *DULVKRUL]RQWDODWDXYHUWLNDOGDODPVLVWHPNRRUGLQDW Cartesius untuk meletakkan titik pada bidang koordinat.

MATEMATIKA

273

Sumbu-X Sumbu-Y 7HRUHPD3K\WDJRUDV

7LWLNDVDO 9DULDEHO

9ROXPH

274

Kelas IX SMP/MTs

*DULVELODQJDQKRUL]RQWDOSDGDELGDQJNRRUGLQDW Garis bilangan vertikal pada bidang koordinat. +XEXQJDQ PDWHPDWLV \DQJ PHQ\DWDNDQ EDKZD GDODP VHJLWLJD VLNXVLNX MXPODK NXDGUDW GDUL SDQMDQJGXDVLVLVDPDGHQJDQNXDGUDWVLVLPLULQJQ\D hipotenusa  MLND a dan b DGDODK SDQMDQJ GXD VLVL segitiga siku-siku dan c DGDODK SDQMDQJ VLVL PLULQJ KLSRWHQXVD PDNDa2b2 = c2. 7LWLN SDGD ELGDQJ NRRUGLQDW \DQJ PHUXSDNDQ WLWLN potong sumbu-X dan sumbu-YEHUNRRUGLQDW    6LPERO \DQJ PHZDNLOL VXDWX ELODQJDQ GDODP VXDWX EHQWXN DOMDEDU PLVDO n   YDULDEHOQ\D adalah n. - Simbol yang digunakan untuk menyatakan nilai yang tidak diketahui dalam suatu persamaan. 0LVDOa YDULDEHOQ\DDGDODKa. Simbol yang digunakan untuk menyatakan suatu bilangan atau anggota himpunan pasangan WHUXUXW0LVDOy = xYDULDEHOQ\DDGDODKx dan y. 3HUKLWXQJDQ VHEHUDSD EDQ\DN UXDQJ \DQJ ELVD GLWHPSDWLGDODPVXDWXREMHN

Semester 1

Copyright:

buku-pegangan-siswa-matematika-smp-kelas-9-kurikulum-2013 ...

buku-pegangan-siswa-matematika-smp-kelas-9-kurikulum-2013-semester-1.pdf. buku-pegangan-siswa-matematika-smp-kelas-9-kurikulum-2013-semester-1.

14MB Sizes 22 Downloads 318 Views

Recommend Documents

No documents