1 MATEMATIKPROV LÅNG LÄROKURS

22.3.2017

STUDENTEXAMENSNÄMNDEN

Del A

Lös alla uppgifterna 1–4 i den här delen. Uppgifterna bedöms med 0–6 poäng. Skriv lösningen på varje uppgift i rutfältet under uppgiften. Svaren kan vid behov fortsätta på separata halvark. Du får använda tabellbok som hjälpmedel. Det är inte tillåtet att använda räknare så länge du har det här provhäftet. Provhäftet ska lämnas in senast tre timmar efter provets början, på det sätt som gymnasiet bestämt. Gymnasiets nummer

Gymnasiets namn



Examinandens efternamn och alla förnamn tydligt utskrivna

Examinandens

Examinandens underskrift

Lång nummer 2 (vår 2017) 5 december 2016

1. a) Lös ekvationen 2x2 − 7x − 4 = 0.

b) Bestäm sådana tal a och b, att ekvationen (x + a)2 = x2 + 14x + b gäller för alla värden på variabeln x. c) Vi undersöker en polynomfunktion av första graden p(x) = cx+d, för vilket det gäller att p(4) = 1 och p(7) = 3. Lös ekvationen p(x) = 0.

2. Nedan finns fem påståenden och sex figurer. Skriv i den ruta som finns under varje figur in bokstaven för det påstående som gäller för ifrågavarande figur. En av bokstäverna ska finnas i två olika rutor. Svaren behöver inte motiveras. Nedan finns fem påståenden och sex figurer. Skriv i den ruta som finns under varje figur in den bokstav för det påstående som gäller för ifrågavarande figur. En av bokstäverna ska in i två olika rutor. Svaren behöver inte motiveras. (A) y är direkt proportionell mot variabeln x. (B) y är omvänt proportionell mot variabeln x. (C) y fördubblas alltid, då variabeln x ökas med en enhet. (D) y halveras alltid, då variabeln x ökas med en enhet. (E) y är direkt proportionell mot kvadraten på variabeln x.

grafiikka/P2_2_d.pdf

grafiikka/P2_2_a.pdf

grafiikka/P2_2_b.pdf

2

att p(4) = 1 och p(7) = 3. Lös ekvationen p(x) = 0. 2. Nedan finns fem påståenden och sex figurer. Skriv i den ruta som finns under varje figur in bokstaven för det påstående som gäller för ifrågavarande figur. En av bokstäverna ska finnas i två olika rutor. Svaren behöver inte motiveras. Nedan finns finns fem fem påståenden påståenden och och sex sex figurer. figurer. Skriv Skriv ii den den ruta ruta som som finns finns under under varje varje figur figur 2. Nedan in den bokstav för det påstående som gäller för ifrågavarande figur. En av bokstäverna in bokstaven för det påstående som gäller för ifrågavarande figur. En av bokstäverna ska ska in ii två finnas två olika olika rutor. rutor. Svaren Svaren behöver behöver inte inte motiveras. motiveras. Nedan finns fem påståenden och sex figurer. Skriv i den ruta som finns under varje figur (A) y är direktför proportionell motsom variabeln in den bokstav det påstående gäller x. för ifrågavarande figur. En av bokstäverna ska in i två olika rutor. Svaren behöver inte motiveras. (B) y är omvänt proportionell mot variabeln x. (C) (A) (D) (B) (E) (C)

y y y y y y

fördubblas alltid, då variabeln x ökas med en enhet. är direkt proportionell mot variabeln x. halveras alltid, då variabeln x ökas med en enhet. är omvänt proportionell mot variabeln x. är direkt proportionell mot kvadraten på variabeln x. fördubblas alltid, då variabeln x ökas med en enhet.

(D) y halveras alltid, då variabeln x ökas med en enhet. (E) y är direkt proportionell6 mot kvadraten på variabeln6 x. 6 5

5

5

4

4

4

grafiikka/P2_2_d.pdf

3 2

2

grafiikka/P2_2_d.pdf

1 0

grafiikka/P2_2_a.pdf

3

0

1

2

3

4

5

6

2

grafiikka/P2_2_a.pdf

1 0

0

1

2

3

4

5

6

0

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

1

2

3

4

5

6

0

0

1

2

3

4

5

6

grafiikka/P2_2_b.pdf

1

6

0

grafiikka/P2_2_b.pdf

3

0

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

3 3. Anta att a = i + 2 j + 3 k och b = 2 i + 5 k. För vilket värde på parametern −2 ≤ t ≤ 2 är längden av vektorn ct = t a + (1 − t) b så liten som möjligt?

4. En logaritm kan definieras med olika baser. Enligt definitionen gäller att loga x = b om ln x x = ab . För denna logaritm med basen a gäller formeln loga x = . ln a a) Anta att x > 0 och y > 0. Lös ut y ur ekvationen log4 y = log2 x. b) Linjerna x = 2, x = 3 och y = 0 avgränsar tillsammans med kurvan i deluppgift a en figur i planet. Skissera denna figur och beräkna dess area. del B1 Lös tre av uppgifterna 5–9.

5. Vi undersöker funktionen f (x) = |x − 1| + 1.

a) Funktionens uttryck kan förenklas i intervallet 0 ≤ x ≤ 1 så att uttrycket inte innehåller absolutbelopp. Vilket är detta förenklade uttryck? (2 p.)

b) Grafen av funktionen f roterar kring x-axeln i intervallet 0 ≤ x ≤ 2. Beräkna volymen för den rotationskropp som då bildas. (4 p.)

6. Från en chokladplatta som har formen av en rätvinklig triangel avskiljs enligt figuren nedan n stycken likformiga bitar, vilkas areor är A1 , A2 , A3 , . . . , An . Hur många bitar ska man avskilja från chokladen för att bitarnas sammanlagda area ska utgöra minst 97 % av chokladplattans ursprungliga area?

är längden av vektorn ct = t a + (1 − t) b så liten som möjligt?

4 4. En logaritm kan definieras med olika baser. Enligt definitionen gäller att loga x = b om ln x x = ab . För denna logaritm med basen a gäller formeln loga x = . ln a a) Anta att x > 0 och y > 0. Lös ut y ur ekvationen log4 y = log2 x. b) Linjerna x = 2, x = 3 och y = 0 avgränsar tillsammans med kurvan i deluppgift a en figur i planet. Skissera denna figur och beräkna dess area. del B1 Lös tre av uppgifterna 5–9.

5. Vi undersöker funktionen f (x) = |x − 1| + 1.

a) Funktionens uttryck kan förenklas i intervallet 0 ≤ x ≤ 1 så att uttrycket inte innehåller absolutbelopp. Vilket är detta förenklade uttryck? (2 p.)

b) Grafen av funktionen f roterar kring x-axeln i intervallet 0 ≤ x ≤ 2. Beräkna volymen för den rotationskropp som då bildas. (4 p.)

6. Från en chokladplatta som har formen av en rätvinklig triangel avskiljs enligt figuren nedan n stycken likformiga bitar, vilkas areor är A1 , A2 , A3 , . . . , An . Hur många bitar ska man avskilja från chokladen för att bitarnas sammanlagda area ska utgöra minst 97 % av chokladplattans ursprungliga area?